CC BY
42
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 514.752
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 1-ГО РОДА В ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В Е4 рассматриваются неголономные трёхмерные распределения, имеющие нулевую полную кривизну 1-го рода. Существует три вида таких распределений в зависимости от значений главных кривизн 1-го рода. Исследована геометрия каждого из них.
Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение Пфаффа, векторное поле.
Пусть Д3 :М ^п3 - гладкое распределение на Е4 (или в области О с Е4) [1, с. 683]. По нему однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение Д3 называется голономным, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо и - неголономным в противном случае. Мы будем рассматривать неголономные распределения. При этом интегральные кривые и двумерные интегральные поверхности уравнения Пфаффа называются кривыми и двумерными поверхностями распределения Д3. Все кривые и двумерные поверхности распределения Д3, проходящие через М, касаются в этой точке плоскости п3. Пара (М, п3) называется плоским элементом. Множество всех плоских элементов (М, п3) («график» распределения Д3) представляет собой четырёхмерное многообразие, что позволяет использовать в исследованиях метод внешних форм Кар-тана [2].
Прямая, проходящая через М ортогонально п3, называется нормалью распределения Д3.
К каждому элементу (М, п3) присоединим ортонормированный репер (М, еа) (а = 1,4), где Є4 - единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде
г - радиус-вектор точки М, юа=-юр . Формы Пфаффа и“, подчиняются
уравнениям структуры евклидова пространства
1. Предварительные сведения
ёг = юа еа,
(1.1)
ёюа = юр л ®а, (а, р, у = 0,4).
(1.2)
Так как множество плоских элементов (М, п3) образует четырёхмерное многообразие, то можно считать формы { юа } базисными. И тогда главные формы { }
[2, с. 288] будут их линейными комбинациями, то есть
юа = А^. (1.3)
Матрица () совпадает с матрицей линейного оператора, определяемого формулой Л(Сг) = с!ё4, где Сг - касательный вектор любой регулярной кривой, проходящей через М. Все инварианты оператора А являются инвариантами распределения Д3 и ортогонального ему векторного поля.
Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению Д3, имеет вид
ю4 = 0. (1.4)
Из того, что
Сю4 Л ю4 = (Л2 - Л1)ю1 л ю2 л ю4 + (Л23 - Л32)ю2 л ю3 л ю4 + (ЛІ - Л3 )ю3 л ю1 л ю4, следует, что распределение Д3 голономно лишь тогда, когда
Л2 = Л Л3 = Л2 Л1 = Л3
Л1 Л2 , Л2 _ Л3 , Л3 _ Л1 .
Легко проверить, что вектор р = ргёг- (і = 1, 2, 3), где
р1 = !( Л32 - Л23), р2 = ¿(Л? - Л1), р3 = !(Л - Л!2), (1.5)
является инвариантным вектором. Назовём его вектором неголономности.
Таким образом, распределение Д3 голономно тогда и только тогда, когда обращается в нуль вектор неголономности
р=рё. (1.6)
В дальнейшем рассматриваются только неголономные распределения, для них р ^ 0.
Оператор А допускает сужение А* на плоскость п3. Матрица оператора А* в базисе { Єі } имеет вид
Г Л1 Л1 л1 І
Л = Л(ё) = Л2 Л22 Л32
Л3 1Л1 Л23 Л3 Л3;
Для неголономного распределения матрица (1.7) не симметрична. Собственные векторы оператора А* - это главные направления 2-го рода в точке М, а собственные значения, взятые с противоположными знаками, - главные кривизны 2-го рода (&}2)). Полная кривизна 2-го рода К2 = -&1(2)&22)&3(2) = йй( Лг}-).
Определение 1. Линия распределения Д3, в каждой точке которой направление касательной совпадает с главным направлением 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода.
Вдоль линии кривизны 2-го рода нормали распределения образуют торс. Координата точки ребра возврата этого торса равна величине, обратной главной кривизне 2-го рода.
Оператор А* разлагается на сумму двух операторов: симметричного оператора В* и кососимметричного оператора В. Собственные векторы оператора В* - это главные направления 1-го рода в точке М, а собственные значения, взятые с противоположными знаками, - главные кривизны 1-го рода ( к(р ). Полная кривизна
1-го рода K1 = -kj(1)k®k®. Между полными кривизнами 1-го и 2-го рода имеет место следующая зависимость
K2 = K -(Р1)2к(1) -(Р2)2к® -(Р3)2кз(1). [3, с. 64] (1.8)
Таким образом, из (1.8) следует: если распределение Д3 голономно, то для него полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают. Однако из того, что полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают, ещё не следует голономность распределения
Д3 .
