Задача Коши для уравнений Навье-Стокса, метод Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 53-79.

УДК 517.956.226

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА,

МЕТОД ФУРЬЕ

Р.С. САКС

Аннотация. Изучается задача Коши для системы уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве с периодическими условиями по пространственным переменным. Заданные и искомые вектор-функции раскладываются в ряды Фурье по собственным функциям оператора ротор. Задача сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассматриваемом базисе она имеет простой вид. Составлены программы реконструкции систем Галеркина и численного решения задачи Коши. Рассчитаны некоторые модельные задачи. Результаты оформлены в виде графиков, дающих представление о движении потока жидкости.

Исследована задача Коши для линейной однородной системы Стокса в шкале пространств Гильберта. Доказано, что оператор задачи реализует изоморфизм этих пространств.

В общем случае, выписаны семейства явных глобальных решений нелинейной задачи Коши. Кроме того, указаны два пространства Гильберта, в каждом из которых последовательность аппроксимаций Галеркина ограничена.

Ключевые слова: ряды Фурье, собственные функции оператора ротор, уравнения Навье-Стокса, задача Коши, глобальные решения, системы Галеркина, пространства Гильберта.

1. Введение

1.1. Постановка задачи. В пространстве R3 рассмотрим 2п-периодические функции: f (x + 2nm) = f (x) для всех m Є Z3. Существует естественная реализация фактор-пространства R3/2пZ3 в виде 3-мерного тора

T = {(eixi ,eix2,eix3) Є C3; (xi,x2,x3) Є R3},

задаваемая отображением (x1, x2, x3) ^ (eixi, eix2, eix3). Откуда следует стандартная реализация периодических на R3 функций в виде функций на 3-мерном торе. Фундаментальный куб Q3 зададим неравенствами 0 ^ xj < 2п. Интегрирование на T определяется при помощи интеграла Лебега на кубе Q, а именно JT f |т dx = JQ f dx, где f есть сужение на Q периодической функции в R3, порождаемой функцией f на торе. Lp-пространства на T отождествляются с Lp-пространствами на Q и обозначаются Lp(T). Отметим, что класс непрерывных функций C(T)) не соответствует классу всех непрерывных функций на Q, а только тем функциям, которые остаются непрерывными при периодическом продолжении на все R3. Банахово пространство C(T) является подпространством в L^(T) и наделяется L^-нормой ( см. [1], гл.10, [2], гл.7).

Рассмотрим еще подпространство соленоидальных вектор-функций в [L2 (T)]3, которое обозначим

V/0 = {v(x) Є [L2(T)]3 : divv = 0; ||v||yo = (2n)-3||v||L2(Q)}.

R.S. Saks, Cauchy problem for the Nayier-Stokes equations, Fourier method.

© Сакс Р.С. 2011.

Поступила 23 апреля 2010 г.

Пусть заданы комплексные вектор-функции g(x) G У0 и f (t,x) e У0 при любом t > 0. Задача 1. Найти вектор скорости v(t,x) = (v^v2,v3) и давление p(t,x), которые 2п-периодичны по пространственным переменным Xj, непрерывны в R+ х R3, имеют соответствующую гладкость и удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса

dv

— — vAv + (v ■ V)v = —Vp + f, div v =0 при (t, x) e R+ х R3 (1)

и начальному условию:

v(0,x)= g(x). (2)

Здесь A, V, div — это линейные операторы Лапласа, градиента и дивергенции, а нелинейный оператор (v ■ V)v = J^3=1 vjdjv.

В классической постановке предполагается, что функции g и f гладкие: g e [C^(T)]3 и f e [Cте([0, то) х T)]3. Физически значимые решения удовлетворяют условиям, что функции v и p гладкие и глобально определены:

v(t,x) e [C~([0, то) х T)]3, p(t,x) e [C~([0, то) х T)]3, (3)

и что кинетическая энергия решения глобально ограничена, то есть существует постоянная E e (0, то) такая, что

/ |v(t,x)|2 dx < E для любого t > 0. (4)

Jq

Свободная энциклопедия в интернете - Wikipedia в статье „Navier-Stokes existence and smoothness“ обсуждает трудную проблему:

-либо доказать (A) теорему существования и единственности решений уравнений Навье-Стокса в T3: пусть f (t,x) = 0, для любого гладкого начального условия g существует гладкое и глобально определенное решение уравнений Навье-Стокса, то есть вектор скорости v(t,x) и давление p(t,x), удовлетворяющие условиям (3), (4);

-либо доказать (B) теорему о разрушении решений уравнений Навье-Стокса в T3: существует внешняя сила f (t,x) и начальное условие g(x), для которых не существует гладких и глобально определенных решений уравнений Навье-Стокса, то есть вектор скорости v(t,x) и давление p(t,x) не удовлетворяют условиям (3), (4).

В §5 для частных случаев начальных условий g и правых частей f, отвечающих собственным функциям оператора ротор, мы построим в явном виде семейства классических решений задачи при любых v > 0.

Перейдем к обобщенной постановке задачи (см. монографии [4, 5, 6, 7], в обозначениях мы будем следовать работам [8, 9]).

1.2. Функциональные пространства задачи. Основное пространство

V0 = {v e [L2(T)]3 : divv = 0, / v dx = 0; ||v||Vo = (2n)-3||v||L2(Q)}, (5)

Jq

где соотношение div v = 0 понимается в смысле теории распределений над пространством Пте бесконечно дифференцируемых 2п-периодических функций, в котором сходимость <£>п ^ 0 означает равномерную сходимость ^n к нулю при n ^ то вместе со всеми производными (см. [1], гл. 10). То есть

(div v , <^) = —(v, V^) = 0 для любой e Пте. (6)

Отметим включение пространств V0 С у0.

Для представления вектор-функции v(x) e [L2(T)]3 используется ряд Фурье

v(x) = v0 + ^2 vk eikx, где vk =—— i v(x)e-ikx dx, (7)

|fc|2=i

к = (&1, к2, к3) — целочисленные векторы, к2 = |к|2 = + к| + к^, знак у(х) = ^ означает

сходимость ряда к у(х) в среднем квадратичном, то есть в норме Ь2(Т)3.

На плотном в |Х2(Т)]3 множестве Пте имеет место равенство Парсеваля-Стеклова

(2п) 3||г||2 = К|2 + £ |гк|2

' 3|| у11 = |^о| +

к2 = 1

которое позволяет определить разложение (преобразование) Фурье для элементов из |Х2(Т)]3 и более широких пространств распределений [1].

Условие соленоидальности у(х) сводится к равенствам (ук, к) = 0, то есть к ортогональности векторов у к волновым векторам к для любых к = 0.

Интегральное условие у дьХ = 0 означает, что у0 = 0.

Следуя работам [1, 8], введем пространство Соболева периодических вектор-функций И с нормой, определяемой равенством

Ин, = Ы2 |к|2а|гк|2. 5 є Д+. (9)

12 . = Г"о| +

|к|2 = 1

^0 „ т/0

Далее, пространства уа и Vа — это пересечения у0 и V0 с И,

н

Vа = {г(х) є И П V0; ІМІУ, = |М|Я,}. (10)

Квадрат нормы в уа определяется предыдущей формулой при условии: (г^.к) = 0 для всех к = 0, что создает определенные трудности при исследовании.

Это условие исчезает, если перейти к рядам Фурье оператора ротор. Согласно §2, собственные функции ротора имеют вид:с±егкх и к егкх, где к = к/1 к |. Любую вектор-функцию г(х) из Ь2(Т)3 можно разложить в ряд по собственным функциям ротора

ГО

г(х) = г0 + £ ы к +7+С+ + 7-с-)егкх. (11)

|к|2 = 1

Тк = (г(х),к)е гкх^ж. (12)

(2п)3 3Я

7± = 72^/ (г(х),с±)е"гкх^ж. (13)

(2П) Зя

Тогда

СЮ

МІН. = |г?012 + £ |к|2а(|^к|2| + 7+|2 + |7-|2), (14)

|к|2 = 1

г

12 - £ |к|2а(|т+|2 + |7к-|2). (15)

V, = / , |к| (| !к

| к|2 = 1

так как согласно Лемме 1 функция у(х) Е Vа, если и только если все 7к = 0 и у0 = 0.

Далее, вектор-функция у(£,х), как функция от £ Е (0,Т) со значениями в пространстве Vа, принадлежит пространству Ь2(0, Т; Vа), если она имеет конечную норму, квадрат которой равен

11у(£,х)Ц| 2(0,Т;У3) = [ ||у(£, -)Н^3 ^ = (16)

0

Г(£ |к|2Ч|7к+«|2 + ЬШ2))*-

02

| к|2 = 1

При Т = пространство Ь2(0.Т; Vа) обозначается как Ь2(Д+; Vа).

Норма функции v(t,x) в пространстве L^(0,T; Vs) определяется так

IM|l»(0,T;Vs) = e^Uptep.nlK^ •)|ys , (17)

Наконец, определим пространство W1,2(s), где s e [0, то), соотношением:

W1>2(s) = {v(t, x) e L2(0, T; V2+s) : dtv(t, x) e ¿2(0, T; Vs)}. (18)

Отметим,что при представлении физических полей v обычно считают, что среднее вектор-функции v по кубу равно нулю, т.е. вектор v0 = 0. Это условие заложено в определении пространства V0.

1.3. Обобщенная постановка задачи (см.[7] п.3 гл.3). Предположим, что (v,p) — классическое решение задачи (1), (2) и

v e C2([0,T] х T),p e C 1([0,T] х T).

