Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том Б. № 2 (2013). С. 63-81.

Посвящается памяти Василия Сергеевича Владимирова

УДК 517.956.226

РЕШЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ

РОТОРА И СТОКСА

Аннотация. В работе явно решаются спектральные задачи для операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса в шаре В радиуса К. Собственные вектор-функции и± ротора, отвечающие ненулевым собственным значениям ±АК, выражаются явными формулами, также как и вектор-функции qк, соответствующие нулевому собственному значению:

Эти же вектор-функции являются собственными для оператора градиент дивергенции с другими собственными значениями:

Построенная система собственных вектор-функций ротора полна и ортогональна в пространстве L2(B).

Собственные вектор-функции (vK, pK) оператора Стокса в шаре представляются в виде суммы двух собственных функций ротора, соответствующих противоположным собственным значениям: vK = u+ + u-, pK = const.

Ключевые слова: операторы ротора, градиента дивергенции, Стокса, собственные значения, собственные функции, ряды Фурье.

Mathematics Subject Classification: 35P05, 35P10.

1. Введение

1.1. Постановка задачи. Пусть G — ограниченная область в R3 с кусочно-гладкой границей Г, n — внешняя нормаль к Г.

В частности, G может быть шаром B, |x| < R, с границей S.

Задача 1. Найти все собственные значения Л и собственные вектор-функции u(x) в L2(G) оператора ротор такие, что

Р.С. САКС

rot u± = ±Лк u±, 'фn(±ЛкR) = О, n ■ u±|s = О; rot qK = О, n ■ qK|s = О,

где

к = (n, m, k), n > О, m є N, |k| ^ n

V div u± = О; V div qK = ^KqK, = (an,m/R)2, ^П(an,m) = О.

rot u = Лu в G

(1)

n ■ u|r = 0,

где n ■ u — скалярное произведение векторов u и n.

R.S. Saks, Solution of spectral problems for curl and Stokes operators. © Сакс Р.С. 2013.

Поступила 12 января 2Q12 г.

К области определения Mr оператора R задачи 1 отнесем все вектор-функции v(x) класса C2(G) П C (G), удовлетворяющие граничному условию (2) и условию rot v Е L2(G).

Пространство основных вектор-функций D(G) содержится в Mr и плотно в L2(G) [3].

Итак, задача состоит в нахождении тех значений Л, при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения u(x) из области определения Mr, то есть в определении пары (Л, u) — собственного значения Л и собственной функции u = 0.

1.2. О приложениях. Собственные функции задачи 1 имеют приложения в гидродинамике, где они называются полями Бельтрами [9], в небесной механике и в физике плазмы они называются бессиловыми полями (см. С. Чандрасекхар [11] и Д. Тэйлор [12]).

По теории Д. Тэйлора, последнее перед распадом устойчивое равновесие в токамаках плазма принимает на бессиловых полях u(x), для которых rot u = Ли и Л = const.

Согласно С. Чандрасекхару, магнитное поле H вне фотосферы звезды такого, что сила Лоренца L, пропорциональная векторному произведению [rot H, H], исчезает.

По теореме В.И. Арнольда [13] 1965, почти все линии тока течений идеальной жидкости наматываются либо на цилиндры, либо на торы. При этом, стационарные течения со скоростью v(x), удовлетворяющей условию [rot v, v] = 0, исключается из рассмотрения. Течения со скоростью v(x), удовлетворяющей уравнению (1), очевидно, удовлетворяют этому условию. Ссылаясь на вычисления М. Энона [14], В. Арнольд пишет, что такие течения "могут иметь линии тока с весьма сложной топологией, характерной для задач небесной механики".

В 1970 автор изучал краевые задачи для не эллиптической системы

rot u + Лu = f (3)

в ограниченной области G с гладкой границей и доказал, что при любых Л = 0 система имеет краевые задачи, разрешимые по Фредгольму с ненулевым индексом [17], [18]. Таковой является задача с краевым условием

п ■ u|r = g. (4)

В шаре B был найден способ явного решения задачи (3),(4) (см. [19]), выписаны формулы собственных функций ротора при Л = 0, как решения однородной задачи.

Особенность этой задачи состоит в том, что младший член Лu в системе (3) существенно улучшает ее разрешимость (см. §7).

Я опубликовал этот результат (формулы (36),(37)) в 2000 году [21], когда узнал о приложениях и о работе С. Чандрасекхара и П. Кендала [22] 1957, предложивших другой подход к решению спектральной задачи 1 в шаре и в цилиндре.

В шаре их метод не проходит, а в цилиндре он был реализован в работе Д. Монтгомери, Л. Тернера и Г. Вахалы [23] 1978 , которые предлагали использовать собственные функции ротора при изучении турбулентности в плазме.

Самосопряженные расширения оператора задачи 1 изучали П.Е. Берхин [24] 1975, И. Гига c З. Иошидой [25] 1990 и Р. Пикар [26] 1996.

Другие аспекты теории см. в книге В.В. Козлова [4] и в обзорах В.В. Пухначева [9] и

А. Махалова и В. Николаенко [28].

В 2003 году О.А. Ладыженская решала задачу "О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей" [1] и интересовалась возможностью вычисления собственных функций оператора Стокса в областях простейших форм в явном виде.

Оказалось [16], что в периодическом случае собственные вектор-функции (v&,pk) оператора Стокса таковы, что 'Vpk = 0, а вектор-функции v& совпадают с соленоидальными собственными функциями ротора u± при к = 0 и u0 при к = 0.

На их основе были построены глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерно вращающемся пространстве [29] и найдены уравнения, которые описывают взаимодействие базисных вихревых потоков [30].

Позднее [15] удалось вычислить собственные функции (vn,pn) оператора Стокса в шаре с условием vn|s = 0. В этом случае каждая собственная вектор-функция vn оператора Стокса есть сумма, vn = u+ + u-, собственных вектор-функций ротора u± с противопо-ложеными собственными значениями, a pn = const. (см. §6).

1.3. Структура работы и основные результаты. Решение задачи 1 в шаре при Л = 0 в § 1 сводится к решению спектральной задачи Дирихле для скалярного оператора Лапласа с условием v(0) = 0 в центре шара, которая решается явно в § 2. Ее собственные значения определяются нулями функций Бесселя полуцелого порядка, а собственные функции являются произведениями функций Бесселя и сферических функций.

В § 3 приводятся явные формулы для ненулевых собственных значений ±Лп,т и собственных функций q±mfc(x) ротора в шаре. Формулы (36),(37) были опубликованы в [21], а формулы (43) публикуются впервые. Они дают возможность вычислить распределение скоростей потока жидкости q± m fc(x) внутри шара и представить себе движение такого потока.

Спектральная задача для оператора градиент дивергенции в § 4 сводится к решению спектральной задачи Неймана для скалярного оператора Лапласа, решения которой известны. Приводятся формулы (53) собственных функций qn , m,k(x) ротора в шаре с нулевым собственным значением. Эти формулы публикуются впервые.

В § 5 мы доказываем, что построенное семейство собственных вектор-функций ротора

{qn,m,fc(x) q+,m,fc(x) q-,m,k(x)} П ^ 0 m Е N |k| ^ П

ортогонально и полно в пространстве L2(B) вектор-функций f с интегрируемым квадратом модуля. Оно образует ортонормированный базис L2(B).

