CC BY
44
2013
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 194
УДК 519.46
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОЛУЧЕНИЮ РЕШЕНИЙ В ГИДРОДИНАМИКЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
А.М. ЛУКАЦКИЙ1
Установлен класс решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости, получающийся из начальных условий действием однопараметрической подгруппы группы диффеоморфизмов и являющийся обобщением ранее полученных автором решений типа бегущей волны.
Ключевые слова: идеальная жидкость, уравнения Эйлера, связность Леви-Чивитты, ковариантная производная.
Пусть дано компактное ориентированное риманово многообразие М размерности п . М можно рассматривать как область течения идеальной несжимаемой жидкости [1]. Конфигурационным пространством этой физической задачи является группа Б1//(0(М) сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов М , изотопных тождественному. Ее алгебра Ли Уи (М) состоит
из бездивергентных векторных полей, которые интерпретируются как поля скоростей течений идеальной несжимаемой жидкости. Динамика течений жидкости при отсутствии внешних сил описывается уравнением Эйлера [1, с. 42] их полей скоростей на М .
р = о. (1)
Здесь w - поле скоростей идеальной несжимаемой жидкости; р - давление жидкости.
Течения идеальной несжимаемой жидкости являются геодезическими многообразия В1//0(М) с
правоинвариантной (в смысле групповой структуры) метрикой, задаваемой в единице группы формой кинетической энергии
(и, V) = Г < и(х), у(х) > ёи(х) . Jм
В [2; 3] описан класс решений уравнений Эйлера типа "бегущей волны". В частности, доказано [3, с. 133], что если V векторное поле действия компактной группы Ли, сохраняющей ри-манову метрику на М (т.е. киллингово поле римановой метрики), и стационарно (т.е. задает стационарное решение (1)) и выполнено условие У^ = 0, то решение уравнения Эйлера с начальными условиями
w = и + V (2)
имеет вид
wt = V+ехр(^), (и). (3)
Заметим, что в таком случае решение получается действием однопараметрической подгруппы группы диффеоморфизмов на начальные условия
wt = ехр(^), (и + V).
Здесь мы установим другие случаи, в которых решение уравнения (1) имеет аналогичный вид. В частности, мы откажемся от требования того, что V является векторным полем действия компактной группы Ли.
Используя известную формулу [4, с. 62] производной Ли векторного поля, имеем
^ г
—- = [ехр V]. (4)
ш
1 Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант 11-01-00465а
— = -V, ехя .
— = -VvV - eXP - Vexptv,uV - VexpeXP ^ - ^Р . (5)
По римановой метрике на М можно построить связность Леви-Чивиты [5-7] V , имеющую нулевое кручение. Тогда для векторных полей р, q на М выполняется тождество:
[Р,q] = V^-Vчр , а формула (4) преобразуется к виду
Э^
"Э7
Далее, подставив (3) в (1), получаем
Э^
"Э7
Сопоставляя (4) с (5), получаем условие того, что решение уравнения (1) примет вид (3)
Vvv + 2VexpЛVuV + Vexpív,u exp^и = ^р . (6)
Пусть, кроме того, векторное поле V стационарно. Тогда имеем
V,, = VF. (7)
Резюмируя полученные выражения, получаем Предложение 1. Пусть в дополнение к (7) выполнены условия
Vexpv,uV = VG . (8)
Vexpvu exp Ки = VЯ . (9)
Тогда решение (1) с начальными условиями (2) имеет вид (3). Сформулируем теперь достаточные условия выполнения предложения 1. Теорема 1. Пусть векторные поля и, V имеют вид
и = / а, V = (10)
где а, Ъ - гладкие бездивергентные векторные поля, а /, g - гладкие функции на М и выполнены условия
Vaa = ^Ъ ^аЪ = ^а = 0; (11)
а( /) = Ъ( g) = а( g) = 0. Тогда условия предложения 1 выполняются.
Доказательство. Заметим, что для векторных полей и, V из (11) имеем Vии = V,, = 0, откуда они являются стационарными решениями (1). Далее
а] = g[Ъ, а] - а^)Ъ = 0. (12)
Отсюда имеем
exp 1у*и = exp / exp 1у*а = exp /а.
Далее получаем
Vexptv,uV = VexptvфgЪ = exp Ъ / V ^Ъ = exp К*/ (а( g )Ъ + ¿V аЪ) = 0. Также имеем
Vexptv,„ eXP ^*и = Vexp/ eXP =
= exp 1у*/(exp + a(exp 1у*/)а) = exp tv*/a(exp 1у*/)а.
Из (12), используя [5, с. 25], имеем a(exp /) = exp 1у*а(/) = 0. Это завершает доказательство. Пусть теперь векторные поля а, Ъ фиксированы, а функции /, g меняются. Обозначим через V [ а, Ъ ] пространство, образованное векторными полями и,, вида (10), удовлетворяющими условиям (11). Покажем, что это алгебра Ли. Имеем
[/а + gЪ, /а + g' Ъ] = (Ъ(/') g - Ъ(/) g' )а. (13)
42
А.М. Лукацкий
Так как [a, b] = 0, то a(b(f)) = b(a( f)) = 0.
