О плоских интегральных линиях голономного векторного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7 А.Г. Рогачевский

О ПЛОСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНИЯХ ГОЛОНОМНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

В статье рассматриваются голономные векторные поля специального типа, а именно, задающие один из базисных векторов ортогональной системы координат. Найдены условия, при которых интегральные линии поля будут плоскими.

В данной работе рассматривается ортогонально-координатное векторное поле (ОК-поле), свойства которого изучались в [1-2]. Имея в виду физические приложения, будем считать, что поле задано в пространстве R4, то есть в псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой метрики (1, -1, -1, -1).

Укажем на связь данной работы с классической электродинамикой. В [1] ОК-поле считалось векторным потенциалом. Для таких полей уравнения Максвелла имеют особенно простой вид. Для дальнейшего упрощения уравнений Максвелла можно наложить на ОК-поле условие: интегральные линии ОК-поля являются плоскими. Как будет показано в дальнейших публикациях, уравнения Максвелла при таком потенциале принимают вид уравнений механики. А именно: 4-ток определяет изменение единичной касательной и единичной нормали вдоль интегральной линии ОК-поля.

Итак, поставим следующую задачу: при каких условиях на ОК-поле интегральные линии этого поля будут плоскими?

Ортогонально-координатные векторные поля

Голономные поля общего вида рассмотрены в монографии [5]. ОК-поле, по определению, это голо-номное поле А(г), которое может служить базисным вектором некоторой криволинейной системы координат в R4. Базисные векторы такой системы координат обозначим L(p), p = 0, 1, 2, 3; A(r) = L(0); сами координаты - и°, причем, и0 = а. Все различные базисы, соответствующие данному полю A(r), назовем допустимыми базисами.

В этом разделе для ОК-полей будут получены уравнения, необходимые для основной части работы. Будут использоваться те же обозначения, что и в [1-4]. Приведем некоторые из этих обозначений и определений. Интегральная линия La ОК-поля A(r) дается уравнением r = г(а), где а, при заданном A(r), - инвариантный параметр. То есть, A(r) = r'a , а также n = г'ш , где n - единичная касательная к La и одновременно единичная нормаль к гиперповерхностям, соответствующим A(r), как голономному полю [5]; ы - натуральный параметр на La. Как и в [1-2], считаем, что (A, A) > 0, а также используем обозначение (A, A) = а2 . Как следствие, имеем (n'a , n'a) < 0.

Поворот единичного базисного вектора n = A/а дается выражением

n'a = - (1/2) dA • n , (1)

где d - дифференцирование 1-формы A. Приведем вывод этой формулы, опущенный в [2]. Используем тождество A'a = (dsA + dA) • A, где dsA - тензор деформации [1-2]. В левую часть тождества подставим A = а n, а в правую часть подставим dsA • A = 2 (ln a)'a A [1-2]. Результатом будет (1).

Следствием (1) является разложение У а по n и n'a :

У а = а'ы n - n'a . (2)

Для получения (2) достаточно подставить A = а n в правую часть (1).

Из (2) следует

3

n\= Z , (3)

а=1

где n(a) = L(a)/a(a), a(a)2 = - (L(a), L(a)); ы - натуральный параметр на координатной линии, соответствующей и°. Дифференцируем (3) по а и используем полученную в [2] формулу п(а)'а = a Wa n . В результате получаем

Паа = Z (а^а )'«г П(а) + Ь П , (4)

а

где Ь2 = - (n'a , n'a).

Теорема 1

Для того чтобы вектор n'a являлся одним из базисных векторов L(a), необходимо и достаточно, чтобы он был собственным вектором оператора Вейнгартена w[ = дП/дхк.

Необходимость следует из формулировки теоремы Дюпена, данной в [2]: ОК-поля L(a), a = 1, 2, 3 являются собственными векторами оператора Вейнгартена. При этом [2]

w ■ L(a) = (ln a(a))'u L(a). (5)

Достаточность очевидна. ОК-полю A(r), по его определению, соответствуют три базисных вектора L(a). Поэтому оператор Вейнгартена имеет три различных собственных вектора. Если n'a - один из этих векторов, то он совпадает с одним из базисных векторов L(a).

