Групповой подход к исследованию эволюционных характеристик сплошной среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пропустите 2 пустые страницы

Пропустите пустую страницу

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№ 140

УДК 519.46

ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Рассматривается представление уравнений динамики сплошной среды в виде геодезического потока на бесконечномерной группе Ли. В этих терминах исследуются уравнения Эйлера идеальной жидкости (сжимаемой и несжимаемой). Получены эволюционные характеристики интегралов от степеней кинетической энергии на решениях уравнений Эйлера. Часть результатов обобщается на вязкую жидкость.

Ключевые слова: уравнения Эйлера, идеальная жидкость, группа диффеоморфизмов.

В [1] сформулирована общая постановка, позволяющая представлять уравнения математической физики в виде геодезического потока на некоторой группе Ли О, с алгеброй Ли д , снабженной лево- (или право-) инвариантной метрикой < и, V >. В [2] этот подход развивается для задач динамики несжимаемой жидкости.

В [3] отмечалось необходимость внесения поправок в постановку [4], что, в частности, проделано в настоящей работе.

Для уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости в качестве О берется полная группа диффеоморфизмов БШ:(М). Алгеброй Ли группы БИ (М) является пространство Vи (М) гладких векторных полей с операцией — скобкой Пуассона. В качестве метрики выступает кинетическая энергия:

задающая правоинвариантную метрику на О.

Для случая идеальной несжимаемой жидкости в качестве О берется группа диффеоморфизмов БШ:^(М), сохраняющих элемент объема ориентированного риманова многообразия М. Алгеброй Ли группы БШДМ) является подалгебра У^(М) бездивергентных векторных полей. В качестве метрики также выступает кинетическая энергия, задающая правоинвариантную метрику на О. Нам будет удобна форма записи уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости, принятая в [5], с оговоркой, сделанной в [1,2], т.е. с коммутатором в алгебре Ли векторных полей, отличающимся от используемого в [5] знаком. Тогда уравнения Эйлера приобретут вид:

где А — оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях; V — вязкость несжимаемой жидкости.

А.М. ЛУКАЦКИЙ1

1. Введение

(1)

— = ас1 и* (и).

дг у ’

Соответственно уравнения Навье-Стокса ([8]) будут иметь вид:

^ = ад. и* (и) + и А и,

(2)

(3)

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 07-01-00230

2. Случай идеальной сжимаемой жидкости

Рассмотрим систему уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости на ориентированном римановом многообразии М. Здесь М либо компактное многообразие с краем (тогда надо рассматривать векторные поля, обращающиеся в ноль на границе дМ, [10]), либо Мп (в последнем случае необходимо ограничиться рассмотрением векторных полей, быстро убывающих на бесконечности со всеми производными,[6]). Для решений уравнений Эйлера имеется закон сохранения кинетической энергии жидкости I(и) =< и, и >. Исследуем также поведение функционала:

1к (и) = (и(х),и(х))к 4ц,(х). (4)

Ум

Лемма 2.1. Пусть и(Ь) решение уравнений Эйлера идеальной жидкости на ориентированном римановом многообразии М одного из вышеописанных классов. Тогда функционал (4) для натурального к ^ 2 имеет следующую производную:

—1к{и) = —2(к — 1) сИу и(и,и)кс1ц,(х) (5)

4 ,/м

Доказательство. Преобразуем выражение: ^/^(и). Имеем С Г 4

—1к{и) = 2к (—и(х),и(х))(и(х),и(х))к~1(1ц,(х) = сИ '] м

2к ^ и*(и), (и, и)к-1и)4^(х) =

м

Заметим, что Поэтому имеем

2Н (и, ad и((и,и) и))<іц,(х)

,/м

ad и((и, и)к-1и) = и((и, и)к-1)и

1к(и) = 2к [ (и,и((и,и)к~г)и)(1ц,(х) = ш 3 м

2к (и, и)и((и, и)к-1)ф(х) =

3м

2к(к — 1) / (и, и)к-1и((и, и))ф(х) =

м

2(к — 1) / и((и, и) )ф(х)

м

Введем далее на М гладкую функцию ^(х) = (и((х), и(х))к . Заметим, что ^ обращается в ноль на границе дМ. Пусть М = ^* V*— некоторый атлас. Используя разбиение единицы ([11], с. 19), векторное поле и можно представить в виде

и = > ик,

к

.к

где ик — векторное поле с компактным носителем в координатной окрестности Vк, уже не обязательно бездивергентное, причем в каждой точке отлично от нуля лишь конечное число векторных полей ик. Если д = {д*-}— метрический тензор римановой метрики, то в локальных координатах (х1, ...,хп) имеем:

с1[л(х) = \Zdetgdx.

Для произвольного гладкого векторного поля ад с компактным носителем в некоторой локальной карте V, используя технику интегрирования по частям в Мп и формулу для дивергенции векторного поля в локальных координатах ([12], с.422), получаем:

[ ги(Р)(1іі(х) = [ 'S^Wj-^(F)^/dёtgdx =

.'ы .'у 3

( 1 д

1Г Е =

3

/ (—div(w)Fd^(x).

