CC BY
37
УДК 514.7 А.Г. Рогачевский, Т.Н. Логиновская, С.Ф. Яковлева
О ЛАГРАНЖЕВОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ДИНАМИКИ ОРТОГОНАЛЬНО-КООРДИНАТНЫХ ПОЛЕЙ.
ЧАСТЬ I. ЛАГРАНЖЕВА СКОРОСТЬ
Рассматриваются уравнения динамики, описывающие деформацию псевдоевклидова пространства типа (4,1). Предполагается, что скорость деформации является ортогонально-координатным полем, то есть полем базисного вектора ортогональной системы координат. Дана интерпретация постоянных, входящих в уравнения динамики.
Ключевые слова: лагранжева динамика, лагранжева скорость, ортогональные координаты, псев-доевклидово пространство, деформация пространства.
A.G. Rogachevskiy, T.N. Loginovskaya, S.F. Yakovleva
ABOUT THE LAGRANGE FORMULATION OF THE ORTHOGONAL-COORDINATE FIELD DYNAMICS.
PART I. LAGRANGE SPEED
The dynamic equations describing the deformation of pseudo-Euclidean space of type (4,1) are considered. It is assumed that the deformation speed is the orthogonal- coordinate field, i.e. the field of the basic vector of the orthogonal coordinate system. The interpretation of the constants that are included into the dynamic equation is given.
Key words: Lagrange dynamics, Lagrange speed, orthogonal coordinates, pseudo-Euclidean space, space deformation.
Введение. Изучение ортогонально-координатных (ОК) полей как особого объекта начато в [1]. В [2] была поставлена задача построения для таких полей лагранжевой механики второго порядка. Уточним постановку задачи (далее будут использоваться обозначения, принятые в [3, 4]).
Полная система уравнений классической электродинамики - это уравнения Максвелла и уравнение
Лоренца-Минковского (УЛМ) для заряженных частиц, записанные в псевдоевклидовом пространстве R.
При этом УЛМ является полевым уравнением первого порядка в частных производных для поля единичной скорости V
V'u> = XF»V . (1)
После нахождения поля V может решаться задача нахождения траекторий частиц. Справа в (1) стоит свертка тензора электромагнитного поля Fс единичной скоростью V; X = р//и с2, где р и /и - плотности электрического заряда и массы частиц [3]. В тензор F входит поле, порожденное частицами. Единичная скорость
V определяется в случае одной частицы, движущейся по траектории Lv: r = г(о), где m - натуральный параметр; V = dr/ dm. В случае системы одинаковых частиц в УЛМ (1) имеем р /и = e / m и X = e / тс2 = const. Далее рассматривается именно этот случай. Отметим другой вариант использования полевого УЛМ при X = const. В динамике одной частицы это уравнение будет определять возможные траектории, соответствующие различным начальным условиям, заданным на некоторой гиперповерхности.
Полная система уравнений электродинамики рассматривается в [3], при этом считается, что в каждой
г>4
точке R частицы имеют определенную скорость V. Требование однозначности поля V обсуждается в разделе 3 для случая одной частицы и ортогонально-координатного поля векторного потенциала.
Итак, при рассмотрении полной системы уравнений классической электродинамики примем следующие упрощающие предположения: частицы имеют одинаковый параметр e / т, векторный потенциал является ОК полем, значение скаляра a(r) = |А| определяется полем n(r) в силу калибровки Лоренца. В рамках этих предположений уточним общую постановку задачи: требуется построить векторное пространство, в котором V\ может интерпретироваться как скорость, а уравнения Максвелла (УМ) будут уравнениями второго порядка.
1. Траектории в пространстве Тs(з)
Рассмотрим образы траекторий Lа поля А на единичной 3-сфере S(3), погруженной в пространство типа (4, 1). Траектории La: r = r (t) ОК поля А(г) соответствует траектория Ln: n = n (t) на S(3), где n - радиус-вектор точки на сфере и одновременно единичная нормаль к ней.