Приводится аналог разложения Г. Вейля [10] векторного поля f из L2(B) (с нулевой компонентой п ■ f |s = 0) на безвихревое поле а и соленоидальное поле b: f (x) = a(x)+ b(x).

В § 6 определяется связь между решениями спектральных задач для операторов ротора и Стокса и указан явный вид решений спектральной задачи для оператора Стокса в шаре. Формулы (93) собственных вектор-функций оператора Стокса публикуются впервые.

В § 7 в качестве примера мы приводим решение краевой задачи (2),(3) методом Фурье в двух случаях: при Л = 0, ±Лп,то, и при Л = 0. Отметим, что при Л = 0 разрешимость задачи существенно ухудшается, и ее ядро становится бесконечномерным.

1.4. Исследование оператора задачи. Указанная система (3), а также система

V divu + Л u = f (5)

при Л = 0 принадлежат классу систем эллиптических по Вайнбергу и Грушину [6]. Так оператор rot + Л! первого порядка не является эллиптическим, так как ранг его символической матрицы ai(rot)(£) равен двум при всех £ Е R3\0 и меньше трех [20].

Из соотношения div rot u = 0 для любой гладкой вектор-функции u и системы уравнений (1) при Л = 0 вытекает, что divu = 0. Значит, u(x) является решением эллиптической системы:

rot u — Лu = 0, div u = 0. (6)

Такой оператор rot + Л/ называется приводимым к эллиптическому оператором [6].

Легко проверить, что система (6) и краевое условие (2) составляют переопределенную

эллиптическую краевую задачу в смысле теории В.А. Солонникова [7]. Из соотношения

(rot + Л/)(rot — Л/)u = —A u + Vdiv u — Л2 u (7)

видно, что решение u Е C2 (B) уравнения (1) при Л = 0 является также решением эллиптической системы 2-го порядка:

— Ди = Л2и, div и = 0. (8)

Кроме того, любому решению и задачи (3),(4) соответствует решение (u, q) эллиптической краевой задачи

rot и + Ли + Vq = f, Лdiv и = div f, n ■ и|г = g, q|r = 0. (9)

с компонентой q = 0 в G и обратно.

Согласно теории эллиптической краевой задачи, в применении к задаче (9) в ограниченной области G с гладкой границей Г, имеет место следующая оценка нормы ||u||s+1 вектор-функции и в пространстве Соболева Hs+1(G) ■ W^+1(G) :

CS||u||s+i ^ ||rotu||s + ||divu||s + |n ■ u|s+i/2 + ||u|s, (10)

где Cs — положительная постоянная, n ■ u — след на Г нормальной компоненты и, а |n ■ u|s+1/2 — его норма в Hs+1/2(r), s > 0 (см. [7], [8], [20], [25]).

Из этой теории следует, что при Л = 0

a) число линейно независимых решений задачи 1 конечно,

b)любое (обобщенное) решение задачи бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если граница области бесконечно дифференцируема.

1.5. Сведение задачи 1 в шаре к спектральной задаче Дирихле. При построении собственных функций для ненулевых собственных значений ротора в шаре B мы приходим к следующей задаче Дирихле для оператора Лапласа.

Задача 2. Найти собственные значения ^ и собственные функции v(x) скалярного оператора Лапласа —Д такие, что

— Дv = ^v в B, v|S = 0, v(0) = 0. (11)

К области определения Ml1 оператора L1 задачи 2 отнесем все функции v(x) класса C2(B) П C(B), удовлетворяющие условиям v|s = 0, v(0) = 0 и Дv Е L2(B).

Обозначим v(x) = x ■ u = rur скалярное произведение векторов x и и. Имеет место

Лемма 1. Любому решению (Л, и) задачи 1 в шаре B при Л = 0 соответствует реше-

ние (Л2, x ■ и) задачи 2.

Действительно, в силу (8), (2) и ограниченности и в окрестности нуля имеем

—Д v = —x ■ Ди — 2divu = Л2 v, v|S = |r=R = 0, v(0) = rur|r=0 = 0.

2. Решение спектральной задачи 2.

2.1. Нули функций фn(z). Пусть pm,n > 0 суть нули функций Бесселя полуцелого порядка, т.е. Jn+1 (pm,n) = 0, где n > 0, m = 1, 2,.... Они же являются нулями функций

•-.» ■ Viij- < “ >= Л t „Г,п Г'Т, + .) (i)'"+1' '12-

Как показал Л. Эйлер (см. [3], §23 с. 356), цилиндрические функции Jn+1 (z) полуцелого порядка выражаются через элементарные, а именно,

“ '' (±)' (^ )■ (13)

Откуда видно, что

Фп( —z) = (—^"^п^^ (14)

и что нули функций ^n (z) лежат на действительной оси и располагаются на ней симметрично относительно точки z = 0.

2.2. Спектральная задача Дирихле. Она решается методом разделения переменных в сферической системе координат (r, в, <^). Обозначим через L оператор задачи. В учебнике

B.C. Владимирова [3] в §26 доказано, что

собственные значения оператора L в шаре B равны У?пт, где A^,m = pn,mR-1, n > 0, m Є N, а числа pn,m > 0 суть нули функций ^n(z),

соответствующие Лnm действительные собственные функции vK имеют вид:

v«(r, в, <р) = ^'(Лп^г^'(в, <р), (15)

где к = (n,m, к) — мультииндекс, n > 0, |к| < n, m Є N, cK — произвольные действительные постоянные, (cos в) — присоединенные функции Лежандра, 0 <r < R, 0 < в < п, Y^2(в, ^) — действительные сферические функции, 0 < ^ < 2п. Они равны

Y к (9 ) Г (cos если k = 0,1,...,n; (16)

n , ^ \ Plfc|(cos 9) sin(|fc|<^), если к = —1,..., —п.

Функции Yn(0, ^) = S"=-n «fen Y"(9, ^) при п = 0, 1, 2 имеют вид:

Y0 = «00, Y1 = a01 cos 9 + (a11 cos ^ + a-1,1 sin <^) sin 0, (17)

Y2 = a02(3 cos2 9 — 1) + (a12 cos ^ + a-1,2 sin <^) sin9 cos 9 + (a22 cos 2^ + a-2,2 sin 2^) sin2 9.

По определению сферических функций, произведение r'Y"(9, ^) является однородным гармоническим полиномом от x1, ж2, Ж3 степени п. Из формул (15),(13) видно, что функции vK(x) принадлежат классу C^(B) в шаре B любого радиуса R > 0.

Из ортогональности и полноты функций Бесселя в L2[(0, R); r] и сферических функций в L2(S1) вытекает, что функции vK при различных к = (n,m,k) ортогональны в L2(B). Система функций {vK} полна в L2(B) [3]. Нормированная условием

/ vK/ vK d x =

в , ,

R n 2n ^ (18)

= a«/ aKJ ф"/(pn/,m/r/R) ф"(pn,mr/R)r2 dr / / Y"/(9, <p) Y"(9, <p) sin 9d9d^ = £„/,„

0 0 0

она образует в L2(B) ортонормированный базис. Нормирующие множители aK таковы, что

( \-1 _ -D \Р Г \ I /_1+ ^0fc (п + |к|)! ПгЛ

(an,rn,k) = R| Jn+1/2(p",m)m п 2п + 1 (п — |к|)! . (19)

2.3. Эквивалентное интегральное уравнение. В §29 книги [3] доказано, что если f Е C 1(B) П C(B), то краевая задача

— Дv = ^v + f (ж), v|S = 0, v Е C2(B) П C(B), (20)

эквивалентна интегральному уравнению

v(x)^y G(x,y)[^v(y) + f (y)] dy v Е C(B), (21)

в

с симметричным слабо полярным ядром

( ,У) 4п|ж — y| 4n|x|y|2! — yR2| ( )

К области определения Ml оператора L задачи (20) относят [3] все функции v класса C2(B) П C(B), удовлетворяющие граничному условию v|s = 0 и условию Дv Е L2(B).

