О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика

№ 91(9)

УДК 519.46

О ГЕОМЕТРИИ ГРУППЫ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ, СОХРАНЯЮЩИХ МЕРУ НЕКОМПАКТНОГО МНОГООБРАЗИЯ 1

А. М. ЛУКАЦКИЙ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором

Красильщиком И. С.

Исследуется геометрия групп диффеоморфизмов некомпактного риманова многообразия, сохраняющих элемент объема и быстро сходящихся к тождественному преобразованию на бесконечности. На этих группах вводится структура 1ЬН— группы Ли. На примере группы диффеоморфизмов цилиндра, используя разложения бездивергентных векторных полей в интеграл Фурье, вычисляются секционные кривизны по двумерным направлениям. На некомпактный случай обобщается ряд ранее полученных для компактного случая результатов.

Введение

Пусть дано гладкое полное риманово многообразие М. Обозначим через УЦ(М) алгебру Ли С°° векторных полей нулевой дивергенции, а через О^(М) группу С°°- диффеоморфизмов, сохраняющих меру М. В.И. Арнольдом установлена связь между геометрией группы ВШ^М) и устойчивостью решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на М,[ 1,2]. В работах [1,2,3,4] были исследованы группы ДМ) для многообразий: двумерный тор, двумерная сфера, п—мерный тор. Проводимые ранее исследования относились к компактным многообразиям. В настоящей работе указанный метод обобщается на определенный класс некомпактных римановых многообразий (многообразия с однородной римановой метрикой). На примере двумерного некомпактного многообразия К = 51 х К1 - бесконечного цилиндра вычисляются секционные кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Конструкции используют резольвенту оператора Лапласа-Бельтрами в некомпактном случае, что приводит к интегральному преобразованию Фурье.

Для случая рассматриваемого класса некомпактных римановых многообразий обобщается также полученная ранее формула секционных кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. В случае локально евклидовых римановых многообразий доказана ограниченность секционных кривизн К(и^), взятых по двумерным направлениям, проходящим через фиксированное стационарное векторное поле и.

1. Введение дифференциальной структуры на группе

В случае некомпактного многообразия К необходимо разумно сузить группу диффеоморфизмов, сохраняющих меру и алгебру Ли векторных полей нулевой дивергенции, чтобы иметь возможность перенести на них методы [1,2].

Рассмотрим сначала случай К = Кп. Выделим в алгебре Ли Уц(К) подмножество У®(К) векторных полей, быстро убывающих на бесконечности со всеми производными.

Определение 1.1. Векторное поле V 6 УЦ(К) принадлежит У^(К), если существуют такие коэффициенты {С^}, к = 0,1, 2,г = 1, 2, > 0, что

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 04-01-00647.

|«(fc)(x, ф)\ ^ Ci,fc(i + мг1 (1)

Введем в V°(K) следующую топологию.

Определение 1.2. Последовательность векторных полей

К} С V«(K)

сходится К ПОЛЮ V, если

1. vn —> V равномерно на компактах со всеми производными.

2. Для всех элементов последовательности {un} справедлива оценка (1) с одними и теми же коэффициентами {С^}. Заметим, что в этом случае и само поле v удовлетворяет (1) с теми же значениями {СТаким образом, с введенной топологией пространство V^(K)

- полно.

Предложение 1.1. Множество V®(K) с введенной топологией является топологической алгеброй Ли.

Заметим, что построенная топология аналогична введенной A.A. Кирилловым в [5] для финитных векторных полей, однако здесь допускаются также поля, нетривиальные на бесконечности.

Перейдем далее к группе Diff^/f) и выделим в ней подгруппу, соответствующую алгебре Ли V£(K).

Определение 1.3. Диффеоморфизм / 6 DifFM(üT) принадлежит если суще-

ствуют такие коэффициенты {Ci.fc}, к — 0,1, 2,..., г = 1,2,..., С*,* > 0, } что

\/т(х,ф) - Id<‘>(x,*)| < Ci,t(l + |*|‘)-‘ (2)

Здесь Id -тождественный диффеоморфизм. Для этого класса диффеоморфизмов сходимость определим следующим образом.

Определение 1-4- Последовательность

{/„} С Difl^(AT)

сходится к диффеоморфизму /, если

1- /«—>■/ равномерно на компактах со всеми производными.

2. Для всех элементов последовательности {/„} справедлива оценка (2) с одними и теми же коэффициентами {С*,*}, к = 0,1,2,..., г = 1,2,..., > 0}.

