Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения в е4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1(2)

УДК 514.752

О.В. Васильева, Н.М. Онищук

МЕРИДИАНЫ И ПАРАЛЛЕЛИ НЕГОЛОНОМНОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ДВОЙНОГО ВРАЩЕНИЯ В Е4

Рассматривается неголономный аналог гиперповерхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве. Показано, что меридианы и параллели в неголономном случае - это линии кривизны 2-го рода [4]. Изучены свойства меридианов и параллелей в зависимости от значений главных кривизн 2-го рода.

Ключевые слова: неголономная геометрия, векторное поле.

Известно, что в четырехмерном евклидовом пространстве существует два вида вращений. Применяя эти вращения к регулярной кривой, лежащей в двумерной плоскости, можно получить два вида поверхностей вращения: сферические поверхности вращения [1] и поверхности двойного вращения [1]. Последние имеют центр вращения и две двумерные взаимно ортогональные оси вращения, пересекающиеся в одной точке (центре вращения). Характерным признаком поверхности двойного вращения является тот факт, что все нормали этой поверхности пересекают обе оси вращения (каждую в одной точке, отличной от центра вращения). Свойства нормалей гиперповерхностей двойного вращения мы положили в основу определения неголономной гиперповерхности вращения.

Определение 1. Гиперраспределением на Е4 называется гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке МеЕ4 гиперплоскость п3, проходящую через точку М [3, 5].

Гиперраспределение однозначно определяет уравнение Пфаффа [3] и называется голономным, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо, то есть если через каждую точку МеЕ4 проходит интегральная гиперповерхность, касающаяся в точке М плоскости п3. В этом случае говорят, что Е4 «расслаивается» на трехмерные поверхности. Если данное уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределение называют неголономным. Однако и в этом случае интегральные кривые или двумерные интегральные поверхности, проходящие через точку М, также касаются в этой точке плоскости п3. Возникает возможность сравнить геометрию интегральных кривых, проходящих через одну точку в голономном и неголономном случаях.

Определение 2. Прямая, проходящая через точку М и ортогональная плоскости п3, называется нормалью гиперраспределения.

Определение 3. Неголономной гиперповерхностью двойного вращения (НПДВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают две неподвижные взаимно перпендикулярные двумерные плоскости, пересекающиеся в одной точке [2].

Неподвижные двумерные плоскости называются двумерными осями вращения, а точка их пересечения - центром вращения. Предполагается также, что каждая нормаль пересекает каждую двумерную ось вращения в одной точке, не совпадающей с центром вращения.

1. Главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения

Пусть неголономная поверхность задана в некоторой области G с Е4 и Мє G.

Выберем ортонормированный подвижной репер {М, еа} (а = 1,__________,4) следующим

образом: векторы {еі, е2, е3} поместим в гиперплоскость п3, а вектор е4 направим по нормали к п3 в точке М. В деривационных формулах репера

ёг = Юа еа,

ёе = Юар еа

формы юа, юа4 - главные, из них юа - базисные и поэтому

юа4 = Лг4Юа, (1.1)

где і = 1, 2, 3, а = 1, 2, 3, 4. Кривые неголономной поверхности - это интегральные кривые уравнения

ю4 = 0.

Теорема 1.1. Все главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения в каждой точке Мє G являются вещественными числами, при этом два из них различные.

Доказательство. По определению НПДВ ее нормаль

И = г + г е4 (1.2)

пересекает две двумерные оси вращения Р2 и Р3 (г - радиус-вектор точки М). Точки пересечения прямой (1.2) с Р2 и Р3 обозначим _Р2 и _Р3. Каждая из точек _Р2 и ¥3 описывает двумерную плоскость (Р2 и Р3 соответственно).

Пусть Р2 = г + г2 е4 и Р3 = г + г3 е4 - радиус-векторы точек _Р2 и ¥3 . Так как ^2 * ^з то Ї2 * Ї3-

Направим вектор е2 ортогонально плоскости Р2, а вектор е3 - ортогонально Р3.

Это возможно, так как плоскости Р2 и Р3 ортогональны. Репер {М, еа} с этого мо-

мента становится каноническим. Векторы ёР2 и ёР3 будут ортогональны соответственно векторам е2 и е3, т.е.