Собственные значения и собственные функции оператора С совпадают с характеристическими числами и соответствующими собственными функциями ядра С(ж,у).

Согласно теории интегральных уравнений множество собственных значений оператора С не имеет конечных предельных точек; каждое собственное значение имеет конечную кратность. Всякая функция из Мс разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям оператора С.

Следовательно, все собственные значения т = рП тЛ-2оператора С можно перенумеровать в порядке возрастания их величин

0 < ^ ^2 ^ ..., ^ ^ то, I ^ то, (23)

повторяя в этом ряде столько раз, какова его кратность (число Л^ т повторяется 2п + 1

раз). Соответствующие собственные функции обозначим через VI, ^,..., так что в ряде чисел (23) каждому собственному значению ^ соответствует собственная функция V(ж),

СИ = VI, I = 1, 2,..., VI єМс, (24)

причем собственные функции VI (ж) выбираем вещественными и ортонормальными:

(СVI ,Кт) = (V, >т) = ^гт (25)

Всякая функция f (ж) из Мс разлагается в ряд Фурье по ортонормальной системе {^(ж)},

ГО

f (ж) = ЕСЛИ) «(ж). (26)

г=і

Этот ряд сходится в Ь2(В), ив силу теоремы Гильберта-Шмидта ряд сходится регулярно на В (см.[3] §20.1). Но множество Мс плотно в Ь2(В).

Откуда получаем доказательство полноты системы {V(ж)} в Ь2(В). Отметим, что {V(ж)} — это система {г>к(ж)} с выше определенным порядком нумерации элементов.

Ряд (26) (и другие аналогичные ряды) будем записывать в виде

ОО ГО п

f (х) = X! ^^п.т.к) ^п,т,к(х) = ^(Л^к) ^(х), (27)

п=0 т=1 к=—п к

предполагая, что суммирование ряда (27) идет по п,т, для которых 0 < рп,т < N , а затем N ^ то.

2.4. Сходимость ряда в норме пространства Соболева Н’(В). Согласно теоремам 8 и 9 гл. 4 в [5] для шара имеем.

Для того, чтобы f разлагалась в ряд Фурье (27) по системе собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа в шаре, сходящийся в норме пространства Соболева Н5(В), необходимо и достаточно, чтобы f принадлежала

Щ(В) = и Є Н’(В): f |5 = 0,..., Лстf |5 = 0}, где а = [(в - 1)/2], в > 1. (28)

Если f Є Н’(В), то сходится ряд

£(/,»к )2 ЛК’, (29)

к

и существует такая положительная постоянная С > 0, не зависящая от f, что

Е(/'г’»)'2 ЛК’ < с и/ин.(в). (зо)

к

Если в > 2, то любая функция f из Н’(В) разлагается в в ряд Фурье (27), сходящийся в пространстве С’-2(В).

2.5. Решение задачи 2. Так как ф0(0) = 1, то функции {vK} при к = (0,m,0) удовлетворяют последнему условию vK(0) = 0 задачи 2 тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты С(о,т,о) = 0. Откуда следует

Теорема 1. Собственные значения ^n,m задачи 2 равны Anm, где An,m = pn,mR-1, а числа pn,m - нули функций ^n(z), m, n G N.

Собственные функции vK задачи, соответствующие значениям Anm, имеют вид

vK(r, 0, <^) = cK^n(A„,mr)Yrafc(0, ^), (31)

где m, n G N и |k| < n, к = (n, m, k). Кратность значения ^nm равна 2n +1.

Итак, спектр задачи 2 дискретен и не имеет конечных точек накопления, а собственные функции vK задачи выражаются через цилиндрические и сферические функции.

3. Решение спектральной задачи 1 в шаре

3.1. Построение решений задачи 1. Попутно мы доказываем, что ее собственные значения ±An,m суть корни квадратные из собственных чисел задачи 2.

Лемма 2. В шаре B любому решению (^,v) задачи 2 при д > 0 соответствуют два и только два решения (-^Д, u+) и (—-^Д, u-) задачи 1 такие, что x • u+ = x • u- = v.

Доказательство леммы 2 базируются на представлении системы rot u = Au, divu = 0 из четырех действительных уравнений, записанных в сферических координатах, как системы двух комплексных уравнений

(дГ — iA) rw = r-1Hv, Kw = Av — ir-1dr(rv), (32)

относительно комплексной функции w = u^ + iu? и действительной функции v = rur. Операторы H и K имеют вид:

Hv = (sin-10S^ + id?) v Kw = sin-10 (d? sin 0 + id^)w. (33)

Нетрудно убедиться, что — Av = A2v есть условие согласованности уравнений (32).

Пусть (^,v) — фиксированное решение задачи 2. Ненулевые решения задачи 1 находим так. Функция мГ определяется как дробь v/r. Положим A = ^/Д или A = — ^/Д, и подставим A и v = v в уравнения (32). Теперь их правые части заданы и уравнения совместны. Функции м? и определим, решая эту систему. Общее решение первого уравнения в (32)

имеет вид

Г

w = dr-1e-Г + r-1 ^ e-(r-t)Hv (t,0,^)t-1dt, (34)

о

где d есть функция от переменных ^ и 0, которая равна нулю, если решение ищем в классе Соболева W2 (B) или в классе ограниченных функций. Остается проверить, что функция w удовлетворяет второму уравнению в (32). Получаем

Г Г

(r-t)^un,U п ,ли-1.

Kw = r-1 J eiA(r-t)KHv(t, е, ^)t-1dt = r-1 у eiA(r-t) [sin-1e (дед^ - д^де)v + iAe^v] t-1dt,

00 где Ае,^ — оператор Лапласа-Бельтрами. Уравнение Гельмгольца в сферических коорди-

1

натах запишем так:

rsine

12 де (зтЄде) + —^(д^)2 зтЄ

v = — Л2гу — 1 дТ (г2дТ) v. (35)

'Т \> j

r

Функция V является его решением при Л2 = Л2 = д. Подставляя правую часть этого равенства под интеграл, вместо выражения г-1Д#,^ при Л2 = Л2, V = V, г = £, получаем

1 —<

£

Kw = -*r-1 У eiA(r-t^A2tv + 1 d (t2dtv^ dt.

Интегрируя по частям и учитывая соотношение v(0) = 0, получим правую часть второго равенства в (32). Лемма 2 доказана.

3.2. Формулы решений. Подставляя конкретные выражения Л± = ±Лп,т и ^ из (31) в дробь v/r ив интеграл (34) (вместо Л и V), а также d=0, получим явные формулы собственных функций задачи. Имеет место

Теорема 2. Ненулевые собственные значения Л±т задачи 1 равны ±Лп,т, где Лга,т = Рп,тЛ-1, Я-радиус шара, а числа рп,т - нули функций фга(^), т, п € N.

