Применение модифицированного метода Галеркина к первой краевой задаче для уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2015. Том 22, № 3

УДК 517.633

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА К ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА И. Е. Егоров

Аннотация. Рассматривается первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка, когда уравнение принадлежит эллиптическому или гиперболическому типу вблизи оснований цилиндрической области пространства М^1. Для исследования первой краевой задачи используется модифицированный метод Галеркина с привлечением метода регуляризации. Для решения первой краевой задачи строится приближенное решение с помощью соответствующей краевой задачи для системы ОДУ третьего порядка. Далее устанавливается оценка погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по пространственным переменным.

Ключевые слова: метод Галеркина, уравнение смешанного типа, первая краевая задача, априорная оценка, оценка погрешности, регуляризация.

I. E. Egorov. Application of the modified Galerkin method for the first boundary problem for mixed type equation.

Abstract: Considers the first boundary problem for mixed type equation of the second order, when the equation belongs to an elliptic or hyperbolic type near the bases of the cylindrical region of space Rn+1. To study the first boundary value problem used a modified Galerkin method with the use of the method of regularization. For solving the first boundary value problem is an approximate solution using the appropriate boundary value problem for system of odes of third order. Next, set the error estimate of the modified Galerkin method using the regularization parameter and eigenvalues of the Dirichle problem for the operator Laplasa on the space variables.

Keywords: Galerkin method, the equation of mixed type, the first boundary value problem, a priori estimate, error estimate, regularization.

Изучению краевых задач для уравнения смешанного типа посвящено довольно много работ [1—12]. Краткий обзор этих и более современных работ в этой области был проведен в [13]. Отметим, что метод Галеркина является универсальным и широко применяется к решению краевых задач для линейных (нелинейных) уравнений математической физики [14-16]. При этом в работах [15,16] получены оценки погрешности метода Галеркина для эллиптических и параболических уравнений. С другой стороны, метод Галеркина в сочетании с методом регуляризации давно применяется к решению краевых задач для уравнений смешанного типа [8, 9,11]. В [17] применен стационарный метод Галеркина к решению первой краевой задачи для уравнения смешанного типа,

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки России в рамках базовой части государственного задания (проект №3047).

© 2015 Егоров И. Е.

когда уравнение принадлежит эллиптическому типу вблизи оснований цилиндрической области. В [18] получены оценки погрешности стационарного метода Галеркина через собственные значения оператора Лапласа по пространственным переменным и времени. В [13,19] рассмотрены частные случаи краевой задачи В. Н. Врагова [10]. При этом для исследования краевой задачи использован модифицированный (нестационарный) метод Галеркина [20] с привлечением метода регуляризации. Для данных случаев получены оценки погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по пространственным переменным.

В данной работе рассматривается первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка [12], когда уравнение принадлежит эллиптическому или гиперболическому типу вблизи оснований цилиндрической области. Для исследования первой краевой задачи будем использовать модифицированный метод Галеркина [13,19, 20] с привлечением метода регуляризации. Для первой краевой задачи строим приближенное решение с помощью решения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Далее устанавливается оценка погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по пространственным переменным.

Пусть О С К" — ограниченная область с гладкой границей 5 € С2, Q = О х (0, Т), Бт = 5 х (0, Т), Ог = О х {г}, 0 < г < Т.

Рассмотрим уравнение смешанного типа

Ьп = к(х, г)«и — А и + а(х, г)щ + с(х)и = / (х, г), (1)

где коэффициенты уравнения (1) являются достаточно гладкими функциями. Введем множества

Р0± = {(ж, 0) : к(х, 0) ^ 0, х € О}, РТ± = {(ж, Т) : к(х, Т) ^ 0, х € О}.

I краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что и\8т = 0, и|4=0 = 0, щ |р+ = 0, и\-в- = 0. (2)

р 0 р т

Отметим, что первая краевая задача (1), (2) впервые была изучена А. Н. Тереховым [12] с помощью метода регуляризации.

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (2).

Лемма 1 (см. [9,12]). Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой и выполнены условия

к(х,Т)< 0, а-^кг>5> 0.

Тогда существуют неотрицательные бесконечно дифференцируемые функции

р(г), ф(г) такие, что имеет место неравенство

(Ьп,(рщ + фи) > С1||«||2, Сх > 0,

для всех функций и € Сь -

Доказательство. Найдется положительное число Т0 < Т такое, что

< -¿1, I € [То,Т]. Выберем функции € Сто[0,Т] такие, что

<^(г) = м, г € [о,То], </(г) < о, ^(Т) = о, Ш = 1 -

Для и(ж,г) из Сь после интегрирования по частям получаем соотношение (Ьи, + ^и) = / •

Q

a ~ \ktj^~k\^ + ^

2 ,

i=i

где

+ с( V1 - )и2 + \аФ ~ (кф)г]щи ) dQ + I, (3)

I = / kuf dx > 0.

2

Теперь выберем ^ > 0 так, что

6ц — max \k\ > 62 > 0. Q

Тогда

a - ^k^Jip - к(^ф + ^Vtj >min{5i,52}-

Из соотношения (3), используя неравенство Коши и условия леммы 1, получаем априорную оценку леммы 1.

