CC BY
25
МАТЕМАТИКА
УДК 514.75
О. С. Голышева Примеры дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве Еп
Рассмотрим дважды каналовую гиперповерх-ность М'1*1 в евклидовом пространстве Еп -огибающую однопараметрического семейства и (га — 2)-параметрического семейства гиперсфер. Центры гиперсфер описывают кривую (р) и (га — 2)-поверхность (р), где р и р радиус-векторы геометрического места центров сфер (р) и (р) соответственно.
Пусть К и К радиусы этих семейств сфер, тогда уравнения семейств сфер запишутся в виде
Условие касания двух сфер различных семейств (1) запишем в виде
В работе [1, с. 16] доказана следующая теорема: если дважды каналовая гиперповерхность не является гиперповерхностью вращения, то линия центров (р) есть сечение 2-плоскости 2- мерного конуса, а (п — 2)-поверхность (р) - сечение гиперплоскости гиперконуса. Бели М-1 гиперповерхность вращения, то (р) - прямая, а (Р) -( 11 — -).-сфера.
Эксцентриситеты Е и Ё кривой второго порядка (р) и гиперповерхности второго порядка (р) соответственно связаны соотношением
причем (р) и (р) принадлежат ортогональным плоскостям [2, с. 14].
Рассмотрим случаи дважды каналовых гиперповерхностей, для которых
1) (/>) - гипербола, (р) - (п-2)-эллипсоид вращения;
2) (р) - парабола, (р) - (п-2)-параболоид вращения;
3) (р) - эллипс, (р) - однополостный (п-2)-гиперболоид вращения.
Гиперповерхность вращения в Еп ~х определим как (п — 3)-каналовую, линия центров которой -
О 1
прямая. Возьмем прямую центров за ось “ ” ,
тогда векторное уравнение гиперпо верхности вращения в Е"-1 запишется в виде:
Точку искомой гиперповерхности будем искать
как точку, делящую отрезок центров сфер (1) в и
отношении Ятогда векторное уравнение дважды каналовой гиперповерхности запишется в виде
г _ Яр+Ир (4)
1) Получим векторное уравнение дважды Качаловой гиперповерхности, для которой (п-2)-поверхность центров (р) - эллипсоид вращения размерности п — 2, а линия центров (р) - гипербола. ^ С1 _
Эксцентриситет (п-2)-эллипсоида вращения есть величина Ё, для которой
хпОх п—1
В плоскости запишем уравнение гипер
болы ^
с эксцентриситетом Е, где Е2 — . Утверж
дение (3) эквивалентно условию ~ с‘ Условие (2)
примет следующий вид:
После преобразований левой части получим: ПоложиМ) наПример, R = асЛ«п_ь Я
-сcos цп_2. Тогда искомое уравнение (4) при\ (ас/ш„_ 1 -ccosu„_2)2 = [R+ Д)2. следующий вид:
а6с/гм„_1 вт и„_2е(ы1,з) Ь2сНип-1 сози„-2еп-\ 6с«/шп_1 со8и„_2еп
г —--------------------1_ _______ -------------------
ас/т„_ 1 — ссов ип^2
2)
аски„-1 — ссозып_2 асЛип_1 — ссовип_2
П Из условия соприкосновения сфер (2) полу-
олучим векторное уравнение дважды ка-наловой гиперповерхности, для которой (п — 2)- чим
поверхность центров (р) параболоид вращения, а
Урвнение
Из условия соприкосновения сфер (2) полчим наловой гиперповерхности, для которой (п — 2)- чим 7 ^ т ^ 4 '
поверхность центров (р ) - однополостный гиперболоид вращения, а линия центров (р) - эллипс.
Ь~8И2ап-2 + (сс/шп_2 — асов ип_1)2 +
р = асо5и„_1е„_1 + 6зтип_1е„.
(ас/1ып_2 — ссозип_1)2 = (Д+ Я)‘
Ё7 = £2 = ~т~, тогда условие (3) Положим, И = -ссозы„_1, Я = ас/шп_2, тогда
ищется в виде а2 = с2 + ¿г. искомое уравнение (4) примет следующий вид:
62с/щп_-2со8 ап_1еп-1 — ЬсвНип-з со8ип-хе(и1, ...,ип-з) + аб8тцп_1с/шп-2еп
ас/ш„_2 — ссоэ ип-1
Литература
1. Пешкова М.А. Дважды каналовые гиперпо -
верхности в евклидовом пространстве Еп II Материалы первой краевой конференции по математике, посвященной 25-летию АГУ. Барнаул, 1998.
2. Голышева О.С., Пешкова М.А. Об одном
свойстве дважды каналовой гиперповерхности в
евклидовом пространстве Еп // Третья сибирская геометрическая конференция: Тез.
докл. Томск, 1999.
