Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА

тт серия Математика и физика

УДК 519.46

ГРУППОВОЙ ПОДХОД В ДИНАМИКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ

ЖИДКОСТИ1

А.М. ЛУКАЦКИЙ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором

Красильщиком И.С.

В статье рассматривается подход к решению уравнений Эйлера и Навье-Стокса посредством определения вида оператора коприсоединенного действия на бесконечномерной группе Ли. В этих терминах получаются оценки производных коэффициентов разложения по ортогональному базису специального вида (аналогу Фурье-разложения) решений соответствующих уравнений.

1. Введение

Уравнения динамики несжимаемой жидкости в многомерном случае до сих пор имеют в качестве проблемы вопрос об их глобальной разрешимости. В то же время проблема локальной разрешимости является закрытой, как и проблема глобальной разрешимости в двумерном случае [1], [2].

В этой связи может представлять интерес оценивание производных от коэффициентов разложения решений по ортонормированным базисам соответствующего функционального пространства на временном промежутке их существования. Ниже развивается формализм для проведения такого исследования на основе группового подхода к динамике жидкостей.

Подход основан на представлении конфигурационного пространства несжимаемой жидкости в виде группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема области течения жидкости, с последующим исследованием в алгебре Ли бездивергентных векторных полей оператора коприсоединенного действия.

2. Общие конструкции, связанные с оператором коприсоединенного действия на бесконечномерной группе Ли

В рассматриваемом случае групповой подход к построению решений уравнений математической физики основан на погружении пространства состояний описываемого физического объекта (конфигурационного пространства) в бесконечномерную группу Ли С? с алгеброй Ли д, на которой задана квадратичная форма <,>■ Форму <, > можно либо правыми, либо левыми сдвигами разнести по всей группе С . На группе (7 с разнесенной сдвигами квадратичной формой имеется риманова структура. Это дает возможность интерпретировать решения соответствующего эволюционного уравнения как геодезический поток на бесконечномерном римановом многообразии. Для скобки Ли здесь возникает оператор коприсоединенного действия асЫ^к), сопряженный к оператору присоединенного действия ад.и(у) — [м,и]:

< а&и*(у),ы >=< ь,а,д.и(и)) > . (1)

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 07-01-00230.

Уравнения Эйлера геодезических для лево- (право-) инвариантной метрики на С? имеют вид: ди

—- = &д.и*(и)(— аЛи*(и) (для правоинвариантной метрики). (2)

С/ 6

Пусть теперь в алгебре Ли д построен некоторый ортонормированный базис {е*}. Тогда кривая и(£) в алгебре Ли д может быть представлена в виде

«м = £ Пк(р)ек . (3)

к

Для произвольного элемента е £ д введем симметрический оператор 5(е) = |(а<1е-|-ас1 е*). Заметим, что в бесконечномерных алгебрах Ли возможна ситуация, когда оператор 5(е) имеет конечную норму, несмотря на то, что оператор ас! е не имеет конечной нормы. Это имеет место для алгебр векторных полей, которые будут рассмотрены ниже. В предположении же о конечности нормы оператора 5(е) справедлива следующая оценка для производных коэффициентов разложения решений уравнений Эйлера.

Предложение 1.

1. Для коэффициентов (3) решений уравнений Эйлера (2) имеем :

ди

= — < 5(е*)гг,г« > (< 3(ек)и,и > (для правоинвариантной метрики). (4)

2. Пусть для некоторого элемента ортонормированного базиса ек оператор 8(ек) имеет конечную норму. Тогда для коэффициента «*(£) решения (3) уравнений Эйлера (2) с начальными условиями и0 имеет место оценка

1—1 |1«Ы1111»Т- (5)

Доказательство. Предположим, что (3) является решением уравнений Эйлера (2) (для определенности рассмотрим случай левоинвариантной метрики). Тогда для производных по t от коэффициентов разложения «*(£) выполняются следующие соотношения:

=< а<1и*(м),е*; >=< и,айи(ек) >=

- < и,а.6ек(и) >= - < и,а6.е*к(и) >= —| < и, (а<1е*; + ас1е£)(и) > >

откуда получаем (4). Из (4) следует, что |^| ^ Цб^е^ШЩй)!!2. Далее можно воспользоваться тем, что на решениях уравнений Эйлера сохраняется метрика, задающая норму, поэтому

1К*)1ЫИ|.

