Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.073

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ГЕОМЕТРИИ ЦИКЛИД ДЮПЕНА

В.Н. Иванов

Кафедра сопротивления материалов Российский университет дружбы народов,

117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Рассматривается геометрия циклид Дюпена, как подкласса каналовых поверхностей Иоахимсталя. Поверхности Иоахимсталя относятся к классу поверхностей, одного семейство линий кривизны которых лежи т в плоскостях пучка, т.е. в плоскостях имеющих общую ось вращения. В отличие от большинства работ по геометрии циклид Дюпена, в работе используется уравнение каналовых поверхностей Иоахимсталя, отражающее процесс их образования - вращение окружности переменного радиуса вкруг заданной оси. При этом, чтобы образующие окружности были линиями кривизны поверхности, их радиус изменяется по определенному закону. В работе показано, что если направляющая линия каналовой поверхности Иоахимсталя - линия, очерчиваемая концом диаметра образующей окружности, является окружностью или прямой линией, то и второе семейство линий кривизны будет окружностями, и, следовательно, образованная таким образом поверхность будет циклидой Дюпена. Получены формулы коэффициентов первой квадратичной формы и главных кривизн поверхности. Приводятся изображения циклид Дюпены различной формы, полученные на основании уравнения поверхностей с помощью компьютерной системы MathCad.

Циклиды Дюпена являются двухканаловыми поверхностями, т.е. оба семейства линий кривизны поверхностей являются семействами окружностей. Впервые доказал возможность существования поверхностей с двумя семействами окружностей, являющихся линями кривизн, вначале XIX века французский ученый Дюпен. Дюпен исследовал и описал геометрию этих поверхностей в своих классических трудах [23,24]. Дюпен назвал эти поверхности циклидами. На протяжении прошедших двух столетий исследованиями различных аспектов геометрии этих поверхностей занимались многие зарубежные [2,3,8,9,19-29] и российские [1,4-7,10-19] ученые. В этих трудах приведены чертежи и фотографии макетов этих поверхностей, получены различные формы уравнений и геометрических характеристик этих поверхностей, в том числе коэффициентов квадратичных форм, проведена классификация поверхностей. Как двухканаловые поверхности циклиды Дюпена являются огибающими двух однопараметрических семейств сфер. Именно на этой основе получены неявные и параметрические уравнения циклид Дюпена [1,11,16,]. В работах [1,18] показывается, что циклиды Дюпена являются каналовыми поверхностями Иоахимсталя, т.е. образующие окружности каждого семейства окружностей этих поверхностей лежат в плоскостях пучка (в плоскостях с общей осью вращения). Однако для описания геометрии в этих работах используются традиционные неявные и параметрические уравнения огибающей семейства сфер. Эти уравнения не позволяют без специального изучения выявить характер образования поверхностей в форме циклид Дюпена.

При рассмотрении циклид Дюпена как каналовых поверхностей Иоахимсталя, ясен характер образования этих поверхностей - из общего центра (полюса) проводятся плоскости, вращающиеся вокруг оси проходящей через полюс. В каждой плоскости проводится образующаяся окружность. Положение центра и радиус образующей окружности должны определятся так, чтобы эти окружности являлись линиями кривизны получаемой поверхности. При этом, так как второе семейство линий кривизны циклид Дюпена является семейством окружностей, диаметры первого семейства линий кривизны должны описывать окружности.

Геометрия каналовых поверхностей Иоахимсталя общего типа рассмотрена в работах [4,5]. В работе [4] показано: чтобы окружности переменного радиуса, лежащие в

плоскостях пучка (линия центров образующих окружностей является плоской кривой в плоскости перпендикулярной оси вращения пучка плоскостей) являлись линиями кривизны поверхности, должно выполнятся условие

r‘1{a)-R1(a) = ±c2, (1)

где г(а) - расстояние от полюса до центра образующей окружности; Я(а) - радиус образующей окружности; с - константа, определяющая тип каналовой поверхности Иоахимсталя.

Исследование условия (1) показало, что каналовая поверхность Иоахимсталя может быть образована тремя способами

а/ г > Я - при вращении образующей окружности остается постоянным расстояние от полюса до точки касания образующей окружности прямой проведенной из полюса. При этом, это расстояние равно константе с (рис. 1,а);

б! г < Я - поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг общей хорды. При этом, константа с равна половине хорды (рис. 1,6);

в! г = Я, с = О - поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг общей касательной (рис. 1 ,в).

