CC BY
38
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика
№ 120
УДК 519.46
К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ1
А. М. ЛУКАЦКИЙ
В статье рассматривается представление уравнений Эйлера в виде геодезического потока на бесконечномерной группе Ли. В этих терминах устанавливаются свойства решений в предельной точке интервала существования решений, гарантированных локальными теоремами существования и единственности.
1. Введение
Пусть имеется бесконечномерная группа Ли О, с алгеброй Ли g . Предполагается, что g является борнологическим пространством, снабженным лево- (или право-) инвариантной метрикой <иу>. Обозначим оператор присоединенного действия в алгебре Ли через adu(v) = [п,у], а через айи*(у) - оператор коприсоединенного действия [1]. Пусть Su(v) = хА(а^и^) + adu*(vj) - введенный в [2] оператор. В [2] установлено, что для ряда бесконечномерных групп Ли оператор Su имеет конечную норму для любого элемента и алгебры Ли g. Например, это так для группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактного риманова многообразия, а также для включающей ее в качестве подгруппы группы всех диффеоморфизмов многообразия.
Выберем теперь в алгебре Ли g ортонормированный базис {ек} и будем представлять элемент и алгебры Ли g в виде ряда
и 'Ук ик ек (1)
С метрикой <иу> алгебра Ли g является предгильбертовым пространством. Обозначим через Н(^ формальные ряды вида (1), для которых ук \ик \2 <<» ,они образуют гильбертово пространство, являющееся пополнением g по норме, определяемой метрикой. Например, для алгебры Ли гладких векторных полей на римановом многообразии М гильбертово пространство Н(^ будет пространство сечений касательного расслоения ТМ, интегрируемых с квадратом скалярного произведения.
Будем рассматривать уравнения Эйлера геодезических на группе О, для определенности левоинвариантной метрики
— = аёи * (и) (2)
Эг
В [2] проведена редукция уравнений Эйлера к дифференциальным уравнениям на коэффициенты разложения (1)
дик / д1 = - < Sek (и),и > (3)
и для случая, когда операторы Sek имеют ограниченную норму, в [2] получены оценки для производных коэффициентов разложения (1) решений
\дик/д1 \<\^ек \\\\и(0)\\2 (4)
Ниже будет рассмотрена задача существования и единственности решений уравнений Эйлера.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант
04-01-00647
2. Анализ поведения решений уравнений Эйлера
Для заданного элемента и алгебры Ли g обозначим через С(и) верхнюю грань таких T, для которых решение (2) с начальными условиями и существует и единственно на промежутке [0,T). Для определенных типов бесконечномерных групп Ли G всегда [3, 4] имеем C(u)>0, например, это так для группы диффеоморфизмов Diff^(M), сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия M с алгеброй Ли V^(M) бездивергентных векторных полей с метрикой - кинетической энергией
< и, v >= | (u(х), v(x))dx.
M
Если для заданного и имеем C(u) = да, то это означает, что решение уравнений Эйлера с начальными условиями и продолжается во времени на бесконечность и единственно. Ситуации, когда С(и) < да означает, что решение уравнений Эйлера имеет особенность при 1=С(и). Ниже будет исследован характер такой особенности.
Теорема 1. Пусть алгебра Ли g удовлетворяет условию ограниченности норм операторов Sc для любого элемента е и для заданного и имеем С(и) > 0. Тогда коэффициенты (1) разложения решения уравнений Эйлера с начальным условием и(0)=и имеют пределы при t ^ С = С(и). Более того, элемент
и(С) \к ик (С)ек
имеет ограниченную L2 норму в смысле инвариантной метрики в алгебре Ли, т.е. принадлежит H(g) , причем
II и(С)\\ < || и(0)||.
Доказательство. Из (4) коэффициенты ик имеют ограниченные производные на промежутке [0,С) и, в частности, являются равномерно непрерывными на [0,С). Отсюда, при t ^ С существуют пределы ик (t). Предположим теперь, что || и(С)Ц > || и(0)Ц (возможно и || и(С)Ц = да). Тогда существует начальный кусок ряда (1) ип(С) = Уk=1 п ик (С)ек , такой, что
|| un(C)|| > || u(0)||. Но тогда для любого s>0 найдется такое 0 < t < С, что || ип(С) - ип(,t)|| <8. Так как || un(t)|| < || u(t)||, то путем выбора s можно добиться, что || и(Щ > || и(0)||. Так как в точке t решение уравнений Эйлера существует, то это противоречит свойству инвариантности метрики.
Заметим, что теорема 1 гарантирует слабую (покоэффициентную) сходимость решения и(t) к и(С) при t ^ С . Чтобы установить в каком-то варианте сильную сходимость, необходимо построить интегральные мажоранты. Это будет проделано в следующем параграфе для случая тора.
3. Случай n-мерного тора
Рассмотрим далее n-мерный тор T и выберем в алгебре Ли бездивергентных векторных на торе Vxr) полей ортонормированный базис из простых гармоник [2],
гк = a cos кф , ,^к = a cos кф, ф = (фь...,фп) стандартные координаты на Tn, взятые по модулю 2п, к =(к1,.,кп)- целочисленный вектор. Для элемента базиса ек обозначим через Хк собственное число оператора Лапласа - Бельтрами на этой простой гармонике. Для элементов базиса { гк , ,^к } имеем Хк = -(к,к).