Заметим, что с введенной топологией пространство Diff^(A') - полно.

При помощи громоздких, но несложных выкладок можно показать, что Diff^(A') является топологической группой. Однако, на этой группе можно ввести более сильные структуры группы Фреше и ILH—группы Ли [6,7].

Предложение 1.2. Множество является /ЬЯ-группой Ли с алгеброй Ли V®(K).

Доказательство основано на использовании локальной карты

F: (U С V°(K)) -4(УС DiflJ(AT)),

где (F(и))(х) = х + и{х) и может быть проведено по аналогии с [7].

Предложение 1.2 обобщается на случай некомпактного риманова многообразия К с однородной римановой метрикой [10].

В качестве локальных карт для этого случая на группе G = Diff^(if) следует взять отображения

F :U G, (F(u)){x) = Ехрх и(х),

где Ехрг : ТХМ —> М - риманов экспоненциал однородной метрики, a U С ТХМ окрестности инъективности Ехр. Для таких карт переносятся определения (1.2), (1.3).

Предложение 1.3. Для некомпактного риманового многообразия К с однородной метрикой Diñ^ является /ЬЯ-группой Ли с алгеброй Ли V^(K).

Доказательство использует свойство однородности римановой метрики и, таким образом, сводится к случаю Rn.

2. Исследование геометрии группы Diff^(A')

На группе DifP^K) по аналогии с [1,2] можно ввести правоинвариантную метрику — кинетическую энергию

<u,v>= / < u(x),v(x) > dfi(x), (3)

Jk

имеющую конечное значение для элементов и, V е V°(K). Соответственно, можно провести вычисление кривизн K(u,v) по двумерным направлениям, взятым в единице этой группы. Условимся представлять векторные поля V 6 V°(K) их функциями тока, v = /grad/, где I— оператор поворота вправо на 90°. Мы условимся рассматривать векторные поля с однозначными функциями тока. Заметим, что при переходе к функциям тока скалярное произведение приобретает вид

< uf,ug >=< -Af,g >= / -Afgd/j, (4)

JK

Из [1,2] следует, что оператор коприсоединенного представления в функциях тока имеет вид:

B(f,g) = (aúg)'(f) = A~'{g, Af}.

Обозначим

A = \ {/.«}>

B = i({ A/,9} + {/,A9}),

Для случая стационарного векторного поля и G V®(K) [2,3] кривизна по двумерному направлению, натянутому полями и, v, имеет вид

K(u,v) = 3 < АА, А>+2 < А, В> + < G >

Исследуем далее стационарное векторное поле и с функцией тока

/ = С ехр(—

а также серию полей {vk,Wk} с функциями тока

-ж2

gk = Сk ехр( — ) sin кф,

-х2

hk = Ск ехр ( — ) cos кф.

Здесь константы С и Ск определяются из условия нормировки и имеют вид

С=(^)т,сь = -=£=

\А*2 + 5)

Из последующих выкладок следует, что К(и, Vk) = К(и, Wk), поэтому мы ограничимся рассмотрением серии векторных полей {vjfc}.

Имеем

{f,9k} = -кССкхехр(-х2) cos кф,

Д/ = С(х2 - 1) exp(-j-),

—X2

Адк = Ск{х2 - к2 - 1) ехр(—^—) sin Л:0

Отсюда получаем

{ Д/. дк} = —кССк(Зх — х3) ехр(—х2) cos кф,

{/, Адк} = -кССк((к2 + 1)х - а:3) exp(-:r2) cos кф.

И далее

А = -кССк(—х) ехр(—х2) cos кф,

В = ]:к(к2 — 2)ССк(—2х3 -1- (к2 + 4)ж) ехр(—х2) cos кф,

&

G = ^-кССк((-к2 + 2)х) ехр(—х2) cos кф.

Кроме того,

АА = ]-кССк((к2 + 6)х — 4а;3) ехр(—х2) cos кф.

&

Следовательно,

С+ОО

3 < АА, А >= ——C2Clk2 / х2(12х4 — 3(А:2 + 6)) ехр(—2x2)dx,

^ J — ОО

_ г+оо

2 < А, В >= —C2Clk2 / х2{—Ах2 + 2(к2 + 4)) ехр(—2x2)dx.

^ J—ОО

Чтобы вычислить < A~lG, G >, воспользуемся интегральным представлением Фурье.

