CC BY
76
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4
Д. В. Валовик, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА СИСТЕМЕ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТЕЛ И ЭКРАНОВ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Теоретическое исследование векторной задачи рассеяния электромагнитной волны препятствием сложной формы, состоящим из нескольких объемных тел и бесконечно тонких абсолютно проводящих экранов.
Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке (решение разыскивается в классическом смысле всюду, за исключением края экранов); для доказательства теоремы единственности решения краевой задачи применяются классические интегральные формулы анализа, распро-странимые на пространства функций Соболева; для доказательства существования и гладкости решения задачи применяются элементы теории эллиптических псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем.
Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции; доказана теорема о единственности квазиклассического решения скалярной задачи дифракции; доказана теорема о фредгольмовости системы интегродифференциальных уравнений; установлена гладкость решения этой системы.
Выводы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования более сложных задач электродинамики, а также для теоретического обоснования численных методов их решения.
Ключевые слова: задача дифракции, квазиклассические решения, теорема единственности, пространства Соболева, фредгольмов оператор, эллиптический псевдодифференциальный оператор.
D. V. Valovik, M. Yu. Medvedik, Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak
EXISTENCE AND UNICITY OF THE SOLUTION OF THE DIFFRACTION PROBLEM FOR AN ELECTROMAGNETIC WAVE ON A SYSTEM OF NON-INTERSECTING BODIES AND SCREENS
Abstract.
Background. The aim of this work is to theoretically study the vector problem of electromagnetic wave scattering by an obstacle of complex shape consisting of several solid bodies and infinitely thin absolutely conducting screens.
Material and methods. The problem is considered in the quasiclassical statement (solution is sought in the classical sense everywhere except for the screen edge); to prove the theorem of uniqueness of the solution to the boundary value problem, the authors used classical integral formulas generalized for the elements of the Sobolev spaces; to prove existence and continuity of the solution, the researchers applied the theory of elliptic pseudodifferential operators over bounded manifolds.
Results. The quasiclassical statement of the electromagnrtc wave diffraction problem has been suggested; the theorem of uniqueness of the quasi-classical solu-
1 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект №14-11-00344.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
89
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
tion to the boundary value problem was proved; the Fredholm property of the matrix integro-differential operator was established; the theorem on continuity of solutions to the integro-differential equations was proved.
Conclusions. The obtained results can be used in the study of more complicated diffraction problems as well as for validation of numerical methods for their approximate solution.
Key words: diffraction problem, quasi-classical solutions, uniqueness theorem, Sobolev spaces, Fredholm operator, elliptic PsDO
Введение
В статье [1] впервые рассмотрен новый класс задач дифракции электромагнитных волн, в которых рассеивающая структура образована многообразиями различной размерности - задача рассматривается в квазиклассической постановке (решение разыскивается в классическом смысле всюду, за исключением края экранов); исходная краевая задача для системы уравнений Максвелла сводится методами теории потенциала к системе интегродиффе-ренциальных уравнений по областям и поверхностям рассеивателей. Для приближенного решения системы уравнений в [1] применен метод Галеркина с выбором кусочно-линейных финитных базисных вектор-функций.
Данная работа посвящена теоретическому исследованию описанной задачи. Во-первых, доказывается теорема единственности квазиклассического решения поставленной задачи дифракции. Доказательство этой теоремы во многом напоминает доказательство аналогичного утверждения для решения скалярной задачи дифракции [2]: исходная краевая задача сводится к задаче сопряжения в нескольких подобластях свободного пространства; из классических интегральных соотношений и условий излучения следует, что решение задачи сопряжения (а следовательно, и исходной задачи) единственно.
Исходная краевая задача сводится методами теории потенциала [3, 4] к системе интегродифференциальных уравнений [1]. Из известных результатов о поведении поля вблизи края абсолютно проводящего экрана следует необходимость рассматривать полученные уравнения как псевдодифференциальные в пространствах Соболева сечений векторных расслоений. В работе определены пространства решений системы интегродифференциальных уравнений; показано, что решение ее является гладким во внутренних точках рассеивателей; кроме того, установлена фредгольмовость матричного инте-гродифференциального оператора рассматриваемой задачи дифракции.
