Трубчатые гиперповерхности в евклидовом пространстве е N Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Пешкова

Трубчатые гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп

Рассмотрена каналовая гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп, огибающая однопараметрического семейства гиперсфер. Трубчатая гиперповерхность есть частный случай ка-наловой гиперповерхности, у которых радиус гиперсфер постоянный.

Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп.

Обозначим Р(М) - Л-алгебру дифференцируемых на М функций, 77 - ^-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д,в), Х(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д -дифференцирование и <, > - скалярное произведение в Еп.

Формулы Гаусса-Вейигартена гиперповерхности М имеют вид [1, с. 36]

дхУ = Х> хУ + /3(Х,У)п, (1)

дхп = -АХ,

где А Є Т}(М),Х,У € х{М),Р Є Г°(М), 0(Х,У) - вторая фундаментальная форма А -оператор Вейнгартена, V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< Х,У >.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

Я(Х,¥)2= (2)

Р(у,г)Ах -р(х,г)АУ,

ЛА{Х,У) = О,

где я(х,У)г = - чУчхг - ъ[хх]г

тензор кривизны связности V, сІА(X, У) — ЧхАУ — УуАХ — А[Х,У\ - внешний дифференциал поля А в связности V.

Каналовая гиперповерхность М имеет две главные кривизны к кратности п — 2 и к кратности 1.

Определены два инволютивных распределения: Д, Д1, где

Д(р) = {Хр Є ТтМ : АХР = кХр], рЄ М и ортогональное ему

ДХ(Р) = {*Р Є ТРМ : АХР = кХр},

Интегральные многообразия распределения Д есть (п — 2)-сферы 5”-2 [2, с. 25], принадлежащие гиперсферам 5"-1 с центрами

F = г + —п к

и радиусами р = ^ и гиперплоскостям *п-1 (р) = {Д(р), (АУ + кп)р},

ре М.

Положим

V £ Дх, < У,У >= 1.

Тогда

е А,гех(м).

Рассмотрим

kVxV-kVvX -A[X,V] = О, X Є Д. Разлагая

на составляющие ()т £ Д,()Х 6 Д1 и используя равенство [X, V] = Уд-К - получим,

что для каналовой гиперповерхности выполняются равенства

Если к = const ф 0, то гиперповерхность М называется трубчатой и является огибающей однопараметрического семейства гиперсфер постоянного радиуса р = щ.

Из (3), (4) следует, что для трубчатой гиперповерхности имеем

VxV,VvX,[X,V]

dA(X, V) = (Xk)V — (Vk)X+

причем

Xk = 0.ХЄД. A = 0, v*y = 0, Хєд. (5)

Кроме того, дифференцируя равенство < У, V >= 0,У е Д вдоль X е Д, получим

7хУбД, Х.УбД. (б)

Так как УуУ 6 Д. то введем обозначение

ЪуУ = си, (7)

где и 6 Д - орт. Дифференцируя < Х,У >= О вдоль V и используя (3), (7), получим е(Х)+с < X, и >= 0, или

V[xy]Y = -к'кд(Х, Г)V, X, У Є Д. Имеем

Xt(Y) — e(VxV) + t(X)c(Y) =

—ккд(Х, Y),X,Y Є Д Если X,Y Є 8, получим

c(VxY- VyX) = «([X,Y]) = 0,

с = —e(t/), <r(X) = 0, X±U, V.

Обозначим через <5 Є Д - (n — 3)-распределение, ортогональное U. Таким образом,

Д = {6,U).

т.е. [X, У] 6 8 и 8 - инволютивное распределение.

(8)

Так как Д = {(5, и}, то интегральное многообразие <2 распределения 8 принадлежит (л-2)-сфере 5"-2.

Дифференцируем равенство < У, (/ >=

О, У € 8 вдоль X € 8 и используем (10), (6). Име-(9) ем

Расписывая R(X,V)V = ккХ,Х £ Д и используя (3), (5), получим

(Xc)U + cVxU + ((X)cU = kkX.