Имеем

/+оо j д2

——¡= А ехр(——) sin \xd\.

•оо 4-у 7Г 4

Отсюда получаем

/+» i д д2

——7= т-o—pí ехР(~~г)sin AzdA.

00 40Г А"5 + /г 4

Формула Планшевеля дает:

< -Д-'G,G >= \c*clk\k* - 2)j p(-¿)<b

= jC’Cjt’f*2 - 2)2 J^ áJ+ k2 exp(—2x2)dx

= ^С2ф2(*2 - 2) £V - exp(—2i2)dx.

Отсюда получаем следующее выражение для кривизны

/+оо

х2(2а;2 — 3) ехр(—2 x2)dx — гк.

•ОО

Здесь

j.2 r+oo p 4 , T2

rk = ттС2С2кк2(—- 1) J (~x2 + -k2)exp(-2x2)dx.

С другой стороны,

/+ос

•00

/+ОС

•ОО

+0° 4 , 0 2. ,

x exp(—2rr аж - -------------,

' 32

+0° 2 , о 2 w

£ exp(—2x )ax = ^ .

Поэтому

И далее

/+С •оо

+оо ___ о

(2х4 — За:2) ехр(—2а;2)с£г = —\/2тт—.

16

K(u,vt) =~1-П.

При /с 1 можно дать следующую оценку для rk:

г'+оо _2

/+оо 2

(хА + —)ехр(—2 x2)dx.

•ОО ^

Имеем

г*+оо 2

(ж4 + у) ехр(—2ж2)сЬ = V^—.

Обозначим К — »¿ff. С использованием проведенных преобразований и оценок нами доказана

Теорема 2.1. Кривизны K(u,vk) асимптотически даются величиной —К. То есть

lim K(u,vk) = —K.

k-> оо

Покажем теперь, что с использованием техники [9] можно получить то же значение кривизны при помощи более простых выкладок. Обоснование применимости методики [9] к некомпактному случаю будет дано в п. 3.

Пусть

h = u9k{uf) — kCCk ехр(-х2) cos£0(0,1 — х2),

1(h) = kCCk ехр(—х2) cos кф(—1 + ж2,0)

Введем ф — div 1(h).

Если обозначить через q(h) - градиентную составляющую векторного поля h, то согласно [9] имеем следующее выражение для секционной кривизны

К (и, vk) = - < q(h),q(h) > .

Непосредственно проверяется, что

< q(h),q(h) >=< h,h > + < А ~гф, ф >

Далее имеем

ф = кССк ехр(—х2) cos кф(—2х3 + 4х) =

7 2

кССк{А(- ехр(—х2) cos кф) + (—— 1)^ ехр(—х2) cos кф}

& Z Z

Отсюда получаем

"+00

/+00

х2(—2хА + Ах2 — 1) ехр(—2х2)<1х — гк

-ОО

Заметим, что

'+°° , о 24, у/2п

ехр(—2х)ах = ———

' — (X)

Тогда

/'

Л —с

/

+оо ___ о

х2(—2хА + Ах2 — 1) ехр(—2х2)(1х = — \/2ж—.

16

Прямая проверка показывает, что метод [9] дал ту же величину для К (и, г>*), но при этом из расчетов было исключено слагаемое —3 < [и, и*], [и,^] >.

Оценим далее значения кривизн К(и,ьк) для любых к. Для этого рассмотрим выражение для г к- Заметим, что

Ах2 + к2 2

Отсюда следует, что кривизна К(и,Ук) ограничена снизу следующим образом

\ ^ Ну^г к2

К(ЩЩ) >=~"16^ 2*~+Т

Чтобы получить оценку сверху, заметим , что при к > 1 имеем Гк ^ 0. Непосредственной проверкой можно убедиться, что при к ^ 2 из этого следует оценка

^ Зл/2^ к2

К(и,ук) <= -■

8тг2 2к2 + 1 Для к = 1 заметим, что

1 Г+°°

Г1>—ттС2С2- / (2х4 + х2) ехр(—2 х2)с1х

^ «/ —ОО

Отсюда получаем

ху ( ^ ^ \/2тг

Отсюда видно, в частности, что вычисленные кривизны К (и, Ук), К(и, ь)к) = К(и,ук) не только отрицательны, но и отграничены от нуля.

Заметим, что в [8] допущена опечатка в формуле для оценки К(и,ьк).