Следствие 1. Если для элемента ортонормированного базиса ек оператор 5(е*) имеет конечную норму, то коэффициент ик(\I) решения (3) уравнений Эйлера (2) удовлетворяет условию Липшица на всем промежутке своего существования с нормой Липшица, зависящей только от начальных условий.

Эффекты, связанные с выполнимостью условий Липшица для решений эволюционных уравнений, рассматривались в [2, гл. 8А]. Заметим, что когда в [2] устанавливались условия Липшица, то они формулировались локально, причем в получаемых там оценках норма Липшица зависела от выбранного временного промежутка.

3. Приложения к динамике несжимаемой жидкости

Рассмотрим далее важный случай, когда выполняются условия предложения 1. Пусть М - компактное ориентированное риманово многообразие, либо К" со стандартной метрикой. Обозначим через У(М)— алгебру Ли гладких векторных полей на М (в случае Кп - гладких векторных полей, быстро убывающих на бесконечности, [4]), через Vм(М)— подалгебру Ли бездивергентных векторных полей, а через 7г : У(М) —>■ Уц(М)— оператор ортогонального проектирования [5, с.122].

Мы будем рассматривать уравнения Эйлера:

ди

— + Ъии + Ур = О

и Навье-Стокса, [6]:

ди

— + + Ур — иАи = 0.

Здесь А - оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях; и— вязкость; р— давление.

Нам будет удобна следующая форма представления этих уравнений. Заметим, что У„и + Ур = 7г(Уии) = а6и*и [3]. Если сделать эту замену, то получаем следующий вид для уравнения Эйлера:

— = — аа и и (6)

т

и для Навье-Стокса:

— иАи = — а,д.и*и (7)

Здесь надо помнить, что скобка Ли векторных полей, используемая в [3], отличается знаком

от традиционной [4,5,7]. Ниже будет использоваться традиционная версия скобки Ли [4],

поэтому правые части в (6), (7) изменят знак.

Предложение 2. Для произвольных гладких векторного поля / и бездивергентного векторного поля е операторы 5(/) и б'(е) имеют конечные нормы.

Доказательство. Обозначим через І? = {г^}— метрический тензор риманова многообразия М. Выберем некоторый атлас на М. Для векторных полей у, и обозначим через у (и)- оператор действия векторного поля V на коэффициенты и в локальных координатах, через Ву(и)— оператор умножения якобиевой матрицы векторного поля и на г; в локальных координатах, через Бу (и)— умножения на транспонированную к Ии матрицу. Для скобки Пуассона векторных полей [и, у] обозначим через асі и(у) = [и, г;]— оператор присоединенного действия. Имеем:

аа/ = /-£>/.

Для бездивергентного векторного поля е удобно записать

асі е = е — Ие = 7г(е — .Ое).

Из [4] имеем:

(асі/)* = -/ - ІГ7(Я) - ІГЧОД'Д) - сііу/И;

(асіе)* = 7г(—є - Л_1е(Д) - іГ^Яе/Д).

Здесь Ісі — тождественный оператор. Отсюда получаем

«(/) = і(-о/ - я-1 !(Я] - л_1(о/)'л) - аіу/ И);

5(е) = тД(-£>е - ІГ'еіЯ) - ІГ^Ре/Д).

А

Заметим, что при переходе к операторам 5'(/),5(е) сократились составляющие, не имеющие ограниченной нормы в операторах асі/, асіе. Обозначим через ||||с1 — чебышевскую С1 норму в пространстве векторных полей. В случае компактного М можно построить конечный атлас {£/і,і = !,.■■,п} такой, что для любого і существуют компактные подмножества V* С иіу отображающиеся в локальных координатах в шары, такие, что Ми*V*. Оператор £(/) действует на векторные поля поточечным умножением на следующую матрицу:

А(х) = [і(-В/ - В~'/(В) - Л-‘(В/)'Я) - аіу/И)](і)

(5(/) : и (ж) А(ж)и(ж)).

Из вида матрицы А следует, что существуют такие С* > 0, для которых в локальных координатах выполняются оценки:

1И(*)11 ^ Сі\\/\\сіуі,х Є У.

Здесь || Цс1 Уі — естественная чебышевская С1— норма в пространстве гладких векторных полей на V*. В случае Мп можно взять атлас из единственной карты V = Мп и, воспользовавшись определением быстрого убывания векторных полей на бесконечности [4], получить аналогичную оценку. Возьмем теперь С = тах* Сі и получим отсюда оценку:

ІІЯПІКСІІ/ІІс.. (8)

В случае подалгебры бездивиргентных векторных полей для 3(е) введем поточечный матричный оператор:

В(х) = [1 (-£>/ - ВТ1 т - л-‘(о/)'Д)](і).

