CC BY
28
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№ 114
УДК 519.46
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ПОЛУЧЕНИЮ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1
А.М. ЛУКАЦКИЙ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором
Красильщиком И.С.
В статье рассматривается представление уравнений математической физики в виде геодезического потока на бесконечномерной группе Ли. В этих терминах устанавливаются новые законы сохранения уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости и получены выражения для эволюционных характеристик вязкой несжимаемой жидкости.
В [1] дана общая постановка, позволяющая получать решения уравнений математической физики в виде геодезического потока на некоторой группе Ли £?, с алгеброй Ли д , снабженной лево- (или право-) инвариантной метрикой < и,г >. В [2] этот подход развивается для задач динамики несжимаемой жидкости. Для уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости в качестве С берется группа диффеоморфизмов Иг//Й(М), сохраняющих элемент объема ориентированного риманова многообразия М. Алгеброй Ли группы Бг//^(М) является пространство У^(М) бездивергентных векторных полей с операцией — скобкой Пуассона. В качестве метрики выступает кинетическая энергия:
задающая правоинвариантную метрику на (7. Нам будет удобна форма записи уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости из [3] со следующей оговоркой. В [3] используется нестандартный коммутатор в алгебре Ли векторных полей, отличающийся от стандартного знаком. Ниже будет подразумеваться стандартный коммутатор векторных полей, используемый в [4-7], тогда уравнения Эйлера приобретут вид: ^ = ас1 и*(и) (вывод имеется в [6]). Соответственно уравнения Навье-Стокса [8] будут иметь вид: ^ = а Л и* (и) + и А и, где Д оператор Лапласа-Бельтрами на векторных полях, и— вязкость несжимаемой жидкости.
Рассмотрим теперь систему уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на ориентированном римановом многообразии М. Здесь М либо компактное многообразие с краем (тогда надо рассматривать векторные поля, обращающееся в ноль на границе дМ, [8]), либо Еп (в последнем случае необходимо ограничиться рассмотрением векторных полей, быстро убывающих на бесконечности со всеми производными, [4]). Для решений уравнений Эйлера
1. Введение
(1)
2. Законы сохранения идеальной несжимаемой жидкости
:Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 07-01-00230.
имеется закон сохранения кинетической энергии жидкости 1{и) =< и, и >. Однако справедливо и более сильное утверждение.
Теорема 1. Пусть и(€) решение уравнений Эйлера (Навье-Стокса) идеальной несжимаемой жидкости на ориентированном римановом многообразии М одного из вышеописанных классов. Тогда величина
/*(«)= / {и(х),и(х))к<1ц(х) (2)
Jм
для натурального к ^ 2 является :
1) первым интегралом для уравнений Эйлера;
2) имеет следующую производную
^-1к(и) = 2к[ Аи)<1ц(х)
М Ум
для уравнений Навье-Стокса.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай уравнений Эйлера. Преобразуем выражение: ^1к(и). Имеем
£/*(«) = 2к ¡М(^и(х),и(х))(и(х),и{х))к-Чф) =
2к /дДас! и*(и), (и, и)к~1и)(111(х) =
2к }м(и, ас! гг((гл, и)к~1и))с1ц(х).
Заметим, что
а ём((и,и)*:_1и) = «((и, и)к~1)и
Поэтому имеем
|4(и) = 2к ¡м(и,и((и,и)к~1)и)(1ц(х) =
2к 1м(и’ и)и((и> и)к~х)(111(х) =
2к{к - 1) /м(и, м))^(а;) =
2(* “ 1)/ми((и>и)*)(*Р(х)-
Введем далее на М гладкую функцию ^(а:) = и(х))к . Заметим, что Г обращается
в ноль на границе дМ. Пусть М = некоторый атлас. Используя разбиение единицы
[9, с. 19], векторное поле и можно представить в виде
и = ^Гик, к
где ик— векторное поле С компактным носителем В координатной окрестности Ук, уже не обязательно бездивергентное, причем в каждой точке отлично от нуля лишь конечное число векторных полей ик. Если д = {д’¿¿}— метрический тензор римановой метрики, то в локальных координатах (хх, ...,хп) имеем:
(1ц(х) = \Zdetgdx.
Для произвольного гладкого векторного поля и с компактным носителем в некоторой локальной карте V, используя технику интегрирования по частям вМ" и формулу для дивергенции векторного поля в локальных координатах [10, с.422], получаем:
¡М ™(-Р)Ф(ж) = /у £;-^§(Лу/Шд{1х =
- /V 7Щ ^ §(Щу/ЯеЬд)Гу/5ёЬд<1х =
/м(-(Иу(ь/)Р(1/л(х) = 0.
Отсюда следует, что
[ u(F)dfj,(x) = [ ^u\F)dn{x)-Jm Jm i
— I y^divu1 F — f (—divu)Fdfi(x) = 0.
J M j J M
В случае уравнений Навье-Стокса, используя предыдущие выкладки, получаем:
—Ik(u) = 2k f ((ad u)*(u) + и A и, (и, u)k~lu)d^{x). at JM
Далее заметим, что
f ((adu)*(w), (и, u)k~lu)dfi(x) = 0,
J м
откуда следует требуемое утверждение для уравнений Навье-Стокса.
3. Заключение
Таким образом, использование формы уравнений динамики несжимаемой жидкости через оператор коприсоединенного действия позволило установить, что для идеальной несжимаемой жидкости на решениях уравнений Эйлера сохраняется интеграл от всех натуральных степеней скалярного квадрата поля скоростей. Для уравнений Навье-Стокса установлен вид производной этого интеграла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лукацкий А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, № 100, 2006.
2. Лукацкий А. М. Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости // Статья в данном вестнике.
3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000.
4. Лукацкий А. М., О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика, № 91, 2005. С. 36-47.
5. Ebin D.G., Marsden J. : Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid. Ann. of Math. 92 (1970), 101-163.
6. Смоленцев H.K. Кривизна классических групп диффеоморфизмов // Сибирский математический журнал, № 1, 1994, Т.35. С. 169-176.
7. Kambe Т. Geometrical theory of fluid flows and dynamical systems. - Fluid Dynamics Research, 2002, vol. 30, 331-378.
8. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М: Мир, 1981.
9. Зуланке Р., Виттен П. Дифференциальная геометрия и расслоения. - М: Мир, 1975.
10. Хелгассон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. - М.: Мир, 1964.
A GROUP APPROACH TO THE CONSERVATION LAWS FOR AN
INCOMPRESSIBLE FLUID
Lukatsky A.M.
By means of the representation of mathematical physics equations as the geodesic flows on an infinite dimensional Lie group the existence of new conservation laws of Euler equations of an ideal incompressible fluid is established and new expressions for the evolution characteristics of an incompressible viscous fluid are obtained.
Сведения об авторе
Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 74 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.
