Конформное соответствие Комбескюра m-поверхностей в евклидовом пространстве e N Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДИ 514.75

М.А. Чешкова

Конформное соответствие Комбескюра 7«-поверхностей в евклидовом пространстве

Еп

Отображение поверхностей р : М -> М в Е3 называется [1, с. 282] соответствием Комбескюра, если касательные плоскости к поверхностям М, М в соответствующих точках параллельны (соответствие Петерсона) и сохраняются линии кривизны. Для поверхностей в Е3 конформное соответствие Петерсона является соответствием Комбескюра.

Для т-поверхностей соответствие Петерсона будем называть соответствием Комбескюра, если существует поле нормальных векторов ф такое, что линии кривизны поверхности М относительно V перейдут в линии кривизны поверхности м.

В работе исследуется конформное соответствие Комбескюра ш-поверхностей в евклидовом пространстве Еп,т > 2.

Будем рассматривать т-поверхности М,М,т > 2 , у которых секционные кривизны не равны нулю.

Обозначим Е(М) - Я-алгебру дифференцируемых на М функций. ТЧ(М) - Е-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д,з), \(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д дифференцирование и <,> - скалярное произведение в Еп, Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности М имеют вид [1, с. 23]

ОхУ = УА-У+ «(Х,У), (1)

дхі — —А{Х +

где А', >' Є Т^(М), V - связность Леви-Чивита метрики у(Х,У) =< Х,У >, а - вторая фундаментальная форма поверхности М, Vх - нормальная связность, А$ € Т/(М) - оператор Вейнгартена, соответствующий полю £ Є ТМ1.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

Я(А\ У)І7 = А,-Л[у,г)Х - А„(х,г)У. (2)

Л^Л'.УК - о (Л*. .4^ У) - а(У, А^Х),

< И1 (X, УК, V >= д([А(, Аи]Х. У), д{А'Х,У)=<а(А',У),Є >,

(У*Л£)У - ^уЛс)ДГ = Л^У - А*Х'Х., (оха)(у,г) = (1>уа)(Х>г), где [,] - коммутатор матриц,

Я(X.Y)Z = - VyVx2r - ?[х,У]г

тензор кривизны связности V, Ях(Х, У)4 = Ух'ФуЪ - тензор кривизны

связности V1, (Уа'-4?)У = V* Л? У - Л^(Ул'У) ковариантная производная Л^ в связности V, (Ол-о)(У,г) = V^о(У,г) - а^хУ.г) -«(У Уд'2’) -ковариантная производная а в связности V1 ф V.

Обозначим через г радиус-вектор точки р £ М, г - радиус-вектор точки <£>(/>)• Тогда отображение : М —► М имеет вид <р(г) = г

Так как соответствие Петерсона [I, 3], то

£ е ТХМ, с!АХ) = ЕХ, Е е Т}{М),

(с»лОТ = -А<:ЕХ = -А(Х, где (...)т - касательная составляющая. Откуда

А^ = Л€, (3)

где Л^ оператор Вейнгартена поверхности М.

Отображение у? индуцирует на М метрику

д(Х,У)=< сЬр(Х),<1<р(У)>=

ч.

д(ЕХ, FУ).

Обозначим через V связность Леви-Чивита метрики д, а через Я - тензор кривизны связности V. Тогда [3]

9л(ЬрУ — с!<р\7хУ = дхЕУ-РЧхУ = а(Х,У),

а(Х,У) = а{Х,ЕУ), (4)

<1Е(Х,У) = О, <а(Х,У),£>=< ЕХ.А^ЕУ >. а(Х,ЕУ) = а(У,ЕХ).

УхУ = ^_1Ух^У, (5)

щх,у)г = р-‘я(а\у)Я2,

где А', У, г е х{М),Е 6 Т}(М), а - вторая фундаментальная форма гиперповерхности М, <1Е(Х, У) = VхЕУ-Уу ЕX- Е[Х, У] - внешний дифференциал поля Е в связности V.

Пусть нормаль ф обладает тем свойством, что отображение у? сохраняет линии кривизны от носи гель но ф.

Положим к{[ф) («' = - собственные

значения (некоторые из которых могут совпадать) оператора Аф, Л',- - ортонормированный базис в ТР Д/, р 6 М такой, что

,ЦА, = к{(ф)Х{. (6)

Тогда, если у? преобразование Комбескюра,

то

А*РХ\=ЫФ)РХ{. (7)

I иким образом, в силу (3)

РХ- =/,Л'1./Д-,(0) = Ш). (8)

Теорема 1. Если соответствие Комбескюра у> : М —> Л/ т-поверхностей Л/, Л/ 6 Еп(т > 2), ц которых секционные кривизны отличные от нуля, конформное, то локально

1) либо р - гомотетия,

2) либо т-поверхности М, М расслаиваются ни [т — 1)-поверхности /V, /V = 9?ЛГ, содержащие т - 1 линий кривизны относительно нормали Ф. Ограничение отбражения у- на Л' есть гомотетии.

