CC BY
29
2. Функциональный анализ и дифференциальные
уравнения
УДК 517.958
О В. В. Денисенко, В. П. Ильин ОБ ОШИБОЧНОСТИ ТЕОРЕМЫ В. В. АКСЕНОВА1
Доказана ошибочность сформулированной В.В. Аксеновым теоремы о возможности представления произвольной соленоидальной векторной функции внутри шара с помощью одной скалярной функции специального вида.
Ключевые слова: соленоидальное поле, потенциалы.
©К К Denisenko, V. P. Iliin INCORRECTNESS OF THE THEOREM BY V. V. AKSENOV
The theorem by V.V. Aksenov on the possibility of representing an arbitrary solenoidal vector function in a ball with a single scalar function of a special kind is disproved.
Keywords: solenoidal field, potentials.
Введение
Для удобства работы с векторными функциями принято использовать различные потенциалы: скалярные, векторные или их комбинации [1]. Особое внимание уделяется соленоидальным векторным функциям, то есть имеющим нулевую дивергенцию
div Й = 0 . (1)
Например, в работе [2] доказано, что всякая непрерывно дифференцируемая соленоидальная векторная функция представима в виде
Й = rot А,
где А имеет нулевую нормальную компоненту на границе области и удовлетворяет равенству
div А = 0.
Это условие бездивергентности называется кулоновской калибровкой для векторного потенциала А, который принято вводить для магнитной
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-05-00152), работа поддержана грантом РНФ № 14-11-00485.
индукции В, являющейся солеиоидальиой векторной функцией в силу уравнений Максвелла в стационарном случае.
Теорема В.В. Аксенова
В работе [3] сформулирована следующая теорема:
Соленоидальное векторное поле Н в сферической области (в шаре с поверхностью S и радиусом R), однозначно восстанавливается выражением
Й = Й1+Й2= rot (Qf) + rot rot (Qf), (2)
если известна нормальная составляющая НN на S, а функция QeCm,
среднее значение которой на S равно нулю, и Н,НХ,Н2 Ф 0 всюду.
Через г обозначен радиус-вектор точки. Утверждения, аналогичные данной теореме, приведены также в книгах В.В. Аксенова [4], [5] и в его некоторых других изданиях.
Справедливость представления (2) с помощью одной скалярной функции существенно упростила бы работу с соленоидальными векторными функциями, и, в частности, кардинально облегчило бы решение многих задач математической физики. Но, к сожалению, оно не верно. Чтобы это доказать, приведем в качестве контрпримеров два вида соленоидальных векторных полей, удовлетворяющих условию теоремы, но не удовлетворяющих равенству (2).
Контрпримеры к теореме В.В. Аксенова
Запишем формулу (2) покомпонентно в сферических координатах г,в,ф
1 , б .. п dQx i а2еч
Нг=--(— (sin0 —) +--Ц-), (3)
гъшвдв дв sin в дф2
1 8Q 1 8 . dQx
Нв=--^ +--(г—), (4)
sin0 дф г дг дв
дв г sin0 дг дф
Вычислив радиальную компоненту ротора этой векторной функции по формуле
1 Я дМ
rotH = —— (— (sine Я ) -
rsiné? дв дф
с использованием выражений (4), (5) для Нu. Но. получаем ее равенство выражению (3) для Нг. Следовательно, всякая векторная функция вида (2) удовлетворяет условию
rotrff = Hr. (6)
Разумеется, не всякая функция, удовлетворяющая условиям теоремы, удовлетворяет условию (6). Простейшим примером является следующая векторная функция, не зависящая от координат. Пусть вектор Н параллелен оси в = 0, и его модуль равен Н0. Эта векторная функция имеет нулевую дивергенцию, и значит, является соленоидальной. Она имеет нулевой ротор и отличную от нуля радиальную компоненту Hr = Н0 cos в , и значит, не удовлетворяет (6).
Чтобы не создалось впечатление, что достаточно исключить константы из множества рассматриваемых функций, приведем и пример противоречия условию (6) при Нг = 0 и отличной от нуля компоненте ротора
rotrH . Это поле вида Hr = Ни = 0, Н о = f(r.6) с отличной от тождественного нуля функцией f(r,6), произвол которой ограничен только условиями гладкости. Дивергенция такого поля равна нулю, и значит, оно удовлетворяет условию теоремы. Компонента ротора rotrH этого поля не может тождественно равняться нулю, поскольку ее интеграл по части сферы в < в0 равен интегралу касательной компоненты самого поля Н по ограничивающей ее линии в = в0, то есть 2ятsin6u f(r.6u). Поскольку Нг= 0 тождественно, получаем противоречие (6). В этом примере можно положить f(r,6) = rsin(;r0 / в0) при в <в0, и f(r,6) = 0 при 6>60, чтобы получить противоречие и последнему утверждению теоремы.
Сопоставление с известными способами введения потенциалов
Рассматриваемую ситуацию можно интерпретировать следующим образом. Трехмерное векторное поле в общем случае определяется тремя скалярными функциями, в качестве которых можно взять три проекции
поля на оси координат. Если же векторное поле Н удовлетворяет условию соленоидальности (1), то данное дополнительное ограничение приводит к тому, что соответствующее поле может быть выражено с помощью не трех, а двух скалярных функций. Данный факт является известным и, например, в книге [6] показано, что произвольное соленоидальное
поле Н может быть представлено в виде
Н = Йт + Нр = rot СTf) + rot rot СPf), (7)
где Нт и Нр называются тороидальным и полоидальным полем соответственно, а скалярные функции выражаются формулами р = -L 2(г,Я), Т = -L 2(г, rot Й).
