CC BY
28
О гауссовом отображении гиперповерхности
УДК 514.75
М. А. Пешкова
О гауссовом отображении гиперповерхности
Известно, что гауссоно отображение / : М -* .V- минимальной поверхности М в евклидовом пространстве Ел конформное.
Теорема. Если гауссово ктобрижение / гиперповерхности М в Е'*(п > 3) невырожденное и конформное, то гиперповерхность М локально
I) либо гиперсфера.
3) либо гиперпатеноид.
1. Основные формулы. Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве £"‘.
Обозначим Р(М) - /?-ялгебру дифференцируемых на М функций, Г? - Г-моду ль дифференцируемых на М тензорных полей типа (</,.•>), д(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д -дифференцирование и <,> - скалярное произведение в Е".
Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности М имеют вид (Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2 )
дхУ = ъху + Ь(х,у)п, (1)
дхп = -Л А,
где Л е ТЦМ), Х,У Є х(М), Ь Є Т${М), 1>(Х. У) - вторая фундаментальная форма; А оператор Вейнгартеня; V - связность Леви-Ч пиита метрики у(Х, V) =< X, У >.
Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци
щх, у)г = б(у, я)ах - ь(х, г)АУ, (2)
с1А(Х, У) = О,
где и(х У)г = уаУі-г - Vучхг - V[х,у]г тензор кривизны связности V; с1А(Х,У) -
V л- А У -У у АХ -А[Х, V] - внешний дифференциал поля А в связности V.
Обозначим через г радиус-вектор точки р Є М. Тогда гауссово отображение / : М —> имеет вид /(г) = п.
Откуда
<1}{Х) = АХ, X Є х(М).
Отображение / индуцирует на М метрику ЩХ, V) =< ЩХ),лЧ(У) >= ЩАХ, АУ).
2. Доказательство теоремы. Пусть (» = 1..... г» — 1) — собственные значе-
ния (некоторые из них могут совиадать) оператора А; Хі - ортонормировалный базис в 7).М\ о с М такой, что АХ, =
Если отображение / конформное, то
дн = к*=о3 (< = 1..п- 1).
Откуда к;2 = к/.
Возможны следующие случаи.
1) кх = ... = кп-) = к ф 0. Гиперповерхность М есть гиперсфера 5п_1.
2) к\ — ... ■ кц, — к, кт-\-1 — — кп—\ —
к, т ф 1, п — 2, если п > 4.
Докажем, что этот случай не имеет места. Оператор А имеет два разных корня к, к, причем
к + к = 0. (3)
Определены два распределения: Д, Дх, где Д(р) = {А’ £ ТРМ : АХ = кХ},
Дх(р) = {Х е Т„М : АХ = А-А'}.
В силу (2) имеем
<М(А, А) = (Xк)Х - (Хк)Х - к[Х,Х]-
А[Х, А] = 0, А.АеА.
Полагая [А, А] _ = [А, А]т -I- [А, А1Х, где [А, А]т £ Д, [А, А]х 6 Д1, получим (Хк)Х -(Хк)Х = 0, (к-к)[ А,А]1 = 0.
Таким образом,
А к = 0, А е Д. (4)
Равенство [А, А]1 = 0 означает, что распределение Д инволютивное. Аналогично получаем,
У~к = Ук = 0, У'бД1. (5)
Таким образом, оператор А имеет два постоянных корня к, к. Покажем, что если оператор А имеет два постоянных корня к, к. то либо к = к (гиперсфера), либо кк = 0, что противоречит условию теоремы, утверждающей что гауссова кривизна К ф 0.
Из равенства ЛА(А, У) = 0, А € Дт, У £ Дх получим
(Ук)Х -(к-к)(УхУ)т = 0, (6)
(УА-У)Т =0, (УуХ)х = 0, X £ Ат,КеДх.
'^’[а-,у]У = —(У Л. + 1>~).Х
С другой стороны, в силу (2), Я(Х,У)У = ккХ. Откуда
(ифференцируя равенство д(Х, У) = О, Л £
У Л = -АА - Л;2.
(12)
Л V £ Дх вдоль У £ Д , получим
(УуУ)т = 0.
Лиячсп ично
(8)
(9)
(Уд-Х)1 =0.
П силу (7)—(9) имеем
Я(Х,У)У =
V А- V у У -ЪуТхУ-\>?ху^>хУ =
Ух(УуУ)х-УНУх У)1-
Ъ(чху)±-(ЧуХ)т'>' =
(У*(УгУ)х)х-(?у(У*Пх)х-
(У(7хПхУ)х-^,хгУ)хеДА.
| другой стороны, в силу (2) Н(X, У)У = ААА 6 Дт. Следовательно, кк 0, что противоречит условию теоремы.
*5) А*1 — ... — А^ —у -— А, к^ — ] — к. Гиперповерхность М есть огибающая семейства гиперсфер радиуса центры которых
имеют вид С = г + %п.
Следовательно, М - каналовал гиперповерхность.
Докажем, что линия центров - прямая. Из (4) и (С) и равенства Хк — Хк = 0 имеем
(У^У)Т = 'ГГ£ХЛЧуХ)1 = п.
Положим У орт Дифференцируя равенства //(А. У) = 0, вдоль У, а равенство д(У,У) = 1 вдоль 2 £ \(М), получим
УуУ =0, (У гУ)1 =0, X € Д. (10)
Рассмотрим линию центров. Дифференцируем вдоль У.
*С = У+Уфп-£У=^1.
где < = кУ 4- Ли. Дифференцируем < вдоль У, получим
йк( = (УА)У + ААп + (Ук)п - ЛАУ - -М.
Это означает, что линия центров прямая, а каналовая гиперповерхность есть гиперповерхность вращения, параллель которой (л - 2)-сфера.
Если размерность пространства п - 4, то рассматриваются только случаи 1, 3
Покажем, что плоский меридиан есть цепная линия.
Обозначим через а - орт оси. а через р -радиус-вектор единичной (п - 2)-сферы. Тогда гиперповерхность М можно задать в виде
г = ип~'р(и1.и п-2) + /(чп-,)о.
где / — дифференцируемая функция, и1. .... и" 1 - параметры. Имеем
п~1р(, (■* = 1.п — 2).
Гп-1 = + р!
Гр-а
п =
Откуда
Итак.
уОТ+Т Г
п. = -----. , ,
и"-1у/(77)г+1 /"
(у/(/')2 + 1)3 /'
Лп— I
П-
к =
УхУ = иХ, хе4'*=Й-
(И)
иП-1ч/(//)3 + 1' /"
Имеем
[А', У] = Уд-У - УуХ = ЛХ— .'У1-А)т1У,а>-]У = /гХ-/.(УуХ)т.
А' МЛа + 1)3'
Требуя А + А = 0, получим
ип-7" + (/')3 + /' = °
Решение / = СагссИ-1 , С = сопеЛ цепная линия. Гиперповерхность М - гиперпатеноид.
