О каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве e N Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чешкова

О каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп

Рассмотрим гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп.

Теорема. Если у гиперповерхности М С Е"(п > 3), не являющейся гиперсферой, гауссова кривизна К не равна нулю, то следующие утверждения эквивалентны:

1) орт одного из главных направлений тор-сообразующее векторное поле;

2) гиперповерхность М есть гиперповерхность вращения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп.

Обозначим Е(М) — Я-алгебру дифференцируемых на М функций; ТЦ(М) — Р-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д, я), х(М) — алгебру Ли векторных полей на М; д — дифференцирование и <, > — скалярное произведение в Еп.

Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности М имеют вид [1, с. 36]

с)хУ = ЧхУ + Р(Х,У)щ (1)

дхп = — АХ,

где л е т}(м), х,у е х(Щ, р е т|(м),

р(Х, У) — вторая фундаментальная форма Л — оператор Вейнгартена, V — связность Леви-Чивита метрики д(Х, У) =< X, У >.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

ЩХ,У)7 = р(У,7)ЛХ - р(Х, 7)Л У; (2) (1,Л{Х,У) = О,

/ » ( -хг X Г \ гу г—■» г—у гу г—■» г—у гу г—у гу

где ЩХ, У)/ = УхУгЛ - "уУх/ -тензор кривизны связности V; с1Л(Х, У) =

= хЛУ — УуЛХ — Л[Х, У] — внетпний дифференциал поля Л в связности V.

Пусть и, Х{, г = 1,..., г?, — 2 — орты главных направлений, т.е. ЛХ{ = к{Х{, Л11 = Ы], причем векторное поле и — торсообразуютцее. Тогда [2]

Ъхи = XX + ш(Х)11;

А е Е(М), и е Т]°(М). ^

Очевидно, что если векторное поле и — торсообразу ютцее, то и векторное поле fU, / 6 Е(М) также торсообразу ютцее.

Умножим (3) скалярно на II, получим Ад(Х, и) + ш{Х) = 0. Откуда

А + и(11) = 0, о>(ДГ,-) = 0, ш

= АХ,-, Чии = 0. { >

Дифференцируя (3) и используя (2), получим

ЩХ,У)и = (X\-\и(Х))У -(У\-\и(У ))Х + + сЬ(Х,У)и = Ь(У,и)ЛХ -Ь(Х,и)ЛУ. (5)

Полагая X = Х{,У = X, ъ X = Х{,У = V ъ используя (4), получим

Х{\ = 0; (6)

сЬ(Х{,Х^ = 0; (7)

(1и(Х{,и) = 0; (8)

и А - А ш(и) = к{к. (9)

Из (9) следует, что, если К ф 0 и гиперповерхность М не есть гиперсфера, то оператор Л имеет собственное значение к = к{ кратности п — 2. Кроме того, следует, что векторное поле и не может быть реку рентным, т.е. А ф 0, в противном случае К = 0. Поле II не может быть специальным конкурентным полем, т.е. ш ф 0, так как ш = 0 влечет А = 0.

Таким образом, гиперповерхность М есть огибаютцая однопараметрического семейства гиперсфер радиуса -—-, т.е. каналовая, центры кок

торых имеют вид:

С = г+1п, (10)

к

где г — радиус-вектор точки гиперповерхности V.

Имеем

кк = [IX + А2; (И)

ЛХ{ = кХ{, Ли = кП. (12)

Определено (п — 2)-распределение

А(р) = {Х£ ТрМ : ЛХ = кХ},

которое определяется уравнением ш(Х) = 0 и которое в силу (7) инволютивное.

Из ё,Л{Х,У) = 0, Х,У е А следует

Хк = 0, X £ А. (13)

Покажем, что каналовая гиперповерхность ССМейства гиперсфер радиуса причем линия

M является гиперповерхностью вращения. Из (8), (4), (6) имеем

du (Xi, U) = Xécj(U) - Ucj(Xi) -u([Xi,U}) = = -u>(4XiV - VijXi) = g(VuXi,U) = 0.

М

центров гиперсфер есть прямая. Тогда оператор Л имеет вид

ЛХ = кХ + c(X)U,

(17)

Таким образом,

VuХ{ G А.

(14)

Дифференцируем (11) вдоль X,, используем (6),

(13)

кХ1к = Х^Х = их1\ + и]А =

= [Х1, и]А = (¥х//)А - (^иХ{)Х = 0. Откуда в силу (4), (6), (13), (14) получим

Хк = 0, X £ А. (15)

Кроме того, из равенства с1Л(Х,, V) = 0 вытека-

где г.Аш = 0; Хк = 0; Хк = 0, X е А; и - орт распределения Д±(р) = {X £ ТрМ : ЛХ = кХ].

Покажем, что векторное поле и — торсообразутотцее. Из равенства с1Л(Х, II) = 0, X £ А получим

(Хк)и + кЧхи - (ик)Х - ЦЧиХ) -

-Л{Т7хи-ч7иХ) = 0.

Так как Ч7< е ЩМ), имеем 7 = + д(7,, Щи, Ят £ А, получим

(Xk)U + (к - k)(VxU)T - (Uk)X +

+ (k^k)(VuX)1

0.

I k =(к- к)А.

(16)

Используя равенства gCVzU, U) = 0, Хк = 0, получим

Рассмотрим линию центров. Дифференцируем вдоль U

(VrjX)

0, VxU

I к к-к'

X.

(18)

du С = U + U ( т I п - Î U

к^к

к

к2

-t,

Дифференцируя равенство д(Х, U) = 0, X £ А, получим

где t = kll + An. Дифференцируем t вдоль U, используя (1), (4), (11), (16), получим

dut = (Uk)U + ккп + (UA)n - AkU = -Ai.

Это означает, что линия центров прямая, а каналовая гиперповерхность есть гиперповерхность вращения.

Обратно, пусть M — гиперповерхность вращения, т.е. огибающая однопараметрического Теорема доказана.

Литература

Чт,и = о.

(19)

Таким образом,

^zU = V ZT+g(Z,U)uU

Uk

U к _zj

где

к-к

(Z)

к-к

Uk

к^к

A Z+LÜ(Z)U, g(Z, U).

1. Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., 1981.

2. Schonten I.A. Ricci-calcnlns. An introdnction

to tensor analysis and its geometrical applications. Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1954.