Очевидно, что v e L2(0,T; V2), dtv e L2(0,T; V0). Умножая (скалярно в L2(Q)) первое

уравнение (1) на произвольную вектор-функцию w из класса V1 и интегрируя по частям,

получаем

d

— (v,w) + v(Vv, Vw) + b(v, v,w) = (f, w), w e V1, (19)

dt

где по определению

b(u,v,w) = y, Ui(8ivj )wj dx. (20)

i,j=1J Q

Отметим, что Vp выпадает: (Vp, w) = —(p, divw) = 0, так как w e V1.

З а д а ч а 2. Даны f (t,x) e L2(0,T; V0), g e V1. В классе

W1>2(0) = {v(t, x) e ¿2(0, T; V2) : dtv(t, x) e ¿2(0, T; V0)}. (21)

найти вектор-функцию v(t,x), удовлетворяющую при любой w e V1 уравнениям (19) и начальному условию (2): v(0,x)=g(x).

1.4. Результаты. В работе изучается задача Коши для системы уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве с условием периодичности по пространственным переменным на основе рядов Фурье оператора ротор.

Отдельные периодические собственные функции оператора ротор были известны и применялись давно в работах В.И. Арнольда [10] и его учеников, О. Богоявленского [11], у физиков[12], [13],[14],[15] . См. также монографию В.В. Козлова [16] "Общая теория вихрей" и обзоры В.В. Пухначева [17] и А.С. Махалова и В.П. Николаенко [18].

В 2000 году автору удалось выписать базисные собственные функции ротора в пространстве [L2(T)]3 (см. Теорему в §2) и рассказать это О.А. Ладыженской на семинаре в Уфе (см. [19],[20]). В 2003 году О.А. Ладыженская решала задачу "О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей"[21]. На стр. 73 она пишет о схеме Галер-кина: "Она хороша для получения доказательства теорем существования и дальнейшего качественного анализа решений. Однако, ее численная реализация требует знания какой-либо фундаментальной системы {^k} в H(П). В данной работе мы предлагаем один из способов ее построения". В частности, О.А. Ладыженская интересовалась возможностью вычисления собственных функций оператора Стокса в областях простейших форм (куб, шар и др.) и спросила автора об этом.

Оказалось, что у периодических собственных функций (vk,pk) оператора Стокса pk = const, а вектор-функции vk совпадают с соленоидальными собственными функциями ротора и± при k = 0 и uj при k = 0 [22].

Позднее [23] автор вычислил собственные функции (vn,pn) оператора Стокса в шаре с условием: vn = 0 на границе. В этом случае, pn также постоянные и каждая собственная

вектор-функция уп оператора Стокса есть сумма, уп = + и-, собственных вектор-

функций ротора и и- с одинаковыми по абсолютной величине, но разными по знаку собственными значениями. На границе шара они выходят в касательную плоскость и противоположно направлены. Так что в [23] найден другой подход к решению задачи о построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей. Работу [22] автор рассказывал О.А. Ладыженской в ПОМИ в конце 2003, а основу статьи [23] - сотрудникам ее лаборатории в начале 2005 года.

В работе [24] задача Коши для системы уравнений Навье-Стокса в классе 2п-периодических функций сводится к задаче Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее явный вид подсказал способ построения семейств точных решений задачи.

В настоящей работе, используя базис из периодических собственных функций ротора в пространстве V0, мы строим "приближения" у^ вектора скорости у. Коэффициенты у^ удовлетворяют конечной нелинейной системе Галеркина Дб^. Эта система в заданном базисе имеет простой вид. Ее линейная часть диагональная, а нелинейная часть каждого из уравнений является квадратичной формой (от неизвестных функций), коэффициенты которой вычисляются явно через скалярные произведения базисных векторов ротора (см. §3). Составлены программы расчета коэффициентов этих систем Д$г, численного решения задачи Коши и другие.

Рассчитаны некоторые модельные задачи. Рисунки §6 дают представление о колебаниях вектора скорости в плоскостях, ортогональных волновым векторам к. Видно, что при уменьшении параметра вязкости движение жидкости заметно осложняется.

В §4 исследована разрешимость задачи Коши для линейной однородной системы Стокса в шкале пространств Ш1,2(5), где в > -1. Доказано, что оператор задачи

(д + Д 70)у ^ (0, 70у) реализует изоморфизм пространств Ш1,2(5) П Кег(д + А) и V5+1 (Теорема 2).

В §3 рассмотрены решения у^ задач Коши для уравнений Галеркина с данными $г/, д в предположении, что / Е Ь2(0,Т; V0), д Е V1. Доказано, что последовательность {у}г°=1 ограничена как в пространстве Ь2(0,Т; V1) так и в пространстве Ь^(0,Т; V0).

В §5 выделены семейства точных глобальных решений. Простоты ради мы ограничились четырьмя случаями. Другие семейства можно выписать из [25], положив П = 0.

А.Бабин, А.Махалов и В.Николаенко опубликовали ряд работ (см. [8] и обзор [18]), посвященных исследованию задачи Коши для системы уравнений Навье-Стокса в пространстве, вращающемся равномерно (вокруг вертикального вектора с угловой скоростью П) с начальными данными периодическими с периодами 2'кaj вдоль координатных осей ej. В этом случае в уравнениях (1) добавляется еще сила Кориолиуса, равная П[е3,у]. Предполагая, что д(х) Е Vа и ||д(х)||а < Ма, а правая часть /(£,х) принадлежит пространству

V“-1 для а > 1/2 и

р Т+1

вир / н/на- ^ <м«/, (22)

Т Т -

они доказывают, что существует число П1, зависящее от Ма,Ма/, V, а1, а2, а3 такое, что для П > П1 система Навье-Стокса имеет глобальное решение и(£) со значениями в V", причем ||и(£)На < М'а для всех £ > 0.

Изучая статью [8], автор ограничился случаем, когда периодичность по переменным Хj одинакова, а1 = а2 = а3 = 1, и разложил заданные и искомую вектор-функции в ряды Фурье по собственным функциям оператора ротор. Это привело к существенным упрощениям и позволило выписать явно уравнения Галеркина и различные семейства точных решений уравнений Навье-Стокса (см. [25, 26, 27]).

А.В.Фурсиков [9] изучал начально-краевую задачу для уравнений Навье-Стокса в ограниченной области с гладкой границей и доказал ее локальную разрешимость в V1,2(0) с

начальными условиями из неограниченного эллипсоида Е/У2 = {$ Є V1 : ||$||у 1/2 < р} при малом р.

С.С.Титов ( см., например, [28] гл.4) изучает периодическую задачу Коши для уравнений Навье-Стокса методом Коши-Ковалевской в шкалах банаховых пространств. Решение строится в виде специального степенного ряда. Используя результаты Л.В. Овсянникова, при определенных условиях малости г>(0,ж) и времени і доказывается существование решения.

2. Ряды Фурье

2.1. Ряды Фурье и собственные функций оператора Лапласа. Спектр оператора Лапласа в классе 2п-периодических функций состоит из чисел |к|2 = к2 + к| + к^, которые равны квадратам длин целочисленных векторов к. Собственные функции (2п)-3/2е^егкх при к Є Ж3, ] = 1, 2, 3, образуют ортонормированный базис в пространстве |Х2(Т)]3 вектор-функций, интегрируемых с квадратом модуля в кубе Q.

Любая вектор-функция / (ж) Є |Х2(Т)]3 разлагается в ряд Фурье

1 г

/(ж) = /о + X] ^ е^х’ где ^к = /(ж)е-гкх^ж (23)

|к|2=1 ( п) 3Я

сходящийся в среднем квадратичном (см., например, [1, 2, 3]).

Отметим , что тригонометрические полиномы плотны в С(Т)3 и Ьр(Т)3, 1 ^ р < то. Если для некоторой / Є Ьр(Т)3 все коэффициенты Фурье равны нулю, то / = 0.

Если / Є Ь2(Т)3 и ^2кег3 /к егкх — ее ряд Фурье, то выполняется равенство Парсеваля-Стеклова

(2пН|/(ж)||2 = £/ |2. (24)

kЄZ3

Соответствие / ^ {/к} есть унитарное отображение Ь2(Т3)3 на 12(Ж3)3 .

Ряд Фурье (23) можно переписать в виде интеграла Фурье

/(ж)= / (Е /к ¿(У - к)) Єгху (25)

•'Я к

Формула (25) означает, что пребразованием Фурье периодической функции /(ж) служит боронообразная функция ^к /к ¿(у — к) (см. [1], гл. 10).

2.2. Ряды Фурье на базе из собственных функций ротора. Автор доказал [22], что спектр оператора ротор состоит из числа 0 бесконечной кратности и чисел ± |к| конечной кратности.

Пусть к0 Є Ж3\{0}. Обозначим через и±(ж) базисные собственные вектор-функции оператора ротор, отвечающие собственным значениям ±|к0|, соответственно. Они удовлетворяют уравнениям

(26) (27)

а± + мы выбираем в при к' = 0 (28)

rot и± (x) = ±|ko| (x)

и имеют вид

U±(x) = (2n)-3/2cfe“x,

причем точки k лежат на сфере радиуса |k0|. Векторы с± зависимости от равенства нулю вектора k1 = (ki, k2):

± , ^ ( k,2 ) V2 ( kik3

= ±щ ( -k1 ) +2Я ( k2

и

с±=±^0 ^ + *^22 ^ ^ і при к'=0 и к=0 (29)

Нетрудно убедиться, что Ь++ есть векторное произведение к = к/ |к| и а++ и что при любом к = 0 три вектора с++, с- и к образуют ортонормированный базис в комплексном

пространстве С3, а три вектора \/2яА+, \/26+Г, к — в действительном пространстве Л3, соответственно.

Нулевому собственному значению ротора соответствуют вектор-функции

ик(ж) = (2п)-3/2 & егкх при к = 0 и векторы «0 = (2п)-3/2е^ при к = 0.