Компоненты иг и т = и^ + гм собственных функций и± задачи 1 в сферических коорди-

натах вычисляются по формулам:

(иг)± = С±(Л±,тг)-1фп(Л±,тг)^к(0, ^ (36)

(и^ + )± = С± (Л±,тг)-1Фга(Л±,тг)Н^гк(0, ^ (37)

где г — мнимая единица, с± € К, т,п € М, |к| < п,к = (п, т, к),

Г

Фп(Л±,тг) = [ е*Л±т(г-)(38)

НУ* (0,р) = (sin-10c^ + i<%) Yk (0,¥>). (39)

Функции ur, u, u^ принадлежат классу Cвсюду в B, кроме оси x3, на которой rsin0 = 0, и ограничены в B .В исходных координатах х1,’х2,хз компоненты Uj собственных функций задачи 1 принадлежат классу Cте(В).

Через функции ur и w = u^ + iu они выражаются так:

u 1 = ur Y/ + Re(w HY/), u2 = ur Yj- 1 + Re(w HYj- 1), u3 = ur Y^ + Re(w HY^), (40)

где согласно учебнику Владимирова [3]

x1/r = Y11(0,^) = sin0 cos <£, x2/r = Yj_- 1(0,^) = sin0 sin <^, x3/r = Y1o(0) = cos 0, (41)

HY/ = — sin ^ + i cos 0 cos <£, HY- = cos ^ + i cos 0 sin <^, HY^ = —i sin 0. (42)

Гладкость вектор-функций u±(x) в В вытекает из общей теории (см. утверждение b) в п. 1.4), и можно проверить непосредственно. Теорема доказана.

Вектор-функции u± представим в виде суммы трех вещественных взаимно ортогональных векторов. Используя репер ir, ifl, i<^ и разделяя действительные и мнимые части в (37), (38), (39), имеем

u± = C±(A±,mr)-Vrn(A±mr)Yk(0, ir +

c±(A±,mr)-1Re[f„(A±imr)](ReHYk v + ImHY* b)+ (43)

C±(A±,mr)-1lm[$n(A±,mr)]( —ImHYn V + ReHYk ^).

Эти формулы позволяют представить движение вихревого потока жидкости в шаре, скорость которого есть u±(x), при n = 1, 2,.... Завихренность этих потоков rot u±, равная A±mu±, отлична от нуля в каждой точке шара.

3.3. Свойство функций Фга(Л±тг). Функции (Л±,тг) , Ук(0, и числа Л±т = ±р„;т/Я вещественные. Согласно (14) (Л-тг) = (—1)п (Лп>тг) . Поэтому

Фп(Л-тг) = / е-гЛп’т(г-*)фга(-Ап;т£)£_1<^ =

’ (44)

= (—1)” / e іЛп,т(т *)ф”(Л„)ті)і = (—І^Ф^Лп^г).

о

Докажем, что число Фп(Лп,mR) действительное и, значит,

R

1

Ф„(Рп,m) = J cos An,m(R - t)^n(An,mt)t dt. (45)

0

По построению, вектор-функции u±(x) удовлетворяют уравнению (1) при A = ±An,m, а комплексные функции

w± = К + iu0)± = a± (A±,mr)-1$n(A±,mr)HYk(0, ^ a± G R (46)

удовлетворяют системе уравнений (32) при A = ±An,m, v = vK(x), причем vK|r=R = 0.

Из второго уравнения в (32) видим, что при r ^ R

Re Kw± |r^R — ±An,m VK|r=R — 0. (47)

Композиция KH операторов K и H на действительных функциях У* (0, <^) равна

KHYrafc = sin-10 (50 sin 0 + ) (sin-10d^ + id0) Угак = ( )

sin-1(505^ - )yrafc + iA^Угак = in(n + 1)Угак. ( )

Значит,

Ие Кщк |г=д = -п(п + 1)а± (рга>т) 1т Ф„(рга;т)Гга (в ^) = 0 (49)

при любых в и <^. Следовательно, 1тФга(рП;т) = 0, и число Фга(рга,т) действительно.

4. Решение спектральной задачи 1 при А = 0

4.1. Сведение задачи 1 при А = 0 к спектральной задаче Неймана. Собственные вектор-функции оператора ротор, отвечающие нулевому собственному значению, будем искать среди решений следующей спектральной задачи.

Задача 3. Найти ненулевые собственные значения д и собственные вектор-функции и(х) в Ь2(С) оператора градиент дивергенции такие, что

— V в,т и = ди в С, п • и|г = 0, (50)

где п • и — проекция вектора и на нормальный вектор п.

К области определения Мдр оператора задачи 4 отнесем все вектор-функции и(х) класса С2(С) П С*(С), которые удовлетворяют граничному условию п • и|г = 0 и условию

V div и є Ь2(С).

Эта задача связана со спектральной задачей Неймана для скалярного оператора Лапласа.

Задача 4. Найти все собственные значения V и собственные функции д(х) оператора Лапласа —А такие, что

— Ад = vg в С, п •V д|г = 0. (51)

К области определения Мм оператора N задачи 4 относят все функции д(х) класса С2(С) П С*(С), удовлетворяющие условиям п • Vд|г = 0 , Ад є Ь2(С).

Легко убедиться, что имеет место

Лемма 3. Любому решению (д, u) задачи 3 в области G соответствует решение (v, g) = (д, div u) задачи 4- Обратно, любому решению (v, g) задачи 4 соответствует решение (д, u) = (v, Vg) задачи 3.

4.2. Решение спектральной задачи 4 в шаре. Решение этой задачи известно. Согласно книге В.С. Владимирова [3]

собственные значения оператора —А в шаре B с условием Неймана равны v^m, где vn m = an,mR-1, n > 0, m G N, а числа an,m > 0 суть нули функций (z), производных ^n(z), т.е. фга/(ага,т) = 0. Соответствующие v;^m собственные функции gK имеют вид:

дк(Г 0 ^ = Ск^n(an,mr/R)Yn (0, ^ (52)

где к = (n, m, k) — мультииндекс, cK — произвольные действительные постоянные, У*(0, ^) — действительные сферические функции, n > 0, |k| < n, m G N.

Функции gK(x) принадлежат классу Cте(В) и при различных к ортогональны в L2(B). Система функций {gK} полна в L2(B) [5]. Нормируя их, получим ортонормированный в L2(B) базис.

4.3. Решение спектральной задачи 3 в шаре. Согласно лемме 3 вектор-функции qK(x) = VgK(x) являются решениями задачи 3 при дп,т = аПтR-2 в L2(B). Их компоненты (qr, q#, q^) имеют вид

q^^ 0 ^ = CK(a„,m/R)^n(an,mr/R)yn (0, ^ (53)

(q^ + %)к = cK(1/r)^ra(ara)mr/R)Hyrafc(0, ^). ( )

При к = (0,т, 0) функция У00(0, <^) = 1, ИУ00 = 0. Поэтому

5г,(0,т,,0) (г) с(0,т,0) (а0,т/П)ф0 (а0,тг/П), (54)

) (0,т,0) = 0.

