Двумерная механика электромагнитного поля на плоских слоениях пространства R14. Часть I Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Новиков, Е.А. Алгоритм интегрирования жестких систем на основе (т,к)-метода второго порядка точности с численным вычислением матрицы Якоби: Препринт №20 / Е.А. Новиков, Ю.А Шитов. - Красноярск: ВЦ СО РАН, 1988. - 23 с.

4. Новиков, Е.А. О повышении эффективности алгоритма интегрирования на основе формулы типа Ро-зенброка второго порядка точности за счет замораживания матрицы Якоби: Препринт №592 / Е.А. Новиков, В.А. Новиков, Л.А. Юматова. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - 26с.

5. Кнауб, Л.В. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты / Л.В. Кнауб, Ю.М. Лаевский, Е.А. Новиков // СибЖВМ. - 2007. - Т. 10. - №2. -С. 177-185.

6. Новиков, Е.А. Явные методы для жестких систем / Е.А. Новиков. - Новосибирск: Наука, 1997. - 197с.

7. http://www.netlib.org/odepack/index.html.

8. Mazzia, F. Test Set for Initial Value Problem Solvers / F. Mazzia, F. lavernaro // Department of Mathematics, University of Bari, August. - 2003.

9. http://pitagora.dm.uniba.it/ testset/src/problems/medakzo.f.

--------- ^-----------

УДК 514.7 А.Г. Рогачевский

ДВУМЕРНАЯ МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКИХ СЛОЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВА R4. ЧАСТЬ I

Рассматривается голономное векторное поле специального типа, являющееся полем базисного вектора ортогональной системы координат (векторное ОК-поле). В дальнейшем (часть II) это поле интерпретируется как векторный потенциал электромагнитного поля. В данной части развивается необходимый для приложения к электродинамике математический аппарат. В частности, изучается векторное ОК-поле на плоских двумерных слоениях псевдоевклидова пространства R.

Векторные ортогонально-коодинатные (ОК) поля

Имея в виду физические приложения, мы рассматриваем векторные поля в пространстве R, то есть в псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой метрики (1, -1, -1, -1). Голономные поля общего вида рассмотрены в монографии [6]. В работах [1-3] изучались свойства голономного векторного поля специального типа - ортогонально-координатного векторного поля (векторного ОК-поля). В данной части работы исследуются свойства векторного ОК-поля, которые будут использованы далее при рассмотрении векторного потенциала электромагнитного поля.

Векторное ОК-поле - это голономное поле А(г), которое может служить базисным вектором некоторой

г>4

ортогональной криволинейной системы координат в R . Такие координаты up назовем А-координатами

(р = 0, 1, 2, 3). Соответствующие базисные векторы обозначим L(p) = L(p), причем пусть А = L(0) , u0 = а . Индексы координат тензоров в А-пространстве будут писаться в скобках, если нужно отличие от тензорных

индексов в координатах R4. Таким образом, L{p) = dxk /dup, xk - координаты в R4.

Далее будут использоваться те же обозначения, что и в [1-5]. Приведем некоторые из этих обозначений и определений. Интегральная линия LА ОК-поля А(г) дается уравнением r = г(а). При заданном А(г) координата а - инвариантный параметр, так как А(г(а)) = г'а. Единичная касательная к LА n = г'ы, где ы -натуральный параметр на LА, одновременно является единичной нормалью к координатным гиперповерхностям f(r) = а, соответствующим А(г) как голономному полю [6]. Так как А(г) будет интерпретироваться как векторный потенциал, считаем, что (А, А) > 0; а также используем обозначение (А, А) = а2 . Как следствие, имеем (п'а , п'а) < 0.

Ортогональные координаты up вводятся в R, поэтому метрический тензор в этих координатах имеет

вид

Gpq = (L(p), L(q) ) = а(р)2 gpq, (1)

где gpq - метрика Минковского, а(0) = а, а(а)2 = - (L(a), L(a)), а = 1, 2, 3.