Совместно с и±(ж) они образуют ортонормированный базис в Ь2(Т)3 [22]. Этот результат будет использован в дальнейшем, приведем его в виде теоремы с доказательством. Теорема. Любая вектор-функция /(ж) Є |Х2(Т)]3 разлагается в ряд Фурье

ГО

/(ж) = /0 + Е (фк ^ +фА+СА+ + ф-С- )еікХ (30)

| к|2 = 1

по собственным функциям оператора ротор. Вектор /0 есть интеграл

/0 = / /(ж)^ж (31)

(2п)3 ./д

— среднее / по кубу, остальные коэффициенты ф^, ф+, ф- равны

ф‘ =7^/ (/(х),¡)е-л'&, (32)

(2П) ./д

ф± = 72^[ (/(х),с±)е-гк^ж. (33)

(2П) ./д

Скобки (/, д) здесь означают скалярные произведения в С3. Ряд сходится в среднем квадратичном, то есть в норме |Х2(Т)]3.

Разложение (30) назовем модифицированным рядом Фурье. Равенство Парсеваля-Стеклова принимает вид:

(2п)-3||/1|2 = |/0|2 + £ (|фк|2 + |ф+|2 + |ф-|2). (34)

|к|2=1

Доказательство. Для любого вектора Ъ из С3 при к = 0 имеет место разложение

Ъ = (к к £ +(к,с+)с+ + (к,с-)с-. (35)

Для вектора /к из (23) согласно обозначениям (32) и (33) оно имеет вид

/к = фк к +Ф+С+ + ф-с-. Подставив это разложение в ряд (23), получим ряд (30). Обозна-

чим через 5/(ж) частичную сумму ряда (30), проекцию вектора /(ж) на конечномерное пространство Сг, натянутое на базисные векторы «0, «к и при |к|2 ^ /. Тогда

1 г

(2п)-3||5’,/(ж)|2 = |/0|2 + Е (|Фк|2 + |Ф+|2 + |Ф-|2) = Е |/к|2. (36)

|к|2=1 |к|2=0

Вектор / — 5г/(ж) ортогонален и ||/ — 5г/(ж) |2 = ||/1|2 — ||5г/(ж) |2 согласно теореме Пифагора [4]. Из равенства Парсеваля следует, что при / ^ то норма разности ||/ — 51/(ж) | ^ 0. Значит, последовательность /(ж) сходится к /(ж) в норме пространства Ь2(Т)3 . Теорема доказана.

2.3. О суммировании рядов. Кратность собственных чисел ±|к0| ротора равна числу к (| к012) точек целочисленной решетки Z3, лежащих на сфере радиуса |к0|. Число |к0|2 — целое. Числа п = 4т(8д + 7), где т, д > 0 целые, не представимы в виде суммы квадратов трех целых чисел, число п = 7 — первое из них. Для таких п полагаем к(п) = 0. Тогда N = к(1) +... + к(1) есть число ненулевых точек целочисленной решетки, лежащих в шаре радиуса \Д. Знак ^^|2= л показывает, что суммирование ряда (30) ведется по уровням

|к|2 = /, где I = 1, 2.... На каждой такой сфере суммирование точек решетки произвольно и сходимость ряда не зависит от порядка суммирования. Уровни, для которых к(п) = 0, пропускаются.

При вычислении коэффициентов Фурье (32), (33) необходимо задать нумерацию точек решетки. Составлена программа нумерации ненулевых точек решетки

к ^ ОД : 1(-1, 0, 0), 2(0,-1, 0), 3(0, 0,-1), ..., 18(1,1, 0),...,

в которой точка (—1, 0, 0) является первой, точка (1,1, 0) - 18-той и т.д.

При вычислении интегралов по кубу, мы воспользовались кубатурными формулами Соболева с регулярным пограничным слоем ([1], гл.14).

2.4. Разложение на ортогональные подпространства. Ряды Фурье (23) и (30) означают, что имеется 2 способа разложения векторного пространства Ь2(Т)3 на ортогональные подпространства:

Ь2(Т)3 = ® *3 и Ь2(Х)3 = ® *3 © (Д* ® Д+ © Д- ), (37)

3,* 3 *=0

где ** — подпространства, образованные вектор-функциями е3-ег*х (^ = 1, 2, 3), а Д*, Д± —

вектор-функциями к е‘*ж, с±ег*ж.

Действительно, в комплексном пространстве Е* = Е*1 © Е2 © выбираем другой базис и получаем разложение Е* = Д* © Д+ © Д- . Эти базисы эквивалентны, их выбор неоднозначен (см. [22]).

Лемма 1. Пусть /(ж) из Ь2(Т)3 представлена рядом (30). Она удовлетворяет уравнению йт/ = 0 в смысле обобщенных функций тогда и только тогда, когда ее коэффициенты (32) равны нулю, ф * = 0.

Действительно, ввиду (6) условие йгг>/ = 0 означает ортогональность вектора / градиенту любой скалярной периодической функции ф(ж) из ПГО.

Произвольная функция ф(ж) из ПГО разлагается в ряд Фурье ф(ж) = ф0 + ^*=0 ф* ег*ж, сходящийся в Ь2(^) вместе с производными любого порядка.

Ее градиент равен: ^*=0 ¿кф* ег*х. Формула (32) означает, что ¿(2п)3|к|ф* = — (/, Уег*х) есть скалярное произведение —/ и Уег*ж в Ь2(^). Поэтому,

ГО

— (/(ж) ^(ж)) = ¿(2п)3 £ |к|ф*ф*. (38)

|*|2=1

Значит, / = 0, если все ф * = 0. Обратное утверждение следует из произвола в выборе

ф* и полноты системы экспонент |ег *х}.

Из леммы 1 вытекает, что для функций / Е у0 имеет место разложение

ГО

/(ж) = /0 + £ (ф+С+ + ф-с-)е«>, (39)

|*|2=1

и квадрат ее нормы равен

ГО

И/И|.» = |/0|2 + £ (|ф+|2 + |ф-|2). (40)

|*|2=1

2.5. Градиентная и соленоидальная составляющие вектор-функции. Вектор-функцию Е(ж) Е ¿2(Т)3 разложим в ряд Фурье (30) и представим его в виде суммы: Е(ж) = /(ж) + Уд(ж), где

СЮ СЮ

f = Л + £ (Ф+(*)с+ + е‘‘Х- « = -* Е Фк |k|-1 e‘k' (41)

|fc|2 = l |fc|2 = 1

Откуда видно, что f Е у0 и q Е H1(T). Вектор-функции Vq(x) и f (x) взаимно ортогональны. Они являются проекциями F на пространства

G = 0 Rfc, и у0 = Fo 0 (R+ 0 R-); L2(T)3 = G 0 у0. (42)

fc=0 fc=0

Будем их обозначать, через n0F и nGF , то есть f = n0F, Vq = nGF.

Другая формулировка Леммы 1: f Е у0 ^ nGf = 0.

Если функция F(t,x) зависит также от времени t, то функции q и f также зависят от t. Подставляя Vq + f в правую часть уравнения (1) и положим P = p — q. Получим уравнения того же вида, в котором F = f и f (t,x) соленоидальна для любого t > 0.

2.6. Связь между собственными функциями операторов ротора и Стокса. Периодические собственные вектор-функции (vn,pn) оператора Стокса удовлетворяет уравнениям [5]:

—vAvn + Vpn = Avn, div vn = 0. (43)

Из этих уравнений легко получить, что pn являются гармоническими функциями, Apn = 0. Однако, гармоническая функция является периодической тогда и только тогда, когда она постоянна, pn = const. Значит, Vpn = 0, и уравнения (43) не содержат давления. Солено-идальные собственные функции ротора u0(x) и u±(x) удовлетворяют этим уравнениям с A = 0 и A = V|k|2 при k = 0. Согласно теореме 1 других собственных функций нет. Таким образом, ряд (39) есть разложение вектор-функции f (x) Е у0 по собственным функциям как оператора ротора, так и оператора Стокса.

2.7. Гильбертово пространство (T), s Е R. Так обозначается пространство Соболева 2п -периодических вектор-функций с нормой

ГО

|f0|2 + £ |k|2s (Ф|2 + |ф+|2 + |ф-|2)

'Н = |/о| +£ 1к1 5 I ФI + |ф+|2 + 1Ф-1^ (44)

|к|2 = 1

при s > 0, причем Н0(Т) отождествляется с Ь2(Т)3. Пространство Н(_5) при в > 0 определяется как сопряженное к относительно скалярного произведения в Ь2(Т)3 . Норма в Н(_5) определяется формулой (44), в которой в отрицательно. Таким образом пространства определены для любых в из Я (см. [1], гл. 12, [6], гл.1).

С.Л.Соболев определил и исследовал эти пространства при целых в.

В п.1.2 мы определили пространство у5 = П у0 и его подпространство V5 = П V0,

состоящее из вектор-функций / с нулевым средним: /0 = 50/ = 0 при в > 0. Теперь их можно определить при всех в Е Я. Отметим вложения этих пространств. При в > 1 имеем:

V5 С V1 С V0 С V-1 С V-5.

Если / Е V5, то согласно Лемме 1

- = £ |кГ (|ф+|2 + |ф_Г). (45)

|к|2 = 1

Отметим, что норма (45) функции / в пространстве V5 при в = 1 совпадает с нормой IV/1| у о, а при в = 2 — с нормой ||Д/ ||у о.

Далее, норма функции / (t,x) = По/(t,x) в пространстве L2(0,T; Уs) определяется так:

Ст

1И2«Л Л.+

(l/o(í)!2 + £ |к|2'(1Ф+(«)|2 + IC(í)|2)) dt. (46)

L2(0,T;Vs) / v|-/ 0W|

^ |fc|2 = 1

Подставляя ряды (45) в формулы (17) и (18), мы получим явные выражения для норм / в пространствах L^(0,T; Vs) и W1,2,(s) через модифицированные коэффициенты Фурье и их производные.