Поэтому векторное поле вида (13) лежит в V[a, b].
С конкретным решением (3) можно связать алгебру Ли, порожденную элементами u, v. Положим = u, w = [w0, v] = -b(f) ga,..., wk = [wk_!, v] = (—1)kb(k\f) gk a,...
Имеем [wi, Wj ] = 0, поэтому пространство L[u, w0, w1,..., wk,..., ] является алгеброй Ли. Обозначим V[u, v] — замыкание в C¥ -топологии этой алгебры Ли, очевидно, это подалгебра в V [ a, b ].
Предложение 2. Алгебры Ли V[a, b],V[u, v] являются разрешимыми. Им соответствуют подгруппы G[a, b], G[u, v] в группе Diff°(M), являющиеся вполне геодезическими подмногообразиями в смысле правоинвариантной метрики - кинетической энергии. Векторные поля из этих алгебр Ли задают либо стационарные решения уравнений Эйлера, либо интегрируемые по формуле (3).
Пример 1. Пусть K — компактная группа Ли ранга не меньше 2 (т.е. с максимальным тором T размерности не меньше 2) и размерности не меньше 3. Зададим на группе Ли K биинвари-антную риманову метрику. Тогда для ковариантной производной элементов из алгебры Ли группы K имеем [6, с. 121]
Ñuv = v].
Возьмем неколлинеарные векторные поля a, b из алгебры Ли тора T и гладкие функции f, g на K такие, что a(f) = b(g) = a(g) = 0 . Из предыдущего легко следуют условия (11).
Пример 2. Пусть M = Tn, n > 3 (рассматриваем гидродинамику на торе со стандартными координатами f = (f,...,fn)). Положим
u = sin kfuk, v = sin lfvl, (k,uk) = (l, vl) = 0 (14)
и, кроме того, потребуем
(l, uk ) = 0. (15)
Здесь uk, vl — постоянные векторные поля на торе, а векторы k, l — неколлинеарны. Непосредственно проверяется, что условия (10), (11) выполняются. Вычислим для этого случая алгебру Ли V[u, v] . Имеем
w2n-1 = (_1)n < k,v, >2n—1 cos kf sin2n—1 lfuk, w2n = (_)n < k, v¡ >2n sin kfsin2n/fuk,, n = 1,2,....
Отсюда легко получить общий вид векторного поля из этой алгебры Ли V[u, v] = {bsin lfv¡ + ^as sin(k + sl)fuk} .
s =0
Здесь при b = 0 получаются стационарные решения (1), а при b Ф 0 — решения вида (3).
Примечание. Проведенные рассуждения проходят также для случая некомпактного рима-нова многообразия M . В этом случае необходимо рассматривать векторные поля, быстро убывающие на бесконечности со всеми производными [3; 8].
Заметим, что в случае некомпактного многообразия M в формулировке теоремы 1 быстрое убывание на бесконечности нужно требовать только для векторных полей u, v, а векторные поля a, b могут быть просто гладкими.
Пример 3. Пусть M = Tn х R, n > 3 с координатами (f, х) , где f — координаты на Tn, а х — на R . Положим
u = sin kf exp(-x2) uk, v = sin lf exp(-x2) vl, (16)
(k, Uk ) = (l, Vi ) = (l, uk ) = 0.
Здесь uk, vl — постоянные векторные поля, касающиеся T", т.е. имеющие нулевую R -компоненту, а векторы k, l неколлинеарны. Непосредственно проверяется, что, если взять a = uk, b = Vj, f = sin kf exp(—x2), g = sin lf exp(—x2), то для этого случая выполняется некомпактный аналог теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦНМО, 2007.
2. Лукацкий А.М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли в динамике несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. - 2003. - № 5. - С. 784-794.
3. Лукацкий А.М. Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики. - Ярославль: Изд-во Ярославского государственного университета, 2010.
4. Зуланке Р., Виттен П. Дифференциальная геометрия и расслоения. - М.: Мир, 1975.
5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М.: Мир, 1981. - Т. 1.
6. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. - М. : Мир, 1971.
7. Лукацкий А.М. Геометрический подход в динамике сплошной // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2011. - № 165. - С. 26-33.
8. Лукацкий А.М. О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2005. - № 91. - С. 36-47.
A GEOMETRICAL APPROACH TO SOLUTIONS IN THE HYDRODYNAMICS OF IDEAL FLUID
Lukatsky A.M.
A class of solutions of the Euler equations for an ideal incompressible fluid is described. Its members are obtained from initial conditions by a one-parameter group of diffeomorphisms; they generalize the travelling wave solutions obtained earlier be the author.
Key words: ideal fluid, Euler equations, Levi-Chivitta connection, covariant differentiation.
Сведения об авторе
Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ (1972), доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 92 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.