№, е2) = 0, и (№з, ез) = 0. (1.3)

Подставив ёР2 = юа еа + ёг2 е4 + г2 ю'4 ег,

ёР3 = юа еа + ёг3 е4 + г3 юг4 ег-, (1.4)

і = 1, 2, 3, а = 1, 2, 3, 4,

в (1.3), получим

ю2 + г2 (А21ю1 + А22ю2 + А23ю3 + А24ю4) = 0, ю3 + г2 (А21ю1 + А22ю2 + А23ю3 + А34ю4) = 0.

Отсюда, в силу независимости форм {юа} следует

і+г2а! = о, А = а32 = а4 = о, &2 =

<А (А!)2

1 + іЗ а3 = о, А3 = а23 = а43 = о, <ііЗ =- Мз

(1.5)

Так как г2 ^ /3, то Л| Ф А3.

Характеристическое уравнение оператора А* [4] при условиях (1.5) имеет вид

а; -х 0 0

а2 А2 -х 0

а;

аз3 -х

= о.

(1.6)

Все три корня уравнения (1.6) вещественные. А так как главные кривизны 2-го рода к1 , к2 , к3 отличаются от них лишь знаком, то это значит, что главные кривизны 2-го рода — вещественные числа: кх = - А, к2 = - к3 = - А3, при к2 * к3. ■

Вектор р = '/г (А23 - А32)е1 + '/г (А31 - А13)е2 + '/г (А12 - А21)е3 называется вектором неголономности [4], так как обращение его в нуль-вектор является необходимым и достаточным условием голономности распределения. В каноническом репере в силу (1.5) он имеет координаты

р1 = 0, р2 = - / А1з, р3 = / А12.

(1.7)

Обозначим А14 = а. Вектор ае1 - это вектор кривизны линии тока векторного поля нормалей {е4}. Уравнения (1.1) и формулы (1.4) теперь принимают вид

1 1 3 2 2 3 4

ю4 = - к1ю + 2р ю - 2р ю + аю ,

ю 4— к2ю , ю 4= — к3ю

ёР2 = 1/к2 ((к1 - к2) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4)е1 +

ё к2

(1.8)

+1/к2 (к3 - к1) ю е3 + (ю -

(к2 )'

-) е4,

ёР3 = 1/к3 ((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4)е1 +

+1/к3 (к3 - к2) ю2 е2 + (ю4-------------3—) е4.

(кз)—

(1.9)

Так как _Р2 описывает двумерное многообразие, то формы при е1 , е3, е4 в (1.9) линейно зависимы:

ю4 -

<ік

(к2)

(

. к1 \ 1 2р3 2 2р2 1 —L | ю1 + ю2 ——

3 а 4

ю +----ю

Л

(1.10)

П,2; ^2 ^2 ^2

Обозначим р1= - рк2, р2= - ак2, получим

йк2 = р1 ((к2 — к1) ю1 + 2р3ю2 — 2р2ю3 + аю4) + р2 (к2 — к3) ю3 + (к2)2ю4.

А так как Г3 также описывает двумерное многообразие, то аналогичным образом находим, что

йк3 = а1 ((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) + а 2 (к3 - к2) ю3 + (к3)2ю4. (1.11)

Подставив (1.10), (1.11) в (1.9), получим

ёР2= 1/(к2)2((к1 - к2) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) (к2е1 - р1 е4) +

+ 1/(к2)2(к2 - к3) ю3(к2е3 - Р2е4^

ёР3= 1/(к3)2((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) (к3е1 - а1 е4) +

+ 1/(к3)2(к3 - к2) ю3(к3е2 - а 2е4). (1.12)

Из (1.12) видим, что плоскость Р2 содержит два независимых вектора

к2е1 - Р^ к2е3 - в2e4, (1.13)

а плоскость Р3 содержит два независимых вектора

к3е1 - а1е4, к3е2 - а 2е4. (1.14)

Так как Р2 ± Р3, то каждый вектор из (1.13) ортогонален каждому из векторов (1.14). Это приводит к следующим соотношениям:

к2 к3 + а1 р1 = 0, р2 = а 2 =0, а1 * 0, р1 * 0. (1.15)

В результате формулы (1.10), (1.11), (1.12) принимают вид

йк2 = р1 ((к2 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) + (к2)2ю4;

ёк3 = а1 ((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) + (к3)2ю4; (1.16)

ёР2= 1/(к2)2((к1 - к2) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) (к2е1 - р1 е4) +

+ 1/к2(к2 - к?) ю3е3;

ёР3= 1/(к3)2((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) (к3е1 - а1 е4) +

+ 1/к3(к3 - к2) ю3е2. (1.17)

Уравнения плоскостей Р2 и Р3 (двумерных осей вращения) соответственно имеют вид

р1х1 + к2 х4 =1;

х2 = 0, а1х1 + к3 х4 =1,

х3 = 0,

где к2 к3 + а1 р1 = 0.

