О дважды каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве e n Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

МЛ. Чешкова

О дважды каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп

Рассмотрим дважды каналовую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп - огибающую р-параметрического семейства и д-параметрического семейства гиперсфер (р + q = n—\). Центры гиперсфер описывают р-поверхность Ср и д-поверхность Сд. Дважды ка-наловая гиперповерхность есть частный случай циклид Дюпена [1-7], гиперповерхностей, у которых главные кривизны постоянны вдоль соответствующих им главных распределений. Дважды каналовая гиперповерхность имеет две отличные от нуля главные кривизны кратности р и q. Известно, что у циклиды Дюпена в Е3 С, С есть фокальные кривые второго порядка, либо прямая и окружность [5, с. 382].

Если М дважды каналовая гиперповерхность, то Ср,Сд конические сечения [6], где р-поверхность Ср есть сечение (р + 1)-плоскости (р + 1)-мерного конуса, а д-поверхность Сд - сечение (д + 1)-плоскости (д + 1)-конуса, либо Ср -р-плоскость, а С4 - д-сфера, либо Ср - р-сфера, а С4 - д-плоскость.

Теорема 1. Если М дважды каналовая гиперповерхность и р,д ф 1,п — 2, то конические сечения Ср,Сд есть р-поверхность и д-поверхность вращения соответственно.

Теорема 2. Плоские меридианы поверхностей вращения Ср,Сд есть фокальные кривые второго порядка.

1. Основные формулы.

Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп.

Обозначим _Р(М) - Д-алгебру дифференцируемых на М функций, Тд - _Р-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д,в), х(М) - алгебру Ли векторных полей на М , д -дифференцирование и <, > - скалярное произведение в Еп.

Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности М имеют вид [8, с. 36]:

dxY = VxY + 1(X,Y)n, дхп = -АХ,

(1)

где а е т1(м), х,Уех(м), 7 е Т2°(М) , *у(Х, У) = д(АХ,У) - вторая фундаментальная форма А - оператор Вейнгартена; V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< X, У >.

Гиперповерхность М имеет две главные кривизны: k 1 кратности р и к2 кратности q,p+ g = тт. — 1, причем к\к2 ф 0.

Определены два инволютивных распределения: А, А1, где

Д(ш) = {Xm Е ТтМ : АХт = к!Хт}, т Е М и ортогональное ему

A-L(m) = {Хт Е ТтМ : АХт = к2Хт}, причем

Хкх = 0,Х Е A,Yk2 = 0, У Е А1. (2)

Дифференциальное уравнение

е(х) = ^Ц- = о,хеА к 2 - к 1

определяет [6] инволютивное (g — 1)-распределение S С А, а дифференциальное уравнение

к 1 - к2

определяет инволютивное (р — 1)-распределение ¿ЧД1. Положим, U £ A, U 1.8, V Е A1, VUi1 - орты. Итак,

Введем обозначение

e(U) = a,p(V) = b. (3)

При а = 0, (е = 0), b ф 0 [6] Сд - g-плоскость, а Ср - р-сфера. При Ъ = 0, (р = 0), а ф 0 Сд -g-сфера, а Ср - р-плоскость. Если а = 0, b = 0, то [6] к\к2 = 0, что противоречит понятию дважды каналовой поверхности.

Итак, положим, ab ф 0.

Имеют место сотношения [6]:

= bX,VuV = bU, \JWU = aW,VvU = aV.

VuU = -bV,VvV = —all,

yxu = -vb + k^ + b2x,

(4)

(5)

(6)

Vwy = -Ua + kf+a2W, (7)

X Е 6, IV Е ¿±-

Кроме того, функции а,Ь,кх,к2 удовлетворяют соотношениям

Хк1 = 0,]¥к1 = 0, (8)

= 0,Ук1 = Ь(к2 - к^,

Хк2 = 0,\¥к2 = 0, (9)

Ук2 = 0, ик2 = а(к1 - к2),

Ха = 0, Ша = 0, Уа = 0, (10)

хь = о,\уь = о,иь = о, (И) х еб1,

иа + УЬ + а2+ Ь2+ кгк2 = 0, (12)

ХУЬ = 0,11УЬ = —аУЪ, ШУЬ = 0, (13) У/и а = 0, Уиа = -Ы/а,Хиа = 0, (14)

иПа = -а(а2 +Ь2 + Ша + к'(), (15)

УУЪ= -Ь(а2+ Ь2+ ЗУЬ +(16)

2. Доказательство теоремы 1. Гиперповерхность М имеет две главные кривизны: к\ кратности р и к2 кратности q,p + q = п — 1, причем к\к2 ф 0.

Обозначим через г - радиус-вектор точки т £ М. Гиперповерхность М есть огибающая д-параметрического семейства гиперсфер радиуса рх, центры которых имеют вид

1 , 1 , С1 = г+ —п,р 1 = — ,

к 1 к 1

и огибающая р-параметрического семейства гиперсфер радиуса р2 с центром в точке

1 , 1 , С2 = г+ —п,р2 = — .

к 2 к 2

Из равенства дхС\ = ОД £ Д следует, что нормали гиперповерхности М вдоль интегрального многообразия Бр распределения А проходят через неподвижную точку Таким образом, Бр

принадлежит гиперсфере. Кроме того, [6] Бр принадлежит (р+1)-плоскости 7гр+1 (5Р), т.е. Бр есть р-сфера.

