Групповой подход в динамике сплошной среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.46

ГРУППОВОЙ ПОДХОД В ДИНАМИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ1

А.М. ЛУКАЦКИЙ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

В статье рассматривается подход к решению уравнений математической физики посредством их представления в виде геодезического потока на бесконечномерной группе Ли. В этих терминах разбираются аспекты, связанные с продолжением решений на бесконечность во времени.

Введение

Развитие теории уравнений математической физики, приемов и методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю: отправляясь от законов динамики Ньютона, включая теорию статических электрических полей, развитую Максвеллом до теории электромагнитного поля, а также теорию теплопроводности, развитую в трудах Фурье, а затем доведенную в работах Планка, Фоккера, А.Н. Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике (появление формализма Гейзенберга, вторичного квантования по Фоку) - вот далеко не полный перечень этапов этой истории.

Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти XX-го столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений:

- повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка 10-13 - 10-15 сек) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка 1011 - 1013 электронов);

- наряду с этим задачи макроэкологии, космологии требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106 лет и выше.

Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления новых решений уравнений математической физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных выше проблемах.

1. Общая постановка задачи

В настоящей работе разбирается подход к построению решений уравнений математической физики, а также к исследованию устойчивости их решений, основанный на погружении пространства состояний описываемого физического объекта (конфигурационного пространства) в бесконечномерную группу Ли G с алгеброй Ли g. Впервые такой подход был применен Арнольдом к изучению динамики идеальной жидкости [1]. В качестве G обычно выступает группа Ли-Фреше [2]. Группа Ли-Фреше это аналог конечномерной группы Ли. G является бесконечномерным многообразием с атласом из окрестностей заданного топологического векторного пространства V. Топологическое векторное пространство V предполагается Хаусдорфовым и локально выпуклым. Кроме того, обычно рассматривают борнологические пространства. Напомним определение этого класса пространств. Подмножество D с V называется диском, если для любого вещественного a, -1< a <1 имеем aD сD . Топологическое векторное пространство V называется борнологическим, если диск D, поглощающий любое ограниченное множество M

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 0401-00647

(здесь под поглощением понимается существование такого a > 0, что M с aD ), является окрестностью нуля.

Пусть V, W- борнологические пространства, UcV .

Отображение f : U®W называется n-дифференцируемым в точке xeU, если существуют такие k-линейные отображения Dkf : Vх...xV®W , что если ввести:

Fk (v) = f (x + v) - f (x) - Df (x)(v) -... - Dkf (x)(v,..., v), то Gk (v)=Fk (tv) l(tk ^ t > 0 непрерывна на (0,v) для k=1,... , n.

Предполагается, что групповое умножение в группе Ли-Фреше G и взятие обратного эле-

о. о. /"»да

мента в некоторой окрестности единицы при переходе к локальной карте в нуле задаются C -отображениями.

Более продвинутые исследования на группах диффеоморфизмов позволила провести введенная Х. Омори структура ILH-группы Ли. Напомним определение ILH-группы Ли [3]. Пусть имеется последовательность гладких гильбертовых многообразий Gs, где s > s0 и топологическая группа G0. Понятие ILH-группы Ли предполагает , что:

(i) G0 является обратным пределом Gs, s ® ¥ ;

(ii) каждое из Gs является топологической группой;

(iii) Gs+1 с Gs, вложение Gs+1 ® Gs является гладким отображением;

(iv) отображение (g, h) ® gh является C отображением Gs+1 х Gs ® Gs для любого j > 1;

(v) отображение g ® g-1 является C отображением Gs+1 ® Gs для любого j > 1.

Из-за отсутствия необходимых теорем анализа в топологических векторных пространствах (например, теоремы об обратной функции) структуры групп Ли-Фреше и ILH-групп Ли не позволили получить для этих категорий результатов, аналогичных конечномерной теории Ли. В частности, лиев экспоненциал для групп Ли-Фреше не является локально биективным,[4,5]. Однако техника ILH-групп Ли позволила получить локальные теоремы существования и единственности для эволюционных уравнений [6].

В физических приложениях элементы алгебры Ли g описывают инфинитезимальные перемещения объектов конфигурационного пространства (группы G). Здесь мы ограничиваемся рассмотрением такого класса физических объектов, временная эволюция которых (кривая в группе G) подчинена закону сохранения, описываемому квадратичной формой < , > от их ин-финитезимальных перемещений (т.е. заданной в алгебре Ли g). Квадратичную форму < , > можно либо правыми, либо левыми сдвигами разнести по всей группе G (выбор типа разнесения делается из физических соображений, например, для динамики несжимаемой жидкости выбираются правые сдвиги для задачи динамики ферромагнетиков - левые). На группе G с разнесенной сдвигами квадратичной формой имеется риманова структура и можно построить связность Леви-Чивита ([6]). Это дает возможность интерпретировать решения соответствующего эволюционного уравнения как геодезический поток на бесконечномерном римановом многообразии.