Так как плоскости (1.18) и (1.19) пересекаются лишь в одной точке, то

(1.18)

(1.19)

Рі 0 0 к2

0 10 0

а1 0 0 к3

0 0 10

* 0.

Отсюда следует

р1к3 - а1к2 Ф 0. (1.20)

Заметим, что условия на инварианты получены исходя из того, что точки _Р2 и Г3 (каждая) описывают двумерные многообразия (не обязательно плоскости). А плоскости (1.18), (1.19) - это их касательные плоскости. Чтобы эти многообразия

были бы действительно плоскостями, нужно, чтобы их касательные плоскости не менялись. Требование неподвижности плоскостей (1.18) и (1.19) приводит к равенствам

Таким образом, найдены все условия на инварианты, определяющие НПДВ. Итог сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. Для неголономной гиперповерхности двойного вращения выполняются следующие условия:

1) в каждой точке все три главные кривизны 2-го рода к1, к2, к3 - вещественные числа, причем два из них не совпадающие (к2 *к3);

2) дифференциалы функций к2, к3 выражаются формулами (1.16)), в которых р2, р3, а - координаты векторов р = р2е2 + р3е3 (вектор неголономности) и ае1 (вектор кривизны линии тока), а дифференциал функции а1 определяется формулой (1.22);

3) инварианты к2, к3, а1, р1 связаны зависимостью к2 к3 + а1 р1 = 0, к2 * 0, к3 * 0, а1 * 0, р1 * 0, р1к3 - а1к2 * 0.

В заключение данного раздела выпишем дифференциальные продолжения уравнений (1.8):

йк1 = - Ун ю1 + (2р3(Р1 + а) - 712) ю2 + (- 2р2(а1 + а) - 713) ю3 + +(а2 + (к1)2 - 714) ю4, ёк2 = р1 ((к2 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) + (к2)2ю4, ёк3 = а1 ((к3 - к1) ю1 + 2р3ю2 - 2р2ю3 + аю4) + (к3)2ю4,

2 1 3 2 2 3 4

ёа1 = ((а1) + к1 к3) ю - 2р к3ю + 2р к3ю + к3 (а1 - а)ю , ё Р1 = ((Р1)2 + к1 к2) ю1 - 2р3к2ю2 + 2р2 к2ю3 + к2 (р1 - а)ю4,

3 1 2 3 3 4

2ёр = 712 ю + 722 ю + 723 ю + (724 + 2р (к1 + к2)) ю ,

2 1 2 3 2 4

2ёр = - 713 ю - 723 ю - 733 ю + (2р (к1 + к3) - 734) ю,

Итак, мы имеем две неподвижные взаимно перпендикулярные плоскости Р2 и Р3, пересекающиеся в одной точке и определяемые в локальных координатах уравнениями (1.18), (1.19). Всякая нормаль НПДВ пересекает эти плоскости в двух точках _Р2 е Р2 и _Р3 еР3. Плоскости Р2 и Р3 являются двумерными осями вращения данной НПДВ. А точка С, в которой они пересекаются, - это центр вращения с координатами

ю 1 — Р1ю ,

33

ю 1 = - а1ю , ю32 = 0;

2 1 3 2 2 3 4

ёа1 = ((а1) + к1 к3) ю - 2р к3ю - 2р к3ю + к3 (а1 - а)ю .

(1.21)

(1.22)

ёа = 714 ю1 + 724 ю2 + 734 ю4 + 744 ю4.

(1.23)

2. Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения

Ранее мы показали, что две главные кривизны 2-го рода к2 и к3 не могут совпадать (к2 Ф к3). Третья же главная кривизна к1 может не совпадать ни с одной из них, но может и совпадать с какой-нибудь.