1. Постановка задачи дифракции
Сформулируем кратко математическую постановку задачи дифракции для случая рассеивателя, состоящего из одного тела и одного экрана - более общий случай нескольких экранов и тел рассмотрен в [1].
Пусть Q - связная ориентируемая незамкнутая ограниченная
поверхность класса Cв Ж3, являющаяся абсолютно проводящей, с
3
кусочно-гладким краем; ЭП§ := {х е ж : dist(x,3Q) < 5} - трубчатые
окрестности края экрана. Пусть Q - ограниченная область с кусочно-гладкой
(класса C1) границей, причем Q nQ = 0. Тело Q - диэлектрически неоднородное и анизотропное с гладкой тензор-функцией е(х) такой, что
90
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
T —
е = е и Reе>0, Imе>0 в Q . Свободное пространство однородно и изотропно c постоянными ее, це, причем Im ее > 0, Im це > 0, Im ke > 0,
ke = ®VeeM-e .
Ниже P+, P - произвольные области, внешняя и внутренняя соответственно к П и такие, что П с дР± , а j e - ток, локализованный вне
рассеивателей: supp( j0 e )п (Пи Q ) = 0.
Требуется определить полное электромагнитное поле (E, H):
(E, H) е С2 ((dQ иП)с) рС1 Q \ П) П
pp\Q) П С (Р + \ дП5) рс (Р " \ дП5),
8>0 8>0
удовлетворяющее в М3 \(dQ и П) - уравнениям Максвелла:
J rot H [rot E
-/юеЕ+j0,E, /юц0Н,
(1)
(2)
- условиям непрерывности касательных компонент на границе области неоднородности:
[Ет] IdQ =[Нт] IdQ =0, (3)
- краевому условию на поверхности экрана П (за исключением точек его края):
Ет|п =0, (4)
- условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:
Е,Не L2Joc(Ж3) (5)
- условиям излучения Зоммерфельда на бесконечности для рассеянного
поля
d(ES,Нs} - ike (Es, Нs ) = 0(1/r), r ^~, (6)
3
где r =| x |,x е Ж .
Определение 1. Решение E, Н задачи (2)-(6), удовлетворяющее условиям (1), называется квазиклассическим.
Теорема. Неоднородная задача (2)-(6) имеет не более одного решения. Доказательство. В силу линейности задачи достаточно установить, что однородная краевая задача для рассеянного поля Es, Нs может иметь лишь тривиальное решение.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
91
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Эта краевая задача формулируется следующим образом:
J rot H s [rot Es
-iroeEs
s’
[Es,T ]|dQ [Hs,T ]|dQ 0, Es,t|q 0,
Также для Es, Hs предполагаются выполненными условия излучения. Дополним экран Q до произвольной кусочно-гладкой односвязной замкнутой ориентируемой поверхности ду, охватывающей ограниченную
область у с Ж3 и такой, что Q п V1 = 0.
Пусть B := Br (0) - шар достаточно большого радиуса R такой, что Q, V1 с B. Пусть У2 = Q. Определим также области У3 := B\(У 1 иV2)
—С
с границей дУз = dB иду идУ2 и V4 = B .
Рассматриваемую краевую задачу для рассеянного поля сведем к задаче сопряжения в областях у (ниже приняты обозначения E,, H, для Es, Н5 в У,):
J rot Н, = -irnee E,, =134. [rot Н2 = -irae E2,
[rot E, = i®p,e H,, ’ ’ [rot E2 = iwp,e H2,
E2,t IdQ = E3,T IdQ; H2,t IdQ = H3,T IdQ; E3,T IdB = E4,t IdB; H3,T IdB = H4,t IdB;
E1,T Idv1VQ = E3,T Idv1VQ; H1,T Idv1VQ = H3,T Idv1VQ; E1,T Iq = E3,T Iq = 0
Условия излучения Зоммерфельда заменим эквивалентными условиями Сильвера - Мюллера [5]:
E4, H4 = о(1/r), Im k >0,
H4 хer - E4 = о(1/ r), E4 xer - H4 = o(1/ r) r ^^,
E4,H4= O(1/ r), Im k = 0.
