CC BY
56
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика
№ 105
УДК 519.46
О ПРИМЕНЕНИИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ1
А.М. ЛУКАЦКИЙ
Статья представлена доктором физ.-мат. наук, профессором Красильщиком И.С.
В статье рассматриваются аспекты турбулентного поведения сплошной среды, связанные с неустойчивостью геодезического потока на бесконечномерной группе Ли. В этом случае бесконечномерная группа Ли является конфигурационным пространством физической задачи, а геодезический поток задает соответствующие эволюционные уравнения. Даются конечные выражения геометрических инвариантов (секционные кривизны, кривизна Риччи), строятся оценки их диапазонов, в этих терминах разбирается пример Арнольда оценки турбулентности атмосферных потоков.
1. Общая постановка задачи
Бесконечномерные группы Ли связаны с рядом физических приложений. Одним из существенных направлений здесь является гидродинамика несжимаемой жидкости. Здесь в 1966 г. В.И. Арнольдом впервые было предложено использовать в качестве конфигурационного пространства группу диффеоморфизмов ^Ш^М), сохраняющих элемент объема компактного ри-манова ориентированного многообразия М. Алгеброй Ли группы ^Ш^М) является пространство Уц(М) бездивергентных векторных полей. В случае идеальной жидкости удалось снабдить конфигурационное пространство слабой римановой структурой (т.е. положительно определенной метрикой в пространстве У^(М), задающей Ь2 , но не С”-топологию) и представить уравнения Эйлера как уравнения геодезических линий такой структуры. При этом секционные кривизны по двумерным направлениям, проходящим через заданное векторное поле могут выступать в качестве признаков неустойчивости соответствующих течений идеальной несжимаемой жидкости (отрицательность кривизн является признаком неустойчивости течений идеальной жидкости). В качестве примера В. И. Арнольдом впервые были подсчитаны римановы кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерного тора и исследован на асимптотическую устойчивость пассатный поток на двумерном торе (векторное поле с синусоидальным профилем \=($ту, 0)), аппроксимирующим средние атмосферные потоки на земном шаре (при этом сделано упрощающее предположение о том, что земля имеет форму тора). В качестве следствия получена оценка нарастания начальной ошибки (е) при долгосрочном прогнозировании погоды (10кпе, где к » 2,5, п - количество месяцев прогноза). Это означает, что при прогнозировании погоды на 2 месяца надо иметь точность замеров - 5 знаков, что практически делает невозможным такое долгосрочное прогнозирование).
Автор рассмотрел случай двумерной сферы £2 [2], где также исследовал векторное поле V = 2(-у,х,0), представляющее уточненный вариант рассмотренного Арнольдом пассатного потока для сферы. Оказалось, что анализ на асимптотическую устойчивость пассатного потока на сфере дал тот же качественный результат, что и для тора. В частности, оказалось, что остается справедливой оценка Арнольда 2-х месяцев в качестве срока, за пределами которого практически невозможен долгосрочный прогноз погоды. В [3] автором был рассмотрен случай п-мерного тора, для которого были подсчитаны кривизны группы диффеоморфизмов, сохра-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант
04-01-00647.
няющих элемент объема. Была также определена (применительно к случаю бесконечномерной группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема) кривизна Риччи. Опираясь на спектральное разложение оператора Лапласа-Бельтрами была вычислена кривизна Риччи группы Ш^(Г) .
2. Вычисление геометрических инвариантов группы диффеоморфизмов
Группа диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия М снабжается правоинвариантной римановой метрикой (слабой) - кинетической энергией. Она задается в ее алгебре Ли (пространстве бездивергентных вещественных векторных полей на М) следующим образом:
< и, V >= | (и(х), v(х))ёх.
М
Пусть аё и (V) = [иу] - оператор присоединенного действия в алгебре Ли векторных полей на М с операцией [иу] - скобкой Пуассона векторных полей. Здесь важен также оператор ко-присоединенного действия аё и * (V), сопряженный к аё и (V) в смысле вышеопределенной метрики (<аё и * (V), ^ > = < V, аёи ^ >) и билинейная форма Б(иу) = аё v * (и).
