К геометрии циклид Дюпена, имеющих n различных главных кривизн в евклидовом пространстве еN+1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чешкова

К геометрии циклид Дюпена, имеющих

n различных главных кривизн в евклидовом пространстве En+l

М.A. Cheshkova

Dupen Cyclides Geometry which has n Principal

En

Гиперповерхность в евклидовом пространстве Еп+1 называется циклидой Дюпена, если она имеет главные кривизны, постоянные вдоль соответствующих главных распределений. В предлагаемой статье изучается циклида Дюпена в евклидовом пространстве Еп+1, имеющая п различных главных кривизн.

Ключевые слова: циклиды Дюпена, коническое сечение, эксцентриситет.

Рассмотрим в евклидовом пространстве Еп+1 циклиду Дюпена М [1-7] - гиперповерхность, у которой главные кривизны кг постоянны вдоль соответствующих им главных направлений Хг. Случай, когда гиперповерхность имеет две главные кривизны, рассмотрен в [2, 4-7], три главные кривизны - в [3]. Примером таких поверхностей являются циклиды Дюпена Е

Е

НИИ кривизны есть окружности, фокусы /г = г + к~п конгруэнции нормалей п, где г - радиус-вектор текущей точки поверхности, описывает фокальные кривые второго порядка либо прямую и окружность [5, с. 382], а плоскости окружностей кривизны одного семейства проходят через фиксированную прямую либо параллельны (теорема Маннгейма) [4].

В предлагаемой работе исследуется гипер-Мп ных нулю главных кривизн, причем линии кривизны образуют голономную сеть.

Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Если, циклида Дюпена имеет голономную сеть линий кривизны, то линии кривизны, Бг есть окружности.

Обозначим через /г линию, которую опишет фокус вдоль ¿-той линии кривизны.

ТЕОРЕМА 2. Если окружность Бг не есть нормальное сечение, то линии /р] = 1, ...,п, ] ф г - сечения конуса Кг с вершин ой /г, направляющей Бг. Если окружность Бг - нор-

The hypersurface in Euclidean space En+1 is called Dupen cyclide if it has principal curvatures constant along appropriate principal distributions. The present paper studies Dupen cyclide

En

curvatures.

Key words: cyclide Dupin, cone, eccentricity.

мальное сечение, то линии ф і

- прямые.

ТЕОРЕМА 3. Директрисы конических сечений Ірії, не являющихся окружностями и прямыми, ортогональны.

ТЕОРЕМА 4. Если конусы Кг, К1 принадлежат 3-пространству, то эксцентриситеты е\ ,е1 конических сечений Ії отличных от

прямой и окружности, связаны соотношением е1 х е\ = 1.

ТЕОРЕМА 5 (обобщенная теорема Маннгейма). Если коническое сечение р -не окружность и не прямая, то плоскости окружностей Бг кривизны вдоль j-moй линии кривизны, образуют пучок, ось которого параллельна директрисе кривой р*.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Е п+1.

Обозначим Е(М) - К-алгебру дифференцируемых на М функций; Т^ - ^-модуль диф-М

х(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д - дифференцирование; <, > - скалярное произведение в Еп.

Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерх-М

дх У = V* У + ^Х,У)п,

дх п= -АХ, ( '

где А є ТЦМ), Х,У Є х(М), 7 Є Т^(М'),

ч(Х,У) = д(АХ,У) - вторая фундаментальная

форма; А - оператор Вейнгартена; V- связность Леви-Чивита метрики д(Х, У) =< X, У >. Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

щх, У)г = 7(у, г)ах — ^Х, г)АУ, ¿дх, у) = о,

(2)

где щх,у)г = VxVYг — VYVxг — V{х,у}г

тензор кривизны СВЯЗНОСТИ V ¿А(Х, У) =

Vx АУ — VY АХ — А[Х, У] - внешний дифференциал поля А в связности V.

Обозначим через Хг орты главных направлений, кг - главные кривизны. Тогда АХг = кгХг. Рассмотрим ¿А(Хг, Х^ = 0, г 7^ ].