Уточним определение сферических координат на S(3). На сфере S(3) будут определены сферические (угловые координаты), если на ней будет задано поле.
В [2] были получены условия, при которых собственный репер ОК поля А однозначно индуцирует ор-тонормированный репер на S(3) и тем самым задает на этой сфере касательное расслоение Т5р). В результате на S(3) могут быть введены координаты, далее называемые угловыми.
Приведем необходимые формулы. Для ортонормированного репера п = (п(а)} имеем
(n, п (а)) = 0, (п (а), п (в)) = - 5ар.
Координатные линии n = n(q>(a)), соответствующие углу ф(а), определяются уравнениями n ф(а) = п(а). Разложим «скорость» n\ на траектории Ln в репере п
3
n ‘ =-Х(‘Ма3. (2)
а=1
Согласно [5], координаты - (n't, п(а)) могут быть интерпретированы как угловые скорости ф(а)\ на траектории n = n (t) на S(3). В разделе 4 разложение (2) в Тsp) будет использовано для записи УМЛ через
3-мерные угловые скорости частиц.
2. Постановка задачи
Целью данной работы является анализ УЛМ на основе аналогии с анализом уравнений Максвелла, который привел к созданию аксиоматики СТО (Лоренц, Минковский). А именно - учтем следующие этапы анализа УМ:
1. Принятие калибровки Лоренца, упрощающее УМ.
2. Рассмотрение свободных полей, в случае которых решение УМ определяется уравнением характеристики волнового уравнения: с2 dt2 - dr2 = 0.
3. Применение такого понятия механики, как «скорость» для интерпретации постоянной с и интерпретации уравнения характеристики как уравнения равномерного движения.
4. Объявление левой части уравнения характеристики метрической квадратичной формой в
ТЛ 4
4-пространстве R (основной постулат СТО как математической структуры).
Поставим задачу: по аналогии с пунктами 1-4 интерпретировать постоянную Л = e / тс2, входящую в полевое УЛМ, как 3-скорость, то есть как вектор скорости в некотором 3-мерном векторном пространстве.
3. Динамика частицы в случае ортогонально-координатного внешнего поля
Используя выражение (П2), запишем УЛМ (1) в виде
V'^ = 2Ла (n л пш), (3)
где а = (А, А)1/2.
Теорема
Если тензор F в правой части УЛМ (1) соответствует ОК полю, то поле скорости V голономно и имеет место равенство
dV = V л \ТШ , (4)
где d - внешнее дифференцирование.
Доказательство
Раскрывая свертку в правой части (3), получаем, что принадлежит плоскости Z векторов n и n ш. Без ущерба для общности можно считать, что в начальный момент времени вектор V принадлежит плоскости Z Тогда V будет принадлежать плоскости Z в любой момент времени, а из (3) будет следовать уравнение
V л V'oj = - 21 (akf) (n л m), (5)
где kf = - i (п'ш , n'w)1/2 - мнимая кривизна траектории поля А, m = n ш / I kf |. Для доказательства следует (3) умножить слева на V, затем подставить в правую часть уравнения разложение V = а n + в m и учесть, что (V, V) = а2 - в2 = 1.
Учтем далее, что в качестве исходного пункта в механике частицы можно взять следующее полевое уравнение (динамический постулат или ДП) [1]
dP = (e/c) F , (6)
где d- внешнее дифференцирование; Р = mc V- импульс частицы.
Из (5) и (6) следует (4). Тогда очевидно равенство V л dV = 0, то есть поле V голономно. Доказательство окончено.
Приведем еще один вид УЛМ, следующий из (5)
V л \ТШ = 21 (А л А'ш). (7)
Используя доказанную теорему, можно сформулировать условие однозначности поля V следующим
образом: пусть голономному полю V соответствует ОК потенциал Â = а V и пусть поле Â ортогонально-
координатно (тогда Â - поле базисного вектора, то есть Â и Vопределены однозначно).