Изучим каждый из этих случаев.

I. Рассмотрим НПДВ, для которых к1 Ф к2, к1 Ф к3, к2 Ф к3.

Находим главные направления и линии кривизны 2-го рода. Главные направления 2-го рода - это направления собственных векторов оператора А . Характеристическое уравнение (1.6) теперь имеет вид

-кх -X 2р3 -2р2

0 -к2 -X 0

0 0 -к3 - X

= 0,

а собственные числа X, = - к, (г = 1,2,3). Отсюда следует, что главными направлениями, соответствующими главным кривизнам 2-го рода к1, к2, к3 будут направления векторов

е1,

2р3 е1 + (к1 - к2) е2,

2р2 е1 + (к3 - к1) е3. (2.1)

А соответствующие линии кривизны 2-го рода - это линии, определяемые уравнениями

ю2 = ю3 = ю4 = 0; (2.2)

(к2 - к1) ю1 + 2р3ю2 =0,

ю3 = 0,

ю4 = 0; (2.3)

(к3 - к1) ю1 - 2р3ю2 =0,

ю2 = 0,

ю4 = 0. (2.4)

Теорема 2.1. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам к2 и к3, лежат на двумерных сферах с центрами на двумерных плоскостях вращения.

Доказательство. Покажем, что линии кривизны 2-го рода (2.3), соответствующие кривизне к2, лежат на двумерных сферах с центрами на плоскости вращения Р2.

Прежде всего, покажем, что точка Г2 неподвижна при движении точки М по кривой (2.3). Действительно, из (1.17), при условиях (2.3), получаем ёР2 = 0, то есть точка Г2 неподвижна. Следовательно, нормали вдоль линии кривизны 2-го рода (2.3) описывают конус. А так как при этом ёк2=0, то есть к2=соп8І, то это значит, что все точки кривой (2.3) находятся на одинаковом расстоянии от точки Г2, лежащей на плоскости вращения (1.18).

Кроме того, покажем, что плоскость х3=0 остается неподвижной в точках этой линии кривизны 2-го рода. Действительно, вдоль линии (2.3) имеем ёе3. То есть вектор нормали плоскости х = 0 не меняется. Это может быть лишь тогда, когда кривая лежит в плоскости.

Таким образом, линия кривизны 2-го рода, соответствующая кривизне к2, лежит в трехмерной плоскости и все ее точки одинаково удалены от одной фиксированной точки _Р2 этой плоскости. Отсюда вывод: линия кривизны 2-го рода, соответствующая к2 - это линия, лежащая на двумерной сфере (х )2+(*2 )2+(*4 - £) =(;г х3 = 0.

Аналогично доказывается, что линия кривизны 2-го рода, соответствующая к3, лежит на двумерной сфере

(2.5)

х4 -

1

(2.6)

х2 = 0.

Теорема 2.2. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к1, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль НПДВ.

Доказательство. Найдем соприкасающуюся плоскость той линии кривизны 2-го рода (2.2), которая соответствует к1. (Под соприкасающейся плоскостью к кривой понимаем двумерную плоскость, имеющую с данной кривой в каждой точке соприкосновение 2-го порядка, т.е. проходящую через первую и вторую производные радиус-вектора точки кривой.) Пусть г - радиус-вектор точки, лежащей на линии кривизны 2-го рода (2.2), которая соответствует к1. Тогда вдоль этой кривой ёг = ю1е1||е1, с12г||е4, ё3г||ёе4|| е1. Отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость х2 = 0, х3 = 0 не меняется вдоль той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует кривизне к1. Это значит, что эта линия лежит в двумерной плоскости х2 = 0, х3 = 0, проходящей через нормаль. ■

Определение 4. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения, вдоль которых нормали образуют конус, называются параллелями НПДВ.

Определение 5. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения, лежащие в двумерных плоскостях, называются меридианами НПДВ.

Как известно [4], нормали неголономной поверхности вдоль всякой линии кривизны 2-го рода описывают торс. Вдоль каждой параллели этот торс является конусом с вершиной на одной из двумерных плоскостей вращения. А вдоль меридиана ребро возврата торса - это плоская линия, являющаяся огибающей нормалей. Действительно, в точках меридиана ю2 = ю3 = ю4 = 0 имеем

$В1 =

Ун

(к )2

-ю1 е.