Применим лемму Лоренца
\ (E'xH'-E''xH',n)ds = \(j'H,HO + (\'E,E) - (jH,HO - (j£,E')dV
dv V
в ограниченных областях y,V2 и V3.
Опишем подробно эту процедуру для неоднородной области V2 = Q. Наряду с исходной системой уравнений Максвелла
J rot H2 =-i roeE2,
[rot E2 = i H 2
рассмотрим еще систему уравнений для комплексно-сопряженного поля ^ H2:
Jrot H2 = i weE2,
[rot E2 = -i wpe H2.
92
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Заменяя E2 на —E 2, получим
Г rot H2 = —i ю е E 2 = —i ю е E2 + i ю(е — е) E2,
[rot E 2 = i W|le H2 = i W|le H2 — i ю(це — |le) H2.
Применяя лемму Лоренца к полям E/ = E2, H/ = H2, E,/ = E2, H” = H2 и токам jE = i ю( e—e )E 2, j H = i ю(це — це )H2, получим следующее равенство:
J (E2 х H2 — E2 x H2, n)ds =
dQ
= — |/'ю((ё — e)E2, E2 )dv + Jiffl((M-e - \ie )H2, H2 )dv.
Q Q
Заменяя теперь E2 на —E2 и учитывая свойства сред, получим
J (E2 х H2 + E2 х H2,n)ds = |iro((£ — е)E2, E2)dv. (7)
dQ Q
В ограниченных областях V и V3 получаются аналогичные соотношения:
J (Ej хHi + Ei хHj,n)ds = j"iw((ee — ee)Ei,Ei)dv, (8)
9Vj\q v
J (E3 х H3 + E3 х H3, n)ds = J iw((ee — ee )E3, E3)dv. (9)
dQ udV^QudB V3
Из условий излучения получим
J(E3хH3 + E3хH3,n)ds = 2Re J(E3 хH3,n)ds =
dB dB
= 2 Re J ((H3 хn + о(1/ r)) хH3,n)ds = 2 Re J ((H3 х n) х H3, n)ds + o(1) =
dB dB
= 2Re J (H3 хn,H3 хn)ds + o(1)=2J |H3 хn |2 ds + o(1)=2J |H3,T |2 ds + o(1).
dB dB dB
Сложим равенства (7), (8) и (9):
2 J | H3,T |2 ds + J(ImeE2,E2)dv + У J(ImeeЁ/,Ё/)dv = o(1), (10)
dB Q l=1,3Vj
и рассмотрим несколько случаев.
Пусть сначала Im е >0 всюду в Qc. Из условий излучения и (10) следует сразу, что E, H = 0 во всем пространстве.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
93
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если Im£(x) >0 в Q и Im£e = 0 в свободном пространстве, то
2 J | H3,T |2 ds + J(Im еЁ2,E2)dv = о(1).
dB Q
Так как оба слагаемых здесь неотрицательны, то
J | H3,T |2 ds = о(1), R ^~; J(Im eE2, E2)dv = 0.
dB Q
В силу леммы Реллиха из первого равенства заключаем, что Es, Hs = 0 вне рассеивателей; из второго равенства следует E2, H2 = 0 в Q.
Наконец, если диэлектрическая проницаемость всюду вещественна и положительна в Ж3 \ Q, снова из леммы Реллиха получаем Es, Hs = 0 вне рассеивателей; равенство E2, H2 = 0 в Q также сохраняется [6]. Доказательство завершено.
2. Интегродифференциальные уравнения задачи дифракции
Рассмотренная краевая задача сводится к операторному уравнению
L(J, u) = f . (11)
Здесь J =
£ (х )
-1
E - неизвестный вектор тока поляризации в Q ;
u - неизвестная поверхностная плотность тока, представляющая собой касательное к Q векторное поле. Правая часть есть вектор f = (E0 q,E0 т), где
E0 q - сужение падающего поля Q , а E0 т - его касательная составляющая на экране.