Из этих формул легко выписать величины нормирующих множителей ск, при которых

1Мх)11 =1

4.4. Решение спектральной задачи 1 при А = 0 в шаре. Числа дп,т = Огт^-2 > 0 при любых п > 0, т С N. Поэтому вектор-функции як являются также решениями задачи

1 при А = 0. Причем, и Як' ортогональны при к0 = к.

Действительно, согласно формуле Гаусса-Остроградского

J Vgк' ■ Удк^ж= - J дк' Адк^ дк (п ■ У)дк(55)

В В 5

Функции дк (ж) являются решениями задачи 4 , они удовлетворяет уравнению Гельмгольт-ца (51) при V = аПт/Л2 > 0 с краевым условием Неймана. Следовательно, граничный интеграл пропадает, а

J Як' ■ Як^Ж= апт I дк' дк^Ж. (56)

ВВ

Но функции дк(ж) и дк'(ж), согласно (52), взаимно ортогональны в Ь2(В) при к0 = к. Значит, последний интеграл в (56) равен нулю и вектор-функции як и як' взаимно ортогональны в Ь2(В).

Заметим, что ||Як(ж)|| = (а„,т/Д) ||дк(ж)||.

5. Пространство Ь2(В) и собственные Функции ротора

5.1. Подпространство А = V Н1 (В). Линейное подпространство в Ь2(В), образованное ортонормированной системой вектор-функций {яК(ж)}, обозначим через А. Фактически,

А = {V к : к е Н 1(В)}. (57)

Действительно, каждый элемент яК(ж) = V дК, где дК е Н 1(В). С другой стороны, функция к из Н 1(В) разлагается в сходящийся ряд

к = ^(к,дК )р«, = (а„;т/Д)дК, (?«,?«') = . (58)

К

5.2. Подпространство В = У°(В). Обозначим через Я±(ж) решения задачи 1, которые, согласно Теореме 2 соответствуют собственным значениям А± т, п,т е М, и нормированы в Ь2(В)), то есть ||я±(ж)|| = 1. Они принадлежат подпространству

У°(В) = {и е Ь2(В) : ^ и = 0, п ■ и|5 = 0, ||и|^0(в) = ||и||ь2(в)}, (59)

где и = 0, п ■ и|£ = 0 понимаются в смысле теории распределений:

У°(В) = {и е Ь2(В): J и -V к^ж = 0, для любой к е Н 1(В)}. (60)

в

Очевидно, что А и В = У°(В) ортогональные подпротранства в Ь2(В). Через В± обозначим подпространства в В, образованные системами вектор-функций {я±(ж)}. Имеет место

Лемма 4. Вектор-функции я+(ж) ( соотв., Я-(ж)) взаимно ортогональны при различных к. Вектор-функции я+(ж) и Я-(ж) взаимно ортогональны при любых к.

Доказательство. Воспользуемся формулой Грина оператора ротор

J ГС^и ■ V — J и ■ ГО^ ^Х = У [и, V] ■ п ^$. (61)

в в £

Смешанное произведение [и, V] ■ п на сфере 5 совпадает с определителем

1 О О

Mr M Vr

(62)

и

равно u#v^ — u^v# или Im(WV) в комплексных обозначениях W = (u^ + iu#) и

V = (v^ — ivfl).

Докажем ортогональность вектор-функций q+, (x) и q+(x), при к! = к. Они являются решениями задачи 1 и вычисляются по формулам (36), (37), где числа А+ m = pn ,m/R и c+ — действительные постоянные.

В начале рассмотрим случай, когда (n/, m/) = (n, m), а значит, А+, m, = А+ m. Подставляя эти функции в формулу (61), получим равенство:

п 2п

(А„/,m, — A„,m^ q+, ■ q+ dx = Im J j Wk+ W + sin 0 d0 d<£. (63)

B 0 0

Ортогональность будет доказана, если последний интеграл I обращается в нуль. Согласно формулам (37) он равен:

п 2п

I = А 1т J У НУП' (0, НУ^(0, ^) эт 0^0^^, (64)

о о

где А = С+ (рп',т')-1С+ (рга,т)-1 Фга' (Рга',т')Фга(Рга,т) — действительная постоянная согласно п. 3.3. ’

Оператор Н в этом интеграле перебросим, интегрируя по частям. Имеем:

п 2п

Im[A / / YJ/(0,<^)[—sin (sin05,?) — sin 20d2] YJ (0, ^) sin0d0d^] +

0 0

п 2п

Im[iA / /Y^/(0, ^)[sin_10(5^5e — 5^)] YJ(0,^) sin 0d0d^].

о о

Последний интеграл равен нулю, так как сферические функции непрерывны вместе с производными любого порядка по ^ и 0. В первом интеграле, оператор, взятый в квадратные скобки, есть оператор Лапласа-Бельтрами: — Д^. Согласно свойству сферических функций, —YJ(0, ^) = n(n + 1)УП(0, k) , подставляя это выражение под знак интеграла, получим:

п 2п

(А„/,т/ — А„,т) J q+ ■ q+ dx = Im[n(n + 1)A J j Y^ YJ sin 0d0d^]. (65)

B 0 0

Так как сферические функции взаимно ортогональны при (n', k') = (n, k), то этот интеграл равен нулю. Итак, вектор-функции q+ (x) и q+(x) ортогональны при (n',m') = (n,m) и (n', k') = (n, k). .

Если же (n', k') = (n, k), m' = m, то интеграл справа в (65) есть действительное число. Числа ск, Фга(Рп,т) и A также действительны, поэтому q+m/n(x) и q+mn(x) — ортогональны.

В случае (n',m') = (n,m) и k' = k формула (65) не годится, так как ее левая и правая части обращаются в нуль. Согласно формулам (36), (37), имеем

R п 2п

I q+/,m,n ■ q+m,n dx = 4,m,n4,m,nAmy / (An,mr) dr / / (0, (0, ^ sin 0 d0 d^+

B 0 0 0

R ________________________________ п 2п

+ /$n(An,mr)$n(A„,mr) dr/ / HYjf(0, ^)HYnfc(0,<p) sin0d0].

0 0 0

(66)

Ввиду ортогональности функций YJ и YJ в L2(S1) оба интеграла исчезают и, значит, вект°ры q+/,m,n и q+m,ra — ортогональны.

Ортогональность вектор-функций q— (x) и q-(x), при к' = к доказывается аналогично. Рассмотрим собственные функции q+ (x) и q“(x), соответствующие значениям An,m и

— An,m различных знаков, при любых к' и к. Повторяя предыдущие вычисления, имеем

п 2п

1+/

(A„/,m/ + A„,m) / q+ ■ qK dx = Im / / Wfc+ Wfc sin 0 d0 d^ =

B п 2п 0 0 (67)

= Im[n(n + 1)B / / YJ/(0,^)Y„fc(0,^) sin 0d0 d^],

00nn

где постоянная B = (—1)(n+1) c+ (p„/,m/)-1c- (p„,m)_1 Ф„/(pn,m)Фга(рга,т) действительна.

Правая часть (67) исчезает при любых к' и к. Следовательно, вектор-функции q+ (x) и q- (x) ортогональны. Лемма доказана.

5.3. Разложение Г. Вейля. Из полноты в Ь2(В) семейств собственных функций оператора Лапласа с условиями Дирихле и Неймана вытекает, что система вектор-функций {Чк( ж)} полна в подпространстве А, системы {ч+(ж)} и (як(ж)} в совокупности полны в подпространстве В. Других решений задача 1 не имеет.