2.8. Действительные собственные функции ротора и вихревые потоки. Так

как ротор является дифференциальным оператором первого порядка с действительными коэффициентами и его собственные значения действительны, то реальные и мнимые части его собственных функций также являются собственными функциями с теми же собственными значениями. Выпишем явный вид их реальных частей.

Положим = |Фк | ,

ф± = а± + =|ф±|егб±, где |0fc1 , К| < П

тогда

Re(0fceikx) k = (ak cos kx — вк sin kx) k = |фк| cos(kx + ) k,

Re(^fcc±eifcx) = |ф±| (cos(kx + #±)a± — sin(kx + #±)b±) . (47) Полученные выражения дают возможность представить динамику движения жидкости в R3, определяемой стационарными полями d±(x) = 2Re(0±c±eifcx). Пусть скорость движения жидкости v(x) = d+(x). Очевидно, что вектор d+(x) лежит в плоскости, образованной

векторами а+, b+. Его длина |d+(x)| не зависит от x и равна \/2 |ф+|, а направление —

4

постоянно в каждой из плоскостей P<s+2nn, где kx = $ + 2nn, n G Z, ибо

dfc(X)U + 2nn = dfc(x)lp5 = 2kfc| (COS($ + ^fc)afc - sin($ + ^fc)bfc) . (48)

Плоскость Pj ортогональна вектору k и вектор d+ (x), перенесенный в точку x G Pj, не выходит из этой плоскости. Поэтому на каждой из этих плоскостей жидкость течет в одном и том же направлении равномерно. Если векторы d+(x) откладывать от точек x, лежащих на оси вектора k, то kx = |k||x| и, значит, они вращаются при изменении x.

Вектор rot d±(x) в точке x называется завихрённостью потока, задаваемого полем d±(x). Так как при любом k G Z3\{0}

rot d±(x) = ±|k| dk±(x) (49)

и длина векторов d±(x) постоянна по x, то завихренность таких потоков жидкости не равна нулю в каждой точке x G R3. Назовем их вихревыми. Отметим, что вектор-функции

d k (x) единичной длины также удовлетворяют уравнению (49). Завихренность этих потоков растет с ростом | k| .

2.9. Ряд Фурье действительной функции. Рассмотрим целочисленную решетку Z3 и ее подмножества Mi = {k : ki G N, k2= k3 = 0}, M2 = {k : ki G Z, k2 G N, k3 = 0}, M3 = {k : ( ki, k2) G Z2, k3 G N}, через M = Mi U M2 U M3 обозначим их объединение и через M* — множество центрально симметричное c M. Вектор —k G M*, если k G M и обратно. M U M* = Z3/{0}.

Пусть k G M. Из формул (28), (29) видно, что C+ = — c+k = — c-, где черта означает комплексное сопряжение. Следовательно, выражение 0+c+eikx = ф+kc+ke-ikx тогда и только тогда, когда ф+ = — ф—.

Для действительной функции /(ж) разность /(ж) — /(ж) = 0. Учитывая единственность представления /(ж) в виде ряда Фурье, приходим к следующему утверждению:

Лемма 2. Пусть вектор-функция /(ж) Е Ь2(Т) и представлена рядом (30). Она вещественна, /(ж) = /(ж), тогда и только тогда, когда ее коэффициенты Фурье удовлетворяет соотношениям:

фк = —ф_к, ф+ = —ф+к, ф_ = —ф_к, к Е М, и у0 = /0, 1 2, 3.

Для действительной функции ряд (30) принимает вид:

/(ж) = /0 + 2Яе £ (фк к +ф+с+ + ф_ с_ ^ х. (50)

кем

Норма функции П0/, проекции / на у0, задается формулой:

1по/|||о — |/с|2 + 2 £(|ф+|2 + |ф- |2). (51)

кем

3. Метод Фаэдо-Галеркина

3.1. Обобщенная задачи Коши. Воспользуемся методом Фаэдо-Галеркина [5, 6, 7]. В качестве фундаментальной ортонормированной системы в у0 возьмем собственные функции оператора Стокса:

«0 = ш-1^ и и±(ж) = ш-1с±егкж, где ] = 1, 2, 3, к = 0,

ш = (2п)3/2, которые являются также собственными функциями ротора.

Условие /(¿,ж) Е Ь2(0,Т; у0) означает, что вектор-функция / = П0/, представленная рядом (39), имеет конечную норму

л/(*'*)И 1(0,т^0) — Г(!/о(<)|2 + Е (1Ф+(<)|2 + ІФ-(<)|2))*- (52)

^0 |к|2 = 1

Так как V0 С V 1, то норма / в Ь2(0,Т; у 1) также конечна.

Условие д Е у 1 означает, что д = П0д и разлагается в ряд:

ГО

д(ж) = д0 + £ (^+4 + ^-с-у^ (53)

|к|2 = 1

д0 = 7^/ д(ж)^ж = 7^/ (д(ж),с±)е_гЬх(54)

(2П) ./д (2П) ./д

ГО

11д(ж)Н? 1 = |д0|2 + £ |к|2(|^+|2 +Ш2) < ю. (55)

|к|2 = 1

Следовательно, последовательность частичных сумм ряда (53):

51д(ж) = д0 + ш £ (Ф+и+(ж) + Ф-%(ж)) (56)

|к|2 = 1

сходится к д в норме у 1 С у0. При этом величины ||д — 5д||~0 =

где

Причем

Нд11У>о — Н5гд|у>0 = ш I |д|2^ж — |д0|2 — £ (|Ф+|2 + |Ф- |2), (57)

также стремятся к нулю при I ^ то.

Пусть /(Г, ж) Е Ь2(0,Т; у0), д Е у 1. Будем искать "приближенное" решение задачи 2 в виде

3 1

«г(ж,г) = ш£«0(г)е0 + ш £ (7+г(г)и+(ж) + 7-г(58) 0=1 |к|2=1

где функции г>0 (Г) и 7ы(Г) находятся из условий

«0(0)= д0, 7±,(0) = ) =1,2,3, 0 < |к|2 < I, (59)

и уравнений:

$ ■ ■

— («г,и0) + V(^, ) + Ь(«г, «г, «0) = (/, «0), .7 = 1, 2, 3, (60)

ас

$

— («г,и±) + V(^ ь(«1,«1 0 < |к|2 ^ ¿. (61)

Здесь скобками (•, •) обозначены скалярные произведения в Ь2(^). Функции

1

Рг(ж, Г) = р0(Г) + £ Рк,г(Г)егкх (62)

|к|2 = 1

находятся из уравнений

(Ь(«г) + Vpг — /, ик) = 0,0 < |к|2 ^ /. (63)

Легко видеть, что уравнения (60) совпадают с уравнениями

д«0 = и «0(0) = д0 (64)

для вектор-функции «0(Г) = (у^,У^, V3).

Уравнения (61), учитывая гладкость «г(Г,ж) по ж, совпадают с уравнениями

(Ь(«г) + V# — /, «±) = 0, 0 < |к|2 ^ I. (65)

Выпишем их детальнее. Отметим, что вектор-функция

1 1

Vpг(ж,Г) = г £ Рк,г(Г)кегЬж = г £ |к|рм(Г) к егЬх (66)

|к|2 = 1 |к|2 = 1

ортогональна базисным вектор-функциям и± из V0, т.е. ^рг,«±) = 0.

Оператор £(«) в уравнениях (1) есть сумма линейного и нелинейного операторов: 5« = 5*« — VД« и N(«,«) = (« • V)«.

Вычислим значения этих операторов на сумме (58).

1

= д*«0 + £ ((+ V|к|2)7+1 (г)с+ + (+ V|к|2)7-1 (г)с_) егкх. (67)

|к|2 = 1

Если обозначить вектор 7+г (Г)с+ + 7— (Г)с_ через , то при п + т = к имеем N(^гаетх,^тегтх) = гегкх(и>га,т)и>т. Следовательно,

Р1

N(«г, эд) = («0 • V)vг + г £ егкх £ (^„,т)^т, (68)

|к|2 = 1 га+т=к

где рг = таж|п + т|2 при |п|2 ^ I и |т|2 ^ /,

1

(«0 • ^ = г £ ((«0, к)7+г(г)с+ + («0, к)7-1 (г)с_) егкх. (69)

|к|2 = 1

Вектор wm при k = m разлагается по базисным векторам k, c+, cfc :

Wm = (wm, k) k +(wm,c+)c+ + (wm,c-)c-. (70)

Подставляя выражения (69), (70) в (68) и используя формулу (67), легко получить явный

вид уравнений (65) :

-df + (v |k|2 + i(vc,k)b¿+ (71)

l

+* £ [7+-m,l (c+-m,m) + 7—-m,l(c—-т^К.^, c+) + 7m,l(cm,4)] = 0+(t)

m2 = 1

d7—

-df + (v |k|2 + i(vo,k))7—1+ (72)

l

+* £ [7+-m,l (c+-m,m) + 7—-m,l(c—-m,m)][7m,l(cm, C—) + 7m,l(cm,c—)] = ф—(t)

m2 = 1

0 < |k — m|2 ^ l, относительно неизвестных функций 7+ и 7—і, удовлетворяющих начальным условиям

7±l(0) = ф±, 0 < |k|2 ^ l. (73)

Уравнения (63) сводятся к алгебраическим уравнениям и согласно (66) функции pk,l (t) определяются через 7±l :

Pfc,l(t) = —i |k|-1 (0fc(t) — (74)

l

£ [7+-m,l(cfc—m, m) + 7—-m,l(c—^, m)][7m)l(cm, k) + 7—,l(cm, k)])

m2 = 1

Функция p0(t) не определяется и не учитывается в уравнениях (1), так как Vp0(t) = 0. Для однозначности определения давления p(x, t) будем предполагать, как обычно [5] , что p0(t) = ш-2 JQ p(x, t)dx = 0.