При к1 Ф к2 инвариант у11 Ф 0 и, следовательно, точка Г1 описывает кривую, касающуюся нормали в каждой свой точке (рис.1).

Угол между двумя параллелями (2.3) и (2.4), проходящими через точку MeG, вычисляется по формуле

определяют углы соответственно между параллелью (2.3) и меридианом (2.2) и второй параллелью (2.4) и меридианом (2.2). То есть меридианы и параллели ор-

Легко доказать, что меридианы и параллели НПДВ обладают следующими свойствами:

1. Плоскость, в которой лежит меридиан, проходит через центр вращения. Действительно, координаты центра вращения

2. Меридианы являются геодезическими прямейшими.

Напомним, что линия НПДВ является геодезической прямейшей, если в каждой ее точке ее двумерная соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль НПДВ. Действительно, соприкасающаяся плоскость меридиана определяется

3. Линия тока векторного поля нормалей {а4} НПДВ лежит в одной двумерной плоскости с меридианом и ортогональна ему.

Докажем это. По определению линии тока векторного поля касательный вектор к ней идет в направлении вектора поля, то есть ёг || е4. Значит, вдоль линии тока ю^ + ю2е2 + ю3е3 + ю4е4 || е4. Отсюда получаем уравнения линии тока ю1 = ю2 = ю3 = 0. Так как касательные векторы линии тока и меридиана (соответственно е4 и ортогональны как базисные векторы подвижного декартова репера, то ортогональны и сами линия тока и меридиан. Плоскость х2 = х3 =0, в которой лежит меридиан, содержит также и линию тока. Покажем, что эта плоскость постоянна вдоль линии тока. Действительно, эта плоскость содержит два линейно независимых вектора е1 и а*. При перемещении вдоль линии тока ю1 = ю2 = ю3 = 0 имеем ёе1 = - аю4е4, а ёе4 = аю4е1, то есть плоскость {е1 и е4} не меняется. Таким образом, мы показали, что линия тока лежит в той же двумерной плоскости, что и меридиан.

II. Переходим к рассмотрению случая, когда к2 Ф к3, к1 = к2.

Главные направления 2-го рода, соответствующие кривизне к1 = к2 в плоскости п3, определяются системой уравнений

008 ф! =

Формулы

тогональны тогда и только тогда, когда ю4 = 0 вполне интегрируемое уравнение.

удовлетворяют уравнению х2 = х3 =0 плоскости, в которой лежит меридиан.

уравнениями х2 = х3 =0 и проходит через нормаль НПДВ х1 = х2 = х3 =0.

Р3^2 = 0, ^3 = 0.

(2.7)

Отсюда следует, что имеются две возможности: 1) р3 ф0, 2) р3 = 0. Исследуем каждую из них.

1) Пусть р3 Ф 0. Тогда кратному значению кривизны к\ = к2 соответствует единственное (в плоскости п3) главное направление 2-го рода - это направление вектора е\. Следовательно, через каждую точку MeG пройдет одна линия кривизны 2-го рода, определяемая уравнениями ю2 = ю3 =

= ю4 = 0, соответствующая кратной кривизне к\ = к2.

Это плоская линия - меридиан, вдоль которого нормали неголономной поверхности образуют пучок с центром на двумерной оси вращения P2. Действительно, при к\ = к2 инвариант Y\\= 0 и, следовательно, dF\ = 0, т.е. точка F\ - неподвижная точка вдоль меридиана. Кроме того, при к\ = к2 в точках меридиана имеем йк2 = 0 (следует из (1.23)), т.е. к\ = к2 = const Ф 0. И меридиан является окружностью (рис. 2).

Подведем итог.

При к\ = к2, р3 Ф 0 через точку MeG проходят только две линии кривизны 2-го рода. Кривизне к3 соответствует параллель - кривая, лежащая на двумерной сфере с центром на Р3. Кратной кривизне к\ = к2 соответствует только одна линия кривизны 2-го рода. Она обладает свойствами, присущими как меридиану, так и параллели: 1) лежит в двумерной плоскости;

2) является окружностью, вдоль которой нормали образуют пучок (вырожден-

ный конус) с центром на плоскости Р2.

Переходим к исследованию 2-го случая.

1) Пусть р3 = 0, k1 = k2.