4. Свободное движение частицы в угловом пространстве
В этом разделе решается задача, поставленная в разделе 2. Пункты этого раздела соответствуют пунктам сформулированной там «программы».
1. УЛМ (5) может быть получено из ДП (6) при «упрощающем» предположении, что поле Vголономно.
2, 3. Согласно введению и разделу 2, нужно задать векторное 3-пространство, в котором V't определяет 3-скорость. Используя определенное в разделе 1 касательное расслоение Ts(3) , получаем разложение V't в репере п
V ‘ =-Х( ‘ )(). (8)
а=1
То есть V\ определяет угловые скорости ф(а)'{ на траектории n = n (t) на S(3); а = 1, 2, 3. Левая часть (5) принимает вид
V л V =-Z (V лп(а)).
а=1
Считая ф(а)\ = - (V't, п(а)) «3-скоростью», определим «свободное» движение частицы с помощью уравнения (5). Пусть для «свободной» частицы свертка правой части (5) с собой дает постоянную. То есть постоянной должна быть величина akf. Полагая akf = 1, получаем аналог уравнения характеристики волнового уравнения
-¿( + 4( e / mc 2fdt2 = 0.
а=1
Согласно этому выражению, постоянная 2e / mc2, входящая в УЛМ, имеет смысл трехмерной угловой скорости в касательном векторном пространстве Тs(з).
4. Левая часть полученной формулы определяет квадратичную форму на векторах пространства Фi4 с координатами {t, fa)}.
Таким образом, выполнена программа, намеченная в разделе «Постановка задачи».
Приложение: ортогонально-координатные электромагнитные поля
Понятие ОК (ортогонально-координатного) потенциала было введено в [1]. Далее будут использоваться обозначения, принятые в [2, 3]. ОК-потенциал А, по определению, это векторное поле, являющееся
времениподобным базисным вектором некоторой криволинейной системы координат в пространстве R. Базисные векторы системы координат, соответствующей А, обозначим L(p), где p - номер вектора, то есть ковекторный индекс. Пусть r = r(o) - интегральные линии поля А, то есть А = г'0; где о - соответствующая А = L(0) координата. Тогда
А = a2 V/ (П1)
где а = |А| = duldo; ш - натуральный параметр на А-линиях; /(Г) определяет координатные поверхности S(o), которым ортогонален вектор А, а именно: S(o): /(r) = о. Из (П1) следует, что тензор электромагнитного поля является простым бивектором
F = 2 Va л п,
где п = А l а - единичный вектор, касательный к А-линиям и одновременно нормальный к поверхностям S(ct). Далее, так как d (nla) = 0, где d - внешнее дифференцирование, то Va = а' ш п - п0. Отсюда следует, что
F = 2 п л п а = 2 а n л п ш . (П2)
Литература
d4
1. Рогачевский А.Г. О динамической трактовке деформаций пространства R // Известия вузов. Физика.
- Томск, 2003. - № 10. - С.53-55.
2. Рогачевский А.Г. О кинематике ортогонально-координатных электромагнитных полей // Математика, моделирование и оптимизация сложных систем и процессов, методические аспекты преподавания математики в высшей школе. - Красноярск: Изд-во СибГТУ, 2010. - Вып. 1 - С. 30-35.
3. ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т.11. Теория поля. - М.: Наука, 1988.
- 512 с.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука, 1986. - 760 с.
5. Рогачевский А.Г. Двумерная механика электромагнитного поля на плоских слоениях пространства Rj4 // Вестник КрасГАУ. - 2008. - Вып. 3. - С. 61-64.
6. Рогачевский А.Г. О трехмерных уравнениях динамики ортогонально-координатных полей // Межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск: Изд-во СибГТУ, 2011. - Вып. 2. - С. 20-23.