При постановке задачи 2 в п.1.3 мы предположили, что f (t,x) Є L2(0,T; Vo), g Є V1. В этом случае S0f = f0(t) = 0 и S0g = g0 = 0. Задача (64) имеет только тривиальное решение v0(t) = 0, и уравнения (71), (72) упрощаются.

Систему уравнений (71), (72) относительно неизвестных 7+l(t) и 7—l(t) обозначим через RSl (от "reduced system"). Заметим, что система RS1 — линейна и интегрируется элементарно, а системы RSl при l > 2 — нелинейны. Они составляют комплексную систему

уравнений Галеркина на базе из собственных функций оператора Стокса.

3.2. Разложение по действительным собственным функциям ротора. Пусть вектор-функции f Є L2(0,T; V0) и g Є V1 действительны и

Slf (t x) = 2^Re £ (ф+ (t)u+ + ф—(t)u—), (75)

fceMí

Slg(x) = 2шДе £ (ф+u+ + ф—u—). (76)

fceMí

Тогда галеркинские приближения находятся в виде

vl = Revl(x,t) = 2шДе £ (7+l(t)u+ + 7—l(t)u—^ (77)

fceMí

где комплексные функции 7±l и их сопряженные удовлетворяют уравнениям (71), (72) в которых k Є Ml и v0(t) = 0. Множество Ml есть пересечение множества M с шаром

радиуса уД, оно содержит N,/2 точек. Остальные N уравнений являются комплексно сопряженными с предыдущими. В этом нетрудно убедиться из явной формы уравнений (71), (72), так как согласно п.3.10

с-* = -с±, = -ф±, к е М. (78)

Если положить = а±,+*в±г и перейти к действительным переменным а, в, то вычислив реальную и мнимую части комплексных уравнений, получим систему 2^ действительных уравнений с 2^ действительными неизвестными. Обозначим ее через . Она являются действительной формой уравнений Галеркина.

С другой стороны, нетрудно убедиться, что мы придем к тем же уравнениям С51, если воспользуемся ортонормированным базисом из действительных собственных функций оператора ротор в пространстве V0:

/2Деи±(ж) и /2/ти±(ж), к е М. (79)

Выпишем аналоги уравнений (61).

б

— (V,,Яеи±) + V(Уэд, УДеи±) + 6(^,,г>,,Яеи±) = (/, Яеи±), (80)

б

— (V,, Тши±) + V(У^,, УТши±) + 6(^,,г>,,7ши±) = (/, Тши±), (81)

где к е М,. Отметим,что в этом базисе

V = 2^ £ (амДем+ - в+11ти+ + а-,Деи- - (82)

*емг

«V,(*, он?,. = 2 £ ((а+ )2 + (в+, )2 + (а-,)2 + (в-,)2). (83)

*емг

На практике удобно работать с комплексными уравнениями Л5,. Если же функции / и д — действительны, то получим автоматически действительное решение V, и согласно Лемме 2 оно имеет вид (77).

3.3. Основные соотношения между ^,(*,ж), ^,(0,ж) и /(¿,х) [5, 6, 7]. Умножая уравнения (80) на 2ета±,, а уравнения (81) — на -2етв±, и складывая, приходим к основному соотношению:

(бб*, V,) + V11^ Ну о + 6(^,, V,, V,) = (/, V,), (84)

где б^,, V,, V,) = 0 ввиду периодичности и соленоидальности вектора V,. Действительно, опуская временно индекс /, имеем 6('У,'У,г’) =

з „ 1 з „ 1 3 „ 3

У, ^(д^ )^ бх =2^ дг(^г^2)бж - V2 (£ д^)бж = 0.

*,7=1 ^ *,.7=1 ^ 7=1 ^ *=1

Далее, учитывая формулы (82), (83), получаем

(^,^г) = -б*N1?о и НУ^Н?о = Ы!?1.

Поэтому формула (84) принимает вид:

1б

2 б*11~м1у0

2 + V 1к Н?1 = (/,^г) (85)

3.4. Две априорные оценки. Умножим равенство (85) на 2 и заметим, что правая часть полученных уравнений ограничена величиной

2|(/,V)! ^ 2||v||yiII/llv-1 ^ v||v||V 1 + V-1 II/IIV-1. (86)

Поэтому

d

^llviIIV0 + VIMlVi ^ v-1||/||v-i. (87)

Интегрируя (87) от 0 до s, 0 < s < T, и учитывая, что ||v(0, OHVo ^ 11 g IV 0, приходим к

неравенству

IMs.OliV0 < |h(0,-)|V0 +1 f II/(t, -)fv-dt < ЫИ0 +1 ГII/(t,-)fv-1 dt.

V ,/ 0 V ./0

Значит,

sup ||v(S •)|Vc ^ IlgHV0 + V-1|/lli2(0,T;V-i). (88)

s€[0,T]

Правая часть конечна и не зависит от /. Следовательно, последовательность вектор-функций v(t,x) ограничена в пространстве L^(0,T; V0).

Проинтегрировав (87) от 0 до T, получим

ГT 1 ГT

MT, •)|Vc + V/ ||vi(t, -)|V 1 dt ^ llvi(0, •)|Vc + -/ II/(t,-)HV-1 dt.

.7 0 V ./0

Значит,

Следовательно, последовательность вектор-функций V, (*, х) ограничена также в пространстве ¿2(0,Т; V1).

Нелинейная система С5, с начальными условиями имеет решение, определенное на некотором максимальном интервале [0,*,].

Если *, < Т, то норма 11V,(*, -)||уо (см. (83)) должна стремиться к при * ^ *,. Но первая априорная оценка (88) показывает, что этого не может быть, и поэтому *, = Т.

Мы предположили, что /(*, х) е ¿2(0,Т; V0), д(х) е V1, а решение задачи 2 ищем в пространстве

W 1,2(0) = {^(¿, х) е ¿2(0, Т; V2) : д^(*, х) е ¿2(0, Т; V0)}. (90)

Поэтому правые части в системе С5,, вообще говоря, принадлежат лишь пространству ¿2(0,Т), а производные трактуются как обобщенные.

Важной частью обоснования метода Фаэдо-Галеркина является доказательство существования сходящейся подпоследовательности у последовательности V, в каком-либо из пространств. В монографиях [5, 6, 7], где изучаются начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса в областях различных размерностей, этот факт вытекает из компактности вложения определенных пространств Гильберта. Некоторые из доказанных там утверждений переносятся на задачу Коши (1), (2) с периодическими краевыми условиями. Этим мы предполагаем заняться в отдельной работе.

3.5. Метод ортогонального проектирования. Пусть П0 — орто-проектор пространства ¿2(Т)3 на V0 (см.п.3.7). Применив его к обеим частям первого из уравнений (1), освободимся от вектора Ур. Получим операторное уравнение на вектор-функциях от * со значениями в пространстве V0:

д^и(*, ■) + + В(,у,'у) = П0/ с условием 70^ = г>|*=0 = д, (91)

где

3

А = — П0Д, В (у, ад) = П0(£ у ду ад). (92)

7=1

Проекции этого уравнения на ортогональные подпространства Л+, Л- совпадают с уравнениями (71), (72), в которых I = то и г>0(£) = 0.

Задаче (91) соответствует оператор

(д* + ^А + В, 70) : W1>2(в) ^ ¿2(0, Т; V5) х V1+5, (93)

обратимость которого означает разрешимость задачи.

4. Решение задачи Коши для системы Стоксл

4.1. Эта задача состоит в следующем. Даны / и д, найти 2п-периодическую по х^-вектор-функцию (^,р), удовлетворяющую условиям

д^

— — = —Ур + /, V = 0, г>(0,х) = д(х). (94)

Классическая и обобщенная постановки задачи такие же, как и для нелинейной системы в §1. Задаче соответствует оператор (93), где В = 0.

Задача Коши для системы Галеркина Л5, :

д*7± + »|к|27± = 7±(0) = (95)

распадается на отдельные задачи, которые решаются элементарно.

При фиксированном к = 0 получаем

7±С0 = ^±е-Ик|2* + р±(^ где р±(*)=/ е^|к|2(т-*)ф±(г)бг. (96)

0

Функция 7±(*) е С 1[0,Т], если ф±(*) е С[0,Т].

Если же ф±(*) е ¿2[0, Т], то 7±(*) е С[0, Т] и имеет обобщенные производные из ¿2[0, Т]. Предположим вначале, что / = /, д = д*, где

Д = ф+С0 и+(х) + ф-С0 %(х) д* = (97)

и±(х) = ш-1 с±егкж — собственные функции ротора и ф±(*) е С[0, Т]. Тогда вектор-функция

(V* ,Рк), где

^ = 7+ (*)и+(х) + 7- (*)и-(х), ур* = 0. (98)

является классическим решением задачи (94).

Если же / и д действительны и

/ = Де (ф+ (*) и+(х) + ф-(*) и-(х)) , д = Де (ф+и++ф-и- ) (99)

то (Яег>* , Дер*) есть действительное решение задачи (94).

Определение. Вектор-функции (V*,рк), (Яе^*, Дер*) и (1т V*, Тшр*) назовем базовыми решениями линейной задачи (94).

Конечные суммы базовых решений также являются решениями задачи.

4.2. Общий случай. Пусть / е ¿2(0,Т; V5), д е V1+5, 5 > —1. Тогда / и д представимы рядами

ГО

/(х,*)= £ (ф+(*)и+ (х) + ^-СО«-^ (100)

|к|2 = 1

сю

д(х) = X] (ф+и+(х) + ф-%(х)). (101)

|к|2 = 1

Пусть

ГО

ь = £ (ф+е-Ик|2* + р+СО) и+(х) + (ф-е-Ик|2* + р-СО) «-^ (102)

|к|2 = 1

— формальный ряд, Ур = 0. Если частичные суммы 5,^ ряда (102) сходятся в пространстве W1,2(5), то вектор-функция (^,р) будет решением задачи (94). Неоднородную задачу мы изучим в отдельной работе.