Подставим р3 = 0, к\ = к2 в систему (1.23), получим Y\\ = Y\2 = Y22 = Y23 = Y24 = 0,

Y\3 = 2р2(Р\ - a\ - a),

Y\4 = (a - P\), dk2 = - 2р2 Р\ю3 + (a P\ + (к2)2)ю4, dk3 = a\ ((к3 - к\) ю\ - 2р2ю3) + (a a\ + (к3)2)ю4,

2 \ 2 2 3 4

da\ = ((a\) + к\ к3) ю + 2р к3ю + к3 (a\ - a)ro , d Р\ = ((Р\)2 + (к2)2) юп + 2р2 к2ю3 + к2 (Р\ - a)ro4,

2dр2 = - 2р2(Р\ - а\ - a) ю\ - y33 ю3 + (2р2 (к\ + к3) - y34) ю4,

da = Y\4 ю\ + Y24 ю2 + y34 ю4 + y44 ю4. (2.8)

Внешнее дифференцирование первых четырех форм приводит к тождественным равенствам, т.е. на инварианты к2, к3 ,а\, Р\ никаких дополнительных условий не возникает. После внешнего дифференцирования последних двух равенств получим два внешних уравнения, содержащих дифференциалы функций y33, Y34, Y44. Можно показать, что для этой системы выполняется необходимый признак Кэле-ра. Такие НПДВ существуют, широта класса - одна функция двух аргументов.

Найдем для этого класса НПДВ главные направления 2-го рода. При р3 = 0 из (3.2.7) имеем ^3 = 0. То есть в плоскости п3 главные направления 2-го рода, соответствующие кратной кривизне, заполняют двумерную плоскость, а линии кривизны определяются системой уравнений

ю3 = ю4 = 0. (2.9)

Эта система вполне интегрируема. Следовательно, кратной кривизне k = k2 соответствует двумерная поверхность, состоящая из линий кривизны 2-го рода. Кроме того, уравнение ю3 = 0 вполне интегрируемо и определяет, как легко показать, в точке М гиперплоскость. Так как меридиан определяется уравнениями ю3 = ю4 =0, то в его точках k2 = const, т.е. в точках меридиана все нормали пересекаются в одной точке. Это значит, что меридиан является двумерной сферой.

Таким образом, при k\ = k2 , р = 0 через каждую точку М проходит одна линия кривизны 2-го рода, лежащая на двумерной сфере (параллель), и одна двумерная сфера, лежащая в трехмерной плоскости (двумерный меридиан).

3. Главные кривизны и главные направления 1-го рода. Линии кривизны 1-го рода НПДВ

В построенном нами репере матрица оператора А* имеет вид

ч 2р3 2 -

A* = 0 -k2 0

0 V 0 3 -

Разложим матрицу A на сумму двух матриц:

Р3 - Р2 ^ ' 0 3 Р - Р21

A* = Р3 -k2 0 + - Р3 0 0

1-Р2 0 -k3 у 2 Р 0 0 /

Оператор B с матрицей

(

B =

-ki

„э

k'y

-Р

0

0 -k

является симметричным. Характеристическое уравнение оператора B имеет вид

-ki - Ц

Р - Р

-k2 - Ц 0

0 -k3 - ц

= 0.

(3.1)

Его корни, взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 1-го рода [4], а собственные векторы, им соответствующие, - главными направлениями 1-го рода.

Полная кривизна 1-го рода К1 равна определителю матрицы этого оператора К1 = det В = —+ £2(р2)2 +£3(р3)3.

3

Поскольку К2= — к^к^ то связь между полными кривизнами 1-го и 2-го рода выражается следующим равенством:

К = К2+ А2(р2)2 + Аз(р3)3. (3.2)

Теорема 3. 1. Пусть для НПДВ все три главные кривизны 2-го рода различны. Тогда линией кривизны 1-го рода может быть лишь одна из параллелей НПДВ и эта параллель ортогональна меридиану.

Доказательство. Если меридиан является линией кривизны 1-го рода, то главная кривизна к1 2-го рода должна быть и главной кривизной 1-го рода, то есть

—к\ будет корнем уравнения

—ку + ку

р —к2 + ку 0

— р2 0 —к3 + ку

= 0.