Здесь в круглых скобках - скалярные произведения, и L есть дифференциальный оператор 2-го порядка
Ly = {
1 д . п д 1 д2
--S1I10-+----;
sin0 дв дв sin $ дф-
sin0
+
2
Доказательство представления (2) в статье [3] основано на представлении (7), но использовано дополнительное не обоснованное равенство
которое и позволило получить равенство скалярных функций Р = Т . Заметим, что в статье [3] для слагаемых Нт, Н,, в представлении (7) использованы те же обозначения Я1, Я2, что и для слагаемых в (2).
Если в представлении (7) взять не произвольные функции Р,Т, а связать их некоторыми условиями, то можно получить представления полей Я в различных частных случаях. Например, в монографии [7] используется пара функций Р и Т = hP, где h - некоторая константа. В качестве функции Р берутся решения уравнения Гельмгольца. Тогда формула (7) дает представления некоторых бессиловых магнитных полей. Магнитные поля называются бессиловыми, если равна нулю объемная плотность силы Ампера, действующей на находящийся в этом поле проводник. Поскольку сила Ампера, действующая на единицу объема, равна векторному
произведению плотности тока j = rotH и Я , это условие эквивалентно требованию параллельности векторов Я и rotH
где а может быть константой или некоторой заранее неизвестной функцией.
Заметим, что если бы аналогичные (6) соотношения выполнялись и для 6-, ср- компонент, поле, представляемое в виде (2), было бы бессиловым с константой а = 1, но при произвольной функции <2 этого свойства нет.
В монографии [8] для представления бессиловых полей использована более общая форма
которая сходна с (2) и (7) наличием повторной операции rot. Для введенной новой неизвестной функции А условие (8) тоже сводится к уравнению Гельмгольца. Использование представлений (7) и (9) свидетельствует в пользу аналогичного им представления (2), однако этим приемом удается воспользоваться только в некоторых частных случаях, как это сделано в [7, 8], а не для произвольного соленоидального поля, как утверждается в обсуждаемой теореме из [3].
Нр = rot (Нт)
Н = a rot (Я),
(8)
Н = a rot (А) + rot rot (А),
(9)
О единственности потенциала
В формулировке теоремы [3] есть еще одно утверждение: «... однозначно восстанавливается выражением (2)». Разумеется, вычисление по этим формулам дает единственный результат, поскольку в нем нет неоднозначных функций, но эти слова можно трактовать и не столь тривиально, а как единственность такой функции Q для заданного поля H . Последнее не верно. Возьмем произвольную скалярную функция q{r), зависящую только от координаты г и равную нулю на граничной сфере г = R, чтобы удовлетворить однородному граничному условию, наложенному на Q(r) условиями теоремы. Направленная по радиусу векторная функция rq{r){ 1,0,0) имеет нулевой ротор, и поэтому функция q(r)
может быть добавлена к Q(r) без изменения представляемого поля H . Значит, единственности Q(r) нет.
Заключение
Таким образом, представление (2) может быть справедливым только для гораздо более узкого класса функций, чем указанный в теореме, и когда функция Q(r) существует, она не единственная.
Литература
1. Денисенко В.В. Энергетический метод для трехмерных эллиптических уравнений с несимметричными тензорными коэффициентами // Сибирский математический журнал. - 1997. - Т. 38. № 6. - С. 1267-1281.
2. Быховский Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы // Вестник ЛГУ. -1957. -№ 13. С. - 50-66.
3. Аксенов В.В. О некоторых соленоидальных векторных полях в сферических областях // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48. № 7. - С. 1056-1059.
4. Аксенов В.В. Основы геомагнетизма. - Новосибирск: изд. ИВ-МиМГ СО РАН. - 2012. - 132 с.
5. Аксенов В.В. Электромагнитное поле Земли. - Новосибирск: изд. ИВМиМГ СО РАН. - 2009. - 216 с.
6. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -М.: Мир. - 1980. -332 с.
7. Паркер Е. Космические магнитные поля. - М.: Мир. - 1982. - 608 с.
8. Marsh G.E. Force-free magnetic fields. Solutions, topology and applications. - Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. - 1996. - 157 p.
References
1. Denisenko V.V. Jenergeticheskij metod dlja trehmernyh jellipticheskih uravnenij s nesimmetrichnymi tenzornymi kojefficientami // Si-birskij mate-maticheskij zhurnal. - 1997. - T. 38. № 6. - P. 1267-1281.
2. Byhovskij Je.B. Reshenie smeshannoj zadachi dlja sistemy uravnenij Maksvella v sluchae ideal'no provodjashhej granicy // Vestnik LGU. - 1957. -№ 13. P. 50-66.
3. Aksenov V.V. О nekotoryh solenoidal'nyh vektornyh poljah v sfericheskih oblastjah // Differencial'nye uravnenija. - 2012. - T. 48. № 7. - P. 1056-1059.
4. Aksenov V.V. Osnovy geomagnetizma. - Novosibirsk: izd. IV-MiMG SO RAN. -2012. - 132 p.
5. Aksenov V.V. Jelektromagnitnoe pole Zemli. - Novosibirsk: izd. IVMiMG SO RAN. - 2009. - 216 p.
6. Moffat G. Vozbuzhdenie magnitnogo polja v provodjashhej srede. - M.: Mir. - 1980. -332 p.
7. Parker E. Kosmicheskie magnitnye polja. - M.: Mir. - 1982. - 608 p.
8. Marsh G.E. Force-free magnetic fields. Solutions, topology and applications. - Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. - 1996. - 157 p.
Денисенко Валерий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН, e-mail: [email protected]
Ильин Валерий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, e-mail: [email protected]
Valery Vasilievich Denisenko, DSc, Professor, Institute of Computational Modelling RAS SB, e-mail: [email protected]
Valery Pavlovich Iliin, DSc, Professor, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, e-mail: [email protected]