Подпространства А и В взаимно ортогональны в Ь2(В). В случае шара их объединение совпадает с Ь2(В) (см. Г. Вейль [10]). Таким образом, мы получили ортогональное разложение пространства Ь2(В) по собственным вектор-функциям оператора ротор.

Ь2(В) = А© В = А©В+ ©В". (68)

Теорема 3. Система {чк(ж)}, {ч+(ж)} и {ч—(ж)} собственных вектор-функций задачи 1 в совокупности образует в пространстве Ь2 (В) ортонормированный базис. Любую вектор-функцию из Ь2(В) можно разложить в ряд Фурье по этому базису.

Разложение Вейля векторного поля і из Ь2(В) на безвихревое поле а и соленоидальное Ь имеет вид Ї(х) = а(х) + Ь(х), где

ОО ГО П

а = ^ ^ X! (і, Чп,т,к) Чп,т,к (х), (69)

п=0 т=1 к=—п

О го п

Ь = ^ 5] 5] [(і, <т,к) Ч+,т,к(х) + (І, Ч—,т,к) Ч—,т,к(х)] (70)

п=1 т=1 к=—п

суммирование рядов (69), (70) идет по п,т, для которых 0 < ап,т < N и 0 < рп,т < N, а затем N ^ то.

Имеет место равенство Парсеваля-Стеклова: ||і||2 = ||а||2 + ||Ь||2, которое запишем так

О

IIіII2 = ^ ^ ^ [(І, Чп,т,к)2 + , <т,к)2 + , Ч—>т>к)2Ь (71)

N=1 (п,т)ЄР^ &Є[—п,п]

где решетка PN = {(п, т) : 0 < рп,т < N, 0 < ап,т < N}, векторы Ч±т0 = 0.

Отметим, что разложение векторного поля і(х) на безвихревое поле УЛ-(х) и соленои-

дальное поле и(х) связано с решением задачи Неймана

ДЛ = Ґ в В, п -V = п ■ Ґ|,5, (72)

в классической или обобщенной постановках [2].

Мы же получаем решение этой задачи в виде рядов (69), (70). Отметим их свойства. Если і = ^, где Л(х) - финитная в В бесконечно дифференцируемая функция, то есть Л Є Р(В), то V і = VДh и для любого целого ^ > 1: (V ^іу)5 і = VДsh Є Ь2(В). Следовательно, интегрируя по частям, имеем

О О п О О п

ЕЕ Е ((V ^У)5 і, Чп,т,к) Чп,т,к(х) = ЕЕ Е (ап,т/^) (і, Чп,т,к) Чп,т,к(х). (73)

п=0 т=1 к=—п п=0 т=1 к=— п

Ряд сходится в Ь2(В) к (Vdiv)s і и

О О п

ЕЕ Е Km/R)4s|(f, qn,m;k)|2 = I(Vdiv)5 f |L2(B). (74)

n=0 m=1 k=—

Если вектор-функция f соленоидальна, и ее компоненты принадлежат пространству D(B), то для любого целого s > 1: (rot)s f G V0(B). Значит, аналогично предыдущему

со со n

ЕЕ Е [((r0t)Sf, q+,m,k ) q+,m,k (x) + ((rot)Sf, q—,m,k ) q—,m,k (x)] = (75)

n=1 m=1 k=—n

= ^^2^ (Рп,т/ДП(£, Ч+,т,к) Я+,т,к(Х) + (-1Г^, Ч-,т,к) Я—,тЛ(х)].

п=1 т=1 к=—п Ряды СХОДИТСЯ К (гО^)* £ В Ь/2 (В) и оо го п

^ (Рп,т/Д)25[|(£, Я+,т,*. )|2 + |(£, Я—>т>к)|2] = ИМ)* £ ||ь2(В). (76)

п=1 т=1 к=—п

Эти ряды сходится также в Н1 (В), при I = 1, 2,.... Действительно, обозначим через 87-частичную сумму ряда (75) и воспользуемся оценкой (10). Получим

11^.7 — Я»|И1(В) ^ С (НГО^(Я.7 — )|Н0(В) + 11^.7 — Я»11н°(В)), (77)

так как ^гг> ^ — &) = 0 и п • (Я^ — 8г)|^ — 0. При г, ^ —— то правая часть в (77) стремится

к нулю согласно (76). Значит, ряд сходится в Н1 (В). И так далее.

6. Решение спектральной задачи Стокса

6.1. Связь между решениями спектральных задач операторов Стокса и ротора. Перейдем к изучению спектральной задачи для оператора Стокса в ограниченной области G с параметром вязкости v > 0 .

Задача 5. Найти все собственные вектор-функции (v(x),p(x)) и собственные значения р оператора Стокса такие, что

— vAv + Vp = pv, div v = 0 в G, (78)

v |r = 0. (79)

Отметим, что собственной функцией этого оператора обычно считается только вектор-функция v(x), так как Vp определяется через v и p. В монографии О.А. Ладыженской [2] доказано, что в ограниченной области G с гладкой границей Г эта задача имеет дискретный спектр (pfc}, где k = 1, 2,...; причем, каждое > 0 и имеет конечную кратность. В случае шара мы уточним этот результат.

Имеются полезные соотношения между решениями задач 1 и 5.

Теорема 4. Пусть u+, u- удовлетворяют в области G уравнениям rot u± = ±Au±, А > 0, а p(x) — гармоническая в G функция.

Тогда пара (v,p), где

v = u+ + u- + v-1A-2Vp (80)

есть решение уравнений Стокса (78) с р = vA2.

Если функции u+, u- и p(x) удовлетворяют также краевым условиям

n ■ u±|r = 0, (u+ + u-)|r = 0, (81)

(n ■ V)p|r = 0. (82)

Тогда решение (v,p) задачи 5 с p = vA2 имеет вид

v = u+ + u-, p = Const. (83)

Доказательство первого утверждения проводится непосредственной проверкой, учитывая, что функции u+ и u- являются решениями уравнений (6),(8). Действительно,

—vAv + Vp = vA2(u+ + u-) + Vp = vA2 v.

Далее, если p удовлетворяет условию Неймана (82), то p = Const. Однородная задача Неймана (82) для гармонической функции p(x) в ограниченной области G с гладкой границей Г имеет решение p = Const, так как из формулы Гаусса-Остроградского вытекает, что

J |Vp|2dx = 0. (84)

G

Следовательно, разложение (80) вектора v упрощается и принимает вид v = u+ + u-, а краевое условие v|r = 0 вытекает из соотношения (u+ + u-)|r = 0.

С другой стороны имеет место

Теорема 5. а) Пусть вектор-функция (v(x),p(x)) есть решение уравнений Стокса (78) с ^ > 0, v(x) = 0, p(x) — гармоническая в G функция, и пусть Л = \J-1. Тогда вектор-функция v представляется в виде суммы:

v = w + ^-1Vp, (85)

где w удовлетворяет уравнениям

(rot + ЛI)(rot — Л I)w = 0, divw = 0. (86)

b) Если p(x) удовлетворяет краевому условию (82), тогда Vp(x) = 0 и v = w.

В случае G = B существуют вектор-функции u±, решения уравнений rotu± = ±Лu± с краевыми условиями (81) такие, что вектор-функция v представляется в виде суммы:

v = u+ + u-. (87)

Доказательство. Вектор-функции v(x) и Vp(x) удовлетворяет уравнениям (78).