Ниже мы будем использовать следующие обозначения. Для произвольного элемента ae G обозначим через Inta - внутренний автоморфизм группы G (Intafxj = a x a ~1 ). Ему соответствует присоединенное действие группы G в алгебре Ли g, Ada, которое для краткости будем обозначать Ada(x) = ax. Инфинитезимально этому действию соответствует присоединенное действие алгебры Ли g на себе ad x (y) = [x,y] , см., например, Винберг Э.Б., Онищик А.Л. [7]. Введем также оператор коприсоединенного действия ad u* (v), сопряженный к ad u (v) в смысле вышеопределенной метрики:

<ad u * (v), w > = < v, ad u w > (1)

Уравнения Эйлера геодезических для лево- (право-) инвариантной метрики на G имеют

вид:

Зи

— = аёи * (и) (- аёи (и)) (2)

дt

Здесь мы рассматриваем такие физические объекты, временная эволюция которых описывается геодезическим потоком на группе Ли G.

В случае, когда группа Ли G конечномерна, но не обязательно компактна, геодезический поток лево- (право-) инвариантной метрики на G полон (решения продолжаются во времени на бесконечность). Это следует из наличия транзитивной группы изометрий (действие G на себе левыми (правыми) сдвигами) у G, как риманова многообразия (см. Комраков, [8], с. 232). Для бесконечномерных групп Ли вопрос о полноте геодезического потока является самостоятельной серьезной проблемой. Например, для конфигурационного пространства динамики несжимаемой жидкости это проблема продолжения решений уравнений Эйлера на бесконечность во времени, которая положительно решена для двумерной динамики (см., например, Ладыженская [9]) и не решена в размерностях три и выше.

Решения уравнений Эйлера (2) на бесконечномерной группе Ли G с алгеброй Ли g обладают свойством симметрии, которое естественно назвать автомодельностью. Если и^) с g решение (2), то Аи(А^ также решение (А е Я). Это проверяется непосредственной подстановкой в (2). Отсюда следует, что множество начальных условий, для которых уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости продолжается во времени на бесконечность (в многомерном случае), образует конус в пространстве бездивергентных векторных полей на компактном ориентированном римановом многообразии М (области течения жидкости).

2. Исследование классов решений уравнений математической физики, продолжаемых на бесконечность во времени

В уравнениях математической физики одной из ключевых является проблема продолжения решения на бесконечность во времени ([10],[11]). При групповом подходе проблема продолжения возникает, когда группа G бесконечномерна. В [12] для уравнений динамики несжимаемой жидкости предлагался прием построения решений путем разложения их в формальные степенные ряды.

Построим формальный степенной ряд для уравнений (2). Для определенности рассмотрим случай левоинвариантной метрики. Будем искать решение (2) с начальными условиями и(0) в виде:

и = Е (3)

к=0

Подставив (3) в (2) для левоинвариантной метрики, получим следующие выражения для коэффициентов ик:

ио = и(0); и.1 = (аё ио)*(ио) ; и2 = ((аё ио)*(и.) + (аё и.)*(ио))/2;

- (4)

1 к-1

ик = т Е (аёи*)* ик-1-*

к 5=0

Здесь важным является вопрос о сходимости ряда (3). Рассмотрим следующий важный класс бесконечномерных алгебр Ли - нормированные алгебры Ли. Напомним определение

Алгебра Ли g является нормированной алгеброй Ли, если обладает нормой || || и существует такая константа C>0, что для любых u,v имеем:

11\u,v]11 < C||u ||v|| (5)

Предложение 1. Пусть алгебра Ли g является нормированной в смысле метрики, определяемой инвариантным скалярным произведением. Тогда оператор коприсоединенного действия удовлетворяет тому же ограничению, что и оператор присоединенного действия:

|| [(adu)*v] || < C||u|| ||v||

Доказательство. Возьмем произвольный элемент w, ||w|| =1. Имеем:

|<(adu)*v , w>| = |< v , [u,w]>| < || v || ||[u,w]|| < || v || C||u|| ||w|| < C||u|| ||v||

Отсюда следует требуемое неравенство.

Теорема 1. В условиях предложения 1 имеем:

1. Ряд (3) абсолютно сходится на промежутке (-в, є), где e =-----1---;

C II u0 И

2. Решения уравнений Эйлера (2) продолжаются во времени на бесконечность.

Доказательство. Из (4) имеем ||u1 || < С || u0 || || u0|| . Покажем индукцией по k, что:

II II ґ^к и ||k+1

||Uл || < С || щ ||

Для к=1 это верно. Если это верно для l< к , то для l< к из (5) имеем:

|| щ || = || 1 ((ad u0)*(uk_i) +...+ (ad uk_i)*(u0))/k|| < 1 (C || u0|| Ck1 ||u0||k + кк

+... C Ck1 ||u0||k|| u0||) = Ck || u0 ||k+1 .