2 2 3 2 2 3

Отсюда получаем ((р ) +(р ) )(&1—к3) = 0. Так как к\ Ф к3,то р = р = 0. Следовательно, это возможно лишь в голономном случае.

Покажем теперь, что одна из параллелей может быть линией кривизны 1-го рода. Рассмотрим параллель, соответствующую кривизне к2. Потребуем, чтобы величина — к2 была бы корнем уравнения (3.1).

В результате получим (р3)2(к3 — к2) = 0. То есть при р3 = 0 (к3 Ф к2) параллель (2.3), определяемая уравнениями

(к2 — к1)ю1 + 2р3ю2 = 0, ю3 = 0, ю4 = 0,

является линией кривизны 1-го рода. Так как к1 Ф к2 и р3 = 0, то уравнения параллели принимают вид ю1 = ю3 = ю4 = 0. Следовательно, в каждой точке М е G параллель, являющаяся линией кривизны 1-го рода, ортогональна меридиану ю2 = ю3 = ю4 =0. ■

Перейдем к рассмотрению НПДВ, имеющих двукратную кривизну 2-го рода (к = к2).

Теорема 3. 2. Кратная главная кривизна 2-го рода к1 = к2 может быть главной кривизной 1-го рода лишь в том случае, когда р3 = 0, то есть когда меридиан является двумерной поверхностью. При этом соответствующая линия кривизны

1 -го рода принадлежит меридиану, а касательные к двум другим линиям кривизны 1 -го рода лежат в одной плоскости с касательной к той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует некратной главной кривизне 2-го рода (к3).

Доказательство. Пусть к1 = к2 является главной кривизной 1-го рода, тогда она будет корнем уравнения (3.1). Это возможно лишь тогда, когда

(р3)2(к3 — к2) = 0.

Но к3 Ф к2, поэтому р3 = 0. Итак, только при р3 = 0 кратная главная кривизна 2-го рода является также и одной из главных кривизн 1-го рода.

При к1 = к2 , р3 = 0 характеристическое уравнение (3.1) имеет вид

-к2 - ц

0

-к2 - Ц

"Р

0

-кз - ц

2

Его корнями будут

-к2 -к3 (к2 -к3)2 + (р2)2

^1= — k2, Ц 2,3 =--------------------------^’

а, следовательно, главные кривизны 1-го рода &(1) выражаются через главные кривизны 2-го рода по формулам

к«>=к2=к,, к« =1^^ЕЙ!

Найдем главные направления 1-го рода. Заметим, что если р3=0, то р2 ф0 (так как р2 = р3 = 0 означает голономность распределения). Поэтому кривизне к1(1) соответствует единственное собственное направление 1-го рода — направление вектора е2, а следовательно, и одна линия кривизны 1-го рода ю1 = ю3 = ю4 =0, принадлежащая двумерному меридиану ю3 = ю4 =0.

Главные направления 1-го рода, соответствующие кривизнам к2(1) и к3(1), взаимно ортогональны и лежат в плоскости х2 = х4 = 0. В этой же плоскости лежит главное направление 2-го рода 2р2е1+(к3 — к1)е3, соответствующее главной кривизне 2-го рода к3 . ■

Теорема 3. 3. Если кратная главная кривизна 2-го рода (к1 = к2) НПДВ является также и главной кривизной 1 -го рода, то некратная главная кривизна 2-го рода (к3) не может быть главной кривизной 1-города.

Доказательство. В теореме 3.2 мы доказали, что кратная главная кривизна 2-го рода будет также и главной кривизной 1-го рода лишь при р3 = 0. Потребуем теперь, чтобы некратная кривизна к3 была бы главной кривизной 1-го рода, то есть была бы корнем уравнения (3.1). Это требование выполняется лишь при условии

(р2)2(к2 — к3) = 0.

Так как к3 Ф к2, то отсюда следует р2 = 0. Но р2 = р3 = 0 — есть условие голоном-ности НПДВ. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильева О.В. Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // VII Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Наука и образование. Томск, 2003. Т. 1. С. 21 - 27.

2. Васильева О.В. Неголономные поверхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // Изв. вузов. Математика. 2006. № 6 (529). С. 3 - 13.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 759 с.

4. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве // Междунар. конф. по математике и механике: Избр. доклады. Томск, 2003. С. 60 - 68.

5. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987. 304 с.

Принята в печать 28.02.08.