Рассмотрим детальнее однородную задачу.

Теорема 1. Пусть / = 0, д е V1+5 С у1+5, в > —1,

ГО

^(*,х) = ш-1 £е-га* £ (Ф+с+ + ф-с-) ^ (*,х) = 0. (103)

п=1 |&|2=га

Тогда вектор-функция (г>й,рй) является единственным решением однородной задачи (94). Причем, если * > 0, то Цдт^||у« ^ М||д||уо для любых д и т > 0. Частичные суммы £,г>й и 5^*™^ ряда ^ и его производной по * порядка т сходятся при I ^ то в норме пространства Соболева Н. Если же * > 0, то 5,г>й сходится при I ^ то в пространствах W1,2(5) и ¿ГО(0,Т; Vs+1) при любых Т > 0. Кроме того, при * ^ 0 норма разности К(*, ■) — д||у*+1 ^ 0 и при * ^ +то норма ||г>5(*, -)||Уа+1 ^ 0.

В основе доказательства теоремы лежат следующие оценки ряда (103) и его формальных производных. Пусть * > 0. Для любого д > 0 и целого т > 0 имеем

ИЗТЧIV. = "2га£п2”^-2"“' £ (|ф+|2 + |ф-|2). (104)

п=1 | *|2 =п

Обозначим

М 2(^, т, д, *) = V 2ттах„е^ (п2т+9 е-2га*). (105)

При * > 0 постоянная М < то для любых V > 0, т > 0, д > 0, поэтому

||д*ЧНу. ^ М||дНVо. (106)

Пусть т = 1, д = в в (104). Интегрируя этот ряд почленно и учитывая, что

/*Т ЛГО

/ е-2га* б*< / е-2га* б* = (2^)-1,

00

получаем

ГТ 1

Нд*^й |||2(0,Т;Ув) = J Нд*^й 11уз ^VНдНУв+1. (107)

Так как — Ди±(х) = |к|2и±(х), то

1'Т 1

11Дг,й 1||2(0,Т;Ув) = J ||Дг,й ||У* ^ ИдНУв+1. (108)

Следовательно,

И^й Н^1>2(®) = И^й |||2(0,Т;Ув+2) + И^й ||1,2(0,Т;Ув) < + V 1)НдНУ®+1. (109)

Экспонента e 2vnt ^ 1 при t > 0,v> 0, n > 1 в (104), поэтому

|vg |L^(0,T;Ve+1) = ess supi€[0,T ]|vg (t, ')|v S+1 ^ |g|Vs+1. (110)

Наконец, неравенство

|vg |vs+1 ^ e-^|g||y s+1, 0 < ^ < v, (111)

получаем из (104), так как 0 < e-2(vn-^)4 < 1 при v>^> 0, n > 1, t > 0.

Полученные неравенства дают оценки отклонений vg — SIvg и их производных через отклонения g — S^g. Так при t > 0 согласно (106)

|dmvg — |Vq ^ M|g — Sig|V0 для любых q,m > 0 и l > 1. (112)

При t > 0, согласно (109),(110),

1

К — ^И^м < ^ +V 1)Нд— 5,д11У-+1, (113)

1К — 5,^нь^(0,т;уз+1) < ||д — 5,дЦу^1. (114)

Пространство V9 = П V0 по определению, д > 0. По условию теоремы д е V1+5, 1 + в > 0

и V1+5 С V0. Значит, последовательность 5,^ сходится к при I ^ то в пространствах W1,2(5) и ¿ГО(0,Т; Vs+1) для любого Т > 0. Согласно (112) при * > 0 последовательность

5,^ частичных сумм ряда ^ (а также последовательности 5,д*™^ из его производных по *) сходятся при I ^ то к ^ (и к д*™^)в норме пространства Соболева . При д > 2

пространства Соболева (ф) вложены в пространства Гельдера С9-1,5(ф).

Значит, ряд (103) при * > 0 имеет непрерывные производные по х^- и по * любого порядка и выполняется принцип суперпозиции. Согласно п.5.1 ряд гg удовлетворяет уравнениям (94), в которых р = 0 и / = 0. Далее,

ГО

Нд — V,(*,-)НУ.+1 = £»’+1(1 — е--"1)2 £ (|ф+|2 + Ш2), (115)

"=1 |*|2 ="

поэтому |д — ^(*, •)Нуа+1 ^ 0 при * ^ 0. Наконец, из оценки (111) вытекает, что 11^ (*, ')НУ8 + 1 ^ 0 при * ^ +то.

Однозначная разрешимость задачи следует из единственности разложения д в ряд Фурье. Если д = 0, то д0 = 0 и = 0 для всех к = 0, а, значит, гg = 0. Теорема доказана.

4.3. Теорема 1 остается справедливой при * е Я+ = (0, +то). Формулы (104)-(109) позволяют обнаружить интересные равенства:

11^ 11ь2(Я+ ;У3+2) = (2^ 1|д|У-+1 , (116)

1ь2(Я+;Ув) =2 V Нд|У^+1. (117)

Значит,

К Ц^м = 2_1^ + -1)НдНУ-+1. (118)

При V =1

11^ = ЦдЦу^1. (119)

Напомним, что изоморфизм евклидовых пространств — это взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее как линейные операции, определенные в этих пространствах, так и скалярное произведение.

При в > — 1, V =1 имеет место

Теорема 2 в. Линейный оператор д ^ ^, определенный рядом (103), реализует изоморфизм пространств V5+1 и W1,2(5) П Кег(д* + А).

Действительно, каждому элементу д из V5+1 с д0 = 0 с соответствует единственный

элемент ^ из W1,2(5) такой, что (д* + А)^ = 0,70^ = д. Обратно, ряд V определяет ряд д,

равный v|t=0, и согласно (119) длины этих вектор-функций совпадают. Итак, g ^ v. Пусть h,w другая пара такая, что h ^ w, h0 = 0 и -коэффициенты Фурье h. Соотношения ag ^ av и g + h ^ v + w следуют из линейности оператора. Скалярное произведение вектор-функций g и h в Vs+1 имеет вид:

ГО

(g,h)ys+1 = £ns+1 £ ((ф+,ф+) + (Ф-,Ф-)). (120)

n=1 | k |2=n

Откуда легко видеть, что при V = 1

(v,w)w 1,2(s) = (g,h)ys+1. (121)

Теорема доказана. Ее можно сформулировать иначе

Теорема 2. Линейный оператор (dt + A,y0)v ^ (0,Y0v) реализует изоморфизм пространств W1,2(s) П Ker(dt + A) и Vs+1.

Используя эту теорему и следуя работе [9] можно доказать локальную разрешимость нелинейной задачи в классе W1,2(0) с начальными условиями из неограниченного эллипсоида El,!/2 = {g Е V1 : ||g|y 1/2 < р} при достаточно малом р.

Краевые задачи для уравнений rot и + Ли = h с Л = 0, Стокса и Соболева (в стационарном случае), их разрешимость по Фредгольму в области с гладкой границей автор изучал ранее [29, 30, 31].

Ниже мы приведем семейства явных решений нелинейной задачи, которые используются при тестировании программы численного решения.

5. ЯВНЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ

5.1. Базовые решения. Это решения (vk,Pk) линейной задачи с данными fk,gk, соответствующие собственным функциям ротора u±(x) = ш-1 c±eikx с собственными значениями ±|k| при любом k = 0:

fk = 0+(t) u+(x)+ 0-(t) u-(x) gk = ^+u++^-u-, (122) vk = Y+(t)u+ (x)+ Vpk = 0, (123)

где

Y± (t) = ^±e-v 1 k 1 2t + f ev 1 k 1 2 (T-iV±(r )dr, а 0±(t) Е C [0,T], (124)

0

например. Зафиксируем вектор k = 0.

Теорема 3. Любое базовое решение (vk,pk) (соотв., (Revk, Repk)) линейной задачи (94) с данными (122) (соотв., (99)) является классическим решением нелинейной задачи (1), (2) с теми же данными.

Доказательство. Пара (vk,Pk) является решением линейной задачи, Vpk = 0. Остается показать, что N(vk,vk) = 0. Очевидно, cjvk = ikjvk и (vk,k) = 0, так как (c±,k) = 0. Поэтому

3

N (vk, vk) = £ vkj dj vk = i(vk, k)vk = 0. (125)

j=1

Далее, пусть (wk, qk) = (Revk, Repk). Так как cjwk = kjRe (ivk) и (wk, k) = 0, то

N (wk ,wk) = (wk ,k)Re(ivk) = 0.

Значит, пара (Revk , Repk) также есть решение нелинейной задачи.

Выделим один важный частный случай. Пусть

= e±e-CTfc±i, = 0 тогда

e±te-v|k|2t при = V|k|2,

7k'\ ‘ — e-v|k|2‘) при = V|k|2. ( >

Из этой формулы видим, что при £ ^ модуль скорости |г>± (ж, £) | стремится к нулю,

если Деа± > 0,

|в ±1

(ж,£) ^ ' к 1 , 1 , если Де = 0

|^к2 - а±|

и |^±(ж,£)| ^ +то экспоненциально, если Де < 0.

При = V|к|2 имеет место резонанс.