Все базисные векторы L(p) являются ОК-полями. Им соответствуют семейства координатных поверхностей f(p)(r) = up. Учитывая, что вектор L(p) параллелен V f(p), нетрудно получить формулу

L(p) = Gpp V f(p) (2)

(к сожалению, в [2] множитель Gpp был потерян). Для краткости в (2) не уточнено, что L(p) в этой формуле ковектор R4. Обозначая f(0) = f имеем

А = а2 V f. (3)

Имеет место важное тождество А'а = (dsA - dA) • А, где dsA - тензор деформации в координатах R4

[5]; d - дифференцирование 1-формы, точка в правой части означает действие оператора на вектор (то есть

свертку по внешнему индексу оператора, стоящего в скобках). Если А - векторный потенциал, то dA -тензор электромагнитного поля F:

Fik = Э A - dkA. (4)

Из приведенного тождества следует, что (1/2) dA - генератор бесконечно малого поворота вектора А, при сдвиге по А-линии [3]:

т'а = - (1/2) dA • n. (5)

Подставляя в (4) А = a n, получаем из (5)

Va = а'ш n - n'a. (6)

Согласно (3), (4), тензор dA = F является простым бивектором:

F = Va2 л V f.

Отсюда, используя (6), получаем

F = 2 n л n'a. (7)

Свойства простого бивектора dA = F

Введем «единичный» вектор m = n'a / b, b2 = - (n'a , n'a). Тогда F можно записать через бивектор

M = n л m. (8)

Пусть Z - двумерная плоскость любых двух ортов n и m, определенная этими векторами с точностью до положения в пространстве. Имеют место тождества:

M • n = - m, M • m = - n. (9)

Поэтому для любого вектора В є Z имеем М • В є Z, а для любого вектора В1 Z имеем М • В = 0. Таким

образом, бивектор (8) определяет плоскость Z с точностью до положения в пространстве (n и m при этом

могут быть неизвестны). Если вернуться к полям n и m, то M(r) задает касательное пространство L2(r) = Z(r).

Наконец, в силу (9) для любого вектора В є Z имеем

M • M • В = В. (10)

Сохранение объемов вдоль трубок коодинатных линий (L(p)^uhuü)

В дальнейшем для полей L(p) будут приняты условия Лоренца:

div L(p) = 0. (11)

Считая Ц(р) скоростями деформации Лх4, имеем 1Уи = 0, где и - любая из координат ир, \М = (дг/ди) -якобиан перехода к А-координатам [5] . Отметим очевидное равенство ^ = П а( Р)1 то есть \М - объем

Р

элементарного параллелепипеда \Мц , построенного на векторах Ц(р). Считая, что «на бесконечности» Ц(р)

7~> 4

переходят в орты системы координат в , примем следующее условие

W = П a( р) = 1. (12)

Нормали V f(р) к координатным поверхностям как ориентированные площади

В случае (12) нормали к координатным поверхностям V f (р) имеют следующую полезную интерпретацию. Введем ковектор

S(p) = *Цд) д Ц(э) д Щ, (13)

где * - оператор Ходжа [5]; ц, э, и + р. Согласно (12) Ц(р) • Э(р) = \М = 1, следовательно, Э(р) = Gpp Цр). Сравнивая с (2), получаем, что нормали к координатным поверхностям V f(р) равны элементарным ориентированным площадям (13):

V №) = ЭР). (14)

При этом Э(р) = п(р) Э(р), где п(р) = Ц(р) / а(р); Э(р) = а(ц) а(э) а(и), с условием ц, э, и + р. Отметим, что площадь «поперечного» сечения трубки Цр)-линий дается выражением

и

s(р) = Пa(q)duq.

Я* p

Векторные ОК поля, имеющие плоские интегральные линии

Необходимое и достаточное условие того, что А-линия плоская имеет вид [5]

m'a = b n. (15)

Плоскость, в которой лежит в этом случае La , обозначим Z,a . Очевидно, что M'a = 0, то есть бивектор М определяет плоскость Za .