к к Ка) = Я(а) іК («)

Я(а + ті)і

Полюс/ г А а) = О

Рис. 1. Схемы образования каналовых поверхностей Иоахимсталя

Для образования каналовой поверхности Иоахимсталя необходимо задать уравнение плоской линии центров образующих окружностей г(а) и начальный радиус образующей окружности /?0 (а ~ полярный угол, определяющий положение плоскости образующей

окружности). Тогда определена константа с, в соответствии с формулой (1) с = у|г02 - Кд |

(/-0 =г(0), К0 = Я (0)). Радиус образующих окружностей Я(а) определяется в соответствии с формулой (1). Уравнение каналовой поверхности Иоахимсталя, полученное в работе [5], имеет вид

р(а,р)=^

г(а)+я(а)

А(а>Р)

.А(а)+2^Ь/(р ).к

(2)

Здесь р(а,р) - радиус-вектор поверхности; г2(а) = г(а)+Л(а)- кривая, описываемая внешним концом диаметра образующей окружности в плоскости кривой линии центров; й(а) -1 ■ сое а + ] ■ а - уравнение окружности единичного радиуса в плоскости кривой

линии центров образующих окружностей поверхности (определяет положение плоскости образующей окружности); /, У, к - орты прямоугольной системы координат; /(р) -произвольная обратно симметричная функция координаты /3 ( изменяется от -оо до +оо при соответствующем изменении аргумента Д /0) = 0); £>(а,р)= 1 + л22(а)-/2((3); £>, (а, Р) = 1 - г\ (а)-/2 (р); а - характерный параметр поверхности (например, начальный радиус-вектор линии центров); г(а), гг (а), 7?(а) - функции, безразмерные относительно параметра а .

Условие образование каналовой поверхности Иоахимсталя (1) можно представить в виде

г2-Я2 =(/■ —Л)-(г + Л) = г, -г2 =±с2, (3)

где г, (а), г2 (а) - кривые, описываемые концами диаметра окружности в плоскости линии центров образующих окружностей. Из условия (3) следует, что произведение расстояний от полюса до концов диаметра образующих окружностей в плоскости линии центров для каналовой поверхности Иоахимсталя есть величина постоянная.

Используя условие (3), после тождественных преобразований [5], уравнение каналовой поверхности Иоахимсталя (2) можно записать в альтернативной форме

/00

р(а,р) = а

(4)

'/>(а,р) ' П '£(а,р)

где С,(а)= г2(а)±с2; С2(а) = 1±с2 /2(р).

Из формулы (4) следует, что для образования каналовой поверхности Иоахимсталя достаточно задать плоскую (направляющую) кривую г2 (а) описываемую внешним концом диаметра образующей окружностей и два параметра - с и а. Параметр с определяет характер тип каналовой поверхности Иоахимсталя, причем существенную роль играет знак (±) при с2. Параметр а определяет внешние размера поверхности, не изменяя ее формы и при исследовании геометрии может быть принят равным единице.

В уравнении (4) отсутствует в явной форме функция радиуса образующих окружностей поверхности Л(а). Радиус образующей окружности может быть определен на основе формулы (3)

±с

r2(a)

г22 («И* с2) Gi(°0

2 • г2 (а) 2т2(а) ^

В работе [5] на основе уравнения поверхности (4) получены формулы коэффициентов квадратичных форм и главных радиусов кривизны каналовых поверхностей Иоахимсталя:

1 2CT2(a)-r2(a)[r2(a)+r2'(a)-£)(a,p)] , 1 G,(a)a(a)

оМ Л«) ’ 2 ° Ы) ' ( )

Здесь /(р)-.

аа ар

Из формулы кривизны к2 видно, что она зависит только от координаты a -к2 = к2 (а). Следовательно, значения кривизны кг постоянны вдоль линий кривизны

а = const, а нормали образуют конус, и, следовательно, эти линии являются окружностями, а сама поверхность каналовой.

Можно показать, что если в формулах уравнения каналовой поверхности Иоахимсталя

(2), (4) заменить /-2(а), на г,(а), то мы вновь получим каналовую поверхность Иоахимсталя. Следовательно, за направляющую каналовой поверхности Иоахимсталя можно принимать либо линию центров образующих окружностей r(a), либо линии, описываемые концами диаметров этих окружностей в плоскости линии центров - г, (а) или ^(а).