Имеем

¿А(Хи Хз) = Vх€АХз — VХ3 АХ— А[ХгХг} = Хгкз) Хз + кз Vxi Хз — Хз Ь) X— к^х, Хг — к( Vxъ Хз — V х, ХгУ — 3 Vxi Хз — V X, ХгУ — к А. Vxi Хз — V X, Х# = О,

где гз ]’-тая составляющая поля г.

Приравнивая нулю различные составляющие, имеем

(V xí Хз

Хк

зг Хг,гф3, (3)

кз — к

к — ка) ^ ХзУ — к — ка) {V X, ХгУ= О, 3-

(4)

[Хг,Хз]а = 0, гф3, аф ¿,].

Имеем

(Vxi ХзУ — (V X, Хг)а= О,

При кг ф кз из (4), (5) получим

(Vxi ХзУ = 0,вфг,],гф].

Так как Хг орты, то Х^ = 0,^Ф 3.

Таким образом,

(5)

V xi Хз = ТзгХг,Т

зг кз — кг

Хз кг ■ / . /а\

з ,¿ + 3. (6)

Дифференцируя равенства < Хг,Хз >= О вдоль Хг, получим

VXiХг = — ^ ТагХа.

афг

(7)

Рассмотрим уравнения Гаусса (2) ЩХз, Хг)Хг = кгкзХз, г ф ], используя (6), (7). Имеем

ЩХз ,Хг) X = V X, Vxъ Хг — Vxъ V X, Хг — VyXj Xi Хг + VyXí X, Хг =

Vxj( — ^ Г агХа) — VX¿Г гз Хз —

афг

Ггз' VX, Хг + TjгVXiХг =

— (Х^аг)Ха — ^ Га^аз' Хз —

а^г а^гз

Гзч( — ^ Газ'Ха) — (ХгГгз')Хз —

а^гз

Гг^з'гХг — (Ггз')2 Хз —

Г Г аг Ха — кгкз Хз .

афг

Откуда

Х^аг — Гз'^^аз' — Г аг)

(8)

1, _], в - разные,

Хз'Гз + ХгТгз + (Гз)2 + (Гз)2+ ^ ] Га^аз + кгк^ — 0. а^гз

(9)

Потребуем голономность сети, т.е. потребу-п—

п—

инволютивное. Тогда [9, с. 19]

Равенства ЩХг,Хз-)Хк = 0, когда г,3,к -разные, не дают дополнительных соотношений. Так как М - циклида Дюпена, то Хгкг = 0. Применим операцию скобки ХгХз кз — ХзХгкз — [Хг, Хз]кз = 0.

Так как

[Хг, ХД = Vxг Хз — V X, Хг= Т'згХг —Т з Хз,

Xikj

получим ХзХгкз = —ТзХгкз-

Дифференцируем равенства Ггз — к._к-

Хз

Имеем

ХзТз= 0,гф]. (10)

Кроме того, дифференцируя (9) вдоль Хг, получим

ХгХ^г^ ^ —Гг^Г|з + Гзг+

+ кг ^>Х^г^.

а^гз

(Н)

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Обозначим через г радиус-вектор точки т € М,

Г 1

/г = г+ к п.

Так как dXi fi = 0, то следует, что нормали гиперповерхности M вдоль интегрального многообразия Si распределения Xi ,„,проходят через

fi Si радиуса Ri = \ к. \-Si

Соприкасающаяся плоскость ni к Si определяется векторами Xi,ti = дх.Xi.

Имеем в силу (1), (7)

дх.Xi = V'х.Xi + kin = — 'У ] rsiXs + kin.

S^-i

kj((^= - + Tij)Xi — kijn + ^~Kj ГsiXs).

1 ij s&

Обозначим

T iX^H+ Xi - kin+

Г.

ij

+ ^~~^rsixs.

s^-i

Так как, в силу (6), (7), (10), (11), X

BiTi = -(x^l+ Tij) Ti,

ij

(14)

А так как в силу (1), (10)

x ? = - (Ег Si) Xi

si

то п постоянна.