Доказательство. Если отображение у? конформное, то

//и = /г’ = сг~ (г = 1.т).

Откуда /г = //'.

Возможны следующие случаи.

Л' Л — = /т-1 — / ф 0. Тогда Я/? =

/<?. ^ € \ (М). Имеем

с1Е(Х,,Х,) = ГХ'ЕХ1-?Х1ЕХ1-Р[Х(,Х^ = Х^/)^~Х^/)Х^

ДЧХ,Х; -ЧХ,Х{ ~[Х;,ХА) = 0.

Откуда Л,(/) = 0. i — ]....т. т.е. - гомоте-

тия

2) /, = ... = /, = /, /,+1 _ ... = /т -/*. в ф 1, т - I, если т > 3.

Докажем, ч го этот случай не имеет места. Оператор Е имеет два разных корня причем

/ + Г = 0. (9)

Определены ДШЯ .С^'ГОЛ'Ш’ЙИГЬИЫХ распределения: Лт. Лх, где

АТ(р) = {.V 6 7),М : ЕХ = /X),

Лх(р) = {УеТрМ:Е¥ = ГУ), причем, в силу (4)

«(Л',у) =одедт,Уед1.

Так как размерность Дт(р), р € М больше

1, то в силу (4), имеем

dF(X,X) = {Xf)X-(Xf)X-

f[X, X] — F[X, А'] = О, А € Дт.

Полагая [А, А] = [А,А]Т + (А', А']1, где [А, А]т G Дт, [A, A]1 G Дх, получим (А/)А - (А/)А = 0, (/ - /*)[А, А]1 = U.

Таким образом,

А/ = 0, A G Дт. (10)

Равенство [А, А]1 = 0 означает, что распределение Дт инволютивное.

Так как размерность Дх(р), р € М также больше 1, то аналогично получаем

У Г = У/ = 0, У 6 А1. (11)

Таким образом, оператор Е имеет два постоям них карт /,-/ и Ха = 0, А € \{М).

Если отображение tp конформное, то [4, с. 84]

ЧхУ = VxY+u(X)Y + w(Y)X - (12)

g(X,Y)UMX)= — =^f< v f

W(A) = g(X, U), А, У Гак как <г — const, то имеем

Va-У = VA y, R{A, Y)Z = R(X, Y)Z,

A, Y,Zg x(M). Используя (5), получим

R(X,Y)EZ = FR[X,Y)Z.

Полагая A = A, € Дт. У = Z = A) € A1, получим

~fR{XitXj)Xj — ER(Xi,Xj)Xj,

т.е. R(Xj,Xj)Xj g Дх. Следовательно, g(R[Xi. Xj)Xj, Xi) = 0, что противоречит условию. что секционные кривизны поверхности М отличные от нуля.

3) fi — ... =/u,_j =/,. jfm /* -с -/ Определены ДТ,ДХ, имеет место (9), (10). Так как размерность Дх(р) равна I, то возможно неравенство

У/^0,У' € Дх

Таким образом, т-поверхности М, М рас-^плияшсчпдр ,ня — ^-.пов^пхносхи /V ./V интегральные многообразия распределения ДТ,</^ДТ. Ограничениеотбражения <р на Л" есть гомотетия.

Рассмотрим, используя (10),

г/т. У) = .ГУхУ - (УГ)Х - Г7гх-/(УА-У-Уу*)Т-/(Уд:У ~ УуХ)х = 0.

X е Д’ . V € Дх.

Откуда

у/

(УА у

/* -Г

-X = ДА',

13)

лг € дт, V 6 д1-

Нормируем вектор >' 6 Д1. Дифференцируя

равенство </(У, V) = 1, получим

'/(УлУ У) = 0, £((УуУ, У) = 0.

Кроме того,

0(УуХ.У) + г(лг,УкУ) = 0. Используем (13). Имеем

*{Х,УуУ) = 0,У*У = Уа-У

Ига к,

Уд У = ЬХ, УуУ = 0, (14)

(УуА')х = 0,

Л' 6 ДТУ 6 Д\|У| = 1.

Так как о’(А') = д(Х,и) = 0, X € Дг, получим V € Д1 ■ Имеем

и =ы(У)У = -2 НУ.

Из (5), (13) имеем

У А-У = -ИХ, У У У = -2 Л У,

УуА' = (УуХ)т - 2ЛХ, х е Дт, У 6 Дх.