Для е > 0 имеем Leu = —eD|u + Lu. В качестве базисных функций берем (ж), которые являются решением спектральной задачи

—Д<^ = А^, ж £ О, = 0.

При этом функции (ж) образуют ортонормированный базис в L2(0), а соответствующие собственные числа Ак таковы, что 0 < А1 < А2 < ... и Ак —^ при k — <х> [14].

В дальнейшем будем считать, что k(x,T) < 0. Приближенное решение uN'e(x,t) краевой задачи (1), (2) ищем в виде

N

uN'e(x,i) = £ cN'e(iVk(ж) = v(x,t),

k=1

в котором Ск (t) определяются как решение следующей краевой задачи для системы ОДУ третьего порядка:

(LeuN'e,tpl)0 = (f,ipi)o, (4)

0) = 0, D2tc^\t=Q = 0, cf'e(T) = 0, Z = MV, (5)

при k(x, 0) < 0 или

0) = 0, Dtcf'e\t=0 = 0, cf'e(T) = 0, Z = (5)

при k(x, 0) > 0.

P 0

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и имеет место один из следующих случаев: либо ¿(ж, 0) < 0, либо ¿(ж, 0) > 0.

Тогда существует число £о > 0 такое, что для приближенных решений краевой задачи (1), (2) справедлива оценка

еу ^ + 1М1? < с1

С2 > 0, 0 < £ < £о.

(6)

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что <'(Т) = 0. Тогда из (4), (5) имеем

(/, (руг +фу) =е ! <руы - | У [(</?« + З^К2 + АС}

+ -£ / фУ1 ¿X

t=T

+ + (7)

¿=0

Заметим, что для функций V справедливо равенство (3).

Достаточно рассмотреть только случай ¿(ж, 0) < —¿з < 0. Выберем £о > 0 так, что £0 < ¿3уи. Тогда

I — —£ J фу^с1х > 0.

Оо

Теперь, при необходимости уменьшая £о, с учетом (3) из соотношения (7) получаем априорную оценку (6). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть коэффициент с(ж) > 0 достаточно большой, выполнены условия

о-^>5> о, о + ^>5>0, /,Леь2(<2),

и имеет место один из следующих случаев: либо ¿(ж, 0) < 0, ¿(ж, Т) < 0, либо ¿(ж, 0) > 0, ¿(ж, Т) < 0, /(ж, 0) = 0.

Тогда существуют существует число £о > 0 такое, что для приближенных решений краевой задачи (1), (2) справедлива оценка

г=1

¿д < Сз(У/У2 + Ш2], С > 0, 0 <£<£о.

(8)

Доказательство. Для неотрицательных бесконечно дифференцируемых функций £(£),п(£) из (4), (5) получаем соотношение

- (/, Ыи + Щи) = £ J _ | У ЪЪи ¿Я

Я Я

+ У| + + [«)< - ат/+

Я ^ г=1

п ^

+ с(6 — П^м — (п — ) vxЛ ¿д + ^ (9)

г=1

2

2

2

V

где

t=T

J = J

п

1 1

-{erj - k£)v% - a£vttvt +

i=1

t=0

Сначала рассмотрим случай 0) < 0, T) < 0. Тогда найдутся

положительные числа to, То такие, что to < То < T и k(x,t) < —< 0, t G [0, to] U [То, T].

Выберем функции £(t), n(t) такие, что

¿(0) = £(Т) = 0, £'(t) > 0, t G [0, to], £(t) = M, t G [to,To], £'(t) < 0, t G [To,T],

Vit) = 1 + ^t, t G [o, to], 7?(t) = i, te[to,To], = ÎG[T0,T],

Сначала выбираем m > 0 так, что

ôji — max \k\ > 62 > 0.

Тогда

a+\kt\-kL-^t ) >min{5b52}- (Ю)

В силу неотрицательности

= \ / ^

Пт

используя неравенство Коши и неравенства (6), (10), из соотношения (9) получаем априорную оценку (8).

Теперь рассмотрим случай 0) > 0, &(ж,Т) < 0. Будем считать, что < —¿1, 4 С [То,Т], и &(ж, 0) > ¿3 > 0. Выбирая ц > 0, как выше, получаем справедливость неравенства (10). В силу неравенства

J > ^(¿зМ-е) J Vttdx,

используя неравенство Коши и при необходимости уменьшая £о, из соотношения (9) снова получаем оценку (8). Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть выполнены все условия леммы 3. Тогда существует число £о > 0, такое, что для приближенных решений краевой задачи (1), (2) имеет место оценка

||Д«||2 < 64(11/II2 + ИЛИ2), С4 > 0, 0 < £ < £0. (11)

Доказательство. Выберем функцию <(4) из Сто[0,Т] такую, что <(0) = ц > 0, <'(4) < 0, <(Т) = <'(0) = <'(Т) = 0. Из (4), (5), используя свойства

Q

функций (ж) и проведя интегрирование по частям, получаем соотношение

+

- (/, ^ + Ди) = е У

Я

ф > V. ¿=1

ау--{к1р)г

¿=1

+ [кх; V« + «х + (еи)Х;

¿=1 ¿=1

- + + + К, (12)

где

К =

2

¿ж

¿=т

¿=0

Рассмотрим случай к(ж, 0) < —< 0. Выберем ^ > 0 так, чтобы ео < Тогда в силу неотрицательности К, используя неравенств Коши и априорные оценки (6), (8), из соотношения (12) получаем оценку (11).