Оператор 5(е) действует на бездивергентное векторное поле и суперпозицией поточечного умножения матрицы В(х) на и(х) и проекции п на подпространство бездивергентных векторных полей. Для матричного оператора В(х) можно получить оценки, аналогичные А(х), в локальных картах. Далее надо учесть, что оператор проекции не увеличивает норму векторного поля, т.е. ||тг(іі)|| ^ |Н| . Поэтому существует такое С > 0 , что

11ЭДЦ < С||е||С1. (9)

Далее мы ограничимся рассмотрением случая алгебры Ли бездивергентных векторных полей и рассмотрим приложения к динамике несжимаемой жидкости.

Следствие 2. Пусть «(£) — решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на М. Тогда имеем следующую оценку для производных по Ь от коэффициентов ик разложения (3).

і~\ < СЫЫ|«Т. (Ю)

Если теперь перейти от уравнений Эйлера к уравнениям Навье-Стокса, то надо воспользоваться тем, что уравнения Навье-Стокса можно представить в виде (7). Выберем базис {ек} в пространстве бездивергентых векторных полей из собственных векторов оператора А с собственными числами — Хк, где Хк ^ 0. Используя представление (3), будем оценивать коэффициенты разложения векторного поля ^ — иАи. Заметим, что они выражают отклонение решений уравнений Навье-Стокса от уравнения ~ = иАи , решения которого имеют вид: = ехр(—\кі)ик(0) . По аналогии с предыдущим формулируется:

Предложение 3.

1. Для коэффициентов ик{ї) решений уравнений Навье-Стокса (7) имеем :

+ гу\кик =< -5(е*)«,« > . (11)

2. Для решения (3) уравнений Навье-Стокса (7) с начальными условиями и0 имеет место оценка:

I ^Чк 1 I ^ П\\* II ||..0||2

+ ^ СЦе^Цс-!||и || . (12)

Доказательство. Единственное отличие рассмотрения уравнений Навье-Стокса от уравнений Эйлера состоит в том, что ||м|| не сохраняется на решениях. Однако имеем

д < и, и > п /,ч* л

---------= 2 < — (ас! и) и + 2/Дм, и >= 2 < иАи, и > .

Так как оператор Лапласа-Бельтрами имеет неположительный спектр, то < иАи,и 0. Отсюда следует, что ||и(£)|| ^ ||и°|| (такое условие является аналогом энергетического неравенства для уравнения Навье- Стокса [6, с. 246]), поэтому получаем (12).

4. Разбор случая п-мерного тора

Рассмотрим далее п-мерный тор Тп. Пусть {<р = <р ъ<рп}~ стандартные координаты на Т", взятые по модулю 2л. Построим ортонормированный базис в УДТ"). Обозначим через:

д

&к,а — сое к<р % ' ,

и ВЧ“

д

/к,а = к(р У”' а1— ; (13)

и д4“ 1 а

* — /—/гш \ Я ’ * ’

у/ц{Т") Ьщ

а е Еп, А: е й" \ {0}/{±1}, (к, а) = 0, (а, а) = 2

/х(Тп)'

Здесь целочисленный ненулевой вектор к определен с точностью до умножения на —1, для однозначности можно, например, потребовать, чтобы первый ненулевой элемент был положителен. Элементы базиса вк,а, /к,а являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами с собственным числом А к — — \к\2. Для ненулевого целочисленного вектора к введем нормированный вектор к = щ . Будем представлять решения уравнений Эйлера и Навье- Стокса на Т” в виде

П

{Цк,а{^)^к,а ^к,а{^)/к,а) + Х>«м(*)*<- (14)

(к,а)\к^ 0 »=1

Вычислим операторы 5(е*.1а), 5(Д,а) . Матрица метрического тензора Я в этом случае единичная. Оператор 5(е) имеет вид:

5(е) = \iri-De - (Ве)‘)

и представляет собой суперпозицию поточечного умножения на матрицу А(е) и ортогональной проекции на подпространство бездивергентных векторных полей. Для базиса (13) эти

матрицы имеют вид:

А(ек>а)(1р)(г, ^ + к]сч) вт(к<р)]

А(Л,а)М (*>.?') = -(кщ + к]ец) соз(к<р)-,

А(К) = 0. (15)

Для бездивергентного векторного поля и билинейная форма, фигурирующая в правой

части (4) и (11), приобретает вид:

П

< Б(ек,а)(<р)и,и > = - ^2 < к1^щщ,8т(к1р) >;

1,2=1

П

< 5(/*)в)(у>)м,« > = Е

**7=1

<3(1ъ^и,и> = 0. (16)

Из (4) и (11) сразу следует, что

^ = ° <17>

(для уравнений Эйлера и Навье-Стокса).