В [3] доказана следующая теорема. Пусть A(r) - векторное ОК-поле. Для того чтобы все линии La были плоскими, необходимо и достаточно, чтобы вектор n'a был одним из векторов L(a), где a = 1,2,3. При этом n'a будет собственным вектором оператора Вейнгартена w [2]:

W • n'a = (ln Ь)'ш n'a. (16)

Для определенности далее будем считать, что n'a = L(1) е L, и положим U1 Е и.

Далее в этом разделе будем рассматривать поле А(Г), у которого все интегральные линии La плоские.

В принятых обозначениях формула (6) дает

а'и = b2. (17)

Теорема 1

Пусть векторное ОК-поле имеет плоские интегральные линии (плоские А-линии). Тогда пространство R4 имеет слоение, слои которого являются 2-плоскостями, состоящими из А-линий. Последнее означает, что, если А-линия проходит через точку слоя, то она принадлежит этому слою.

Замечание: очевидно, что 2-плоскости, состоящие из А-линий, являются плоскостями Za. Доказательство проведем, доказывая следующие три утверждения.

1. Через каждую точку R* проходит А-линия и, следовательно, плоскость Za .

2. А-линия, проходящая через произвольную точку rm плоскости Za, принадлежит этой плоскости. Это утверждение справедливо, если векторы A(rm) и L(rm) = n'a (rm) принадлежат Za .

P

Достаточно доказать, что А и L остаются в плоскости Za при бесконечно малом сдвиге по этой плоскости в направлении вектора L. Так как базисные векторы А, L имеют свойство А'и = L'a , то А'и е Za . Далее, для производной L'u = (па)'и имеем

Псш = Пиа = (W ■ na)a . (18)

Используя (16), получаем, что L'u е Za, . Итак, основное утверждение этого пункта доказано.

3. Через каждую точку R* проходит только одна плоскость Za . Действительно, в противном случае через каждую общую точку двух плоскостей 1а , согласно предыдущему пункту, проходило бы две А-линии.

Итак, согласно доказанным первому и третьему утверждением плоскости Za являются слоями. Согласно второму доказанному утверждению, если А-линия проходит через точку слоя Za, то эта линия принадлежит слою. Доказательство закончено.

Теорема 2

Пусть векторное ОК-поле имеет плоские интегральные линии. Тогда простой бивектор М = n д m постоянен во всем пространстве.

Доказательство

1. В этом пункте докажем, что М постоянен на слое Za . Действительно, в силу (15) М'а = 0. Далее

равенство М'и = 0 следует из справедливости следующих двух утверждений. Во-первых, согласно (16) вектор т'и = w • n'a параллелен m. Далее докажем, что т'и параллелен n. Так как т'и 1 m, достаточно

доказать, что m'u е Za . Для этого следует продифференцировать m = n'a / b по и, используя (18) и (16).

2. Таким образом, каждому слою соответствует единственный постоянный бивектор (8). Так как слои

- параллельные 2-плоскости, то им будет соответствовать один и тот же бивектор (согласно подразделу

«Свойства простого бивектора dA = F», М определяет плоскость с точностью до положения в пространстве).

Доказательство закончено.

Литература

1. Рогачевский, А.Г. О динамической трактовке деформаций пространства R4 / А.Г. Рогачевский // Изв.

вузов. Физика. - 2003. - №10. - С. 53-55.

2. Рогачевский, А.Г. Анализ теоремы Дюпена для тензора деформации плоского метрического

пространства / А.Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. - Красноярск, 2007. - Вып. 3. - С. 42-43.

3. Рогачевский, А.Г. О плоских интегральных линиях голономного векторного поля / А.Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. - Красноярск, 2007. - Вып. 4. - С. 26-28.

4. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т.11. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -

М.: Наука, 1988. - 512 с.

5. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. -760 с.

6. Аминов, Ю.А. Геометрия векторного поля / Ю.А. Аминов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1998. -208 с.