3. Вычисление кривизн группы для некомпактного М

в общем случае

В этом параграфе будет показано, что предложенная в [9] для компактных многообразий методика расчета кривизн проходит в некомпактном случае для многообразий, удовлетворяющих условиям Предложения 1.3, где взята алгебра Ли векторных полей, быстро убывающих на бесконечности. Для этого класса полей можно определить аналог (3) — метрику-кинетическую энергию

Обозначим через В (и, у) билинейный оператор коприсоединенного действия для этой метрики, который определяется условием

< В(и, у), гу >=< и, [у, ги\ > .

Мы можем рассматривать форму (5) и оператор коприсоединенного действия В как для У^(М) (он обозначается через В(и,у)), так и для У£(М) (обозначается Ву(щ[и,у)).

Пусть Ту[и) = В(и, у) - оператор коприсоединенного действия для алгебры Ли У°(М), а УТь(и) — Ву(М){и,у) для алгебры Ли У(М).

Здесь и ниже мы будем использовать выражения векторных полей в локальных координатах Х\, ..., хп

д_

' дх{

г

Положим

/ ч д

Заметим, что и(у) зависит от выбора локальных координат. Обозначим через - коэффициенты метрического тензора, б =

Пусть (и,у)х = ^Щ(х)ь^х), ТОГДа

< и, у >х= (и,Су)х,(1д(х) = >/&ЩО)<1х.

Обозначим также

ч(С) = {«Ы},«“={

3 I

Введем отображение

р : *?(М)- > К(М)’

которое является ортогональной проекцией на подпространство бездивергентных векторных полей и

д = М -р,

которое является ортогональной проекцией на градиентные векторные поля. Обозначим также через А! матрицу, транспонированную к А в смысле скалярного произведения римановой метрики.

Предложение 3.1. Если и € У(М), тогда мы имеем для гп £ У^(М):

УТи(уо) = —[и(ш) + С~1и((3)п) + С-1(£)и)/Сгу + сИу(и)ад]. (б)

Если и е У®(М), тогда мы имеем для го е У^(М):

Ти(уо) = -р[и(и>) + + (ГЧЯгО'Сш)] (7)

Заметим, что каждое частное выражение в [...] из (3.2) и р[...] из (7) зависит от выбора локальных координат, хотя общее выражение является инвариантным.

Доказательство. Используем стандартную конструкцию разбиения единицы для разложения векторного поля и в сумму полей с носителями в координатных окрестностях

= ХУ’

и

t

где supp и4 С IIі, а {IIі} - атлас на М. Таким образом, доказательство сводится к преобразованиям внутри некоторой локальной карты С/*. Сначала рассмотрим случай алгебры Ли У°(М). Для v Є У°(М) имеем

< УТи1ги,у >=< ВУ(м)(^,и1),у >=< ги,[и\у] >,

и

< [гД у], и) >—< и*(у) — у(иь), ги >= J < и1(у) — Ои1(у), СЧо > ^<1&(С)с1х.

Используя стандартную технику интегрирования в Мп, получим

J < и1(у), Сгп > 1/¿ёйС!)с1х =

— £ < (у, Си*(у) > + < V, и1(0)ю) + (у, /Сад) > у/лёЦС)йх,

где

^дх,{ у/ЩС)

Из [10] имеем сНум4 = /. Заметим, что проведенные выше преобразования применимы и к векторным полям, быстро убывающим на бесконечности. Это можно показать, применяя

интегрирование по частям к гомотетически расширяющимся параллелепипедам Р\ С Мп.

Возникающие при этом интегралы по границе параллелепипеда Р\ будут стремиться к нулю из быстрого убывания векторных полей и, у, ю.

Далее рассмотрим случай алгебры Ли У°(М). Для и, у,ио € У£(М) имеем сИу(и) = 0 и по аналогии получаем (Тииу,у) = ([...], у), где [...] дается выражением (7). Для и,ги е У^{М) имеем Ти\и € У^{М), следовательно, необходимо подействовать оператором проекции р[...].

Следствие 3.1. Если М - локально евклидово, то для и € У^(М) имеем

УТи = -[и + (£>«)' + сИу(м) И], (8)

для и е У^(М) имеем

Ти = -р[и + (£>«)']. (9)

Используем теперь формулу из [1,2] для кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Поскольку вывод этой формулы использует вид ковариантных производных на группе Ли с лево-(или право-) инвариантной метрикой, то она справедлива для группы Б1й^(М).