5.2. Пусть Лк — луч, задаваемый вектором к. Точки к и Лк € Лк, если Л — натуральное число. В этом случае базовые решения можно складывать. Например,

Теорема 4. Пусть / = 0,$ = $(к) € V1+5, 5 > — 1, где

ГО

$(к) = Х(^+к и+к(ж) + ^Лк и-к(ж)). (127)

Л=1

Положим

ГО

«(к) = -ш-1 £ №кс+к + &с-к) е‘лкх-"л2|к|’', р =0. (128)

Л=1

Тогда пара («(к), 0), является решением задачи (1), (2) с / = 0, $ = $(к).

Доказательство. Данные задачи удовлетворяют условиям Теоремы 1. Поэтому пара («(к), 0) является решением линейной задачи. Остается показать, что N («(к), «(к)) = 0. Так как с±к = с± при Л € N то

ГО

«(к) = а+с+ + а-ск где а±(£,ж) = £ф±кегЛкж"^2|к|2*, (129)

Л=1

причем ряды а±(£, ж) и их производные по ж^- сходятся при £ > 0, $ € V0.

ГО

V«? = ¡к«±1, где «£,((,*) = £ Л^±ке‘лк'х-"л2|к|2‘. (130)

N(«(к),«(к))= (с+,а+)с+ + ... + (С- ,ак)ск =0, (131)

так как каждое слагаемое этой суммы равно нулю. Действительно, учитывая, что (с±, к) =

0, для первого из них получаем:

N(а+с+, а+с+) = а+(с+ ■ V)a+c+ = ш+(с+, к)а+1 с+ = 0, (132)

что и требовалось доказать.

5.3. Пусть д — плоскость, задаваемая векторами т и п. . Некоторые решения линейной задачи («к ,Рк) при к € д можно складывать. Например.

Теорема 5. Пусть / = 0,$ = € V1+5, 5 > — 1, где

$9 = £ ^кегкж т х п. (133)

к€д

Положим

|к|2£

V? = X ^^ т х п, Р = 0. (134)

кед

Тогда пара (V?, 0) является решением задачи (1), (2) с f = 0, д = дд.

Доказательство. Разложим вектор т х п по базису к, с+, с- и учтем, что любой вектор

к Є д ортогонален векторному произведению т х п. Получаем

т х п =(с+,т х п)с+ + (с-,т х п)с-. (135)

Подставляя это выражение в формулы (133), (134), получим разложение gq и vq по собственным функциям ротора.

Ряд (133) удовлетворяет условиям Теоремы 1. Остается доказать, что N(vq, vq) = 0. Это делается также, как в предыдущей теореме:

vq = am х n, где a(t,x) = eikx-v |fc| t. (136)

fc€q

N(vq, vq) = ia(t, x) ^^(m х n, k)^keifcx-v|fc| t m х n = 0. (137)

fc€q

5.4. Пусть a — сфера радиуса -^/n и n = |k0|2. Сумма решений линейной задачи (vk ,Pk) при k G a не является решением нелинейной задачи. Но для собственных функций с одинаковыми собственными значениями справедлива Теорема 6. Пусть ф+Т(t) G C[0,T],

/+ = X ф+w u+(x), = X . (138)

|k|2=n |k|2=n

Положим

7k+(t) = Vi e-v|k|2t + Г e"|k|2<T-t) ф+(т )dr, (139)

Jo

V+ = X Y+(t)u+(x), = X - ^(v+)2, Vp+ = 0. (140)

|k|2=n |k|2=n

Тогда пара (v+,p+) является классическим решением нелинейной задачи (1), (2) с

f ^ g = g++.

Доказательство. По построению для линейного оператора S имеем

Sv+ = /+ -V X Р+ • (141)

|k|2=n

При вычислении нелинейного оператора N от v+ воспользуемся соотношением N(v, v) = (rot v) х v + V2v2 и учтем, что rot v+ = -\/nv+. Получаем

N(v+,v+) = (rot v+) х v+ + V 1(v+) = V 1(v+). (142)

Следовательно,

Sv+ + N(v+, v+) = /+ - V X P+ + V 1(v+) = /+ - Vp+, (143)

|k|2=n

что и требовалось доказать.

Отметим, что аналогичная теорема справедлива для собственных функций с отрицательными собственными значениями - \/n. Для собственных функций с различными собственными значениями ±\/n она, вообще говоря, не верна.

В работе автора [25] опубликованы семейства глобальных решений задачи Коши для нелинейной системы Навье-Стокса в равномерно врашающемся пространстве с угловой скоростью П. Полагая П = 0, легко выписать другие семейства точных глобальных решений нелинейной задачи.

6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ Модельная задача — это задача Коши для системы Галеркина RS^.

6.1. Стандартный вид уравнений Галеркина. Создана программа нумерации ненулевых точек решетки

к ^ $(к) : 1(—1,0, 0), 2(0, —1, 0), 3(0, 0, — 1),..., 18(1,1, 0),...,

в которой точка (—1, 0,0) является первой, точка (1,1, 0) — восемнадцатой и так далее. Используя эту нумерацию, введем нумерацию $(к) для известных и неизвестных функций 7±(£). Так, например, 7+-100) означает, что элемент 7+100) является первым в этой системе нумерации и так далее. При |к|2 ^ I последний элемент имеет номер N1, равный числу ненулевых точек решетки в шаре радиуса уД.

Введем в рассмотрение вектор-строку. Пусть

7 = (7+, 7-) = (7+,...,7+г,7к,...,7^г) (144)

и В+(к), В-(к) — матрицы квадратичных форм. В этих обозначениях 2^ комплексных

уравнений и начальные условия имеют вид:

б

^±(к) = — V|к|27±(к) — 7в±(к)7Т + ^(к), 7±(к)(0) = ^±(k), (145)

где $(к) = 1,..., N1. Квадратичные формы

7В±(к)7Т = * X ^-т^-т^Хст с±)7гте + 7+-т(4-т,т)(ст с^)7^+

т 2 = 1

7к-т(с--т, т)(ст, с± )7пг + 7к-т(с--т, т)(ст, с± )7пг)

распадаются на четыре однотипные квадратичные формы 7+С++ (7+)Т, ... , 7-С (7-)т. Ненулевые элементы в матрицах этих форм занимают одни и те же позиции (к — т, т) и располагаются “перпендикулярно” главной диагонали. Эти матрицы и матрицы являются разреженными.

Составлена программа вычисления модифицированных коэффициентов Фурье (32), (33) вектор-функций /(£,ж) и $(ж), которые входят в уравнения и начальные данные задачи (145).

При вычислении интегралов по кубу использовались кубатурные формулы Соболева с регулярным пограничным слоем.

Составлены программы вычисления коэффициентов системы и численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта.

Распечатка системы Д52 занимает около 20 страниц формата А4. Поэтому представим только первое плюсовое уравнение из Д52 :

б ,

^£^ї(-1,0,0) ^+-1,0,0)

{7+(о,-1,о)(0.603553г)71+0(_1,1,0) + 7+0,-ї,0)(0Л03553і)7-0(-М,0)

+ 7+0,0,-1) (°.6°3553і)7+-1,0,1) + 7з(0,0,-1)(—0.103553і)7-(-1,0,1) +7+0,0,1)(—0.603553і)7+-1,0,-1) + 7+0,0,1)(°.103553і)78'(-1,0,-1) +75(0,1,0) (-°.6°3553і)77Н(-1,-1,0) + 75+0,1,0) (-0.103553i)7_(-l,-l,о) +773-1,-1,0) (°.25і) ^+(0,1,0) + 7+-1,-1,0) (°.25і)7б(0,1,0) +7+-1,0,-1)(°.25і)7+0,0,1) + 7+-l,о,-l)(0.25i)7_(о,о,l)

+7+-1,0,1)( °.25і)7+0,0,-1) + 7+-1,о,1)(—°.25і)7з(о,о,-і) +7зо(-1,1,о)(—°.25і) ^/3(о,- 1,о) + 7іо(-1,1,о)(—°.25і)72(о,-і,о) +72-(0,-і,0)(-°.6°3553і)71+0(-і,і,0) + 7_(о,-l,о)(-0.103553i)7_о(-l,l,о) +7-(о,о,-1)(—°.603553і)79(-і,о,і) + 7_(о,о,-l)(0.103553i)7_(-l,о,l) +7-0,0,1) (0.603553і)7+-і,о,-і) + 74'(о,о,1)(-0.103553і)78'(-1,о,-1)

+y5(o,i,o) (0.603553*Ь7(_1,_1,о) + y5(o,i,o) (0'103553і)77(_і,_і,о)

+Y7( —1, —1,0) ( 0'25i) Y5(0,l,0) + Y7(_l,_l,0) ( 0'25i) Y5(0,l,0)

+78(_1,О,_1)(0.25і)74(О,О,1) + Y8(_l,O,_l)(0'25i)Y4(O,O,l)

+Y9(0,0,l) ( 0'25і)7з(О,О,_1) + Y9(_l,0,l)( —0'25і)^5(О,О,_1)

+Y70(_l,l,0) (і0'25i) Y2(0, —1,0) + Y5O(_l,l,O)(0'25i)Y5(O ,_l,0)} + Ф1(_1,0,0) (t)'

Его коэффициенты вычислены с шестым порядком точности.

6.2. Разрешимость задачи (145). Предположив, что f (t,x) Є L2(0,T; V0), g(x) Є V1, мы доказали в §4 две априорные оценки

sup ||v(s, •)|V° ^ llgHV0 + V l|f Hl+O^V-1) (146)

s€[0,T]

и

llV1 |L2(0,T;V1) ^ V l|g|V° + V 2|f II L2(0,T;V— 1)' (147)

Откуда вытекает, что задача (145) разрешима на всем интервале (0,Т), и ее решение

V(t,x) ограничено в пространствах Lto(0,T; V0) и L2(0,T; Vl) при любом l = 1, 2,.... Отметим, что вектор-функции f и g действительны, f0(t) = 0, g0 = 0 и Slf (t,x), S1g(x) — их частичные суммы:

(t,x) = 2^Re £ (ф+ (t)u+(x) + ф—(t)u—(x)) (148)

fceMi

Sg(x) = 2^Re £ (^+u+(x) + Ф—u — (x)) (149)

fceMi

а галеркинские приближения v, решения уравнений GSl, имеют вид

V = Revi(x,t) = 2^Re £ (Y+(t)u+(x) + Yk)(t)u — (x)). (150)

fceMi

6.3. Визуальное представление. Рассмотрим поток, скорость которого задается действительной собственной функцией ротора вида

d+(t,x) = 2Яе(ф+Мс+е«>)

при к = 0. Она определяется комплексной функцией (t) = |ф+ (t) | ei0+(i).