В силу (2).(14), имеем

Л(Х, У)У = -(УЛ + Л2)Х =?

(15)

(16)

А

«О'.У)

А — Ай(а',у)У1

а (А', У) = 0, А' е ДТ,У £ Дх

Итак,

Аа(у,У)Х = кХ, (17)

* = -(УЛ-|-Л2)ДеДт.

Таким образом, оператор -АЙ(У,У)> следовательно и оператор Ла(у,у) = имеют собст-

венные значения кратности т — 1. Обозначим а(У, У) = г. Имеем

(гг) = ... = кт- 1(г) = к, кт{т) = к\ и в силу (3)

*1 (г) = ... = кт-1{т) =к = /к, кт(т) = к' = -/Г.

Лемма 1. Имеют место равенства

А* = 0,ХеДт. (18)

Доказательство. Используя (16), находим Д(Х, У)У = —2(ХЛ)У + (У/> + Л2)Х.

Так как РЁ(Х,У)У = ЩХ,У)РУ, то получим ХЛ = 0,ХеДт. (19)

А так как

ХУЛ-УХЛ - [А, У] Л =

ХУЛ-(У хУ-УуХ)Л =

ХУЛ - ЛАЛ - (УуХ)ТЛ = 0.

то следует А'УЛ = 0. Таким образом, А’А; = Х(УЛ + Л2) = 0,Х 6 Дт.

Лемма 2. Векторное поле г постоянно вдоль /V в связности Ух.

Доказательство. Имеем для X €Е Дт в силу (14), (2) и равенства а(Х,У) — 0

ухг = ф*а)(УУ)+

2а(УхУ,У) = (Р>х<*)(У,У) = (Оуа)(Х,У) = Уу«(Х, У)-о(УуХ,У)-а(Х,УуУ) = 0.

Таким образом,

у£г = 0,ХеДт. (20)

Теорема 2. N, N принадлежат гиперсферам.

Доказательство. Рассмотрим

1 /

С = г + 7г, С' = г + — г.

/р А'

Имеем

дхС — дхг+ тдхт =

ЛЧ- 1(-.4тЛ' + Ух-г) = 0,Л' е Лт.

Анаши ично, 9л'Г = 0. Таким образом, (т — 1)-поверхность N принадлежит гиперсфере радиуса |7|. центр которой С, а (пг — 1)-поверхность

N принадлежит гиперсфере радиуса |£|, центр которой С.

Следствие. Если соответствие Комбескюра у : М —* Л/ гиперповерхностей М.М в Еч(п >

3), у которых гауссовы кривимы, отличные от нуля, конформное, то локально

1) либо <р - гомотетия.

2) тбо М,М гиперповерхности вращения. Доказательство. Имеем а (У, У) =

Ь(У,У)п.Ь е Т§(М).АТХ = Ь(У.У)АГ1Х = кХ -вторая фундаментальная форма, п орт нормали и М. Положим .4,, = А^АХ = АЛ', .4У = А*У. Имеем А- = АЛ*. Так как У^т = (Л'А*)п, то в силу лемм 2. 3 имеем

Л'А = 0,.\Т = [),ХеДт. (21)

Гиперповерхность М есть огибающая семейства гиперсфер радиуса щ, центры которых С =

г + описывают кривую (С), а гиперповерхность М есть огибающая семейства гиперсфер радиуса |£|, центры которых С = г+ {». описывают кривую (С).

Следовательно, М, М - каналовые гиперповерхности.

Условие (21) достаточное, чтобы линия центров (С') была прямой или точкой. В последнем случае А* = А и М - гиперсфера.

Действительно, рассмотрим линию центров (С'). Дифференцируем вдоль У.

дуС = У +уфп- =

где і = АУ + кп В силу (17) У к = -АА‘ - Л2, а из (2), (14) имеем УХ-4У - У у АХ - А[Х.У] = \~ ИХ - (УА)Х - НХХ = 0 . Откуда У А = Л(А* -А).

Дифференцируем I вдоль получим дуі = (УА)У+ АА’7ї+

(УЛ)п — ІгХ'У = —

Это означает, что линия центров (С) прямая либо точка, если А = А*, а каналовая гиперпо-рерхность М есть гиперповерхность вращения, параллель которой (га — 2)-сфера.

Аналогично проверяется, что М - гиперповерхность вращения.

Литература

1. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.

2. КоОаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., 1981.

3. Чешкова М.А. Соответствие Петерсона пары п-поверхносгей // Труды Международного конгресса ассоциации ’’Женщины-математики”. Вып. 3. Н. Новгород. 1994.

I. Бессе А, Многообразия Эйнштейна. М., 1990