Определение 2. Линия распределения Д3 называется линией кривизны 1-го рода, если в каждой её точке направление касательной совпадает с главным направлением 1-го рода.
Определение 3. Нормальной кривизной кривой распределения Д3 в точке М называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормаль распределения в данной точке.
Для нормальной кривизны кп справедлива формула (аналог формулы Эйлера для поверхности)
кп = к® cos а + к« cos Р + к31)
cos Y, (19)
cos2 а + cos2 p + cos2 y = 1.
Углы a, p, y - это углы между касательной данной кривой и главными направлениями 1-го рода [3,c.64].
2. Репер, отнесённый к линиям кривизны 1-го рода.
Основные формулы
Так как оператор В* симметричен, то он имеет, по крайней мере, три взаимно ортогональных собственных вектора, которые определяют главные направления 1-го рода. Направим по ним векторы ex, e2, e3, тогда получим
A1 = -к1(1), A = -к21), A3 = -к30), A + A2 = 0, A + A3 = 0, A32 + A3 = 0.
2 13 2 1 3
Отсюда в силу (1.5) имеем A3 =р, a =р , A2 =р . Находим вектор кривизны кп линии тока нормалей распределения Д3 : кп = А^ёг + A4e2 + A|e3. Обозначим
= a,A42 = b,A43 = с. После этого формулы (1.3) примут вид
ю4 =-к1(1)ю1 + р3ю2 -р2ю3 + аю4,
=-р3ю' -к2')ю2 + р'ю3 + Ью4, (2.1)
ю4 = р2ю' -р'ю2 -к^1)ю3 + сю4.
Заметим, что если в точке М существует только три главных направления 1-го рода, то репер { M;ea } является каноническим. Коэффициенты в (2.1) будут основными инвариантами распределения.
Определение 4. Линия распределения Д3, для которой в каждой точке нормальная кривизна кп равна нулю, называется асимптотической линией.
Из определения 4 следует: линия распределения Д3 представляет собой асимптотическую линию лишь тогда, когда её соприкасающаяся плоскость 2-го порядка в каждой точке принадлежит плоскости п3 либо эта линия - прямая.
В выбранном нами репере асимптотические линии определяются уравнениями к1(1)(Ю1)2 + к21)(Ю2)2 + к31)(Ю3)2 = 0, ю4 = 0.
Касательные к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, образуют конус 2-го порядка
к(1)( X1)2 + к21)( х2)2 + к31)( х3)2 = 0,
х4 = 0.
3. Неголономные торсы 1-го рода.
(2.3)
Определение 5. Неголономным торсом 1-го рода (НТ-1) в Е4 называется трёхмерное распределение Д3, имеющее нулевую полную кривизну 1-го рода (К = 0).
Теорема 1. Для всякого неголономного торса 1-го рода в Е4 конус касательных к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, распадается на пару двумерных плоскостей: либо различных ( действительных или мнимых), пересекающихся по прямой, совпадающей с касательной к линии кривизны 1-го рода, либо совпадающих. Либо асимптотические касательные в точке М заполняют плоскость п3 .
Доказательство. Справедливость утверждений теоремы с очевидностью следует из формул (2.3), так как для НТ-1 хотя бы одна из главных кривизн 1-го рода
(к®) равна нулю. ■
Все НТ-1 можно разбить на три вида:
1) к3(1) = 0,и<2') * 0, k33) * 0,
2) к3(1) = к® = 0, к1(1) * 0,
3) к3(1) = к® = к1(1) = 0.
Переходим к рассмотрению каждого из этих видов.
4. Неголономные торсы 1-го рода, для которых только одна из главных кривизн 1-го рода равна нулю
Асимптотические линии для данного вида НТ-1 определяются уравнениями
к1(1) (ю1 )2 + к®(ю2)2 = 0,
ю4 = 0.
(4.1)
Возможны, следовательно, три случая:
а) к3(1) = 0, к« * 0, к® * 0, к® * £i(1), sign к^1) * sign к1(1);
в) к^:) = 0, к® * 0, к1(1) * 0, к® * к1(1), sign к^1) = sign к1(1);
с) к30) = 0, к® = к1(1) * 0.
Рассмотрим каждый из них.
В случае а) множество (4.1) всех асимптотических линий НТ-1 распадается на два множества
которые, с другой стороны, являются линиями кривизны 1-го рода.
Соответственно в каждой точке М конус касательных к асимптотическим линиям, проходящим через М, распадается на две двумерные плоскости Р1 и Р2, пересекающиеся по прямой Ь, представляющей собой одновременно касательную к асимптотической линии и к линии кривизны 1-го рода. Плоскости Р1, Р2 пересекают двумерную плоскость п2, проходящую через М ортогонально Ь по двум прямым Ь1 и Ь2. Для них имеет место следующая теорема.