Отсюда замечаем, что если VyV = 0, то к к = 0. Следовательно, к — 0( А: = const ф 0) и гиперповерхность М есть гиперцилиндр с прямолинейной образующей. Таким образом, если разия Q имеет вид М не гиперцилиндр, то с ф 0 и U,8 определены.

Будем рассматривать этот случай.

VA-Y = (VxY)°-

—g{X<Y)U,х, У, ()г є 6, с

dxY = (VXY)f-

кд(Х, Y)(—U — п). с

Соприкасающаяся (п — 2)-плоскость многооб-

I *

я-п-2 = {p,S,t},pE Q,t = kU - сп. v

Так как VXULU, то имеем

cVxU = kkX, X Є 6, (10)

Хс = 0, X Є 8, (Н)

U с — с2 = кк, (12)

VvU = 0. (13)

Из (13) следует

Лемма 1. Интегральная кривая 7 векторного поля U - геодезическая.

Лемма 2. Кривая 7 - окружность.

Доказательство. Из равенств diiU = kn,dun = —kU, Uк = 0 следует, что кривая 7 плоская и к = const есть кривизна кривой, т.е.

7 - окружность.

Лемма 3. Распределение 8 инволютивное и интегральное многообразие Q его есть (п - 3)- распределение Д , ортогональное касательному

к 7, инволютивное. Тогда интегральные много-

В силу (10), (11) и равенства Хк = 0, X 6 6 имеем дxY 6 8,дх1 € <5, А",У 6 8. Таким образом, 7г„_2 постоянна вдоль 8. Следовательно,

<3 =

т.е. С) ~ (п — 3)-сфера.

Резной поверхностью М € Е3 [3, с. 374] называется поверхность, у которой одно семейство линий кривизны геодезическое. Геодезические линии кривизны есть плоские линии. Тогда второе семейство линий кривизны образуют ортогональные траектории к однопараметрическому семейству плоскостей.Таким образом, если М трубчатая поверхность в Е3, то она является резной.

Резной гиперповерхностью [4] называется гиперповерхность, у которой одно семейство линий кривизны 7 геодезическое, а (п — 2)-

сфера.

Доказательство. Распишем равенство Я(Х, V)Y = VxVvY - VvVa-У-

образия распределения Д* образуют ортогональные траектории к семейству 2-плоскостей, содержащих 7.

Рассмотрим (п — 2)-распределение Л* = {<5,У} и 2-распределение = {и, У}. Так как I/ орт, то \^уи±и и в силу (3), (13) имеем

УУи = (VvC/)<5 - сУ.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1) (Ук{/)« = 0;

2) распределение Д* инволютивное;

3) распределение 5х- инволютивное;

4) XVк = 0, X 6 8.

Доказательство. Так как распределение & инволютивное, достаточно проверить, что

(Уу17)* = 0 <£=> [Х,К]€ Д*;

(Чуи)6 = 0 <=► [и,У] е<5х;

(ЧуЦ)6 = 0 <=> ХУк = о,

Х£&.

Имеем

[Х,У) = \/хУ-ЪуХ = -ЪуХ,

< \7уХ,и >= - < Х,Чуи >,

{Чуиу = о <^=>

[х,у]±и, [Л\К]е Д‘.

\и,\г\ = чиу- чУи = -чУи,

Уу1Г е <=> (Ъ^и)6 = 0.

Хк = О, X е (У,

КХ* - ХУ* - УКХ* + Ух у к = 0,

ХУк = - <Х, У у{) > с(* - к).

ХУк = О <=> (Уг«/)4 = 0.

Теорема доказана.

Таким образом, если

У уП — -сУ, (14)

то М - резная гиперповерхность.

Теорема 2. Если 2-распределение <5Х инволютивное, то интегральное многообразие </ 2-распределения 81- есть трубчатая 2-поверхность, принадлежащая 3-пространству.