Матричный оператор L имеет вид
L = L1 + L2 =
(A 0 W 0 K1
0 S
+
\K2 0
Здесь операторы A, S, Kj определяются равенствами
AJ := J (x) - (k2 + graddiv) Jg( x, y)J(y)dy,
Q
(
Su :=
v Q
-(ke + graddiv) Jg( x, y )u( y )dsy Q
K1u := -(ke + graddiv) Jg(x,y)u(y)ds
/Т
Q
K2J :=
-(k;2 + graddiv) Jg( x, y )J (y )dy
Q
94
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
и рассматриваются как отображения в следующих пространствах:
AJ := L2(Q) ^ L2(Q), Su := W(Q) ^ W'(Q),
Ku := W(Q) ^ L2(Q), KJ := L(Q) ^ W'(Q).
Пространство W = W(Q) сечений векторных расслоений было введено в монографии [4] как замыкание пространства C0° (Q) по норме У • |W:
У u l$HI u I —1/2 + ldlv u I —1/2 .
2 —1/2
Здесь | | u |—1/2 обозначает норму в пространстве Соболева H (Q),
пространство W = W'(S) - антидвойственное к W .
Решение уравнения (11) - пара (J,u)е L^(Q)хW(Q).
Теорема 2. В выбранных пространствах оператор L является фредгольмовым оператором с нулевым индексом.
Доказательство. В силу ограничений, наложенных на тензор диэлектрической проницаемости, оператор A является фредгольмовым в L2 (Q) [7]. Оператор S: W(Q) ^ W'(Q) фредгольмов, так как всюду вне
экрана выполнено условие ke Ф 0 [4]. Следовательно, L - фредгольмов. Оператор L2 компактен, так как тело и экран не пересекаются и, следовательно, ядра обоих операторов K1 и K2 являются бесконечно дифференцируемыми. Таким образом, L = L + L2 - фредгольмов оператор в выбранных пространствах. Теорема доказана.
Покажем теперь, что решение системы (11) является гладким. По
предположению supp(jo e )n (Qu Q) = 0, следовательно, Eo q е C(Q) и
Eo т е C(Q). Из эллиптичности оператора A : Hscomp (Q) ^ Hfoc (Q) (см. [7])
и гладкости K^u в Q (так как QnQ = 0) следует, что Jе C(Q). Аналогично, эллиптичность оператора S [4] влечет гладкость u в Q. Таким образом, верно
Утверждение. Если решение (J,u)е L^(Q)хW(Q) системы (11) существует, то J и u бесконечно дифференцируемы во внутренних точках Q и Q соответственно.
Список литературы
1. Максимова, М. А. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на системе тел и экранов / М. А. Максимова, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 114-133.
2. Медведик, М. Ю. Скалярная задача дифракции плоской волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 8. - С. 1319-1331.
3. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998. - 160 с.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
95
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996. - 176 с.
5. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. - М. : Высшая школа, 1991. - 224 с.
6. Costabel, M. Volume and surface integral equations for electromagnetic scattering by a dielectric body / M. Costabel, E. Darrigrand, E. Kone // J. Comput. Appl. Math. -2010. - № 234. - P. 1817-1825.
7. Валовик Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов в задаче дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 4. - С. 509515.
References
1. Maksimova M. A., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 3 (31), pp. 114-133.
2. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2014, vol. 54, no. 8, pp. 1319-1331.
3. Samokhin A. B. Integral’nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom rasseyanii [Integral equations and iteration methods in magnetic scattering]. Moscow: Radio i svyaz', 1998, 160 p.
4. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on conductive thin screens]. Moscow: Radiotekhnika, 1996, 176 p.
5. Il'inskiy A. S., Kravtsov V. V., Sveshnikov A. G. Matematicheskie modeli elektro-dinamiki [Mathematical models of electrodynamics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1991, 224 p.
6. Costabel M., Darrigrand E., Kone E. J. Comput. Appl. Math. 2010, no. 234, pp. 18171825.
7. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Differentsial’nye uravneniya [Differential equations]. 2012, vol. 48, no. 4, pp. 509-515.
Валовик Дмитрий Викторович
доктор физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: dvalovik@mail.ru
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: _medv@mail.ru
Valovik Dmitriy Viktorovich Doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Medvedik Mikhail Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
96
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: altsupak@yandex.ru
Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4 Валовик, Д. В.
Существование и единственность решения задачи дифракции электромагнитной волны на системе непересекающихся тел и экранов /
Д. В. Валовик, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 1 (33). - С. 89-97.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
97
