CC BY
43
О.В. Васильева
СФЕРИЧЕСКИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ В ЕЛ
Введены понятия сферической неголономной поверхности вращения, ее меридианов и параллелей и изучены их свойства.
Неголономной поверхностью в четырехмерном евклидовом пространстве Е4 называют [2] совокупность всех интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа Раёха (а = 1,4) где Ра- гладкие функции в некоторой области О с Е4, причем Ра не обращаются в нуль одновременно ни в какой точке М е О. Интегральные кривые этого уравнения, проходящие через точку М, касаются в этой точке одной гиперплоскости, называемой касательной плоскостью неголономной поверхности в точке М. Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной гиперплоскости, называется нормалью неголоном-ной поверхности в точке М.
Определение 1. Сферической неголономной поверхностью вращения называется такая неголономная поверхность, все нормали которой пересекают неподвижную прямую (ось вращения).
1. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ 2-го РОДА СФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пусть неголономная поверхность задана в некоторой области О с Е4 и М & О. Ортонормированный подвижной репер {М, еа} (а = 1,4) выберем так, чтобы е4 был направлен по нормали к неголономной поверхности в точке М.
Деривационные формулы репера имеют вид ёг = юае„,
еа=°а ,
где г - радиус-вектор точки М, Кроме того, имеем
Баа =ю1 лю?,
°а=-юр
Вюа = юв лс
(1)
(а, р = 1,4). (2)
'Р-
Так как формы {со1,ю2,ю3,ю4] являются базисными, то оставшиеся главные формы юа выразятся через базисные следующим образом:
ю44 = Араюр, а, р = 1,4 (3)
При таком выборе репера неголономная поверхность определяется уравнением Пфаффа
ю4 = 0. (4)
В каждой точке М области О определим линейный оператор А формулой
А(сГ )= Сг4. (5)
Оператор А векторы касательной плоскости неголономной поверхности (1.4) переводит в векторы этой же плоскости. Поэтому можно говорить о сужении А оператора А на касательную плоскость. Матрица оператора А* в базисе {?,.} (і = 1,з) имеет вид
АС) =
Корни характеристического уравнения
Г А,1 А21 л31
А,2 А22 А32
А3 { Аі А23 А3 А3)
а; - я А,2
Л3
а; аз
А
Л22 - я л3
А33 - Я
= 0
л *
оператора А , взятые с противоположным знаком, называются главными кривизнами 2-го рода неголономной поверхности, а собственные векторы оператора А , соответствующие им, - главными направлениями 2-го рода в точке М. Линией кривизны 2-го рода называется линия неголономной поверхности, в каждой точке которой касательная идет по главному направлению 2-го рода.
Поместим вектор е1 в плоскость, проходящую через нормаль сферической неголономной поверхности вращения и ось вращения I. Пусть Е - точка пересечения нормали неголономной поверхности вращения с ее осью I, Е - радиус-вектор точки Е. Тогда
Е = Г + ҐЄ,
(7)
Так как Еописывает прямую Iпри ю4 = 0 , то ёЕ должен лежать в плоскости {М, е1, е4} при условии ю4 = 0. Так как
ёЕ =ю(?1 + ю е2 + ю е + 4 + ?(ю4^ + ю4е2 + ®4е3), тоот-
сюда
ю2
+ = 0, ю3 + /ю34 = 0,
ю2 + /ю4 = 0, ю3 + /ю4 = 0,
следовательно,
ю2 + ґ (л12ю1 + А22ю2 + Л32ю3 )= 0, ю + ґ(л, ю + А-^ю + А3ю )= 0.
В силу линейной независимости форм
1 2 3
ю , ю , ю
имеем
л,2 = А32 = А,3 = А3 = 0, ґ = -Ат
Л2
и теперь уравнение (6) имеет вид
Л22 = А33,
(8)
а;
л3
л22 -я
0
А33 -Я
= 0.
А1 - я 0
о 0
Так как главные кривизны 2-го рода к, = Я,- (/ = 1, з), то к1 = -А^, к2 = к3 = -А2. И мы приходим к следующему утверждению.
Теорема 1. Для сферической неголономной поверхности вращения все три кривизны 2-го рода вещественны, при этом две из них, к2 и к3, совпадают, а третья к1 не равна им.
