CC BY
20
КОММЕНТАРИИ
Комментарий к статье Денисенко В. В., Ильина В. П.
«Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова»
Конкретный разбор статьи [1] показывает следующее.
По введению. Авторы статьи оставляют без внимания теорему 2 из [2], которая посвящена как раз калибровкам Кулона и Лоренца. В ней доказано, что в стационарных магнитных полях есть варианты, когда равенство нулю дивергенции векторного потенциала не требует обнуления радиальной ее компоненты на поверхности шара. Этот случай как раз и обосновывает теорема 2 из [2]. Так что весь материал введения не относится к содержанию моей статьи [2].
Пункт теорема В.В. Аксенова. Здесь ставится не относящаяся к содержанию теоремы задача «...решать многие задачи математической физики». Тогда как в заголовке статьи [2] сказано «О некоторых соленои-дальных векторных полях...» и в статье доказано, что эти «некоторые со-леноидальные поля» должны подчиняться условию го1Н ] = Н2.
Пункт контрпримеры. Здесь допущена основная ошибка [1], которая зафиксирована у них уравнением (6). В [1] утверждается, что при использовании представлений (3)-(5) верно выражение го1гН = Нг (формула (6)). На этом выражении построены обоснования контрпримеров к теореме 1 из [2].
Проверим:
1 ( д д Л
ШЛ =--вш вНф--Н . (1)
дв * дер %
г sin б
Легко заметить в (1), что у rotrH и Нг в (3) из [1] заведомо отсутствуют производные для поля Н1. В Нг таких производных нет по определению (формула (3) [1]). Поэтому обязательное условие теоремы 1 rotHj = Н2 заведомо невыполнимо. Действительно:
f„ 1 dQ d2Q 1 d2Q
rotH = —ctg —-------^.
г дв гдв2 rsm26d(p2
Поэтому все приведенные в этом пункте контрпримеры, ориентированные на уравнение (6) [1], являются не относящимися к содержанию теоремы 1 из [2] из-за невозможности выполнить формулой (6) условия rotHx = Н2. В этом, как раз, кроется ложная посылка авторов, на которую делалась основная ставка в деле опровержения теоремы 1 из [2].
Пункт сопоставление с известным. Авторы пишут, что «...доказательство представления (2) из [2] основано на представлении (7) их статьи». В то время как в моей статье использовано с самого начала тороидальное разложение векторного потенциала в виде А = (Or) + rot (Or), поэтому выражение (2) моей статьи исходит из этого представления, для которого выражение rotHT = Пр есть тождество.
Комментарий к статье Денисенко В. В., Ильина В. П. «Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова»
Действительно: Нт = го^(<2г) , = го!го!(Ог). поэтому
го1Нт = го!го!(Ог) = Нр. Остальной текст этого пункта к теореме 1 из [2]
никакого отношения не имеет. Никакого «...произвольного соленоидаль-ного поля...» в моей статье нет и быть не может из-за условия гоШ1 = Н2.
Пункт о единственности потенциала. Трактовка «единственности функции <2 для заданного поля Н » введена авторами [1]. Они же ее и опровергают, заявляя «...разумеется, вычисление по этим формулам (формулам Аксенова В.В.) дает единственный результат, поскольку в них нет неоднозначных функций». Для теоремы 1 из [2] этого достаточно. Авторы [1] не принимают во внимание теорему 2 из [2], где доказано, что единственность потенциала достигается калибровками Кулона или Лоренца.
Литература
1. Денисенко В. В., Ильин В. П. Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. — 2015. — № 2. — С. 16 - 21.
2. Аксенов В. В. О некоторых соленоидальных векторных полях в сферических областях // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, №7.— С. 1056- 1059.
В. В. Аксенов
Аксенов Валентин Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, e-mail: [email protected]