Чтобы каналовая поверхность Иоахимсталя стала поверхностью Дюпена, необходимо, чтобы и второе семейство линий кривизны - р = const было семейством окружностей, и, следовательно, направляющие линии поверхности r{ (а), г2(а) также должны быть

окружностями - для циклид Дюпена 4-го порядка, либо прямыми линиями - для циклид 3-го порядка [ ].

Для направляющей кривой гг (а) каналовой поверхности Иоахимсталя в уравнении

(3) используется полярная система координат с центром в полюсе поверхности. Следовательно, необходимо записать уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе, который смещен от центра окружности. Такое уравнение имеет вид (рис. 2,а):

где ¡л - радиус окружности; у - эксцентриситет полюса, относительно центра окружности.

г2 (а) = у ■ eos а + д/ц2 -у2 -sin2 а cosa

Рис. 2. Направляющие циклид Дюпена окружность а - циклида Дюпена 4-го порядка б - циклида Дюпена 3-го порядка

Уравнение прямой линии, отстоящей от полюса на расстоянии ц, в полярной системе координат запишется в виде (рис. 2,6)

г2(а) = -У-. (8)

соэа

Величины /л, у могут рассматриваться как относительные к параметру а в уравнении поверхности (4).

Используя уравнения направляющих поверхностей Иоахимсталя в виде (7) и (8), получим выражения кривизны к\ (а).

При направляющей окружности, обозначая ц; = ц2 -у2 -вт2 а , имеем:

f \ у•cos а

1+-

1/2

у sm а

-----ШГ'Гг ’

Ц)

у sin а

1/2

у-cosa

1/2

1 +

Y -sin а

Ці

у cosa 2

375—** ;

у

Г-> =

у • sm а

у sm а у cos а 2

V

3/2

•Гг;

г2+а-2 =

z' 2-2

у sin a y cosa 2 И

1 + -

3/2

^ 2 ( \

Ц , у•cos a I v,/2 J

■г2 = — J V

Г, =

feizi!).

...3/2

ст = (г22+г2'2)1/2 = г2

2-ст2 -(г2 +г2)-/-2 =^-V

/ 2-2 Л1/2

у - sin а

1/2

1 +

V

2-

¥

( \ , у•cos а

2 Ц

1/2 г2 ;

1+

у■cos а

V

1/2

■Г, =

____3 _о_

3/2 *

V 2 И

з

(«

г2+/-2

.) з .... Ц2 *(и2 ~У2) з_И

^ Г2 - ^ >2 --

2 2 Ї ~3-о ;

Учитывая полученные соотношения, имеем

к - 1 2р2(а)~г2(аНг2(д)+у2(ц)]-Ь + г22(«)-/2(Р)]_ 1 1-(и2 -У2)-/2(Р)

1 я G2(p)-a3(a) а И<52((3)

(9)

Таким образом, кривизны координатных линий Р = const не зависят от координаты а, и, следовательно, нормали к ним образуют конус, т.е. координатные линии р = const являются окружностями. Так как оба семейства линий кривизны являются окружностями, то поверхность Иоахимсталя, направляющей которой является окружность, будет циклидой Дюпена.

Аналогично, для направляющей поверхности Иоахимсталя прямой линии, получаем:

sin a ( 2 .lV/2 (, 2 Y/2 r2 r2

= ц-----— = r2-tga\ o = [r2+r2J =[] + tg aj - r2 = -2- = -2- ;

--- cosa Ц

'2 2 cos a

r2' = (r2-iga) = /g2a +

cos a)

1 + sin a

r2 =------~—Г2 =

cos a

cos a

— 1

2 з ■r2 =-Т'Г2 ~r2>

Ц

^2 f2 = ~~y ^"2 ’ 2 ст2-(г2+г2')-г2 =0; (r2 + r2')-r23 = = 2-ц-ст3 .

И Ц

Окончательно получаем формулу кривизны координатных линий

- 0±Ж

a G2(p) ‘

Л, =-2

(10)

Как и в случае направляющей окружности, кривизны координатных линий р = const постоянны, и, следовательно, координатные линии являются окружностями, а поверхность

имеет два семейства окружностей - линий главных кривизн. Каналовая поверхность с направляющей прямой линией является циклидой Дюпена.