Полной кривизной 2-го рода называется величина К2, равная определителю матрицы оператора А . Средней кривизной Н2 2-го рода называется след матрицы оператора А . Для сферической неголономной поверхности вращения
К 2 = -к2 к,, Н 2 =-2к - к,,
(9)
где к = к2 = к3.
Главное направление 2-го рода, соответствующее к1, определяется уравнениями
I2 = |3 = |4 = О.
(1О)
Таким образом, вектор е1 определяет главное направление 2-го рода, соответствующее к1.
Главные направления 2-го рода, соответствующие к, определяются уравнениями
(а; - А22) + А^2 + А^3 = 0, ^ = 0. (11)
То есть главные направления 2-го рода, соответствующие кратной кривизне к, заполняют двумерную плос-
4 п
кость, лежащую в касательной гиперплоскости к ю = 0. Эта плоскость пересекает плоскость, ортогональную вектору е; и проходящую через точку М, по прямой.
Направим вектор е2 по этой прямой, тогда а2 = 0 и репер становится каноническим.
В нем формулы (1.3) имеют вид
o 4 = - k;o + A3 o + A4o , o 4 = -ko + A4 o ,
o 4 = -ko + A o .
(12)
где p = -—A;, - вектор неголономности, т.е. вектор,
формулы (1.13) к виду
o4 = -k;o; -3po3 + ao4 o 4 = —ko + bo ,
3 1 3 4
o 4 = —ko + co .
(13)
Замкнем систему (13). После соответствующих вычислений приходим к следующим выражениям форм Пфаффа через базисные формы:
ю2 = а12ю2, ю3 = а12ю3, ю'4 = -к1ю1 -2рю3 + аю4,
ю 4 = —кю , ю 4 = —кю ,
ёк = а12 [ - к)ю1 + 2рю3 ]+ (к2 - аа12 )4,
ёк, = у,,®1 + у12ю2 + (у13 + 2р(а12 - а))ю3 +
+ (Y14 + k; + a 2 )с°4
(14)
2РюЗ = Уі2ю1 + У 22ю 2 + У 23ю 3 + У 24ю 4,
2Ср = у13ю; + у 23ю2 + у 33ю3 + у 34ю4,
-ёа = Уі-ю1 + у24ю2 + (у34 -2р(і + к))ю3 +у44га4,
Са12 = -(а122 + кк, ) - 2ркю3.
В выбранном нами каноническом репере линии кривизны 2-го рода, соответствующие к1, определяются следующей системой уравнений Пфаффа:
ю2 = ю3 = ю4 0, (15)
которая, очевидно, вполне интегрируема. Это значит, что через каждую точку МєО проходит одна линия кривизны 2-го рода, соответствующая главной кривизне к,. Линии же кривизны 2-го рода, соответствующие кратной кривизне к 2-го рода, определяются только двумя уравнениями Пфаффа:
14
(к, - к V + 2рю3 = 0, ю4 = 0, (16)
полная интегрируемость которых не очевидна. Докажем, что система (16) вполне интегрируема. Используя формулы (2), (3), (14), вычислим
Б((к1 - к)ю1 + 2рю3)л((к, - к^о1 + 2рю3)лю4 (17)
и
(18)
Do4 л ((^; -kjo1 + 3po3 j
3 ^o4.
Имеем
Так как репер {М,еа} (а = 1,4) - канонический, то все функции в формулах (11) - инварианты. Величины к, к1 - главные кривизны 2-го рода. Величины А41 , А42 , Л43 - координаты вектора А,?, + А42?2 + А4?3, представляющего собой вектор кривизны линии тока векторного поля е4. И наконец, инвариантный вектор р = ре2,
І Аі
2
обращение в нуль которого характеризует голоном-ность ю4 = 0.
Обозначив А; = а, А2 = Ь , Л4 = с , мы приведем
2ру12ю2 лю1 лю3 лю4 +
+ у 23 (к1 - к )ю2 лю3 лю1 лю4 +
+ у 23 (к1 - к )ю3 лю2 лю1 лю4 +
+ 2ру 12ю; л ю2 л ю3 л ю4 = 0,
2рю; л ю3 л ( - к^о1 + 2рю3)лю4 = 0.