Пусть и, у е У^(М). Обозначим

а= ¿[«»«] ь = \(в{и,у) - В(у, и)) с= 1}(в(и,у) + В(у,и))

Ви = ^В(и,и),Вь = ^В(у,у)

Согласно [1,2] кривизна К(и,у) вдоль двумерного направления, натянутого векторными полями и, у, дается формулой

К(и, у) =< с, с > +2 < а, Ь > -3 < а, а > -4 < Ви,Ву > . (10)

Заметим, что b = а + h, где

h = \p(G~lu(G)v - G~lv(G)u + G~\Du)\Gv) - G~\Dv)'{Gu)). (11)

A

Введем также I = с + a,m = с — а. Имеем

I = \p{2u(v) + G~1u(G)v + G~lv(G)u + G~\Du)'{Gv) + G~l [Dv)' (Gu)) (12)

и

m = ~lp(2v(u) + G~lu(G)v + G~1v(G)u + G~l(Du)'(Gv) + G~l (Dv)' [Gu)), (13)

Используя (10), получаем

K(u,v) =< l,m > + < a,a > +2 < a + h,a > —3 < a,a > —4 < Bu, Bv > .

Откуда

K(u,v) =< l,m > +2 < a,h > —4 < Bu, Bv > . (14)

Заметим, что мы исключили из выражения для кривизны слагаемое со скалярным квадратом скобки Пуассона векторных полей ([м, у]). Преобразуем теперь выражения для I, га.

Сначала рассмотрим в локальных координатах выражение

_v^r d9i,i , , ,диТ dvr д

S-22{UrVjdXr +VrUjdxT +9r’j{Vjdxi+Ujdxi)}dxi

Так как матрица G - симметрична, имеем

_ iSr^MdrjUrVj) .. fdgtj dgi^ _ dgrJ^ d " ¿-i dxi r 3 dxT dxj dxi dxi

l r,j ■>

Введем функцию f(x) = (u,v)x. Используя известные геометрические тождества [10], получаем

21 = p(2v(u) + G-1s) = p[2v(u) + grad / + 2 ^ TlrjurVj~].

г,г,3

Здесь {rj.j} - коэффициенты римановой связности в локальных координатах.

Следовательно, имеем / = p(^grad/ + Vvu). По аналогии m — p(|grad / + Vuv). Заметим, что Ви = 1(и, и) — тп(и,и). Имеем

l(u, v) = p(V„u), m(u, v) = p(Vuv), 2Bu = p(Vuii), 2BV = p(Vvv).

Итак, нами получена

Теорема 3.1. Для ортогонормированной пары и, v € V^(M) секционная кривизна К (и, v) группы SDIFF(M) дается следующим выражением

К(и, v) =< p(Vuv), Vvu > + <[u,v],h> - < p(Vuu), Vvv > . (15)

Напомним, что выражение для h дается формулой (11).

В случае, когда М - локально евклидово, выражение для К (и, у) может быть упрощено. Мы будем использовать только локально евклидовы координаты.. В этом случае мы имеем G — Id и, следовательно,

h(u,v) — p((Du)'(v) — (Dv)'(u)).

Также мы имеем l(u,v) = p(v(u)) и m(u,v) = p(u(v)) и Ви = p(u(u)),Bv = p(v(v)).

Заметим, что такие выражения, как и(у), (Ои)'(у), не зависят от выбора локально евклидовых координат и, следовательно, они являются дифференциальными операторами на У(М). Непосредственно проверяется, что

< и(у), ю >=< у, —и(ги) >—< и, (Ву)'(ю) > .

Из (15) тогда следует

К(и,у) =< р(и(у)),у(и) > — < р(и(и)),у(у) >

Обозначим

С? =< и(у), (Пи)'(у) > + < у(и), (Пу)'(и) > — < и(у), (Ву)'(и) > -

< у (и), (Ви)'(у) > .

Имеем

<3 =< и(у)(и),у > + < у(и)(у), и > — < и(у)(у),и > — < у(и)(и),у > .

Заметим, что

м(и))(гу) — (у(и))(ги) = и(у(ии)) — у(и(ги)),

поэтому

<3 =< и(у(и)),у > — < у(и(и)),у > + < у(и(у)),и > — < и(у(у)),и >

= —2 < и(у),у(и) > +2 < и(и),у(у) > .

Следовательно, получаем:

К(и,У) =< р{и(у)),у(и) > - < р(и(и)),у(у) > - < и(у),у(и) > + < и(и),у(у) > .

