Об одном классе дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве en Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514.75

О.С. Голышева

Об одном классе дважды каналовых гиперповерхностей в евклидовом пространстве Еп

Рассмотрим дважды каналовую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Еп огибающую однопараметрического семейства и (п — 2)-параметрического семейства гиперсфер. Центры гиперсфер описывают кривую (Сі) и (и - 2)-поверхность (С2).

Имеет место следующая

Теорема. Если у дважды каналової! гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп линия центров (С^) - окружность, то (Со) - (п — 2)-плоскость, ортогональная плоскости окружности (Сі).

Доказательство. Гиперповерхность М имеет две главные кривизны к\ кратности п — 2 и к2 кратности 1.

Определены два инволютивных распределения: Л, Дх, где

Д(р) = Є ТрМ : АХГ - к\Хр},

р Є М. и ортогоннальное ему

Дх(р) = {А'р ЄТрМ : АХГ — к2Хр), причем

ХАч = О, X Є Д, У*а = О, У Є Д1!!].

Линия центров (Сі) расположена на круговом конусе, с вершиной в точке С2, основание которого принадлежит 2-плоскости П2, определяемой векторами [1]

П2 = {К -Ьи + кп),

гае V е Дх, Ь = 5^, X е Д, V, V - орты, причем иIV. Соприкасающаяся плоскость П2 линии (С 1) определяется векторами 1,Т [1], где I = к\ V — ап и Т = к\Ы/ + (Ь Ь + Ь~)п, а = к г • 2-мерный конус принадлежит 3-плоскости П2 и П2 = {V, и, п}, и его ось имеет вид

t = kU + bn,

а нормаль

, (Ub /Vn3 = -aV+(^ —

+ Ъ ) и - кп

(1)

(2)

к плоскости П2 = {*,Т}.

Потребовав, чтобы линия центров (СО была окружностью, т.е. плоскость П2 прпендикулярна оси конуса из (1), (2), получим

(3)

о = 0,

= тг1, те Ь ф О

или

Ub + b2 + к{к2 = 0, (4)

Соприкасающееся пространство к (и - 2)-поверхности центров (Са) определяется векторами {X,t,f}, где Т = -(тг + b)U + aV + кin [1].

В нашем случае, используя (3), (4), получим

Т = —(~т“ + b)U + kin =

О

= — \(Ub + b2)U + к\п =

0

к\к2 , .

= ——U + kin -

О

= j(k3U + bn) = *ji.

Так как Г|||<, то соприкасающееся пространство определяется векторами {X,t}, х 6 Д и совпадает с касательной (п — 2)-плоскостью. Гаким образом, (п - 2)-поверхностью центров (С2) является (п - 2)-плоскость, ортогональная соприкасающейся плоскости окружности (Ci).

Теорема доказана.

В [1] доказано если ab ф 0 при п > 3, то (Ci), (Са) - конические сечения, причем линия центров (Cl) есть сечение 2-плоскости 2-мерного конуса, а (п —2)-поверхность (С2) - сечение гиперплоскости гиперконуса. Эсцентриситеты этих сечений удовлетворяют соотношению ее = 1 [2].

При п = 3 (Ci), (Са) являются фокальными кривыми второго порядка [3].

В случае ab = 0 если

1) Ь =0,а ф 0, то (Ci) - прямая, (С2) -(п - 2) - сфера [1].

2) 6 ф 0, a = 0, то (Ci) - окружность, (С2) -(п — 2) - плоскость.

3) 6 = 0 и а = 0, тогда из (4) следует kik? = 0, причем к 1 ф к2, если кi = О,

к2 = const ф 0, то М - гиперцилиндр, с плоскими (п — 2)-образующими, а направляющие -

окружности постоянного радиуса Яа = если ki = const ф 0, к2 = 0, то М - гиперцилиндр, образующие которого прямые, а направляющие (п — 2) - сферы постоянного радиуса Ri = ^ [4].

Об одном классе ...

Литература

1. Пешкова М.А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп // Математический сборник. Т. 191. №6. 2000.

2. Голышева О.С., Мешкова М.А. Об одном свойстве дважды каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Е" // Третья сибирская геометрическая конференция: Тез. докл. Томск, 1999.

3. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.

4. Голышева О.С. Об одном свойстве (п — 2)-каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп // Известии АГУ. 1999. №1.