То есть для (16) выполнены условия полной интегрируемости. Это значит, что через каждую точку М& О проходит двумерная поверхность, состоящая из тех линий кривизны 2-го рода, которые соответствуют главной кривизне к.
Находим направляющий вектор оси вращения I. Он
должен быть параллелен ё| Е +1 е4 |. Пользуясь фор-
k
мулами (1) и (14), находим
/r 1
d ^F + Т e4 ^ jj (kei +ai2 e4
к
Так как прямая I неподвижна, то
ё(ке1 +а12е4)|| (ке1 +а12е4). Соответствующие вычисления показывают, что это возможно лишь при а12 = -а . Тогда из (1.14) следует
У14 = -а 2 - кк1 , у 24 = ^ у 34 = 2рк1 , у 44 = °.
При этих условиях, характеризующих сферическую неголономную поверхность вращения, формулы (14) примут вид:
oj3 = -ao2, oj3 = -ao3, o'4 = -k1o1 - 3po3 + ao4 з
o 42 = - ko 2 , o 34 = - ko
ёк = -а[(к; - к^ю1 + 2рю3]+ (к2 + а2)ю4,
ёк; = упю; +у12ю2 +(у13 -4ар)ю3 +(к;2 -кк;)4, (19)
2рю^ = у12ю; + у 22ю2 + у 23ю3,
2ёр = у13ю; + у 23ю2 + у 33ю3 + 2рк;ю4,
- ёа = (-а( -кк;) -2ркю3.
Уравнение оси вращения в векторной форме имеет вид
Я = г + -1 е4 + t(ke1 - ае4).
Тогда в декартовых координатах ось вращения определяется системой
3 ' ' (20)
x2 = О, x3 = О, ax1 + kx4 = 1.
2. МЕРИДИАНЫ И ПАРАЛЛЕЛИ СФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Определение 2. Двумерные поверхности, состоящие из тех линий кривизны 2-го рода, которые соответствуют кратной главной кривизне 2-го рода, называются параллелями сферической неголономной поверхности вращения.
Теорема 2. Нормали сферической неголономной поверхности вращения во всех точках параллели пересекаются в одной точке, лежащей на оси вращения.
Доказательство. На нормали к сферической неголоном-ной поверхности вращения возьмем точку F^0,0,0,—j и
покажем, что она остается постоянной для всех нормалей сферической неголономной поверхности вращения, взятых в точках параллели (16). Действительно, в точках параллели
для радиус-вектора F = r + — f4 точки F имеем
к
jfr ir 2r ki — к i^
dF = ю e1 + ю e2 —^— ю e3 +
1 2 2p 3
+ — Wf — кю2е2 + к—^pkL <B1f3 j = 0.
Отсюда следует, что F = const. То есть точка F на нормали неподвижна вдоль параллели.
Теорема 3. Кратная главная кривизна 2-го рода к постоянна в точках параллели.
Действительно, из (14) и (16) видно, что вдоль параллели dk = 0, а следовательно, главная кривизна к постоянна.
Теорема 4. Всякая параллель лежит на трехмерной сфере с центром в точке пересечения нормалей неголономной поверхности вращения, взятых в точках данной параллели.
Доказательство. Найдем соприкасающуюся сферу параллели в ее произвольной точке. Уравнение соприкасающейся сферы ищем в виде
(я, R + 2(n, R + a00 = 0. (17)
Потребуем, чтобы некоторая точка параллели (16) принадлежала бы поверхности (17):
(f,f) + 2^ N, r} + a00 = 0. (18)
Продифференцировав уравнение (18) дважды и учитывая, что в уравнении сферы члены с произведением координат отсутствуют, получаем
(e2,f^ + ^ N, e2) = 0,
2р e1, f) - (к1 - к )f3 , f) + 2р(N, f1) -
- (к1 - к )N, e3) = 0,
a^ ^- "2р ^^+^е2, +
+ a^N,f^-■Y-P ^N,f3^ + k^N, e^ = 0,
(eз, f) + (N, e^ = a Y23 (el, r) - 2ape2, г) -yn(eз, r) --^2p7 (k1 - k )ef2, f) + Y 23 ^N, e) -
- 2ap^ N,f^ - Y1^ N, f3 ^ -
ki — k 4p2k /r ^ 4p2
— F—I ^ — f—k № +
/V^ Л Л-1 /V
+ (Yii — Yi3 + 4ap)( e3,?) —
— a(ki— k )ei, ?) + (ki— k jjjp—k“-i )( e2 ,?)'