Для дальнейшего приведем (5) для случая, когда n'a - один из базисных векторов L(a):

w ■ n'a = (ln Ь)'ш n'a . (6)

Теорема 2

Пусть A(r) - ортогонально-координатное поле. Если вектор n'a является одним из векторов L(a) допустимого базиса {A, L(a)}, a = 1, 2, 3, то интегральные линии La ОК-поля A(r) плоские. Обратно, если интегральные линии La ОК-поля A(r) плоские, то среди допустимых базисов есть такой, что n'a - один из базисных векторов L(a).

Докажем первое утверждение. Условие того, что А-линия плоская, запишем в виде

поо = (ln b)\ п\ + Ь 2 п . (7)

Итак, пусть, для определенности, n'a = L(1). Из условий dL(0)/du1 = dL(1)/да следует выражение

A и1 = п аа .

Левая часть, в силу А = а n и n'a = L(1) = dr/du1, равна

'*)--------------а-

A'ui = (Va, па) п + aw• па Отсюда, используя (2) и (6), получаем (7).

Докажем второе утверждение. Для определенности докажем, что n'a можно взять в качестве L(1). Пусть интегральные линии La ОК-поля A(r) плоские. Тогда имеет место (7). Подставим в (7) выражение (3) и сравним результат с общим выражением (4). В итоге получаем уравнения для величин а &а . Их решение имеет вид:

а\а= С а (и ) Ь , (8)

где постоянные интегрирования Са в общем случае зависят от координат u = {ua}, a =1, 2, 3. Положим С = 1, С2 = 0, С3 = 0, тогда (3) и (8) дают n'a = b n(1). Согласно (5), этот вектор является собственным вектором оператора Вейнгартена. Следовательно, по теореме 1, вектор n'a является базисным вектором. Очевидно, это вектор L(1). Доказательство окончено.

Отметим полезные следствия равенства n'a = L(1). Обозначая, для простоты, u1 = u, получаем из (8)

(при прежнем выборе постоянных Ca): а"^ = Ь ; b = dœVdu; a'u = b2.

Литература

1. Рогачевский, A.Г. // Известия вузов. Физика. - 2003. - № 10. - С. 53-55.

2. Рогачевский, А.Г. // Вестник КрасГАУ. - 2007. - № 3. - С. 42-43.

3. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т. 2. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

4. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. - 760 с.

5. Аминов, Ю.А. Геометрия векторного поля / Ю.А. Аминов. - М.: Наука, 1998. - 208 с.

-----------♦'------------

УДК 620.539.3 В.И. Матюшин

ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ ПРИ ЛИНЕЙНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ОСИ

В статье дается методика получения однородного решения теории упругости при линейном распределении нормальных напряжений вдоль оси арки в случае прямосимметричного загружения.

Для этого случая получены соответствующие бигармонические функции и найдены от них формулы напряжений и перемещений, удовлетворяющие однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки.

Введение. Для построения данного решения найдем бигармонические функции в соответствии с общим решением плоской задачи в полярных координатах [1].

Функции, приведенные в [1], будем называть плоскими. Пространственные бигармонические функции найдены по методике, изложенной в [2]. Общее решение, приведенное в [1], содержит полный набор функций, удовлетворяющих условию бигармоничности. Среди этих функций имеются такие, которые содержат в качестве множителя 0, 0 cos 0 и 0 sin 0. Так как в напряжениях и перемещениях от этих функций значения получаются многозначными в решениях задач типа кругового кольца, то их не используют. Цилиндрическая арка в поперечном сечении представляет часть кольца, а поэтому при принятой системе координат функции, имеющие множителем 0, 0sin 0, 0cos0, оказываются приемлемыми. Введение в решение функций такого типа и позволяет получить совместно решаемую систему алгебраических уравнений. В приводимом решении введены следующие обозначения: х, 0, r - оси цилиндрической системы координат;

%• 0, р - безразмерные координаты в цилиндрической системе координат; b - наружный радиус арки; а - внутренний радиус арки;

Е - модуль упругости материала;

^ - коэффициент поперечной деформации;

г x r

£ = -; р = -;

с с

8 = 1 + X; у = 1 — X - наружный и внутренний радиус арки в безразмерных координатах;

a + b

с = -

2

b — a

X =-------- половина относительной толщины стенки арки;

a + b

M = E

2(1 )с3

В поставленной задаче используется общее решение теории упругости, предложенное академиком Б.Г. Галеркиным [3].