CC BY
45
УДК 514.7 А.Г. Рогачевский
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ДЮПЕНА ДЛЯ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ ПЛОСКОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Рассмотрена формулировка теоремы Дюпена как теоремы, определяющей свойства оператора Вейнгартена. Показано, что для оператора деформации плоского метрического пространства справедлива теорема, аналогичная теореме Дюпена.
Свойства голономных векторных полей рассмотрены в монографии [1]. Однако в [1] и в работах, на которые монография ссылается, мало исследован частный тип голономных векторных полей (ГВП), который имеет физические приложения. Этот тип ГВП введен в [2] при изучении электромагнитного поля специального вида. А именно, рассматривается поле А(г), являющееся базисным вектором некоторой системы ортогональных координат. Сохраняя терминологию [2], будем называть такие векторные поля ортогональнокоординатными (ОК). Имея в виду физические приложения, будем рассматривать векторные поля в простран-4
стве R1 . Соответствующая метрика, то есть метрика Минковского дм, пусть имеет сигнатуру (1,-1,-1,-1). Следуя [З], будем использовать следующие обозначения. Координаты в R1 : r = {xk}; k = 0, 1, 2, З; тензор
электромагнитного поля F = dA, где d- внешнее дифференцирование, то есть Flk =дlAk —дkAl.
Пусть ГВП А(г) соответствуют гиперповерхности ^(а): f(r) = а = const }, то есть слоения размерности n-1. ГВП А(г), как и всякому гладкому векторному полю, соответствует диффеоморфизм r = r (а) пространства R1 [4]. Другими словами, А(г) = ra- скорость деформации, а (dsA)lk = дlAk + дkA1 - тензор деформации. Имея в виду трактовку А(г) как векторного потенциала, будем считать, что А «пространственноподобен»: (А, А) > О [З]. Однако полученные далее результаты нетрудно распространить на случай (А, А) < 0.
Условия, которые накладываются на изучаемое ГВП А(г), делают его ортогонально-координатным. Эти условия таковы:
А. Диффеоморфизм r = r (а) отображает ^(а)} в себя.
Б. Для R1 существует параметризация, включающая параметр а: r = і(а, u), u = {иа}, а = u0; а, как и другие греческие индексы, далее, принимает значения 1, 2, З. Отметим, что параметризации r = !(а, u) соответствуют базисные векторы касательного пространства L(p), p = 0, 1, 2, З; А =L(0). Базис {L(p)} будем считать ортогональным:
(L(p), L(q)) = gpq a(p)2. (1)
Следствия условий А, Б:
I. Для базисных векторов имеем очевидные равенства
дL(p) I дыд = дL(q) I дыр. (2)
II. Из условия (А) получаем
А = a2 Vf (З)
где а2 = (А, А).
III. Поля L(p) также являются ортогонально-координатными. Поэтому формулу (З) можно обобщить:
L(p) = a(p)2 Vf(p;r), (З')
где функция f(p;r) определяет координатную поверхность, соответствующую базисному вектору L(p). Аналог теоремы Дюпена для тензора деформации
Введем обозначение для векторов ортонормированного репера n(p) = L(p) I a(p). Определим оператор
Вейнгартена w следующим образом: w[ = дп'/дхк . Ограничение w на поверхности S^) определяет
вторую квадратичную форму на этой поверхности.
Теорема Дюпена для ГВП (приведенная, например, в [1]) может быть сформулирована как свойство
оператора w Вейнгартена: ОК-векторы L(a); a=1,2,3 являются собственными векторами оператора Вейнгар-
тена. Покажем, что тензор деформации обладает аналогичным свойством относительно векторов L(p); p=0,1,2,3. Предварительно докажем соотношение
dA ■ n(a) = —2да I д®ап . (4)
Доказательство элементарно: следует дифференцировать 1-форму А, определенную равенством (3), и свернуть результат с п(а).
Теорема
Ортогонально-координатные векторные поля, то есть поля Ц(р), удовлетворяющие условиям (1), (3'), являются собственными векторами оператора деформации dsA :
dsA ■ Ц(р) = 2 (1п э(р))'а Ц(р) . (5)
Перед доказательством отметим, что векторы Ц(р) имеют одинаковые свойства, и аналоги (5) имеют место для всех операторов dsL(p).
Доказательство.
Для Ц(0) = А свойство (5) доказано в [2]. Здесь заметим только, что доказательство аналогично доказательству самосопряженности оператора Вейнгартена, приведенному в [5] (в этой монографии оператор Вейнгартена назван отображением Вейнгартена).
Докажем (5) для Ц(а). Согласно (2),
дА / диа=дЬ(а)1 да. (6)
Левую часть (6) запишем двумя способами и сопоставим эти записи. Во-первых, это выражение
(да /диа)п + а(дп/диа). Второй способ: левая часть (6) равна (1/2) dsA ■ Ц(а) - (1/2) dA ■ Ц(а). Исполь-
зуем (4) и приравняем первому выражению. В результате получаем
) • Ь(а) = 2а(дп/диа) = 2аа(а) w• п(а).
Отсюда, согласно теореме Дюпена, имеем dsA ■ Ц(а) = А Ц(а). Найдем собственное число А. Запишем (6), используя второй способ записи левой части этой формулы:
ЯЬ(а) + 2(да/диа)п = 2а(а)"ап(а) + 2а(а)п(а)"а . (7)
Свертка с п(а) дает А = 2 (1п э(а))'а . Доказательство закончено.
Отметим, что из (7) и (5) следует простая деривационная формула для ортонормированного базиса
{п(р)}:
п(р)а= да / дта- п, (8)
где п = п(0). Из (3) следует dA = 2 п л п'а, поэтому, учитывая (4) и (8), получаем
п(р)'а = - (1/2) dA ■ п(р) .
Литература
1. Аминов, Ю.А. Геометрия векторного поля / Ю.А. Аминов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -208 с.
п4
2. Рогачевский, А.Г. О динамической трактовке деформаций пространства К1 / А.Г. Рогачевский // Изв. вузов. Физика. - 2003. - № 10. - С. 53-55.
3. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т.11. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1988. - 512 с.
4. Современная геометрия / Б.А. Дубровин [и др.]. - М.: Наука, 1986. - 760 с.
5. Торп, Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии / Дж. Торп. - М.: Мир, 1982. - 360 с.
♦
