CC BY
32
УДК 514.75
О. С. Нурдинова
Об одном классе циклиды Дюпена в евклидовом пространстве Еп
Пусть гиперповерхность в Е" имеет в каждой точке две различные и отличные от нуля главные кривизны к\ кратности п — 2 и к2 кратности 1, которые постоянны вдоль интегральных подмногообразий, соответствующих им главных распределений. Такие гиперповерхности относятся к классу гиперповерхностей Дюпе-на [1].
Рассмотрим гладкую гиперповерхность Мп_1 в евклидовом пространстве Еп.
Формулы Гаусса-Вейнгартена имеют вид [2]:
дхГ = ^ХГ + В(Х,¥)п,
дхп = -АХ,
где В(Х,У) - вторая фундаментальная форма, А - оператор Вейнгартена, V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< X, У >.
Определены два инволютивных распределения: А, А1, где А(р) = {Хр £ ТрМ""1 : АХр = кхХр}, р £ М"'1, и ортогональное ему А1^) = {Хр £ ТрМ"'1 : АХр = к2Хр}. Интегральные подмногообразия этих распределений суть (п — 2)-сфера Б"-2 и окружность 51 соответственно [3].
Положим, V £ А1, < V, V >= 1. Тогда получим [3] = -аХ, (УуХ)1 = е(Х)У, X £ А,
Хк2 кг-к2 >
а = ^
&1-&2 '
Хкл = 0, Vk2 =
,(Х) = О, X £ Д."
Введем обозначение = —Ы1, где II -
орт, причем I/IV. Ъ = е(и), е(Х) = 0, Хк2 = О, Х1Л, V. Кроме того [3],
-Ub+Va -а2 -Ъ2 = кгк2.
(1)
Нормали вдоль Б" 2 проходят через неподвижную точку С\ = г + ^-гг, где г - радиус-вектор точки р £ М"'1. Точка С2 = г + -^-п опишет при этом (п — 2)-поверхность (Сп-2), кото-
рая принадлежит гиперконусу и гиперплоскости [3]. Интегральная кривая векторного поля U— окружность S1, причем P2(S1) = {U, aV + kin}, плоскость, содержащая 51 [4]. Нормали гиперповерхности Mn_1 вдоль S11 проходят через неподвижную точку Ci, образуя круговой конус. Точка С2 опишет кривую (С*) на этом конусе, принадлежащую 2-плоскости Р2(С) = {t, Т}, где t = k2U + Ьп - касательный вектор линии (С), Т = + b)U + aV + hn [4]. Норма-
ли вдоль S11 проходят через неподвижную точку С2 и образуют круговой конус, где P2(S1) = {V, —bU + к2п} - плоскость, содержащая S1. Точка Ci опишет кривую (Ci), принадлежащую этому конусу и 2-плоскости P2(Ci) = {t,T}, где t = k\V — an - касательный вектор к линии (Ci), Т = k-JJ + + Ъ)п. Эксцентриситеты кривых (Ci) и (С) связаны соотношением [4]
ее = 1.
(2)
2-плоскости, содержащие кривые С\ и (С) принадлежат 3-пространству Е3 = {II, V, п} и ортогональны [4].
Теорема 1. Фокусы конических сечений (С1) и (С) имеют вид соответственно:
F12 = C+Xi+Xk2
N,
Р2(Сг
I NP3(Cl)
Fh2 = C + /it + /ik 1
N
P2 (с)
\N
P2(C) I
(3)
(4)
где Хр2(с1) - вектор нормали к плоскости Р2(С\)\ - вектор нормали к плоскости
ысу,
А =
(5)
k2(Ub + Ь2) - kxb2 ± k2J(Ub + Ь2) + а2Ь2 + к2Ь2
И =
2к2 + k^Va - а2) ± hJ(Va - а2)2 + а2Ъ2 + а2к22
(6)
Об одном классе циклиды Дюпена
Доказательство. Определим фокусы кривой второго порядка (С1), для этого впишем в конус с вершиной в точке С2 сферу с центром в точке <5 = с + таким образом, чтобы она касалась плоскости Р2(С1) [5, с. 336]. Определим расстояние от центра сферы до образующей конуса
\п\
откуда
р{Я,п) = \Хк21, (7)
и расстояние от центра сферы до плоскости Р'2{С\)
г, СО) |
p(Q,P2(C\)) =
Ml
откуда
p(Q,P2(C\)) = Ihb^-^ + X^-Xk.iUb + b^l
^/(Ub + b2)2 + a2b2 + k2b2
Потребовав, p(Q,n) = p(Q,P2(C\)), из (7), (8) получим
yS{Ub + b2)2 + a2b2 + k2b2
Раскрыв знак модуля, получим (4). Записав векторное уравнение для фокусов (Ci) получим (3). Аналогично определяются фокусы для кривой (С).
Рассмотрим случай, когда кривая (Ci) - гипербола, тогда в силу (2), кривая (С*) - эллипс. Имеет место следующая
Теорема 2. Фокусами гиперболы (Ci) являются вершины эллипса (С) и наоборот.
Доказательство. Потребуем, чтобы линия центров (Ci) была гипербола, т.е. плоскость P2(Ci) параллельна t. Для этого определим вектор нормали к P2(Ci) :
ub
NP2(C\) = ~av + (— + b)u - kin,
тогда из {Np2(c1),t) = 0 получим:
k2{Ub + b2) =k1b2. (9)
Обозначим k\b2 + k22(a2 + к{2) = 9, тогда из (5) получим
k 1 — к2 «2 лД
из (3) ось гиперболы имеет вид: , _ - , 1^1 - Ы NP2(C1)
(8)
л/Я \NP2(Ci)
at.
(10)
При а = 0 получаем центр гиперболы, при к\ - к2
а = ±-
«2лД
получаем фокусы гиперболы Fi 2. Из [4]
(Н)
г^Ъ2 + к22 + (^ - а)2
b^^ + h' + i^-b)2
С учетом (9) эксцентриситет гиперболы примет вид:
Vk22 + Ь2
(12)
Определим действительную полуось гиперболы (Ci): А = где / = - полуфокальное
расстояние, тогда
А =
\b(h-k2)\
\к2\у д{к22 + Ъ2)
Таким образом, из (10) при
а = ±А (13)
получаем уравнения вершин гиперболы (С).
Определим фокусы для кривой (С), из (9), используя (1), получим
k2(Va - а2) = k\b2 + к^2.
(14)
Из (6) следует:
р =
ак2(к 1 - к2)
q±Vb2 + к22 '
Из (4) получим уравнения фокусов и Р2 эллипса (С*), рассмотрев Р\ — Ё2 заметим, что ось гиперболы (С1) является осью для (С). Эксцентриситет эллипса (С*) из (2) и (10) примет вид:
Ъ
6~ л/к22 + Ь2 ' С помощью (14) из (10) при а = ^===
получим уравнения для фокусов Ё\ и Ё2 эллипса (С), из (13) следует, что они совпадают с вершинами гиперболы (С1), а при а = ± ~ Уравнения для вершин, которые из (11) совпадают с фокусами гиперболы.
Литература
1. Лумисте Ю.Г. Конструкция Кэли-Каталана для некоторых гиперповерхностей Дюпена // Уч. зап-ки Тартусского ун-та. 1986.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2.
3. Чешкова М.А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп // Мат. сб. 2000. Т. 191. №6.
4. Голышева О.С. Некоторые свойства дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве Еп // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2001. Вып. 32.
5. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. М., 1986. Ч. 2.