Кроме того, д(и(г>)) = д(у(и)), так как и(у) — у(и) е У^(М).

Итак, мы получили

Теорема 3.2. Пусть М - локально евклидово. Секционные кривизны К(и,у) для орто-гонормированной пары и, у 6 У£(М) даются выражением

К(и,у) = - < д(и(у) >2 + < д(и(и)),у(у) > . (16)

Следствие 3.2. Если сЦу(гх(м)) = 0 (например, если и является простой гармоникой на Г"), тогда имеем

К (и, у) = - < д(и(г>)) >2 (17)

и К (и, у) ^ 0. Если сИу(м(?;)) ф 0, тогда К (и, у) < 0.

Заметим, что в локально евклидовых координатах

<***-»

• ' г,3 }

Следствие 3.3. Пусть в условиях теоремы 3.2 векторное поле и - фиксировано и стационарно. Тогда в локально евклидовых координатах справедлива следующая оценка модуля

секционных кривизн по двумерным направлениям, проходящим через и

\К{и,у)\ ^ ^¡^гас1г^||2 (18)

г

Доказательство. Имеем \К(и,у)\ у(и),у(и) >. Далее

< v(u),v(u) >= ^2 < и, grad и* >2

г

Из неравенства Коши-Буняковского получаем

\K(u,v)\ ^ J^lklPllgr^Will2 i

Из условия нормировки |ju|| = 1, откуда следует (18).

Заметим, что из формулы из [1,2] для K(u,v) не следует ограниченность кривизны, т.к. она содержит слагаемое < [и, и], [и, и] >, которое при фиксированном и может стремиться к бесконечности, как показывает следующий пример на двумерном торе

1 \/2

и — ..sin(x + у)( 1, -1), V — ■ Sm(kx + Mil, ~k)

v/MT2)(fc2 + /2) v УЛ’ J

Непосредственно проверяется, что ||[и, у]||2 ^ №-~)?.

Таким образом, методика исследования движения жидкости посредством изучения геометрии групп диффеоморфизмов [11] переносима на некомпактный случай.

В [12] предложен метод расчета тензора кривизны группы диффеоморфизмов, основанная на использовании сил давления жидкости, что также приводит к интегралам по градиентным составляющим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Arnold V. Sur la geometrie differentielle des groupe de Lie de dimension infinie ey ses applications a l’hydrodynamique des fluid parfaits// Annales de l’institute Fourier, XVI, № 1,1966 .

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000.

3. Лукацкий А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерной сферы // - Функциональный анализ и его приложения, 13, № 3, 1982.

4. Лукацкий А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру п—мерного тора //

- Сибирский математический журнал, 25, № 6, 1984.

5. Кириллов А. А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп.//

- Препринт № 82, -М.: Ин-т прикладной математики АН СССР, 1974.

6. Leslie J. On a differential structure for the group of diffeomorphisms. // Topology, 6, 1967.

7. Omori H. Infinite dimensional Lie transformation groups.// -Lect. Notes Math., 427, Springer-Verlag,

1974.

8. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов сохраняющих меру некомпактного многообразия.// - Сибирский математический журнал, 31, № 3, 1990.

9. Lukatsky A.M. On the curvature of diffeomorphisms group, // Annals of Global analysis and Geometry, 11, 1993.

10. Онюцик АЛ. Топология транзитивных групп преобразований. -М: Физико-математическая литература, 1995.

11. Ebin D.G., Marsden J. Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid.// Ann. of Math. , 92, 1970.

12. Kambe T. Geometrical theory of fluid flows and dynamical systems. // - Fluid Dynamics Research, 30, 2002.

ON GEOMETRY OF THE DIFFEOMORPHISM GROUP PRESERVING MEASURE OF A

NON-COMPACT MANIFOLD

A.M. Lukatsky

The geometry of diffeomorphism groups acting on a non-compact Riemannian manifold is investigated. Their action preserves the volume element and quickly converges to the identity mapping at infinity. The ILH-Lie group structure is introduced for these groups. Taking the diffeomorphism group of cylinder as an example, the sectional curvature in two-dimensional directions is calculated using the Fourier integral decomposition. Some previously known results for compact manifolds are generalized for non-compact ones.

Сведения об авторе

Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г. р., окончил МГУ им М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 70 научных работ, область научных интересов — бесконечномерные группы Ли и их физические приложения.