Теорема 2. В плоскости п2 касательные к линиям кривизны 1-го рода делят пополам углы между касательными к асимптотическим линиям.
Доказательство. Из (4.1) следует, что конус касательных к асимптотическим линиям в точке М определяется уравнениями
(4.2)
имеющих общие асимптотические линии
1____2 _
ю1 = ю2 = ю4 = 0,
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Плоскости (4.5) пересекают плоскость п2 по двум прямым Ь1, Ь2:
✓ Эти прямые, очевидно, имеют равные углы с касатель-
2 3 4 1 2 4
НЫМИ X- = X = X = О И X = X- = X =0 к линиям кривизны 1-го рода (рис. 1). ■
Теорема 3. Нормали НТ-1 меняют своё направление при движении точки по асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода.
Рис. 1
Доказательство. Направление нормали НТ-1 в точке асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода, - это направление вектора е4 . При перемещении точки вдоль данной асимптотической ю1 = ю2 =ю4 = 0, используя формулы (2.1), получаем
ёе4 = (-р2е1 + р1е2)ю3. Так как в неголономном случае вектор неголономности не обращается в нуль, то вектор е4 меняет направление вдоль асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода. ■
В случае Ь) через каждую точку М проходит три взаимно ортогональных линии кривизны 1-го рода, из которых одна совпадает с единственной асимптотической линией. Нормали НТ-1 вдоль этой линии меняют своё направление. Данное предложение доказывается так же, как и теорема 3.
В случае с), как и в случае Ь), через каждую точку М проходит одна асимптотическая линия, совпадающая с одной из линий кривизны 1-го рода, нормали НТ-1 вдоль этой линии меняют своё направление. Однако случай с) отличается от случая Ь) прежде всего тем, что через точку М проходят не три линии кривизны 1-го рода, а бесконечно много. А именно, в точке М двумерная плоскость х3 = х4 = 0, ортогональная касательной к асимптотической линии, состоит из касательных к линиям кривизны 1-го рода, проходящим через М (рис. 2).
Теорема 4. Если трёхмерное распределение Д3 на Е4 , имеющее единственную нулевую главную кривизну 1-го рода, голономно, то Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных торсов с прямолинейными образующими.
Доказательство. Пусть для Д3 имеем кИр = 0,
Ф 0, Ф 0. Тогда во всех трёх возможных случаях имеются асимптотические линии, определяемые уравнениями ю1 = ю2 = ю4 = 0 . Если при этом Д3 го-лономно, то р1 = р2 = р3 = 0 и формулы (2.1) принимают вид
ю4 = -/1(1) ю1 + аю4,
ю4 =-/^ю2 + Ью4, (4.6)
3 4
ю4 = сю .
Продолжая систему (4.6), получим
й/() = апю +а,12ю +а,13ю + (а^ + а +(/■()) )ю , йк{1) = а22ю1 +Р22ю2 +Р23ю3 +(Р24 +Ь2 +(/(1))2)ю4,
(/21) -/1(1))ю12 = а12ю1 +а22ю2 +а23ю3 + (а24 + аЬ)ю4,
/1(1)ю'3 = -а13ю1 -а23ю2 -(а34 + ас)ю4,
ю32 = -а23ю1 -р23ю2 + (-Р34 + Ьс)ю4, (4.7)
ёа = -Ью'2 - сю3 -а14ю1 - а24ю2 -а34ю3 - а44ю4, ёЬ = аю!, - сю^ -а24ю1 -Р42ю2 -Р43ю3 -Р44ю4,
3 3 1 2 3 4
ёс =-аю1 -Ью2 - (а34 + ас - аЬ)ю -Р34ю + сю -у44ю , ащ =а р , Рщ =Р щ , Ущ =У щ.
Покажем, что асимптотические линии ю1 = ю2 = ю4 = 0 - прямые линии. Действительно, для их касательных векторов е3 имеем йе3 =ю3е +ю^е2 + ю4е4 . Используя формулы (4.6) и (4.7), получаем ёе3 = 0 . То есть касательный вектор е3 асимптотической линии остаётся постоянным, что может быть лишь тогда, когда всякая асимптотическая линия семейства ю1 = ю2 =ю4 = 0 - прямая линия. Следовательно, трёхмерные торсы, на которые расслаивается Е4 , имеют прямолинейные образующие. Более того, вдоль асимптотической линии каждого торса его касательная трёхмерная плоскость не меняется, так как её нормальный вектор е4
остаётся постоянным. Это следует из того, что ёе4 =ю4е1 +ю^е2 +ю4?3 = 0 при ю1 = ю2 = ю4 = 0 (см. (4.6)). ■
5. Неголономные торсы 1-го рода, для которых к« = = 0, к« Ф 0
Асимптотические линии для таких НТ-1 имеют уравнения
ю1 = 0, ю4 = 0,
А касательные к ним заполняют 2-мерную плоскость Р2 :
х1 = 0, х4 = 0,
(5.1)
(5.2)
совпадающую с плоскостью касательных к линиям кривизны 1-го рода. Нормали НТ-1 при перемещении вдоль плоскости Р2 меняют своё направление. Действительно, для вектора е4 , ортогонального НТ-1, имеем
О'З І'З 10
сТе4 = (р а -р а )Є + р а е2 -р а е3 Ф 0.