Следовательно, Бг принадлежит гиперсфере и 2-плоскости п\ т.е. Бг - окружность.

пг{Бг) = {Хг, — ^ ГагХ^ кгп}. (12)

аг

Центр Сг окружноети Бг имеет вид

Ci — r Н—о t,

Pi

si

pi — 2_^ ^'S^ ki.

(13)

Действительно, Хір = ^,іі^Хі.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2. Если окружность 8і не есть нормальное сечение, то линии рл = 1,...,п,^ф і расположены на конусе Кі с вершин ой рі, направляющей 8\ Докажем, что р - плоская линия. Имеем

р г + к~п-

О Г V Хік1 кі

дії] — Хі — /і \2 п — ТТХі ~

И кї

к( — к ,, ,,

(к-)2 ( Хі ^і(п

Ц = к- Хі + Г— п - касательный вектор к р(.

діtj — —ГijkjXi — kj/ , ГsiXs+

si

kikjn -\- (XiTij)

ij

di t

Xi i

jj ij

ti—

то следует, что соприкасающаяся п(р) плоскость к /^определяемая вект орами Ц ,Тг, постоянна, т.е. р] = 1, ...,п,3 ф г - конические сечения.

Имеем

п(Р) = {kj Xi + Tijn,

( XJl+ PijXi - kiU+ siXs}.

i

(15)

si

Если Ггз- = 0, то из (6) следует Хгкз = 0. Таким образом, гз = кзХг, дгЬ) = —кз(^а^агХа — кгп), т.е. плоскости п(Бг),п(р) параллельны, а /з - окружность.

Если окружность Бг - нормальное сечение, то из (12) следует, что Гз-г = 0,Гаг = 0, в = 1, ...,п,зф г,]. Используя (9), получим ХгГгз' =

—Г з — кгкз г

Имеем дгЦ = —ГзкзХг -|- кгкзп + (ХгГз)п = —ГзЦ, т.е. линии /з,] = 1, ...,п, ^ ф г - прямые.

п—

деление

6^т) ~ (Х1, ..., Хз — , Xj+l, ..., Xn)m, т € М

инволютивное, то вдоль интегрального многообразия распределения 6^ т) точка / опишет п—

Мп огибающей семейства гиперсфер, центры которых описывают п (п — 1)-поверхноетей (/), т.е. Мп

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Рассмотрим вектор

Т (Х^И+ Ггз)Хг — кгп л- агХа,

Г.

i

si

параллельный плоскости М/з) конического се/ г

плоскости п(Бг) основания ко нуса Кг. А так

как директриса конического сечения параллельна прямой пересечения плоскости этого сечения и плоскости основания конуса, то следует, что Tj определяет направление директрисы кривой fj 3

Представим Tj в виде X т

т; = (~^ + Tj Xi — ki n+

1 ij

rSiXs + rjixj.

^ij

В силу (9) имеем < Tj,Tj >= 0, т.е. директрисы конических сечений fj, fj, не являющихся окружностями и прямыми, ортогональны.

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4. Обозначим через а угол, образованный плоскостью к(р), содержащей fj, с плоскостью n(Si) основания конуса K\ а терез в - угол, образованный n

n(si)- .

Определим эксцентриситет ej для конического сечения fj [10, с. 227]

a sin а

ез = ^И.

J sin в

Так как k(Sa),n(fj) принадлежат 3-пространству E = №,£ ^i TsiXs,n}, то нормали Ni,Nj к n(SA), n( fj) принадлежащие E3, имеют вид

Na = kiY^TsiXs + Y^Pli) n, (16)

s i s i

Nji - ij si Xi kj si n

si

si

(XiTij + T'ij + кгк^ ГsiXs.

si

(17)

Имеем

■а Л n\ <Ni,n> Sin в — cos( — — в) -

\Na | ’

