CC BY
25
Об одном свойство (п — 2) — каналовой гиперповерхности
УДК 514.75
О.С. Голышева Об одном свойстве
п
2)"
каналовой
гиперповерхности в евклидовом пространстве
Еп
Рассмотрим гиперповерхность М"""1 в евклидовом пространстве Еп.
Обозначим Р(Мп^г) — Я-алгебру дифференцируемых на М"""1 функций, 'ЦЦМп^1) — F - модуль дифференцируемых на М"""1 тензорных полей типа (д, я), — алгебру Ли векторных полей на М"""1 , д — дифференцирование и <, > — скалярное произведение в Еп.
Формулы Гаусса-Бейнгартена гиперповерхности М"""1 имеют вид [1, с. 36]
дхУ = ЧХУ + Р(Х,У)п; дхп = -ЛХ,
(1)
Для X, У £ Ат в силу (3) имеем ё,Л{Х,У) = Уа-АУ - УуАХ - Х[Х, У]т -/л[Х,У]х = (ХА)У - (УА)Х + (А - ц)[Х, У]х =0. Отсюда при п > 3 получим [X, У]х = 0, где X, У £ Ат, что означает инволютивность распределения Дт и
XX = 0. X £ А
(3)
где Л Ё ГДМ"-1), Х,У Ё р Ё
7*2 (М™^1) , р(Х,У) — вторая фундаментальная форма Л — оператор Бейнгартена, V— связность Лсви-Чивита метрики д(Х, У) =< X, У >.
Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци
ЩХ, У)Г/ = р(у,г/)ЛХ ^ р(Х,Я)ЛУ; (2) (1,Л{Х, У) = 0,р(Х,У) = д(ЛХ, У),
где ЩХ,У) = ЧхЧуЯ - ЧуЧхЯ - Ч[х,г]Я
— тензор кривизны связности \7> ¿Л(Х, У) = ЧхЛУ - Чу АХ - Л[Х,У] — внешний дифференциал поля Л в связности V-
Гиперповерхность М"""1, являютцаяся огиба-ютцей 1-параметрического семейства гиперсфер, называется (п — 2)-каналовой. Она несет (п — 2)-мерньте сферические образующие. Б работе Б .И .Бедерникова [2, с. 89] доказано,что гиперповерхность М"""1 является (п — 2)-каналовой в том случае, когда оператор Бейнгартена имеет (п — 2)-кратное собственое значение.
Пусть оператор Бейнгартена в каждой точке Р ё М"""1 имеет собственные значения А и ц, причем, А — кратности п — 2.
Тогда на М"""1 определены два распределения:
ДТ(Р) = {X Ё Трм: ЛХ = АХ}, размерности я-2и ему ортогональное
ДХ(Р) = {У Ё Трмп~г : ЛУ = цУ] размерности 1.
А1 инволютивно как одномерное распределение.
Для X Ё Дт,у Ё Д1 имеем ё,Л{Х,У) = -^[Х^]1 = (Хц)У-(УА)Х + /IVХУ - АУу X - Х[Х, У]т ^ц[Х, У]х = 0. Раскладывая [X, У] = VхУ — Уу X на касательные и нормальные составляющие, получим
(УхУ)
(УуХ)
(УХ)Х
й^ху
(Хц)У
(4)
(А-Л)"
Нормируем вектор У ё Д1, т.е. положим д(У, У) = 1. Дифференцируя равенство вдоль У ё ДХ, получим
2</(УуУ, У) = 0, что означает
УуУ = (УуУ)х. (5)
Распределение Д называется параллельным [1, с.44], если X Ё А, то ¥уХ Ё А, где У Ё
Х(МП~1)
ЛЕММА 1. Условия параллельности для Дт и А1 эквивалентны,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. д{У, X) = 0, где X Ё АТ и У Ё ДХ Дифференцируя равенство ВДОЛЬ Я Ё получим
д(УУгХ)+д(Х.УгУ) = 0. (6)
Из условия параллельности Дт следует, что д(У, ^гХ) = 0, следовательно, из (6) имеем д(Х, "VгУ) = 0, т.с.Уг^ ё А1 в силу произвольности векторного поля X ё ДТ, что означает параллельность Дх. Обратно, пусть А1 параллельно, тогда
д(Х,ЧгУ) = 0, где X Ё Дт, У € Дх, Я Ё
Из (7) в этом случае получаем, что
д(У,Ч2Х) = 0, то есть Ё Дт, где 7 Ё
Об одном свойство (n — 2) — каналовой гиперповерхности
Х(МП~1). Таким образом получены условия параллельности Дт. Лемма доказана.
ЛЕММА 2. Если распределения Дт и Д-1 параллельны, то для тензора кривизны ЩХ,У)У = 0, где X е Дт, У £ А1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условий параллельности распределений имеем:
(УуХ)1 = о, (УХУ)Т = 0, (ЪхХ)1 = о, (УуУ)т
(7)
где X Е Дт, У € Д"1 • Из формул (5) и (7)
УуУ = УуУт + УуУ-1 = 0. (8)
Рассмотрим
ЩХ, У)У = Ух УуУ - УуУх У - У[Х,У]^ =
^Уу(УхУ)^ _ У(^.у)хУ + У(^Х)тУ
Так как (УхУ) € Д"1, то Зф, такое, что
УхУ = фУ, где ф = аг(УхУ,У).
Тогда в силу (7)
ЩХ,У)У = -ф^уУ - (Уф)У - фУуУ + (У(^х)тУ)1- = ^(Уф)У + (У^^тУ)1
Следовательно, ЩХ ,У)У £ А1. С другой стороны, по (2)
ЩХ, У)У = /?(У, У)ЛХ = ХцХ, X £ Ат (9)
Т.е. ЩХ,У)У £ Дт. Следовательно, ЩХ,У)У = 0,где X е ДТ,У е Д-1. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА. Для каналовой гиперповерхности при (п > 3) следующие утверждения эквивалентны:
1) распределение Дт параллельно;
2) М"""1 локально есть гиперцилиндр.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Дт параллельно, тогда по лемме 1 и Д1 параллельно, следовательно, по лемме2 ЩХ,У)У = 0, где X е ДТ,У е Д-1, по (9)АцХ = 0, но А/ = 0, отсюда = 0. В силу (8) из (5) следует, что У А = 0, У 6 Д"1, но из (3)ХА = 0, X £ Дт, тогда А =сопя1. В этом случае оператор Бейнгартена имеет следующий
Агд:
/ А
\
\
0 /
Итак, мы получили частный случай каналовой гиперповерхности, которая является огибающей однопараметрического семейства гиперсфер постоянного радиуса Я = Так как из (1) и (9)дуУ = </(/1У, У)п = [т = 0 Следовательно, М"""1 — локально гиперцилиндр, образующие которого прямые, а направляющие (п — 2) — сферы постоянного радиуса.
Обратно, пусть М"""1— локально гипертщ-линдр. Пусть X £ Дт, У £ Д"1, рассмотрим Ух У = (УхУ)Т + (УхУ)1" в силу условия А =сопв1, из (7) в силу (4) получим
УхУ = УхУ±,^е Ат.
(Ю)
Рассмотрим У у У = дуУ — р(У,У)п, в силу (2)
УуУ = —цп = 0, (11)
таким образом из (10) и (11) распределение Д1 параллельно. Теорема доказана.
Литература
1. Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2.
2. Ведерников В.И. Поверхности, огибающие
семейство гиперсфер // Известия высших учебных заведений. Математика. 1957. №1.
