CC BY
20
3. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ. Чебоксары, 2005. № 4. С. 21—27.
4. Христофорова А. В. Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности. Чебоксары, 2011.
5. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.
A. Khristoforova
Normal connections on the hypersurface equipment in sense Norden — Cartan in the space of affine connection
This work is devoted to the geometry of normal connections induced by the equipment in sense Norden — Cartan of hypersurface in the space of affine connection.
УДК 514.75
М. А. Чешкова
(Алтайский государственный университет, г. Барнаул)
К геометрии каналовой поверхности
В евклидовом пространстве рассматривается кана-ловая поверхность. В процессе исследования используется система компьютерной математики Maple.
Ключевые слова: каналовая поверхность, сфера, циклида Дюпена.
Каналовая гиперповерхность исследуется как гиперповерхность, которая является огибающей однопараметрическо-го семейства гиперсфер [1, с. 379; 2].
Обозначим через p(s) — радиус-вектор кривой у — геометрического места центров семейства, R( s) — радиус соответствующей гиперсферы (s — длина дуги кривой у). Уравнение семейства гиперсфер запишется в виде
(г -Р? = Я2. (1)
Характеристика семейства — (п - 2)-сфера — есть пересечение гиперсферы (1) и гиперплоскости
(г - (р- ЯЯ'т),т) = 0. (2)
Центр этой (п - 2)-сферы есть
С = р- ЯЯ'т, (3)
где т — орт касательной к линии центров.
Радиус (п - 2)-сферы Я равен
Я = Ял/ 1 - Я'2 . (4)
Для того чтобы огибающая была вещественной гиперповерхностью, необходимо выполнение неравенства
1 - Я'2 > 0. (5)
Обозначим через в(у1,...,vn_2) орт (п - 2)-мерной характеристики. В силу (2) (е, т} = 0 . Уравнение каналовой гиперповерхности примет вид
г (и, V) = р(и ) - Я(и )Я'(и )т(и ) + Я (и )е(у1,...Уп-2) . (6)
Пример 1. Линяя центров — винтовая линия в Е3. Обозначим через v,Д орты главной нормали и бинормали кривой у . Тогда уравнение каналовой поверхности запишется в виде
г (и, V) = р(и) - Я (и) Я'(и )т(и) + Я (и )(оо8^)к(и) + sin(v)Д(u)). Имеем
р(и) = (cos(u), sin(u), и), т(и) = (- sin(u), cos(u), 1)
л/2
Д(и) = —^ (sin(u), - cos(u), 1), л/2
V = [Д, т] = (- cos(w), - sin(w), 0).
Пусть R(u) = au + d . При условии (5) можно положить
1 _ R u +1 u +1 (u + 1)Уэ c = d = —. Тогда R =-, RR =-, a =----.
2 2 4 4
Используя математический пакет Maple [3], построим ка-наловую поверхность, линию центров (винтовую) и сферу с
ж
центром на винтовой линии, полагая u = — (рис. 1, 2).
Рис. 1. Каналовая поверхность, Рис. 2. Каналовая поверхность, линяя центров, характеристика линяя центров, сфера
Пример 2. Циклиды Дюпена [1, с. 381; 2] в Е3— это дважды каналовые поверхности, для которых линии центров С1,С2 семейства сфер есть фокальные кривые /1,/2 второго порядка, расположенные в ортогональных плоскостях.
Рассмотрим случай, когда кривая у1 представляет собой эллипс, а кривая у2 — гиперболу (рис. 3). Зададим эти кривые.
С1: рх(и) = (Ь зт(и), 0, аеоз(и)),Ь = \1а2 - с2; С2: р2(п*) = (0,Ьэт^и*),сеозЬ(и*)).
Каналовую поверхность (рис. 4) ищем в виде г (и, V) = р1(и) - Я1(и) Я[(и )т(и) + Ё1(и)(оо5(у)у(и) + $>т(у) Р(п)),
где
r(u) = (b cos(u), 0, -a sin(u)),
v(u) = (-a sin(u), 0, -b cos(u)), J(u ) = (0,1,0).
Рис. 3. Фокальные кривые: Рис. 4. Каналовая поверхность
эллипс,гипербола
Для нахождения R1(u) потребуем, чтобы сферы с центрами C1, C2 и радиусами R1(u), R2(U) соответственно касались (рис. 5—8).
Рис. 5. Каналовая поверхность, Рис. 6. Внешнее касание сфер
сфера, и = — 4
Рис. 7. Каналовая поверхность и сферы (внутреннее касание)
Рис. 8. Каналовая поверхность и сферы (внешнее касание)
Имеем p(u) -p2(u*), pl(u) - p2(u*)) = (R1(u) ± R2(u*))2, или ccos(u)±acosh(u ) = Rj(u) + R2(u'). Откуда Rj(u) = ccos(u) + d, R2(u*) = ±acosh(u*) -d(d = const).
Используя ограничение (5) на Rj(w), находим c2 < 1, a2 > c2. Полагая c = -2, a = 1, d = 0, построим поверхность
r (u, v) = r1(u ) - R1(u ) R'(u )t (u ) + +Ri1(u )(cos(v)n(u) + sin(v)6(u))
где R = R^1 - R'2 (рис. 9),
Рис. 9. Поверхность и характеристика
Л Л
сферу с центром p1 = p1 (—) на эллипсе радиуса R1 = R1 (—)
д.
(рис. 6), сферы с центрами p2 = p2(—) на ветвях гиперболы с
д
радиусами R2 = R2(—) (рис. 7, 8).
Чтобы нагляднее определить касание сфер, центры которых расположены на гиперболе, с каналовой поверхностью, рассмотрим пересечение сферы и каналовой поверхности с плоскостью
xtl (2) + (у - ^Щ1)^ ф + (г - c (2) + a2^фsh(1) = 0,
где t = (t1, t2, t3) — орт касательной к гиперболе. Имеем рисунки (рис. 10, 11).
Рис. 10. Характеристика Рис. 11. Характеристика
на каналовой поверхности на сфере
Список литературы
1. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.
2. Чешкова М. А. К геометрии дважды каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве En // Математические труды. 2003. Т. 6, № 11. С. 169—181.
3. Васильев А. Н. Maple 8. М. ; СПб. ; Киев, 2003.
M. Cheshkova To geometries of kanal surface
In Euclidean space kanal surface is studied. In the process of study system computer mathematics Maple is used.