Теорема 1. Для коэффициентов разложения (14) решений уравнений Эйлера и Навье-Стокса на Т" справедливы оценки:

У —

I ц:

диКа(г)\2 | /аум(р\2 <

(« - 1) Ц_(«,и)^ - ^ £(£ »(%ф)2 ) (18)

(для уравнений Эйлера),

£ ^((т+^'Ч2 + (^+^1Ч“)!) *

{к,а)-,кф0 1 1 V 4 7 4 7 /

(" "г) [к1[и' “)2# “ Ы щи^?) (19)

(для уравнений Навье-Стокса).

Доказательство. Из (4) и (11) достаточно оценить сумму

5 = Л Щ2 ^ и>2 + < 3{/к,а)и, и >2).

(&,а);А:^0

Из (16) имеем

Т1 Л П л

5= £ (( £ / UiUjCos{k^p)d^p)2 -\- (^2 Kiaj / вт(А;^)е^>)2).

(к,а)\кф 0 *,.7=1 *,.7=1 "^П

Далее нужно заметить, что для ненулевого целочисленного вектора & существует п—1-мерное ортогональное подпространство к1-, чему соответствует п — 1 элементов е&|(1 и столько же

fk a базиса (13). Из неравенства Коши-Буняковского имеем:

п п „ п „

5^ У2 (У2(^аз)2(У2ч UiU3 cos{k<p)d<p)2 + Е (/ UiUjCOs(k(p)dip)2)).

(к,а)-,к?О i,j=1 *,J=1 ^ТГ“ i,j=1 ^Т"

Имеем X]rj=x(K»aj)2 ~ JJWj- Равенства Парсеваля для гладкой функции F на Т" имеем:

<F'f> = (" F4SC0S(M >2 + " /SSta(M >2) +

= <f’\6S>2'

Применяя это равенство к функциям Fitj = «jMj и учитывая, что Yl'ij-i frn(uiuj)2d<P = fT„(u,u)2d<p, получаем доказательство теоремы.

В [8] установлены достаточные условия продолжения решений уравнений Эйлера на бесконечномерной группе Ли во времени на бесконечность в терминах коалгебры Ли.

Вопросы разрешимости уравнений Навье-Стокса на R3 с использованием разложения в интеграл Фурье рассматриваются в [9].

5. Заключение

В работе для общей групповой постановки задачи математической физики проанализированы уравнения динамики несжимаемой жидкости. При этом удается оперировать свойствами алгебры Ли группы, задающей конфигурационное пространство физической задачи. Строятся оценки для производных коэффициентов Фурье-разложения решений в общем случае. Полученные оценки зависят только от начальных условий на всем временном интервале существования решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука,

1970.

2. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -М.: Мир, 1980.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000, 408 с.

4. Лукацкий А. М. О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразии // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика. № 91, 2005. С. 36-47.

5. Ebin D., Marsden J. Groups of diffeomorphisms and the moition of an incompressible fluid // Annals of Mathematics, 1970, vol. 92, p. 102-163.

6. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981.

7. Смоленцев Н.К. Кривизна классических групп диффеоморфизмов. // Сибирский математический журнал,№ 1, 1994, Т.35. С. 169-176.

8. Лукацкий А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды // Научный Вестник МГТУ ГА, № 100, 2007. С 114-121.

9. Синай Я.Г. Диаграмный подход к 3-D системе Навье-Стокса. // Успехи математических наук, 2005, Вып. 5. Т. 60. С. 47-70.

A GROUP APPROACH ТО THE DYNAMICS OF INCOMPRESSIBLE FLUID

Lukatsky A.M.

An approach for solving the Euler and Navier - Stokes equations by means of a transformation of the coadjoint operator representation on an infinite Lie group is studied. A decomposition by an orthogonal basis of special form (an analogy of the Fourier-decomposition) of the solutions is obtained. Derivatives of coefficients for this decomposition are estimated.

Сведения об авторе

Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 74 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.