CC BY
23
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.9 © А. В. Калинин
ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В формулировках широкого класса задач математической физики (например, задачи гидродинамики, электромагнитной теории, теории упругости) присутствуют дифференциальные операции векторного анализа. В обширной математической литературе, посвященной таким задачам, в частности, детально изучаются свойства классов функций u : Q ^ R3 (Q С R3 — открытое подмножество), для которых rotu € Lp(Q), divu € Lq(Q) и оценки норм ||u|| в различных функциональных пространствах через 11rotu11и | |divu| |• В списке литературы [1-6] приведены лишь некоторые из основополагающих работ в этом направлении.
Однако, во многих прикладных задачах, связанных прежде всего с изучением физических явлений в неоднородных средах, естественно возникает необходимость изучения классов функций и : Q ^ R3, для которых rotu € Lp(Q), div^u € Lq(Q), где ц — некоторый оператор или, в частном случае, коэффициент, не обладающий достаточной гладкостью. В этом
случае нельзя говорить о включении функции и в пространства Соболева. Исследование таких задач проводится, как правило, в предположении кусочной гладкости коэффицинентов с дополнительными условиями согласования на границах раздела сред [5].
Один из возможных подходов исследования таких задач предложен в работах [7,8] и связан
с изучением оценок скалярных произведений J u ■ vdx через 11rotu| |lp и ||divu||Lq•
п
Для 1 ^ р, q < то определим функциональные пространства
Hp(rot; Q) = {u € Lp(Q) : rot u € Lp(Q)},
Hq(div; Q) = {u € Lq(Q) : div u € Lq(Q)}.
Hp(rot;Q) и H0(div;Q) —замыкания пространства пробных функций D(Q) в пространствах Hp(rot; Q) и Hq(div; Q) соответственно.
Справедлива следующая теорема.
Т еорема 1. Пусть Q — открытое ограниченное множество в R3, звездное относительно некоторой точки, р > |, ^ ^ = 1. Тогда существуют положительные посто-
янные Ci, C2, зависящие только от области Q и р, что
(u ■v)dx
^ Ci(||u||L„ ■ ||rot v||l„ + ||V||Lp ■ ||div u||L„)
при всех u € Hq(div; Q), v € Hl0(rot; Q) и
п
(u ■v)dx
^ C2(||u||Lq ■ ||rot v||l„ + ||V||lp ■ 11div u||l„ + ||rotv||Lp ■ 11div u||l„)
при всех и € Н0(с?гу; О), V € Ир(гоЬ; О).
Доказательства этих неравенств основано на специальных представлениях векторных полей [7,8].
В качестве примера применения приведенных оценок скалярных произведений рассматриваются краевые задачи для стационарной системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, записываемой в гауссовой системе единиц в следующем виде
п
-> 4п ->
rot Н{х) = —J(x),
divB (ж) = 0, rotE (ж) = 0, divD (ж) = 4пр(ж),
где
/(ж) = а(ж)(Е (ж) + /ст'(ж)),
13 (ж) = ^(ж)Я (ж),
D (ж) = е(ж)Е (ж).
Здесь ß, а, е, Ест —заданные функции, ii, E, D, B, J, р —искомые функции.
Система уравнений Максвелла изучается при следующих вариантах граничных условий
Ят(ж) =0, ж € Г
и
Вп(ж) = 0, -Er(ж) = 0, ж € Г,
где Г —граница области Q, ит и un —тангенциальные и нормальные составляющие вектора и на границе Г.
Сформулированные в работе оценки для скалярных произведений векторных полей позволяют при весьма общих условиях на коэффициенты (например, ß : L2(Q) ^ L2(Q), а : L2(Q) ^ L2(Q) и е : L2(Q) ^ L2(Q) — симметричные положительно определенные операторы) получить теоремы об однозначной разрешимости соответствующих краевых задач, используя простые соображения, основанные на прменении теоремы Лакса-Мильграма.
В работе также рассматриваются аналогичные оценки для скалярных произведений в неограниченных областях в соответствующих весовых пространствах и приводятся примеры их применения для изучения различных задач для системы уравнений Максвелла.
Список литературы
1. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала // Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.
2. Ладыженская О.А. Математические задачи вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физмат-гиз, 1961.
3. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР. 1960. Т. LIX. C. 5-36.
4. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленаидальных векторных полей // Сиб. матем журнал. 1981. Т. 22, № 3. С. 91-118.
5. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
6. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса / Теория и численный анализ. М.: Наука, 1991.
7. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник ННГУ. Серия мате-
матическое моделирование и оптимальное управление. 1997. Т. 20, № 1. C. 32-38.
8. Калинин А.В., Калинкина А.А. Lp - оценки векторных полей // Известия вузов. Математика. 2004. № 3. C. 26-35.
Калинин Алексей Вячеславович Нижегородский государственный ун-т,
Россия, Нижний Новгород e-mail: [email protected]