а

< Ni Nj > \N i\\Ni\ ,

< Ni, Na >= (X^i^ rj +

+ kikj) ki 1 + j 2si?,

s i s i

\n ^ = ki li + (£г З)2,

s i s i

\N^ = ( rj + j (£r 2si)4

si

(XiTij + rij + ki jy'r'ii.

si

eos2 а

((ЫXiTij + rj + kikj) + kjYsT'li)2)/

si

(k2 + Y.T'2si)( (XiTij+ rj + kikjf +

si

kj + Tj £r l)),

si

а

si Xi ij ij ij kj si

№+52 (XiTij+T2ij+kikj)2+(kj+rjY, rfi;

s i s i

в

V Г2

s i si

ki + Y.s^i^2si

Итак,

02 = (ХгГз+з+ГК ^ + ^3))/

а

((ХГц + Т% + кгкз)2 + (кз+ Г 1)52 Г2г) .

а

К , Кз, г 3

3-пространству Е3 = (X г,Хз,п), то

Гаг — 0^«з — 0,в — 1, ..., п, в ~ф- ^^ ].

Используя (10), получим

\/Х.Г« +з + зЧ + гу /

(ХгГз + Гз + к.■ I ‘ + (к.з + Гз)з, е} = \/(ХГ з+Т^ + ТЦ кз + з/

уХ^з + гу+йжТгу.

Таким образом, ез х = 1.

Так как в этом случае векторы

Nj — —Г ijTji Xi + jji n+

(№; + rij + ki kj) Xj, NÍ = —Г jiTij Xj + kiTij n+

(XjTjj + rjj + kj ki) Xi

V xi XjTij — —Г jiXiTi

му (10) ортогональны, то плоскости т0 в СИЛу ^ получим

пЦ])конических сечений ¡^Ц пересекаются по прямой ортогонально.

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5. Если кривая ¡] не окружность, то Г*] ф 0. Рассмотрим вектор Т] = (ХрГгз + Г])Xг — кгп + параллельный плоскости окружности Бг и параллельный директрисе кривой ¡].

Имеем, используя (6), (7), (10)

dxj Tj

з З

Xj X^ij_ x._|_

Г.

X

(x^+TjTij Xj +

r.

]T (XjTsi)Xa + (XjTji)Xj+

52 TsiTsjXj + Fji( —^2 TsjXs + kjn) —

s&d s^j

Tji{kj — k.)n -\- k.kjXj.

Так как

Xj Xiïij= XiXjFij + VXj XiTi3 —

dx3 Ti =

Рассмотрим точку

P = r-----------------X..

Гіз .

принадлежащую п(Бг).

Имеем, используя (1), (6), (10)

дХз Р = X] — ^(Ух3 X + 1(ХХз) п) = 0.

1 *з

Таким образом, при Г*з ф 0 плоскости п(Бг) вдоль ^-той линии кривизны имеют общую прямую

X Т

4 = {Р,(х^з + Г*]) Хг — кг п + ]Г Т8гХ8],

г -

которая параллельна директрисе конического сечения fi.

Библиографический список

1. Pinkal U. Dupinsche huperflachen in E4 // Manuscripta math. - 1985. - №51.

2. Cecil T.E., Ryan P.J. Conformai geometri and cyclides Dupin // Can. J. Math. - 1980. - T. 32, m.

3. Вяльяс М.Э., Лумисте Ю.Г. Изотермические гиперповерхности и трехмерные ги-перциклиды Дюпена-Маннгейма // Мат. заметки. - 1987. - Т. 41, №5.

4. Лумисте Ю.Г. Конструкция Кэли-Каталана для некоторых гиперповерхностей Дюпена. // Уч. зап. Тартуского ун-та. - 1986.

5. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. - М., 1963.

6. Чешкова М. А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве // Математический сборник. - 2000. - Т. 192, №6.

7. Голышева О.С. Примеры дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве Еп / / Известия Алтайского государственного университета. - Барнаул, 1999. -№1.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М., 1981. - Т. 2.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М., 1981. - Т. 1.

10. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.

- М., 1986. - Ч. 2.