Из полученной оценки норм коэффициентов ряда (3) следует требуемая оценка радиуса сходимости степенного ряда, что доказывает 1.

Для доказательства 2 введем величину:

1 = sup (S| u(t)ñóu año áóáó íáeí ó ádáaeá(S,S)).

Очевидно X > є. Пусть X < ю. Возьмем т = X - в/2. Решение (2) с начальными условиями u0 существует при t= т. Если теперь стартовать при t= т с начальными условиями u(t), то так как ||u0|| = || u(t)||, можно продлить решение на промежуток [т,т+в) . Так как т+є = X + є/2 > X, то получаем противоречие с конечностью X.

Далее для элемента u є g через g*(u) будем обозначать коалгебру, порожденную элементом u, т.е. такое минимальное подпространство в g, что для любых элементов w, vє V (u) имеем adw" (v)єV(u) . Геодезическая с начальными условиями u не может выйти за пределы пространства g*(u).

В [12] формулировались достаточные условия сходимости формальных степенных рядов для задачи динамики жидкостей. Такого типа условия можно сформулировать в более общем виде в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть на группе Ли G имеется уравнение геодезических лево-(право-) инвариантной метрики с начальными условиями u0. Если коагебра g*(u0) , порожденная элементом u0, конечномерна (dim g*(u0) < ю) , то решение с начальными условиями u0 продолжается во времени на бесконечность.

Доказательство. Метрика в алгебре Ли g индуцирует структуру евклидова пространства в g*(u0). Рассмотрим для определенности случай левоинвариантной метрики. Выберем в g*(u0) ортонормированный базис e1,^,en и достроим его до ортонормированного базиса {ek} в g. Для 1 <ij <n имеем:

n

ad Єі * (ej ) = 2 cuk ek

Cj

k=1

Представим u = ^ uk (t )ek

k

Тогда: щ = ^ ш(0)ек

, ек

к=1

Уравнение геодезических левоинвариантной метрики в алгебре Ли g индуцирует на подпространстве §*(ио) систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Эик к /і

— = ^ с1} и ш, к=1^..,п.

Эг і, }=1

Так как форма <и,\> левоинвариантной метрики сохраняется на решениях геодезического уравнения, то от системы на евклидовом пространстве ^*(ио) можно перейти к системе на п-мерной сфере £п. Известно, что на компактном многообразии решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими (в нашем случае квадратичными) коэффициентами продолжаются по времени на бесконечность. Отсюда следует требуемое утверждение.

В задачах динамики сплошной среды можно привести два важных примера использования группового подхода.

1. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости.

В качестве О берется группа диффеоморфизмов БіЇЇ^(М), сохраняющих элемент объема компактного риманова ориентированного многообразия М. Алгеброй Ли группы БіЇЇ^(М) является пространство ¥м(М) бездивергентных векторных полей с операцией- скобкой Пуассона. В качестве метрики выступает кинетическая энергия:

< и, V >= | (ш(х), у(х))ёх,

М

задающая правоинвариантную метрику на О ([1], [10], [11], [15]).

2. Уравнения Ландау-Лифшица [14] нелинейной динамики намагниченности ферромагнетика:

В качестве О берется группа токов О=О(М,$0(3)), гдеМ- 3-х мерное ориентируемое рима-ново многообразие (здесь рассматривается уравнение Ландау-Лифшица на трехмерном многообразии, в отличие от одномерного [15]).

Алгеброй Ли является алгебра токов g=g(M,so(3)) с операцией коммутирования т х п, где х

- поточечное векторное произведение в касательных пространствах ТхМ. Уравнение Ландау -Лифшица описывает временную эволюцию ферромагнетика кривой т(г) (вектора намагниченности) в алгебре Ли и имеет вид:

Эт

— = т х Рт,

Эг

здесь т - гладкое векторное поле на М, Р - дифференциальный оператор, представимый в виде Р = N + р где N - эллиптический дифференциальный оператор (часто используется оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях А), а р - оператор проекции пространства векторных полей на заданное одномерное подпространство:

7рт(х)) = Ъ(т(х),е3) е3,

где Ъ > 0. Оператор р отвечает за член анизотропии в уравнении Ландау-Лифшица.

Для определенности будем считать, что эллиптический оператор N отрицательно определен. В качестве метрики выступает

< и, V >=- | (ш(х), ^(х))ёх

М

Оказывается, что решения уравнения Ландау-Лифшица не являются геодезическими для стандартной группы токов с этой метрикой.