Доказательство. Имеем

диУ = 0 ,дуи = -сУ, ди11 = кп, дуУ = с1! + кп.

Соприкасающаяся 3-плоскость к имеет вид ^(р) = {р, (7, К,п},р е q. Так как дцп = -ки,д\-п = —кУ, то получим, что 3-плоскость тгз постоянна вдоль Следовательно, ц принадлежит 3-пространству 7Г3. Окружности 7 постоянного радиуса принадлежат <7 и являются линиями кривизны 2-поверхности д С 7Г3. Таким образом, - трубчатая 2-поверхность.

Следствие 1. Если трубчатая гиперповерхность М резная, то через точку гиперповерхности локально проходит (п —3)-сфера (} и трубчатая 2-поверхность 7.

Трубчатая гиперповерхность М будет дважды каналовой [5], если она является также огибающей (п — 2)-параметрического семейства гиперсфер 5”-1. Для дважды каналовой гиперповерхности [5] Ук = 0. Интегральные многообразия распределения Дх = {К} есть окружности, принадлежащие гиперсферам 5"-1 с центрами

Е = г + -1п к

и радиусами р = щ- и 2-плоскостям Пг- Определим их. Имеем

ду У = с1/ + к п = 1/,

дуи = (Ус)и -(с2 + к2)У,

У с = —(Уик(к — к)) =

(к — к)Уик.

Применим операцию скобки. Имеем УIIк -иУк — Уу1!к + Ус/Ук = 0. Используя (5), (14), получим Уик = Ус = 0. Итак, дуй = -(с2 +

Р)У, п2 = {*>}.

В силу теоремы 1 и определения резной гиперповерхности имеет место теорема 3.

Теорема 3. Если трубчатая гиперповерхность есть дважды каналовая, то она - резная.

Теорема 4. Если трубчатая гиперповерхность есть дважды каналовая, то 2-поверхность <7 есть двумерный тор.

Доказательство. Поверхность <7 С *з имеет две главные кривизны, постоянные вдоль соответствующих главных направлений, т.е. <7 - двумерная циклида Дюпена [3, с. 381; 5-9]. Так как дуЕ = 0 то точка Е вдоль распределения {V} опишет линию /. Исследуем ее. Имеем

< - ки — сп, = Ы.

Таким образом, / есть прямая линия. Поверхность д С 7г3 = {р,и,У,п},р е д есть огибающая 2-сфер 52 = 5"-1 П 7Гз, центры которых описывают прямую линию /. Тогда, 2-поверхность д есть поверхность вращения, а так как меридиан 7 есть окружность, то д - тор.

Следствие 2. Если трубчатая гиперповерхность М есть дважды каналовая гиперповерхность, то через точку гиперповерхности локально проходит (п — 3)-сфера С} и двумерный тор д.

Литература

1. Кобаяси Ш., Номидау К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2.

2. Чешкова М.А. Поверхности в эвклидовом пространстве Еп. Барнаул, 2003.

3. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.

4. Чешкова М. А. Резные гиперповерхности в евклидовом пространстве // Труды Рубцовского индустриального института. Рубцовск, 2003. Вып. 12.

5. Чешкова М.А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп // Мат. сб. 2000. Т. 191. №6.

6. Pinkal U. Dupinsche huperflachen in Е' // Manuscripta math. 1985. №51.

7. Cecil T.E., Ryan P.J. Conformal geonietri and cyclides Dupin // Can. J. Math. 1980. №4.

8. Вяльяс М.Э., Лумисте Ю Г. Изотермические гиперповерхности и трехмерные гиперцик-лиды Дюпена-Маннгейма // Мат. заметки. 1987. Т. 41. №5.

9. Лумисте Ю.Г. Конструкция Кэли-Каталана для некоторых гиперповерхностей Дюпена // Уч. зап. Тартусского ун-та. 1986.