Теорема 2. Пусть в обозначениях теоремы 1 векторное поле и^,х), полученное при t=C из ряда (1), непрерывно на [0,С] x Tn. Тогда ряд производных
\ди0/dt \2 + Укф0 \дик/dt |2/\Хк\ ек (5)
имеет мажоранту на [0,С].
Доказательство. Из непрерывности векторное поле и имеет конечную С0 -норму на всем промежутке существования решения [0,С] x T . Далее воспользуемся оценкой (18) из [2] для ряда (5). Тогда в качестве мажоранты для (5) можно взять величину (п-1)||и||2С0 ||и(0)||2.
Следствие. В условиях теоремы 2 векторное поле
w(t) = и0 (t)e0 + Укф0 ик (t)/ \h\Ve
сходится по норме Ь2 к Ж(С) при 1 ^ С.
Введем оператор Т : Уц(Т) ^ УДТ”):
Т | (кег А)Д- = (-Л)-’72, Т | (кег А) = И .
Из теоремы 2 следует сильная (в Ь2 -норме) сходимость при 1 ^ С, но не для самого решения и(1), а для м(1) = Ти(1).
4. Приложения к уравнениям Навье-Стокса
Для уравнений Навье-Стокса используем форму записи
— = аёи (и) + уАи (6)
Э1
В качестве ортонормированного базиса удобно выбрать векторные поля, являющиеся собственными для оператора Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии М (области течения несжимаемой жидкости) собственными числами -Хк. Тогда уравнения на коэффициенты разложения решений уравнений Навье-Стокса приобретают вид:
дик/ д1 + ^к ик = - < Sek (и),и >, (7)
а для их производных имеют место оценки:
\дик/д + ^к ик \<\^ек \\\\и(0)\\2 (8)
Здесь надо учесть, что инвариантная на решениях уравнений Эйлера метрика не возрастает (как правило, убывает) на решениях уравнений Навье-Стокса. Поэтому из ограниченности нормы ||и|| следует ограниченность модулей коэффициентов |ик|. Отсюда следует для заданного к ограниченность модуля производных |дик / д1\ коэффициентов ряда (1) решения (6). В частности, коэффициент ик удовлетворяет условию Липшица с нормой, не зависящей от времени 1. Поэтому для решений уравнений Навье-Стокса справедлив аналог теоремы 1.
5. Поправка физической постановки в работе [5]
В заключение остановимся на работе [5]. Сам характер преобразований, проводимых с операторами коприсоединенного и присоединенного действия в [5] как на бездивергентных векторных полях, так и
на произвольных, показывает, что они ведутся в алгебре Ли всех векторных полей на многообразии.
Поэтому преобразования, используемые в [5], относятся к геодезическому потоку на группе всех диффеоморфизмов компактного риманова многообразия, а не к подгруппе сохраняющих объем диффеоморфизмов. Фактически в [5] исследуются уравнения Эйлера (2) в алгебре Ли всех векторных полей с метрикой кинетической энергией и получающееся из (2) путем добавления диссипативного члена урав-Эи
нение — = аёи (и) + уАи . Это делает необходимым квалифицировать физическое описание исследуе-
Э1
мой в [5] сплошной среды как сжимаемой жидкости. С учетом сделанной поправки выводы этой работы следует отнести к классу течений жидкости, сохраняющих элемент объема компактного риманова многообразия, но циркулирующих в объемлющей среде сжимаемой жидкости. Можно также при помощи формализма, развитого в [5], самостоятельно исследовать течения сжимаемой жидкости (например, поведение решения и(1) уравнений Эйлера в алгебре Ли всех векторных полей на компактном римановом многообразии в такие моменты времени 1, когда векторное поле и(1) становится бездивергентным).
6. Выводы
Выделен класс бесконечномерных групп Ли О с алгеброй Ли g , снабженной метрикой, для которых операторы Se имеют ограниченную норму. Установлено, что решения уравнений Эйлера геодезических лево- (или право-) инвариантной метрики сохраняют принадлежность Ь2 пополнению g как топологиче-
ского векторного пространства со скалярным произведением в момент времени появления особенности (т.е. в момент времени выхода решения за пределы промежутка, гарантированного локальной теоремой существования и единственности). Таким образом, в граничной точке действия локальной теоремы существования и единственности может реализоваться далеко не любой тип особенности (у коэффициентов разложения решений всегда существуют пределы, ряд разложения решения не может расходиться в этой точке).
Указанные свойства переносятся также на дифференциальные уравнения, получающиеся из уравнений Эйлера добавлением эллиптического дифференциального оператора (например, на уравнения Навье-Стокса).
ЛИТЕРАТУРА
1. Лукацкий А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды // Научный Вестник МГТУ ГА, № 100, 2006.
2. Лукацкий А. М. Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 114, 2007.
3. Арнольд В. И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦМНО УРСС, 2000.
4. Ebin D.G., Marsden J.: Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid. Ann. of Math. 92 (1970), p. 101-163.
5. Лукацкий А. М. Групповой подход к получению законов сохранения несжимаемой жидкости // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 114, 2007.
ON THE PROBLEM RESOLVING EULER EQUATIONS ON AN INFINITE LIE GROUPS
Lukatsky A.M.
The representation of the Euler equations solutions as geodesic flows on an infinite dimensional Lie group, are considered in the article. In this concepts it is established the properties of solutions in limit point that gives by the local existence and uniqueness theorems.
Сведения об авторе
Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор физикоматематических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 75 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.