В тоже время, можно показать, что циклиды Дюпена 3-го порядка, являются предельным случаем циклид Дюпена 4-го порядка. Циклиды Дюпена 4-го порядка, переходят в циклиды Дюпена 3-го порядка, если при направляющей линии поверхности -окружности, положить у = ц (с 0), т.е. полюс поверхности разместить на направляющей окружности. При у =/л и с = 0 циклида Дюпена вырождается в сферу. При у = О (полюс совмещается с центром направляющей окружности) циклида Дюпена является поверхностью вращения - тором.

Для конструирования циклиды Дюпена 4-го порядка [ ] достаточно задать две окружности (радиусы ц1 и ц2) расположенных в плане с эксцентриситетом е, либо одну окружность в плане (радиус ц, или ц2 ) и радиусы образующих окружностей (8, и 52) в вертикальной плоскости на концах диаметра горизонтальной окружности. Для циклиды Дюпена 3-го порядка задается положение полюса относительно направляющей прямой /л и радиус начальной образующей окружности 8.

В соответствии с уравнением поверхности Иоахимсталя (3) и уравнениями направляющих для циклид Дюпена (7), (8) необходимо задавать радиус направляющей окружности //, положение полюса относительно центра направляющей окружности (параметр у) и параметр ±с2 - для циклиды 4-го порядка; положение полюса

'у

(расстояние /л) относительно направляющей прямой и параметр ± с - для циклиды 3-го порядка. Использую соотношение (3) нетрудно определить соответствие этих параметров.

Ниже на рис. 3-5 приведены чертежи вариантов поверхностей Дюпена 3-го и 4-го порядка, построенных на основе уравнений (3), (7), (8), с использованием графических средств системы МаСас!, при различных значениях параметров.

у= 0,25; с = 0.7; (с<ц-у) //=1;^=0,2; с = 0.8; (с = ц-у)

Л / \

// = 1; 0,4; с = 0.8; (с>ц-у, с<у + /0 //=1;у-0; с = 0.4;

Рис. 3. Циклиды Дюпена 4-го порядка, г2 > Я

ju= 1; у=0,6; с= 1.1;

//= 1; у= 0,6; с = 1.1;

ц=\\ у=0,6\ с = 1.5; //= 1; 0; с=1.6;

Рис. 4. Циклиды Дюпена 4-го порядка, r2 < R

//= 1; ^=0,6; с = 0;

// = 1; у= 1; с =0;

Рис. 5. Циклиды Дюпена (с = 0)

а - 4-го порядка; б - сфера

//=1; с = 2; с-1.4;

ц~\\ С= 1.2; // = 1; С = 0;

Рис. 6. Циклиды Дюпена 3-го порядка

Рис. 7. конструкции оболочек из отсеков циклид Дюпена

ЛИТЕРАТУРА

1. Бойков И. К. Геометрия циклид Д юпена и их применение в строительных объектах//Расчет оболочек строительных конструкций. -М.: УДН. 1982. -С. 11-129.

2. Гилберт Д., Кон.-Фоссен С. Наглядная геометрия. -М.: Наука,1981. -344 с.

3. Дарбу Г. Принципы аналитической геометрии. ГОНТИ, 1949.

4. Иванов В. Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией центров//Исследования пространственных систем: Материалы семинара кафедры сопротивления материалов РУДН. -М.: Изд-во РУДН, 1996. -С. 32-36.

5. Иванов В.Н., Насер Юнее Аббуши. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя/УПроблемы теории и практики в инженерных исследованиях: Труды XXXIII научной конференции РУДН. -М.: РУДН, 1997. -С. 115-118.

6. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. -М.: ОГИЗ, Гостехиздат, т.1, 1947, -512с.; т.2, 1948, -408 с.

7. Кривошапко C. H., Жиль-улбе Матье. Геометрические и прочностные исследования тонких псевдосферических, катеноидальных оболочек и оболочек в форме циклид Дюпена.

8. Кришна Редди Г.В. Безмоментная теория оболочек в форме циклид Дюпена//Исследования по теории сооружений. - Вып. 15 - М.:, 19667. -С. 90-89.

9. Кришна Редди Г. В. Безмоментная теория оболочек в форме циклид Дюпена третьего порядка//Известия вузов: Строительство и архитектура, № 7. -М.: 1967.

10. Кришна Редди Г. В. Расчет оболочек в форме циклид Дюпена. -Дисс... к.т.н. -М.:УДН, 1966.-157 с.