То есть в неголономном случае нормали НТ-1 вдоль асимптотических линий (5.1) меняют своё направление. Это означает также, что асимптотические линии в этом случае не могут лежать в плоскости Р2 .
Теорема 5. Если трёхмерное распределение Д3 на Е4, для которого
к3(1) = = 0, кі1 Ф 0 , голономно, то его асимптотические линии, проходящие че-
рез М, лежат в двумерной плоскости Р2 , а нормали распределения Д3 вдоль них не меняют своего направления.
Доказательство. Покажем, что в голономном случае плоскость Р2 , определяемая уравнениями (5.2), остаётся неизменной в точках асимптотических линий
(5.1). При к® = 0 системы (4.6) и (4.7) принимают вид
а4 = -к1(1) а1 + аю4,
а2 = 6а4, (5.3)
dk() —йцЮ + а^ю + а^ю + (а^ + a +(k|()} )ю , k®ю2 — -а^ю1 - (а24 + ab)rn4, kj(1) ю'3 — -а13ю1 - (а34 + ас)ю4,
11 1 2 3 4 (5,4)
da + Ью2 + cю3 —-а14ю -а24ю -а34ю -а44ю ,
1 2 1 2 2 3 4
db - аю2 + сю3 — -а24ю - b ю - bcю -Р44ю ,
3 3 1 2 2 3 4
dc + аю1 + Ью2 — (-а34 - ас + ab)ю - bc® + с ю -у44ю .
Находим характеристику плоскости Р2 при смещении её по асимптотическим линиям ю1 — ю4 — 0 :
х1 — 0, х4 — 0, ю'2 х2 +ю3 х3 — 0, ю4 х2 +ю4 х3 — 0.
Учитывая (5.3) и (5.4), получаем, что плоскость Р2 остаётся постоянной. Это значит, что все асимптотические линии лежат в данной плоскости. Таким образом, пространство Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных торсов с двумерными плоскостными образующими.
Покажем теперь, что нормали е4 распределения Д3 не меняют направления при движении точки по плоскости Р2 , состоящей из асимптотических линий ю1 — ю4 — 0. Действительно, в силу (5.3) при ю1 — ю4 — 0 имеем
de4 — ю14е1 + ю4е2 + ю4?3 — 0.
Следовательно, е4 - постоянный вектор в точках плоскости Р2 . ■
и
6. Неголономные торсы 1-го рода, для которых А® = k® = k® = 0
Такие неголономные торсы называют неголономными гиперплоскостями, так как в голономном случае получаем расслоение пространства Е4 на семейство параллельных гиперплоскостей.
Неголономные гиперплоскости подробно исследованы в работе [4]. В ней получен следующий основной результат (в целом): в четырёхмерном евклидовом пространстве существует единственная (с точностью до постоянной) неголо-номная гиперплоскость. Уравнение Пфаффа, определяющее кривые неголономной гиперплоскости в некоторой неподвижной системе координат, имеет вид
dx4 = c(x3dx2 -x2dx3), c = const Ф 0.
Там же подробно исследовано векторное поле нормалей неголономной гиперплоскости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
2. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.
3. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырёхмерном евклидовом пространстве // Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады. Томск, 2003. С. 60-68.
4. Онищук Н.М. Неголономная гиперплоскость в четырёхмерном евклидовом пространстве // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3(4).
Статья поступила 09.04.2011 г.
Onishchuk N.M., Tsokolova O.V. NONHOLONOMIC TORSES OF THE FIRST KIND IN THE FOUR-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE. Nonholonomic three-dimensional distributions with zero total curvature of the first kind are considered in E4. There exist three types of such distributions depending on the values of the principal curvatures of the first kind. Geometry of each of them is studied.
Keywords: nonholonomic geometry, distribution, Pfaffian equation, vector field.
ONISHUK Nadezhda Maksimovna (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
TSOKOLOVA Olga Vyacheslavovna (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