ы

Отсюда следует, что

і(Г)ф(х) = / )^(х) =

Зъ& г

divnгF = (—divп)Fd^(x),

■УМ i -УМ

и получается требуемое утверждение.

Следствие 2.1. Для решений уравнений Эйлера и(Ь) в точках т, где векторное поле и(т) становится бездивергентным, функционал /к(и^)) имеет нулевую производную по £. В частности, если решение и(^) состоит из бездивергнентных векторных полей, то /к (и) сохраняется на таком решении.

Следствие 2.2. Пусть многообразие М — одномерно. Тогда

г4(«) = О,

т.е. /к (и) сохраняется на решениях уравнений Эйлера.

Доказательство. В одномерном случае имеем либо М = 51, либо М = М1, и можно ввести координату ф на М (в случае 51 взятую по модулю 2п). Тогда векторное поле можно представить в виде и = и(ф)щ. В одномерном случае формула (5) приобретает вид

5й<“) = ~2(к ~1) 1,= -ЩгТ) /м 1ф^к+1)ёф = °-

3. Случай идеальной несжимаемой жидкости

Рассмотрим теперь систему уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости. Исследуем поведение функционала (4) для этого случая. Введем операторы ортогонального проектирования:

Ри : V(М) ^ У^М),^ = Ы — р,.

Лемма 3.1. Пусть и(Ь) решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на ориентированном римановом многообразии М одного из вышеописанных классов. Тогда функционал (4) для натурального к ^ 2 имеет следующую производную:

^-1к(и) = -2к [ (и,[щд^((щи)к~1и)\(1ц,(х). (6)

^ им

Доказательство. Имеем

7 /» 7

—Ік(и) = 2к (—и(х),и(х))(и(х),и(х))к~1й[і(х) =

іі .)м “І

2& / ^ и*(и), (и, п)к 1и)і^(ж) =

м

2& / (и, ad и(р^((и, и)к 1и))і^(ж) =

■УМ

2к / (и, adи((Ы — д^)((и, и)к-1и))^(х).

М

Здесь и происходит переход, который проходит для потока сжимаемой жидкости, но не проходит для несжимаемой. Перебрасывать в скалярном произведении слева направо оператор ad и* в оператор ad и можно, когда справа стоит бездивергентное поле, потому что здесь подразумевается оператор коприсоединенного действия в подалгебре бездивергентных векторных полей, а не в полной алгебре векторных полей на многообразии. Далее к составляющей

/ (и, ad и((и,и)к-1и)ф(х)

М

применимы выкладки из доказательства леммы 2.1, тогда из бездивергентности векторного поля и следует, что эта составляющая равна нулю, и получаем утверждение леммы.

Оставшаяся ненулевая составляющая - это векторное поле д^((и, и)к-1и), которое гради-ентно. Обозначим

д^((и,и)к-1и) = V/. (7)

Пусть А — оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях.

Лемма 3.2

-/ = и((и,и)к-1). (8)

Доказательство. Имеем

А/ = divV/ = divqJU((и, и)к-1и) = div((u, и)к-1и) = и((и, и)к-1).

Ограничимся далее случаями локально евклидового М, т.е. М = Тп (п-мерный тор) , Мп и область в Мп (в последнем случае рассматриваются векторные поля, обращающиеся в ноль на границе области) . Пусть х1, ..,хп — стандартные координаты на М (в случае Тп взятые по модулю 2п). Имеем:

[и, д^((и, и)к-1и)] = и(^) — V/(и). (9)

Здесь выражения u(V/) и V/(и) зависят от выбора локальных координат и предпола-

гается, что взяты в локально евклидовых координатах х 1, ..,хп.

Лемма 3.3.

/ (и, V/(и))ф(х) = 0 (10)

М

и

/'(и,и(У/))ф(а:)= [

■УМ -УМ:- их3 °хг

Доказательство. Имеем

[ (и, Vf (u))djj,(x) = [ y^ ^-^-Uidfijx)

I м Jm yj dxj dxj

1, j

E JTu^dn(x) - f Af(u,u)d/j,(x).

IM ~J dxJ dxj JM

Отсюда

и, далее

'M * JM

\k-1

/ А/(u, u)d^(x) = / u((u, u) )(u, u)d^(x)=

' м Jm

—j— [ u((u, u)k)dji{x) = 0. k Jm

Для доказательства (11) имеем

I 0, w(Vf ))dfi(x) = I y^UiUj 91 dn(x).

Jm Jm : j dxidxj

ь , j

Далее дважды применяя интегрирование по частям и используя условие divu = 0, получаем (11).

Пусть теперь р— давление жидкости. Используя стандартный вид уравнений Эйлера на локально евклидовых многообразиях

^ + и{и) + Vp = О (12)

и, применяя оператор div к обеим частям (12), получаем:

(13)

i j

Теперь можно сформулировать итоговый результат о производной исследуемого функционала.

Теорема 3.1. Для решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости имеем

^-Ik(u) = 2k [ ри((и, u)k~l)dfi(x) = — 2k f u(p)(u,u)k~1d/j,(x). (14)

Jm Jm

Доказательство. Используя (6),(10) и (11) имеем

jth(u) = 2k J (Ap) fd/j,(x).