— (ki — k )k( ?4, r) — (ki — k) ?3, +
2P Yi3!(N,ei) — 2ap(N,Гз) —
+ [Y 33
— 4p2k ki — k
ki — k
(й Л-) + 1 Ir—k Yii-Yi3 + HiN, e3>-
■c(ki - k)N,') + (ki - ^ -li—k)(.V,e:) -
— (ki — k )k(N, = 0. (i9)
Так как мы ищем соприкасающуюся сферу относительно локальной системы координат, то в ней г = 0 . Следовательно, из (18), (19) получаем
а00 = а01 = а02 = а03 = 0, а04 = - к а22,
4р
ki — к
aii — (k — к )a33 —1^4-a°4 — к (ki — к )
ki — к
= 0.
Положим а22 = - 1/к. Так как в уравнении сферы коэффициенты при квадратах координат равны, имеем а11 = а22 = а33 = а44 = 1. Теперь, когда все коэффициенты найдены, запишем уравнение соприкасающейся сферы:
(х1 )2 + (х2 )2 + (х3 )2 + (х4 )2 - - х4 = 0. (20)
к
Проведя соответствующие вычисления, мы обнаруживаем, что сфера (20) не меняется при движении точки вдоль параллели (16). Тем самым мы показали, что параллели сферической неголономной поверхности вращения лежат на трехмерной сфере.
Преобразовав уравнение (20) к виду
(х‘)2 +(х2)2 +(х3)2 +^х4 -= -кт, (21)
заключаем, что центр сферы находится в точке Е ^ 0,0,0, і
пересечения нормалей сферической неголономной поверхности вращения, взятых в точках данной параллели.
Из (14) следует, что вдоль параллели в общем случае полная кривизна 2-го рода (в отличие от голоном-ного случая) непостоянна. Но одна из главных кривизн 2-го рода (к) постоянна.
Определение 3. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие некратной кривизне к1 2-го рода, называются меридианами сферической неголономной поверхности вращения.
Меридианы определяются уравнениями
ю2 = ю3 = ю4 = 0. (22)
Теорема 5. Всякий меридиан лежит в двумерной плоскости, проходящей через ось вращения.
Доказательство. Согласно выбранному нами реперу, { М, е,, е4} - плоскость, проходящая через ось вращения. Ее уравнения в координатах имеют вид
х2 = х3 = 0 . (23)
Покажем, что эта плоскость постоянна вдоль меридиана (22), воспользовавшись формулой Сха = -юахв -юа . Имеем Сх2 = 0, Сх = 0.
Таким образом, мы показали, что плоскость (23) не меняется вдоль меридиана (22), т.е. меридиан лежит на этой двумерной плоскости.
Теорема 6. Меридианы являются прямыми линиями лишь тогда, когда полная кривизна 2-го рода равна нулю.
Действительно, вдоль меридиана
Се, = ю? + ю3?3 + ю4?4 = к1ю1е4 = 0 тогда и только тогда, когда к, = 0, а следовательно, когда К2 = 0.
Предложение. Линия тока векторного поля нормалей {е4} неголономной поверхности вращения лежит в одной двумерной плоскости с осью вращения и с меридианом и ортогональна последнему.
Действительно, поскольку касательный вектор линии тока векторного поля нормалей {е4}
г- 1— 2Г 3Г 4Г и Г
Сг = ю е, + ю е2 + ю е3 + ю е4 || е4 ,
то уравнения линии тока имеют вид ю1 = ю2 = ю3 = 0.
Очевидно, что линия тока векторного поля нормалей ортогональна меридиану в произвольной точке М неголо-номной поверхности. Видим, что линия тока, меридиан (22), а также ось вращения (20) лежат в плоскости
х2 = х3 = 0. (24)
Так как
ю,х + ю4х + ю = 0, ю,х + ю4х + ю = 0, то плоскость (2.8) постоянна вдоль линии тока.
3. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ 1-го РОДА
СФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В выбранном нами каноническом репере матрица оператора А имеет вид
А* =
Г- кі 0 0
0 - 2рІ
- к 0 0 - к
Если ю = 0 не голономно, то оператор А не симметричен. Его можно разложить на сумму двух операторов: симметричного В и кососимметричного:
- кі 0 -рІ Г 0 а - 0
А* = 0 -к 0 + 0 0 0
1-р 0 - к 1р 0 0 /
Матрица кососимметричной части оператора А имеет только три существенные компоненты, определяющие некоторый инвариантный вектор р = ре2, лежащий в касательной гиперплоскости и называемый вектором неголономности в силу того, что он равен нулю лишь для голономного ю = 0.
Собственные значения оператора В с матрицей ^- к; 0 - р^
В = 0 - к 0
-р 0 - к
V у
взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 1-го рода, а собственные векторы, им соответствующие, - главными направлениями 1-го рода [3].
Так как оператор В - симметричный, то главные кривизны 1-го рода в каждой точке М & О являются действительными числами.
Теорема 8. Все три главные кривизны 1-го рода сферической неголономной поверхности вращения различны, одна из них совпадает с кратной кривизной 2-го рода.
Доказательство. Найдем собственные значения оператора В. Характеристический многочлен
- к, - ц 0 - р
0 -к-ц 0
-р 0 -к-ц
оператора В равен (к + ц)[-(кі +Ц)(к + ц)+р2 ] .
Это значит, что одна из главных кривизн 1-го рода к1(1) = -ц, = к, т.е. совпадает с кратной кривизной 2-го рода, а две другие вычисляются по формуле
к 2,3(і) = 2 Г к + к, ±4(к - к, )2 + 4р21.
Наибольшая и наименьшая из главных кривизн 1-го рода являются экстремальными значениями нормальных кривизн кривых, проходящих через точку М є О [3].
Определитель матрицы оператора В есть полная кривизна К1 1-го рода, след матрицы оператора В -средняя кривизна Н1 1-го рода.
Средние кривизны 1-го и 2-го рода совпадают (Н1 = Н2) для любой неголономной поверхности [3].
Полные кривизны 1-го и 2-го рода сферической не-голономной поверхности вращения связаны следующим равенством
К2 = К, - к| р |2. (25)
Так как к Ф 0, то из формулы (25) следует, что для сферической неголономной поверхности вращения в Е4 полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают тогда и только тогда, когда ю = 0 голономно.
Заметим, что для произвольной неголономной поверхности из равенства полных кривизн 1-го и 2-го рода в пространстве размерности больше трех не следует голономность [1].
Теорема 9. Если К2 = 0, то в каждой точке М є О касательные к асимптотическим линиям неголономной поверхности вращения образуют действительный конус 2-го порядка. Меридиан при этом является прямой линией и одной из образующих этого конуса.
Доказательство. Из равенства (ё2 Г, е,, е2, е3^ = 0,
характеризующего асимптотические линии, находим дифференциальные уравнения асимптотических линий
2рю1ю3 + к (ю2 )2 + к (ю3 )2 = 0, ю4 = 0. (26)
Тогда совокупность всех касательных к ним в данной точке определяется уравнениями
(х2) +Гх3 +-кх1 ^ --рг(х‘) = 0, х4 = 0,
т.е. представляет собой действительный конус 2-го порядка.
Так как меридиан определяется системой (15), то мы видим, что он является одной из асимптотических линий. С другой стороны, вдоль меридиана Се, = 0, т.е. его касательный вектор е1 не меняется. Это значит, что меридиан при К2 = 0 есть прямая линия - одна из асимптотических, проходящих через данную точку.
1. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве // Междунар. конф. по математике и механике. Томск: ТГУ, 2003. C. 60-68.
2. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в ^-мерном пространстве // Укр. геом. журнал. Харьков, 1968. Вып. 5-6. С. 126-138.
3. Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. Киев: Вища школа, 1972.
Статья представлена кафедрой геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 26 апреля 2004 г.