Пусть Pfc,5 — плоскость, заданная уравнением kx = $ По построению векторы к, ,

л/2^ образуют ортонормированный базис в пространстве R3, который индуцирует базис на плоскости . На каждой из них поток жидкости имеет скорость

VM(t) = d+ |рм = 2 №(t)| (cos(i + ^fc(t))afc - sin(i + ^+(t))bfc) , (151)

не зависящую от x Є Pfc,<s.

Ее координаты в базисе (у^Яд2, v^&fc) такие же, как у комплексной функции Фм(t) = V2 0+(t) ей в базисе (1,i). Другими словами, кривую ф+г (t) можно получить из кривой ф+ (t) растяжением на V2, поворотом на угол а и отражением от действительной оси.

Поэтому рисунок кривой 0±(t) на комплексной плоскости дает возможность представить поведение вектора скорости V+ (t) в плоскости Р^, ортогональной вектору к. Назовем его картой потока d+(t,x).

Составим карты для каждого из слагаемых решения (150). Набор таких карт даст представление об этом потоке в целом.

6.4. Решение задачи Коши для системы Д52. Пусть V = 0.1, / = 0 и 0+ заданы при к = (0, 0,1), к = (0,1,1), а 0- - при к = (0,1, 0), тоесть начальный поток д состоит из трех стационарных вихревых потоков:

д = 2Яе(0+с+е'кх )|к=(о,о,1) + 2Яе(0+с+е'кх )|к=(о,1,1) + 2Re(0_c_ еікс)|Мо,1,о).

В результате вычисления задачи появляются 8 ненулевых функций 7± (£) для к Є М' = {(0,1, 0), (0, 0,1), (0, —1,1), (0,1,1)}, и полученное решение V имеет вид

= 2Де ^ (7+ (і)с+ + 7- (і)с- )е*кх.

(152)

кеМ'

Далее мы повторили наши вычисления для V = 0.01 и можно увидеть различие этих кривых.

Пример. Переменная £ меняется от 0 до 10. Начальные данные:

04(0,0,1) = —3, 0 14(0,1,1) = 14*, ^-(0,1,0) = 2

и по симметрии

0+(о,о,-1) 3, 0и(о-1-1) 14І, 02(0,-1,0) 2.

На рисунках изображены карты вихревых потоков, то есть кривые 7± (£) на комплексной плоскости, дающие представление о поведении вектора скорости в плоскости, ортогональной вектору к.

V = ° 1 74+(0,0,1)(0) = —3.

V = 0, 01

, 7+о,о,1)(0) = —3.

Рис.1.

V = 0,01, 7+0,1,0) (0) = 0

V = 0,1

«Д. 7,+о,1,о)(0) = 0

Рис.3.

V = °, 01, 7+2(0,-1,1) (0) = 0

Рис.4.

V = 0, 1, 7+2(0,-1,1) (0) = 0

Рис.5.

Рис.6.

V = 0, 01,

= 0,1,

, ^14(0,1,1)(0) 14І

Рис.7.

// = 0,01, 74“(о,о,і)(°) = °

Рис.9.

V = 0, 01, 7-(о,1,о}(0) = 2

V = 0, 01,

Рис.11.

^12(0,-1,1) (0) = 0

Рис.13.

V = 0, 01, 7-4(0,1,1) (0) =0

V = 0, 1, 7l14(0,1,1} (0) = 14

Рис.8.

и = 0,1, 74(0,0,1) (°) =°

Рис.10.

І'= 0,1, 7цо,щ(0) = 2

Рис.12.

,у = 0,1 7_2(0,_1,1)(0) = 0

Рис.14.

у = 0. l, 7_4(о,l,l)(0) = 0

Рис.15. Рис.16.

В заключение отметим, что идея данного метода численного решения задачи принадлежит О.А.Ладыженской, которая предложила также провести расчеты модельных задач и в численном эксперименте понять характер разрушения решений при уменьшении коэффициента вязкости системы и других условиях. Этот вопрос остается открытым.

А.Г. Хайбуллин проделал большую работу по составлению программ, которые указаны

в этой статье.

Благодарности. Профессору М.Д. Рамазанову за поддержку и аспиранту А.Г. Хай-

буллину за помощь при оформлении работы. А также профессору Н.Х. Ибрагимову и

организаторам конференции Mogran-13 профессорам В.А. Байкову и Р.К. Газизову.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974. 810 с.

2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир.

1974. 335 с.

3. Ильин В.А. Избранные труды. Т. 1 М.: Макспресс. 2008. 730 с.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1988. 512 с.

5. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Москва: Наука. 1970. 288 с.

6. Лионс Ж.-Л. Методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 590 с.

7. Темам Р.И. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Фазис. 1997. 770 с.

8. A.Babin, A.Mahalov, B.Nicolaenko Global regularity of 3D rotating Navier-Stokes equations for

resonant domains // Indiana Univ. Math. J. 1999. V. 48. № 3. P. 1133-1176.

9. A.Fursikov Local existence theorems with unbounded set of input data and unboundedness of stable invariant manifolds for 3D Navier-Stokes equations // Discrete and continuous dynamical systems series. 2010. V. 3. № 2,

10. Арнольд В.И. Избранное-60. М.: Фазис. 1997.770 с.

11. O.I. Bogoyavlenskij Infinite families of exact periodic solutions to the Navier-Stokes equations// Moscow Mathematical Journal. 2003. V. 3. № 2. P. 263-272.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. том VI Гидродинамика.. Москва: Наука, 1986. 736 с.

13. S. Chandrasekhar, P.S. Kendall On force-free magnetic fields // Astrophys. Journal.1957. V. 126. P. 457-460.

14. J. B. Taylor Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields // Phys. Rev. Letters. 1974. V. 33. P. 1139-1141.

15. D. Montgomery, L. Turner, G. Vahala Three-dimentional magnetohydrodyamic turbulence in cylindrical geometry// Phys. Fluids. 1978. V. 21. № 5. P. 757-764.

16. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Изд.Дом «Удмурдский университет». 1998. 240 с.

17. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. № 1.

18. Махалов А.С., Николаенко В.П. Глобальная разрешимость трехмерных уравнений Навье-Стокса с равномерно большой начальной завихренностью// Успехи математических наук. 2003. V. 58. № 2. C. 79-93.

19. Ладыженская О.А. О различных уравнениях для вязких несжимаемых жидкостей и их исследовании. // Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики II (Труды семинара c тем же назв. под руководством ак. РАН Ладыженской О.А. и проф. Сакса Р.С., Уфа 2000). Уфа: БГУ, ИМВЦ УНЦ РАН. 2002. С. 89-100.

20. Сакс Р.С., Поляков Ю.Н. О спектральной задаче для оператора вихря в классе периодических функций // Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики II (Труды семинара c тем же назв. под руководством ак. РАН Ладыженской О.А. и проф. Сакса Р.С., Уфа 2000). Уфа: БГУ, ИМВЦ УНЦ РАН. 2002, С. 175-194.

21. Ладыженская О.А. О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей //Записки Науч. семинаров ПОМИ. 2003. Т. 306. С. 71 -85.

22. Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиями //Зап. Науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 318. С. 246-276.

23. Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса // Доклады Акад. Наук. 2007. Т. 416, № 4, С. 446-450.

24. R.S. Saks The solution of spectral problems for curl and Stokes operators with periodic boundary conditions and some classes of explicit solutions of Navier-Stokes equations// More progress in

Analysis (Proc. V International ISAAC Congress. Italy. 2005). Berlin: World Scientific. 2009. P. 1195-1207.

25. Сакс Р.С. Глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерно вращающемся пространстве // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 162. № 2. С. 196-215.

26. Сакс Р.С. Явные глобальные решения уравнений Навье-Стокса и периодические собственные функции оператора ротор // Доклады Акад. Наук. 2009. Т. 424. № 2. С. 171-176.

27. Сакс Р.С., Хайбуллин А.Г. Об одном методе численного решения задачи Коши для уравнений Навье-Стокса и рядах Фурье оператора ротор // Доклады Акад. Наук. 2009. Т. 429, № 1, С. 22-27.

28. Титов C.C. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Екатеринбург: Изд. Урал. ГАХА. 1999. 266 с.

29. Сакс Р.С. О краевых задачах для системы rot u + Xu = h // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. № 1. С. 126-140.

30. Сакс Р.С. Нормально разрешимые и нетеровые краевые задачи для некоторых систем урав-ненй математичекой физики// Применение функционального анализа к уравнениям с частными производными (Труды семинара академика Соболева С.Л.) Новосибирск: ИМ СОАН СССР. 1983. № 2. С. 129-158.

31. Сакс Р.С. Нетерово разрешимые краевые задачи для системы уравненй Соболева в случае установившихся процессов// Доклады АН СССР. 1984. Т. 279. № 4. C. 813-817.

32. Хайбуллин А.Г., Сакс Р.С. О программе нахождения коэффициентов ряда Фурье и применении при исследовании системы Навье-Стокса //Сб. трудов IX-го международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМ ВЦ УНЦ РАН. 2007. C. 175-181.

Ромэн Семенович Сакс,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: romen-saks@yandex.ru