При к(ж, 0) > 0 имеем ^(ж, 0) = 0, следовательно, снова К > 0. Стало быть, снова будет справедлива оценка (11). Лемма 4 доказана.

Теорема 1. Пусть коэффициент с(ж) > 0 достаточно большой, выполнены

условия

>8> 0,

/,/ е ¿2(д),

и имеет место один из следующих случаев: либо к(ж, 0) < 0, к(ж, Т) < 0, либо к(ж, 0) > 0, к(ж, Т) < 0, /(ж, 0) = 0.

Тогда первая краевая задача (1), (2) имеет единственное решение и(ж, £) из ^2!(д) и справедлива оценка

М2 < С5(У/II + ||/*М), С5 > 0.

Доказательство. Из неравенств (6), (8), (11) и второго основного неравенства для оператора Лапласа [14, 21] для приближенных решений первой краевой задачи (1), (2) справедлива оценка

||«№'Ъ < С5(||/II + МЛН), С5 > 0. (13)

Из данной оценки следует существование искомого решения краевой задачи (1), (2), а единственность решения краевой задачи (1), (2) обеспечивается леммой 1. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для погрешности модифицированного метода Галёркина справедлива оценка

Ни — и^||1 < С6(||/II + Ш|)(е1/2 + А^/4), Сб > 0, (14)

где и(ж, £) — точное решение краевой задачи (1), (2).

Доказательство. Рассмотрим функции ф(£), построенные в ходе

доказательства леммы 1. Введем в пространстве Ь2(д) линейное многообразие

С N )

Ялг = Ых,г)=^а1{г)<р1{х) : щ € Т^22(0,Т), щ(0) = щ{Т) = 0, 1= 1,Ж

I 1=1 >

2

V

1

при &(ж, 0) < 0 или

N

Ны = Ых,1) = : щ € И^22(0,Т), о«(0) = а[(0) = щ(Т) = 0, 1=

1=1

при &(ж, 0) > 0.

Из уравнения (1) и равенств (4) с учетом определения HN нетрудно получить соотношения

+ ^п) = (/,^п* + ^п), + ^п) = (/,^п* + ^п), П е ^,

где и(ж,£) — точное решение краевой задачи (1), (2), гарантированное теоремой 1.

Отсюда получим равенство

(£(и - ^п* + ^п) = —е(«ше, ^п* + ^п), П е HN.

Последнее равенство при п = с — с произвольной функцией с из HN принимает вид

+ (/ — — с)+ ^(и — с)). (15)

Рассмотрим ряд Фурье

и(ж, £) = ^ (ж), сй(£) = (и, ^)о.

&=1

При

с = ^ (ж)

аналогично [20] устанавливаются оценки

11« — с||2 < ^N+1(11/II2 + Ш|2), С > 0, (16)

У«* — с||2 < С^+Л/12 + ||/*||2), С > 0. (17)

Используя лемму 1, с учетом неравенств (13), (16), (17) из равенства (15) получим оценку (14) погрешности метода Галеркина. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. При &(ж, 0) > 0, &(ж,Т) > 0 или &(ж, 0) < 0, &(ж,Т) > 0 краевая задача (1), (2) совпадает с краевой задачей В. Н. Врагова [10] и для нее справедливы результаты, аналогичные [13,19].

Замечание 2. В уравнении (1) вместо оператора Лапласа можно рассмотреть эллиптический оператор второго порядка более общего вида [14].

ЛИТЕРАТУРА

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe mixte. Uppsala: These, 1935.

3. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

4. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

5. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

6. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974.

7. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.

8. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

9. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

10. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

11. Ларькин Н. А. Об одном классе нелинейных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 6. С. 1308-1314.

12. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН СССР, 1979. С. 128-136.

13. Егоров И. Е., Тихонова И. М. Применение модифицированного метода Галеркина к уравнению смешанного типа // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 4. С. 14-19.

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

15. Джишкариани А. В. О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 2. С. 343-348.

16. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 9. С. 1643-1651.

17. Егоров И. Е., Тихонова И. М. О стационарном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 41-47.

18. Егоров И. Е., Тихонова И. М. Применение стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 2. С. 20-28.

19. Тихонова И. М., Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка // Мат. семинара молодых ученых «Актуальные вопросы вещественного и функционального анализа». Улан-Удэ, 2015. С. 96-99.

20. Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Узб. мат. журн. 2013. № 3. С. 33-40.

21. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

Статья поступила 8 сентября 2015 г. Егоров Иван Егорович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891, Республика Саха (Якутия) [email protected]