7Tp+1(Sp) = {s,S,U,-bV + k1n}, (17)

s е sp.

irp{Sp) = {s,6,U},seSp касательная р-плоскость к Sp,

nt = —bV + kin нормаль к Sp, принадлежащая np+1 (Sp) 1

Ц = г-

Ь2 + к2

(-bV + к in)

- центр Sp,

Р* =

V^Tk

- радиус Sp.

При Ъ ф 0 нормали п вдоль Sp образуют (р + 1)-конус Кр+1. Точка С2 опишет р-поверхность Ср, лежащую на (р+1)-конусе Кр+1, и при аЪ ф 0 р-поверхность Ср принадлежит также (р + 1)-плоскости Ш+1(Ср) [6].

П Р(СР) = {c,S,k2U+ ап},с£Ср (18)

- касательная р-плоскость к Ср,

Так как

dxY = {VxY)1 +g{X,Y)T, duY = (duY)\

T= -(— + a)U - bV + kin, a

Ôxt= ((^ + a) - aki)X, t = k2U + an,

dut = k2T+—t, a

0\x,YeS,

dxT = -((^ + a)2 + b2 + k21)X

e IP+1(CP),

диТ=-(^ + а)Т

e w+1{cp),x,Y e s, то

Up+1{Cp) = {сД k2U + an,

~(^ + a)U -bV + кщ}.

Докажем, что р-поверхность Ср С 1Р+1(СР) есть огибающая однопараметрического семейства р-сфер, принадлежащих 1Р+1(СР), центры которых описывают прямую линию, т.е. Ср - р-поверхность вращения.

Определим орт нормали п* р-поверхности СР с Ш+1(СР). Положим

N = Т + Bt, < N.t >= 0, п* =

N

W

Откуда

В =

Mir + д)

к2 + а2

причем в силу (8)—(11)

ХВ = Q,XN = 0,Х е S. (20)

Рассмотрим отображение / : Sp —>■ Ср. Имеем

dfx = дхс2 = ^^х,х es,

dfU = диС-2 = k2~kl{k2U + an) =

к2 - ki к I

t.

Обозначим через А* оператор Вейнгартена р-поверхности Ср С 1Р+1(СР). Имеем

дхп* = -АЧ/Х,Х е 6,

дип* = -АЧ/и = ~к2~2к1АЧ.

к2

Используя (4)-(7), получим

дхп = -к*^/Х,АЧ/Х = к*1С1/Х,

где

к* = щ^ + а)2 + ь2 + к1-

,11а ч , к 2

В{-+а )+ак1 --—,

а к2 — к\

причем в силу (8)-(16), (20)

Хк\ = 0,Х е 6.

Таким образом, р-поверхность Ср С 1Р+1(СР) есть огибающая однопараметрического семейства р-сфер, принадлежащих 1Р+1(СР), центры которых имеют вид

Я = С2 + ^п*.

Действительно, dxQ = 0,Х Е S. Так как

< dfX,t >= 0,<A*dfX,t >=

< dfX, A*t >=0Д£ S,

то

Имеем

dun* = —k2t.

dun* = {uW\)N + W\{duT+

(UB)t + Bdut) =

(^(T + ^ + ^H^ + ajT-b

(UB)t + Bk2T + B—t) = —k2t.

Откуда

k* = _((7 JL)5 _ -L-UB - B-, (21)

2 1 \N\ a ' K !

В силу (8)—(16), (20) имеем

Хк*2=0,Х еб. (23)

А это означает [9, с. 79], что р-поверхность Ср С 1Р+1(СР) есть р-поверхность вращения.

Аналогично доказывается, что д-поверхность С4 С П9+1(С79) есть д-поверхность вращения.

3. Доказательство теоремы 2. Рассмотрим распределение Е = {II, V}. Так как [и, V] = ^иУ — = Ъи — аУ Е Е, то оно интегри-

руемо. Интегральное многообразие М2 распределения Е принадлежит 3-пространству Е3 = (11,У,п), которое постоянно вдоль II, V. Следовательно, п является нормалью 2-поверхности М2 С Е3, а к\, к2 - главными кривизнами 2-поверхности М2 С Е3, причем ик\ = 0, Ук2 = 0. Таким образом, М2 С Е3 - двумерная циклида Дюпена, у которой линии центров С = (С2)и,С = (С\)у совпадают, соответственно, с плоскими меридианами поверхностей Ср = (С'2),Сд = (С\). С другой стороны, у цик-лиды Дюпена в Е3 С, С есть фокальные кривые второго порядка [5, с. 382]. Теорема доказана.

Литература

1. Pinkal U. Dupinsche huperflachen in Е4 // Manuscripta math., 1985. №51.

2. Cecil T.E.,Ryan P.J.Conformai geometri and cyclides Dupin // Can.J. Math., 1980. 32. №4.

3. Вяльяс М.Э., Лумисте Ю.Г. Изотермические гиперповерхности и трехмерные гиперцик-лиды Дюпена-Маннгейма // Мат. заметки. 1987. Т. 41. №5.

4. Лумисте Ю.Г. Конструкция Кэли-Каталана для некоторых гиперповерхностей Дюпена // Уч. зап-ки Тартусского ун-та. 1986.

5. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.

6. Чешкова М.А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве // Математический сборник. Т. 191. №6. 2000.

7. Голышева О.С. Некоторые свойства дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве Еп // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. №32.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука. 1981. Т. 2. 414 с.

9. Чешкова М.А. Риманова геометрия. Барнаул, 1999. Ч. 2.