11. Милинский В.И. Диференциальная геометрия. -JI.: 1934. -332 с.

12. Рекач В.Т., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. -М.: Изд-во РУДН, 1988. -176 с.

13. Рекач В.Г., Рыжов H.H. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек//Тр. УДН т. XLVIII, Строительная механика, вып. VI. - М.:УДН, 1970. -С. 3-8.

14. Рыжов H.H., Гершман И.П., Осипов В.А. Прикладная геометрия поверхностей//Тр. Моск. Научн.-метод, семинара по начертательной геометрии и инженерной графике, ч. 3, вып. 242. -М.: МАИ, 1972. -С. 57-91.

15. Фиников С.П. Теория поверхностей. -М.-Л.: ГТТИ, 1934. -200с.

16. ¿Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М.: ГИФМЛ, 1963. -540 с.

17. Якубовский А.М. Циклические каркасы из линий кривизны//Труды УДН, t.XXVI, Математика, вып. 3, Прикладная геометрия. -М.: УДН, 1967. -С. 66-78.

18. Якубовский А.М. Исследование аналитического метода задания циклид Дюпена при выделении их из конгруэнции окружностей// Прикладная геометрия. -Вып. 4. -М.: УДН, 1971.-С. 26-40.

19. Caley A. On The Cyclide//Quaterly Journal of pure and applied mathematics, 12, 1873. -

C. 148.

20. Darboux. G.: System orthogonaux et les coordonnées curirlignes. 2nd adn., Paris,

Guatier-Villars, 1910.

21. Dixon R. Asymétrie shellos - a new approach//Bulletin of international Assosiation for Shell and Spartial Structues. Vol. 32 (1991)n. 3,n.l07. -C. 133-137.

22. Doehlemann K. Geometrische Transformationen. II. Leipzig. 1908.

23. Dupin Ch. Developpment de geometrie. Paris, 1813.

24. Dupin Ch. Application de geometrie et de mechanique. Paris, Bachelier, 1822.

25. Maxwell J.C. On the cyclide. Quaterly Journal of pure and applied mathematics, 9, 1868. -С-111.

26. Forsytt A.R. Lectures on the differential geometry of curves and surfaces. -Cambridge? 1920.

27. Frank Hubert. Flachenstreiten und Dupensche Zykliden in der Laguerre-Geometrie// J. reine und angew. Math., 1975? 274-275. -C. 424-440.

28. Meszrios Ferenc. Die Zykliden 3. Ordnung im pseudoisotropen Raum//Math. Pannon. -1993. -4, № 2, II. -C. 273-285.

29. Palman Dominik. Zycliden 3. Ordnung im galileischen Raumes// Math. Pannon. -1995. -

6, № 2. -C. 285-295.

SOME ASPECTS OF THE GEOMETRY OF DUPIN’S CYCLIDE V.N. Ivanov

Department of Strength of Materials Russian People’s Friendship University Miklukho-Maklaya St., 6, 117198 Moscow

A geometry of Dupin’s cyclide as a kind of channel JoachimsthaPs surfaces are discussed in the article. JoachimsthaPs surfaces are the surfaces one family of the curvature lines of which lies in the planes rotating around some axe. There are used an equation of JoachimsthaPs channel surfaces with a circle or a straight line as a guide line. It is shown that the surfaces that are organized in such a way will be the Dupin’s cyclides. The formulas of the quadratics and the curvatures of the surface are received. The drawings of the Dupin’s cyclides of the different forms which are build with the help of the MathCad system are shown.

Иванов Вячеслав Николаевич, 1938 г.р. Окончил Университет дружбы народов в 1965 году по специальности «Строительство». Работал на стройках, в проектных и научно-исследовательских организациях города Москвы. С 1985 г. доцент, с 2000 года профессор кафедры сопротивления Российского университета дружбы народов. Опубликовано 70 научных работ, четыре учебных пособия и более десяти учебно-методических пособий. Подготовил четырех кандидатов наук.

Ivanov Vyacheslav Nicolaevich, (b.1938) graduated from People’s Freidship University in 1965, phD (Eng.). Worked at building sites, in design and research organization of Moscow. From 1985 ass. professor and from 2000 professor of Department of Strength of Materials of Russian People’s Friendship University. Author of 70 scientific articles, 4 manuals and more then 10 aid text-books for students. For candidates for a degree have defended their master thesis under his guidance.