Из симметричности оператора Лапласа-Бельтрами в смысле метрики (1) и (8) получаем нужное утверждение.

Следствие 3.1. Если u— векторное поле с постоянным давлением (р = const), то для идеальной несжимаемой жидкости функционал Ik (u) имеет нулевую производную.

Пример 3.1. Рассмотрим бездивергентное векторное поле на трехмерном торе ([13]):

u =(a,b,/ (ф1,ф2)). (15)

Имеем

бездивергентное векторное поле, откуда течение идеальной несжимаемой жидкости с полем скоростей и имеет давление, постоянное в области течения жидкости. Решением уравнений Эйлера для таких начальных условий будет и = (а, Ь, f (ф — а£, — &£)), [13]. Таким образом,

и на решении уравнений Эйлера в любой момент времени имеем поле скоростей с постоянным давлением. Непосредственно можно убедиться, что величины їй (и) сохраняются на этом решении.

Здесь также, как и в п.3, мы ограничимся локально евклидовым случаем. Рассмотрим уравнения Навье-Стокса в форме (3) и исследуем поведение функционала (4).

Теорема 4-1. Для вязкой несжимаемой жидкости имеем

преобразуется также, как и при доказательстве теоремы 3.1, и мы получаем (16).

Следствие 4.1. Если u— векторное поле с постоянным давлением (р = const), то для вязкой несжимаемой жидкости функционал Ik(u) имеет производную:

Заметим, что векторное поле (15), взятое в качестве начальных условий для уравнений Навье-Стокса, дает решением течение жидкости, имеющее в каждый момент времени давление, постоянное в области течения жидкости, [13].

Ранее класс течений идеальной несжимаемой жидкости с постоянным давлением в другом аспекте появился в работах Ж.Мисиолека, [14]. А именно, если поле скоростей жидкости имеет постоянное давление, то секционная кривизна группы сохраняющих объем диффеоморфизмов по всем двумерным направлениям, проходящим через это векторное поле, неположительна, [15].

Таким образом, представление уравнений динамики жидкости через оператор копри-соединенного действия позволило исследовать поведение интегралов от всех натуральных степеней скалярного квадрата поля скоростей жидкости. Выявлены физические ситуации, когда эти интегралы сохраняются на решении уравнений Эйлера. Это:

- одномерная идеальная сжимаемая жидкость;

- решения уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости, имеющие бездивергентное поле скоростей;

4. Случай вязкой несжимаемой жидкости

d_

dt

Ik(u) = 2k / (pu((u, u)k 1) + v(Au, (u, u)k 1u))d^(x)

м

(l6)

Доказательство. Из (З) имеем

Ik(u) = 2k / (ad u*(u) + vAu, (u, u)k 1u)d^(x).

м

Далее составляющая

б. Заключение

- решения уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на локально евклидовых многообразиях, имеющие давление, постоянное в области течения жидкости (например, решения типа "бегущей волны”).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лукацкий А.М. Групповой подход в динамике сплошной среды // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 100, 2006, с. 114 - 121.

2. Лукацкий А.М. Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 114, 2007, с. 42 - 49.

3. Лукацкий А.М. К проблеме разрешимости уравнений Эйлера на бесконечномерных группах Ли // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 120, 2007, с. 134 - 137.

4. Лукацкий А.М. Групповой подход к получению законов сохранения несжимаемой жидкости // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 114, 2007, с. 104 - 107.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000.

6. Лукацкий А.М. О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 91, 2005, с. 36 - 47.

7. Ebin D.G., Marsden J. : Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid // Ann. of Math., vol. 92, 1970, p. 101 - 163.

8. Смоленцев H.K. Кривизна классических групп диффеоморфизмов // Сибирский Математический Журнал, т. 35, 1994, № 1, с. 169 - 176.

9. Kambe T. Geometrical theory of fluid flows and dynamical systems //Fluid Dynamics Research, vol. 30, 2002, p. 331-378.

10. Темам. Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М: Мир, 1981.

11. Зуланке Р., Виттен П. Дифференциальная геометрия и расслоения. - М: Мир, 1975.

12. Хелгассон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. - М: Мир, 1964.

13. Лукацкий А.М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости// Прикладная Математика и Механика, 2003, т. 67, Вып. 5, с. 784 - 794.

14. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦНМО, 2007.

15. Misiolek G. Stability of flows of ideal fluids and geometry of the group of diffeomorphisms //Indian Univ. Math. J. vol. 42, 1993, № 1, p. 215-235.

A GROUP APPROACH IN ANALYSIS OF EVOLUTIONARY CHARACTERISTICS OF A CONTINUOUS MEDIUM

Lukatsky A.M.

The equations of the continuous medium dynamics are represented as a geodesic flow on the infinite dimensional Lie group. The Euler equations of an ideal (compressible as well as incompressible) fluid are investigated in these terms. The evolutionary characteristics of the integrals of the kinetic energy powers are obtained. Some of the results are generalized for a viscous fluid.

Сведения об авторе

Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г. р., окончил МГУ им М.В. Ломоносова (1972), доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 90 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.