Здесь удобно заменить Р на обратимый оператор, получив при этом эквивалентное эволюционное уравнение. Этого можно достичь, если заменить Р на оператор Ра = Р - а Ы, где а -

скаляр. Доказывается, что при a > b оператор Pa обратим. Соответственно, левоинвариантная риманова метрика приобретает вид:

<m¡,m2> = - J (m1(x),Pam2(x))dx.

M

В [14] автор предложил рассмотреть в алгебре токов нестандартную скобку Ли:

[mi, m2] = Pa1 (Pa mi XPa m2)

Вычислим для нестандартной скобки Ли оператор коприсоединенного действия. Имеем:

<ad mi(m2), m3 > = - J (Pa1 (Pa mi XPa m2) , Pamß(x))dx =- J (Pa mi XPa m2, mß(x))dx

MM

= - J (Pa mi XPa m2 , m3(x))dx= J (Pa m2 , Pa mi X m3(x))dx

MM

= J (Pa m2, Pa (Pa- (Pa mi XPa (Pa- m3(x)))))dx = - <m2, Pa ad mi(Paim3 )> .

M

Отсюда получаем:

(ad m)* = -Pa ad miPa'i Уравнения Эйлера (2) для левоинвариантной метрики приобретают вид:

—^ = (ad m)*(m) = - Pa ad m Pa-i(m) = - Pa Pai (Pa m XPa Paim) = m X Pam = m X Pm dt

Итак, мы привели уравнение Ландау-Лифшица к виду уравнения Эйлера геодезических левоинвариантной метрики.

Нестандартной скобке Ли в алгебре токов соответствует бесконечномерная группа Ли, которую будем называть нестандартной группой токов. Эту группу удобно определять через ее присоединенное действие в алгебре токов. Присоединенное действие стандартной группы токов

- это поточечное присоединенное действие ортогональной группы SO(3) в алгебре Ли кососимметрических матриц so(3), которую естественно отождествить в точке x с касательным пространством TxM. Условимся обозначать через:

ad_s mi(m2)= mi x m2 - стандартный оператор присоединенного действия в алгебре токов. Имеется изоморфизм алгебр Ли

Pa ad mi(m2) = (ad_s (Pa mi)) (Pa m2)

Непосредственно проверяется, что также выполняется Pa (ad mi)k(m2) = (ad_s (Pa mi )f(Pa m2)

Если теперь обозначить через exp_s: g(M,so(3)) ^ G(M,SO(3)) лиев экспоненциал стандартной группы токов (это поточечный лиев экспоненциал ортогональной группы SO(3)), а через exp - нестандартной группы токов, то из последнего соотношения получаем:

Pa(exp mi) (m2) = exp_s(Pa mi) Pa m2 .

Заключение

В работе для общей групповой постановки задачи математической физики выявлены ситуации, когда решения соответствующих эволюционных уравнений продолжаются во времени на бесконечность. При этом удается оперировать свойствами алгебры Ли группы, задающей конфигурационное пространство физической задачи. Выявлен класс бесконечномерных групп Ли, обладающий свойством полноты геодезического потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

2. Leslie J., Some integrable subalgebras of the Lie algebras of infinite dimensional Lie groups, Trans. A,M.S., vol.333, 1992, p. 423-443.

3. Omori H., Groups of diffeomorphisms and their subgroups, Transactions of the American Mathematical Society, 1973, vol. 179.

4. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. - М.:, Мир, 1975.

5. Michor P.W., Kriegl A. The convenient setting for real analytic mapping, Acta Math., 1990, vol. 165, no. 1-2.

6. Ebin D.G., Marsden J.: Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid. Ann. of Math. 92 (1970), 101-163.

7. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. - М.: УРСС, 2-ое изд.,

1995.

8. Комраков Б.П. Структуры на многообразиях и однородные пространства. - Минск, Наука и техника, 1978.

9. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1970.

10. Лукацкий А.М. О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 64, 2003.

11. Лукацкий А.М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. Вып. 5. 2003.

12. Лукацкий А.М. О подходе к решению уравнений гидродинамики трехмерной несжимаемой жидкости разложением в формальные степенные ряды // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 64, 2003.

13. Дынкин Е.Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы// УМН, т.5, 1950, № 1.

14. Lukatsky A.M., On the geometry of current group and a model of the Landau - Lifschitz equation // Lie groups and Lie Algebras. Dordrecht: Kluwer Ac. Publ., 1998.

15. Kambe T. Geometrical theory of fluid flows and dynamical systems. // Fluid dynamics research. 2002, vol.30, p.

THE GROUP APPROACH IN THE DYNAMICS OF THE CONTINUOUS MEDIUM

Lukatsky A.M.

In this paper the representation of mathematical physics equations as a geodesic flow on infinite Lie group is considered. In these concepts the aspects of prolongation of solutions on the infinity are investigated.

Сведения об авторе

Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 74 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.