Научная статья на тему 'К геометрии каналовой поверхности'

К геометрии каналовой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
каналовая поверхность / сфера / циклида Дюпена.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — М. А. Чешкова

В евклидовом пространстве рассматривается каналовая поверхность. В процессе исследования используется система компьютерной математики Maple.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

To geometries of kanal surface

In Euclidean space kanal surface is studied. In the process of study system computer mathematics Maple is used.

Текст научной работы на тему «К геометрии каналовой поверхности»

3. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ. Чебоксары, 2005. № 4. С. 21—27.

4. Христофорова А. В. Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности. Чебоксары, 2011.

5. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.

A. Khristoforova

Normal connections on the hypersurface equipment in sense Norden — Cartan in the space of affine connection

This work is devoted to the geometry of normal connections induced by the equipment in sense Norden — Cartan of hypersurface in the space of affine connection.

УДК 514.75

М. А. Чешкова

(Алтайский государственный университет, г. Барнаул)

К геометрии каналовой поверхности

В евклидовом пространстве рассматривается кана-ловая поверхность. В процессе исследования используется система компьютерной математики Maple.

Ключевые слова: каналовая поверхность, сфера, циклида Дюпена.

Каналовая гиперповерхность исследуется как гиперповерхность, которая является огибающей однопараметрическо-го семейства гиперсфер [1, с. 379; 2].

Обозначим через p(s) — радиус-вектор кривой у — геометрического места центров семейства, R( s) — радиус соответствующей гиперсферы (s — длина дуги кривой у). Уравнение семейства гиперсфер запишется в виде

(г -Р? = Я2. (1)

Характеристика семейства — (п - 2)-сфера — есть пересечение гиперсферы (1) и гиперплоскости

(г - (р- ЯЯ'т),т) = 0. (2)

Центр этой (п - 2)-сферы есть

С = р- ЯЯ'т, (3)

где т — орт касательной к линии центров.

Радиус (п - 2)-сферы Я равен

Я = Ял/ 1 - Я'2 . (4)

Для того чтобы огибающая была вещественной гиперповерхностью, необходимо выполнение неравенства

1 - Я'2 > 0. (5)

Обозначим через в(у1,...,vn_2) орт (п - 2)-мерной характеристики. В силу (2) (е, т} = 0 . Уравнение каналовой гиперповерхности примет вид

г (и, V) = р(и ) - Я(и )Я'(и )т(и ) + Я (и )е(у1,...Уп-2) . (6)

Пример 1. Линяя центров — винтовая линия в Е3. Обозначим через v,Д орты главной нормали и бинормали кривой у . Тогда уравнение каналовой поверхности запишется в виде

г (и, V) = р(и) - Я (и) Я'(и )т(и) + Я (и )(оо8^)к(и) + sin(v)Д(u)). Имеем

р(и) = (cos(u), sin(u), и), т(и) = (- sin(u), cos(u), 1)

л/2

Д(и) = —^ (sin(u), - cos(u), 1), л/2

V = [Д, т] = (- cos(w), - sin(w), 0).

Пусть R(u) = au + d . При условии (5) можно положить

1 _ R u +1 u +1 (u + 1)Уэ c = d = —. Тогда R =-, RR =-, a =----.

2 2 4 4

Используя математический пакет Maple [3], построим ка-наловую поверхность, линию центров (винтовую) и сферу с

ж

центром на винтовой линии, полагая u = — (рис. 1, 2).

Рис. 1. Каналовая поверхность, Рис. 2. Каналовая поверхность, линяя центров, характеристика линяя центров, сфера

Пример 2. Циклиды Дюпена [1, с. 381; 2] в Е3— это дважды каналовые поверхности, для которых линии центров С1,С2 семейства сфер есть фокальные кривые /1,/2 второго порядка, расположенные в ортогональных плоскостях.

Рассмотрим случай, когда кривая у1 представляет собой эллипс, а кривая у2 — гиперболу (рис. 3). Зададим эти кривые.

С1: рх(и) = (Ь зт(и), 0, аеоз(и)),Ь = \1а2 - с2; С2: р2(п*) = (0,Ьэт^и*),сеозЬ(и*)).

Каналовую поверхность (рис. 4) ищем в виде г (и, V) = р1(и) - Я1(и) Я[(и )т(и) + Ё1(и)(оо5(у)у(и) + $>т(у) Р(п)),

где

r(u) = (b cos(u), 0, -a sin(u)),

v(u) = (-a sin(u), 0, -b cos(u)), J(u ) = (0,1,0).

Рис. 3. Фокальные кривые: Рис. 4. Каналовая поверхность

эллипс,гипербола

Для нахождения R1(u) потребуем, чтобы сферы с центрами C1, C2 и радиусами R1(u), R2(U) соответственно касались (рис. 5—8).

Рис. 5. Каналовая поверхность, Рис. 6. Внешнее касание сфер

сфера, и = — 4

Рис. 7. Каналовая поверхность и сферы (внутреннее касание)

Рис. 8. Каналовая поверхность и сферы (внешнее касание)

Имеем p(u) -p2(u*), pl(u) - p2(u*)) = (R1(u) ± R2(u*))2, или ccos(u)±acosh(u ) = Rj(u) + R2(u'). Откуда Rj(u) = ccos(u) + d, R2(u*) = ±acosh(u*) -d(d = const).

Используя ограничение (5) на Rj(w), находим c2 < 1, a2 > c2. Полагая c = -2, a = 1, d = 0, построим поверхность

r (u, v) = r1(u ) - R1(u ) R'(u )t (u ) + +Ri1(u )(cos(v)n(u) + sin(v)6(u))

где R = R^1 - R'2 (рис. 9),

Рис. 9. Поверхность и характеристика

Л Л

сферу с центром p1 = p1 (—) на эллипсе радиуса R1 = R1 (—)

д.

(рис. 6), сферы с центрами p2 = p2(—) на ветвях гиперболы с

д

радиусами R2 = R2(—) (рис. 7, 8).

Чтобы нагляднее определить касание сфер, центры которых расположены на гиперболе, с каналовой поверхностью, рассмотрим пересечение сферы и каналовой поверхности с плоскостью

xtl (2) + (у - ^Щ1)^ ф + (г - c (2) + a2^фsh(1) = 0,

где t = (t1, t2, t3) — орт касательной к гиперболе. Имеем рисунки (рис. 10, 11).

Рис. 10. Характеристика Рис. 11. Характеристика

на каналовой поверхности на сфере

Список литературы

1. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.

2. Чешкова М. А. К геометрии дважды каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве En // Математические труды. 2003. Т. 6, № 11. С. 169—181.

3. Васильев А. Н. Maple 8. М. ; СПб. ; Киев, 2003.

M. Cheshkova To geometries of kanal surface

In Euclidean space kanal surface is studied. In the process of study system computer mathematics Maple is used.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.