Первые три из них запишем так:

(rot + ЛI)(rot — Л I)v = —v-1Vp. (88)

Зафиксировав p, рассмотрим соотношение (88) как матричное дифференциальное уравнение относительно вектора v. Так как rot Vp = 0 и ^ = vЛ2, то ^-1Vp есть его частное решение, а выражение w = v — ^-1 Vp — решение однородного уравнения, то есть первого уравнения в (86). Второе уравнение div w = 0 следует из уравнения div v = 0.

Кроме того, n • w|r = n • v|r — ^-1n • Vp|r = ^-1n • Vp|r, так как v|r = 0.

Ясно, что в случае n • Vp|r = 0, не существует w такое, что n • w|r = 0.

b) Если p удовлетворяет условию Неймана (82), то Vp = 0 и w = v.

В случае G = B v есть элемент пространства B, так как div v = 0 и n • v|S = 0. Представим v G B в виде ряда

со со n

v = ^2 J2 [(^ q+,m,k) ,k (x) + (v ,k ) Ч-,m,k (x)] (89)

n=1 m=1 k=-n

и подставим ряд в уравнение. Получим равенство

(rot + Л I)(rot — Л I)v =

о о n

= 5](ЛП,т — Л2) [(^ q+,m,k) q+,m,k(x) + (v, q-,m,k) q-,m,k(x)] = 0. (90)

n=1 m=1 k=-n

Если Лnm — Л2 = 0 для любых n, m G N, то (v, q±m k) = 0 для любых n, m G N, k G [—n, n], ввиду ортогональности между базисными векторами q± m k. Из полноты системы {q± m k}

в В вытекает, что у(х) = 0. Но это невозможно по условию. Следовательно, существует пара п/, т' € N такая, что Л2 = Л^ т/. Полагая

п'

и±(х)= 5] (V, Я±',т',к) Я±',т' ,к (х)

к=-п'

получим разложение (87). Утверждение доказано.

Итак, решение задачи 5 сводится к отысканию решений (Л, и+) и (—Л, и-) задачи 1 при Л = 0, удовлетворяющих условию (и+ + и-)|^ = 0.

6.2. Формулы для собственных функций оператора Стокса в шаре. В формулах (37) положим с± = скФп(Л^тК). Получим

(и^ + Шв)+ = Скфп (Л-,тЛ)(Л+)тг)-1фп(Л+,тг)Н^пк (в^

(и^ + Шв)- = СКфп (Л+,тЛ)(Л-)тг)-1фп(Л-,тг)Н^пк (в^

Откуда видим, что при г = К сумма + и>- равна нулю для любых углов в и ^ и любой

комплексной постоянной ск.

Функции фп(Л±тг) , У*(в, ^) и числа Л±т = ±рп,т/К вещественные. Согласно (14) фп(Л-,тг) = (—1)пфп(Лп,тг). Значит, Фп(Л-тг) = (—1)пФп(Лп,тг) (см.п. 3.3), где доказано, что число Фп(рп,т) — действительное.

Поэтому радиальная составляющая вектора ^ = и+ + и- исчезает,

ск(Лп,тг) [Фп(Лга,тК)фп(Л+;тг) — Фп(Л+;тК)фп(Лга,тг)](в, ^^т (91)

— ск( 1) (Лп,тг) [Фп(рп,т) Фп(рп,т)] фп(Лп,тг)(в, ^)1т — 0,

а его касательная проекция равна

Re{cK(-1)n^n,mr) 1Фп(Рп,т)[Фп (Л^тО - Фп^тО] Н Y. (в, <p)v| + (92)

+1т{ск( 1) (Лп,тr) Фn(pn,m)[Фn(Лn,mr) Фп(Лп,т] НУп(в,^)І$}.

Выражение в квадратных скобках является мнимой величиной. Выбирая

постоянную cK = i bK также мнимой, bK Є R, получаем вектор-функцию vK = u+ + u-,

которая представляется в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов:

vk ЬкФп(рп,т) (Лn,mr) Im [Фn(Лn,mr)] (93)

(Re H у.(в, p) V + ImH у.(в, p) І*). (93)

Таким образом, vK = u+ + u- является вещественной собственной вектор-функцией оператора Стокса, отвечающей собственному значению ^ЛПт. Нормируя вектор-функции u± в L2(B), получим собственные вектор-функции оператора Стокса в виде vK = q+ + q-. Итак, доказана

Теорема 6. Собственные значения ^n>m задачи 5 в шаре B равны v)?nm, где

Лп,m = pn, mR-1, R — радиус шара, а числа pn, m — нули функций ^n(z), m, n Є N.

При этом pK = const, а соответствующие собственные вектор-функции vK оператора Стокса являются суммой q+ + q- собственных вектор-функций ротора.

В сферических координатах они представляются в виде суммы (93) двух векторов.

Вектор-функции vK = q+ + q- принадлежат пространству J0(B) - замыканию множества финитных бесконечно дифференцируемых и соленоидальных вектор-функций J(B) в L2(B) [2] и образуют в нем ортогональную систему, учитывая, что системы {q+|, {q-} ортонормированы.

Система {vK| полна в J0(B) С B, разложение вектор-функции g(x) Є J0(B) имеет вид

со со n

g =1/^^Х] (g, vn,m,k) vn,m,k(x) , (94)

n=1 m=1 k=—n

где суммирование ряда (94) идет по n,m, для которых О < pn,m < N , а затем N ^ то.

Т. Решение краевой задачи (2),(3)

Методом Фурье легко решается краевая

Задача б. Пусть задана вектор-функция f(x) Є Mr. Найти вектор-функцию u(x) в H1(B) такую, что

rot u + Лu = f в B, (95)

n ■ u|S = О, (96)

где n ■ u — проекция вектора u на внешнюю нормаль n.

Через Es(B) или Hdiv (B) обозначают [8] следующие подпространства в L2(B):

Es(B) = {v Є Hs(B) : divv Є Hs(B), ||v||e« = (||v||H + ||divv||H)1/2}, (97)

где числа s > О целые. Они является полными гильбертовыми пространствами и

D(B) С Es(B), Hs+1(B) С Es(B) С Hs(B). (98)

Для вектор-функция v(x) Є E0(B) определено значение n ■ v|S.

Приведем решение задачи в двух случаях.

Т.1. Решение краевой задачи (95), (96) при Л = Sp(rot).

Теорема Т. Если Л = О, ±ЛП^, n,m Є N, а f Є E0(B) и n ■ f |s = О, то единственное

решение u задачи б дается суммой рядов u1 + u2, где

ГО ГО

u1 = Л 1 ^2 ^2 ^2 (f, qn,m,k) qn,m,k (x), (99)

n=0 m=1 k=-n

n

u2 = ^2 J2 J2 [(A + 1(f , q+,m,fc) q+,m,fc(x) + (A - ^, q—,m,^ ^ (100)

n=1 m=1 k= — n

Решение задачи принадлежит пространству Соболева H1(B).

Если f G A = (V h : h G H 1(B)}, то оператор u = A—1f отображает A на A.

Если f G B±A в L2(B), то u = u2 отображает B в H1(B).

Если же f G C0°(B), то u есть классическое решение задачи класса CО(В).

Доказательство. Формулы (99) получают различными способами. Например, предположив, что u и f в уравнении (95) принадлежат основному пространству D(B), умножим его левую и правую части на qn,m,k(x) (соотв. на q±mfc (x)) и проинтегрируем по частям. Единственность решения задачи вытекает из полноты семейства собственных функций ротора в L2(B).

Если f G D(B), то согласно п.5.3 ряды (99), (100) сходятся в любом из пространств Hs(B), s = 1, 2,... и представляют в сумме классическое решение задачи.

Если f G A С L2(B), то согласно п. 5.3 ряд b = 0 и, значит, u2 = 0, а u1 = A—1f. В этом случае решение задачи сводится к умножению f на A—1.

Если же f G B±A в L2(B), то согласно п. 5.3 ряд a = 0, b = f и, значит, ряд u1 пропадает, а u2 задается рядом (100). Этот ряд сходится в L2(B), так как числа |A± An,m|—1 стремятся к нулю, при An,m ^ то. Пространство L2(B) вложено в пространство распределений D;(B), в котором ряд (100) можно дифференцировать почленно. Применив к нему оператор rot поэлементно, получим ряд

СО ГО n Л Л

rotu2 = Y, ^ ^ A ,Т (f, q+,m,fc) q+,m,fc (x) + A _T (f, q—,m,k) q—,m,k(x)L (101)

1^1» A + An,m A An,m

n=1 m=1 k=—n ’ ’

сходящийся в L2(B ). Кроме того, частичные суммы Sjи ряда (100) по построению удовлетворяют соотношениям div Sju = 0 и n • Sju|s = 0. Следовательно, divu2 = 0 и n • u2|s = 0 как распределения. Согласно п. 5.3 ряд (100) сходится в норме H^B).

Применив к нему оператор rot + AI, получим разложение вектор-функции f (x) G B. Значит, этот ряд есть обобщенное решение задачи 6.

В общем случае, при f G E0(B) и n • f|S = 0, ряд (99) также принадлежит H^B). Так

как div qn,m,fc — A gra,m,fc — (an,m/R) gra,m,fc и || (an,m/R) gra,m,fc || — l, то

oo oo n

div ui = A-1^^ ^2 (f, 4n,m,fc) A gn,m,fc(x) = (102)

n=0 m=1 k=-n

o o n

A-1 ^2 ^2 ^2 (div f ,9n,m,k) («n,m/R)2 9n,m,fc(x) = A-1 div f.

n=0 m=1 k=-n

Следовательно, сумма рядов (99) и (100) есть решение задачи 6. Теорема доказана.

7.2. Решение задачи 6 при A = 0.

Теорема 8. Если A = 0, f G E0(B) и n • f |S = 0, то задача 6 разрешима в L2(B) тогда

и только тогда, когда div f = 0. Однородная задача имеет бесконечное число линейно

независимых решений:

o o n

u0 = ЕЕ Е Cn,m,k qn,m,k

(x), (103)

n=0 m=1 k=-n

где £n,m,k — произвольные постоянные, такие что u0 G L2 (B).

Общее решение неоднороной задачи имеет вид u0 + G+f + G-f, где

o o n

G±f = ±ЕЕЕ A-m(f,q±,m,k)q±,m,k(x), G±f G H1(B). (104)

n=1 m=1 fc=-n

Если £n,m,k таковы, что u0 G H1(B), то решение задачи принадлежит H1 (B).

Необходимость условия div f = 0 очевидна, а достаточность вытекает из равенства div u1 = A-1div f. Соотношения G±f G H1(B) доказаны в п.7.1. Далее, rot u0 = 0, если u0 G H1(B), а rot (G+f + G-f) = f.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А. О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей // Записки Науч. семинаров ПОМИ. 2003. Т. 306. С. 71-85.

2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

4. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Изд.Дом «Удмурдский университет». 1998. 240 с.

5. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1975. 392 с.

6. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах I // Мат. Сб. 1967. т. 72 (114) № 4. С. 602-636.

7. Солонников В.А. Переопределенные эллиптические задачи // Записки Научных Сем. ЛОМИ.

1971. Т.21. № 5. С. 112-158.

8. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981. 408 с.

9. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. № 1.

10. H. Weil The method of orthogonal projection in potetial theory // Duke Math. V.7. 1941. P. 411444.

11. S. Chandrasekhar On force-free magnetic fields Proc. Nat. Ac. Sci.. 1956. V. 42. № 1. P.1-5.

12. J.B. Taylor Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields // Phys. Rev. Letters. 1974. V. 33. P. 1139-1141.

13. Арнольд В.И. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // С. R. Acad. Sci. Paris. 1965. 261. P. 17-20.

14. M. Henon Sur la topologie des lignes de courant dans un case particulier // C. R. Acad. Sci. Paris. 1966. 262. P. 312-314.

15. Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса // Доклады Акад. Наук. 2007. Т. -416, № 4, (С. 446-450.

16. Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиям // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36 (Записки научн. Семинаров ПОМИ, т. 318). 2004. С.-П. С. 246-276.

17. Сакс Р.С. О краевых задачах для системы rot u + Xu = h // ДАН. 1971. Т. 199, № 5. С. 1022-1025.

18. Сакс Р.С. О краевых задачах для системы rot u + Xu = h // Дифференциальные уравнения.

1972. Т. 8. № 1. С. 126-140.

19. Фурсенко А.А. Краевая задача для одной 'равномерно неэллиптической системы. Рукопись дипломной работы студента матем. фак.-та НГУ, Новосибирск 1971. 29 с.

20. Сакс Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1975. 164 с.

21. Сакс Р.С. Спектр оператора вихря в шаре при условии непротекания и собственные значения колебаний упругого шара, закрепленного на границе // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. IV. Прикладная математика. Труды международной конференции. Уфа ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. С. 61-68.

22. S. Chandrasekhar, P.S. Kendall On force-free magnetic fields // Astrophys. Journal.1957. V. 126. P. 457-460.

23. D. Montgomery, L. Turner, G. Vahala Three-dimentional magnetohydrodyamic turbulence in cylindrical geometry // Phys. Fluids. 1978. V. 21. № 5. P. 757-764.

24. Берхин П.Е. Самосопряженная краевая задача для системы *d u + Xu = f // ДАН. 1975. Т. 222, № 1. С. 15-17.

25. Y. Giga, Z. Yoshida Remark on spectra of operator rot // Math. Z. 1990. V. 204. P. 235-245.

26. R. Picard On selfadjoint realization of curl and some its applications // Preprint : Technische Universitat Dresden: MATH-AN-02-96). Dresden, Marz. 1996.

27. Сакс Р.С. О свойствах обобщенно эллиптических псевдодифференциальных операторов на замкнутых многообразиях // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28 (Записки научн. Семинаров ПОМИ, Т. 243). 1997. С.-П. С. 215-269.

28. Махалов А.С., Николаенко В.П. Глобальная разрешимость трехмерных уравнений Навье-Стокса с равномерно большой начальной завихренностью // Успехи математических наук. 2003. V. 58. № 2. C. 79-93.

29. Сакс Р.С. Глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерно вращающемся пространстве Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 162, № 2. С. 196-215.

30. Сакс Р.С. Задача Коши для уравнений Навье-Стокса, метод Фурье // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 1. С. 53-79.

Ромэн Семенович Сакс

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]