Пусть метрический тензор О = &,}. Обозначим через р : У(М) ® У^(М) - оператор ортогональной проекции пространства гладких векторных полей на подпространство бездивергент-ных [6], q = Ы - р. Фиксируем пару бездивергентных векторных полей иу на М, ортонормаль-ных в смысле метрики - кинетической энергии. Обозначим
н = 2 р^мо)»- аМ0»и + ° р» ■ м- в- т
(Здесь ‘ - обозначает поточечное взятие сопряженного оператора, в смысле скалярного произведения в ТхМ). В [4] получено выражение для секционной кривизны группы ^Ш^М):
К(иу) = <р(УиУ) , У„и> + <[иу],И> - <р(Уии), Уу>.
Полученное выражение для К(иу) позволило из известной формулы секционной кривизны, использованной Арнольдом при расчетах на 2-х мерном торе, исключить член со скалярным квадратом скобки Ли [иу] векторных полей. Например, при вычислениях на простых гармониках для случая 2-х мерного тора в расчетах Арнольда [1], и п-мерного тора в ранее проведенных автором расчетах [3], когда показатель гармоники стремится к бесконечности, скалярный квадрат скобки Ли оказывался старшим членом при вычислении кривизны, причем неограниченным. В случае локально евклидова многообразия оператор коприсоединенного Б(иу) действия приводится к наиболее простому виду, что позволяет упростить выражение для секционных кривизн [4], [5].
К(иу) = - <^(и^))>2 +<^(и(и)), v(v)>.
Если выполнено условие ёы и(и) = 0 (например, когда векторное поле и является простой гармоникой на п-мерном торе), то выражение для секционной кривизны приводится к виду:
К(иу) = - <^(и^))>2.
Отсюда можно получить оценку сверху для модуля секционных кривизн, когда векторное поле и фиксировано.
Обозначим через
\\u\\co=max х €м\u(x)\.
Предложение 1. Пусть u, v гладкие векторные поля на локально евклидовом многообразии
M (не обязательно бездивергентные), а u(v) = V (u, grad v) д/ дxi , здесь х1,^,х„ - локально
i
евклидовы координаты на M. Тогда имеем следующую оценку:
\\v(u)\\2 < \\v\\2 V \\grad Ui\\co2.
i
Доказательство. Имеем
\ \ v(u) \\2 = [ (v(u)(х), v(u)(x))dx = [V (v, gradu)2 (x)dx <
M M i
JV \ v(x) \2\ gradui (x) \2 dx <\\ v \\2 V \\ grad(ui) \\ co2
M i i
Если div u(u) = 0 , то отсюда получаем следующую оценку сверху для секционной кривизны:
\K(u,v)\ < V \\grad u,\\2co. i=l
Заметим, что в [5] для этой оценки допущена опечатка (в соответствующей формуле у символа нормы отсутствует нижний индекс С0).
Наибольший интерес представляет поведение кривизны K(u,v) для векторного поля произвольного вида.
Предложение 2. Для бездивергентного векторного поля u на локально евклидовом многообразии M справедлива оценка:
n n
\K(u,v)\ < V \ \grad u\\2co +(V \ \ grad q(u(u)),fco)1/2.
i=1 i=1
Доказательство. Необходимо оценить вклад члена <q(u(u)), v(v)> в формулу кривизны.
Из [5] для бездивергентного поля v и произвольных векторных полей w, r на локально евклидо-
вом многообразии имеем <v(w),r> = -<w, v(r)>. Отсюда
\<q(u(u)), v(v)>\ =\-<v(q(u(u)),v>\ <\\v(q(u(u))\\. Используя предложение 1, получаем необходимую оценку.
Вычисление тензора кривизны для группы Diff/T*) другими методами дал T. Kambe [7].
Для задачи исследования решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как геодезических линий на группе диффеоморфизмов полезно ввести среднюю кривизну поля скоростей жидкости, являющуюся аналогом конечномерной кривизны Риччи. Кривизна Риччи для бесконечномерной алгебры Ли V^(M) определяется следующим образом. Пусть Spec(D) -дискретный спектр оператора Лапласа-Бельтрами на векторных полях компактного ориентированного риманова многообразия M. Представим алгебру Ли VM(M) бездивергентных векторных полей в виде индуктивного предела подпространств V^(M)L - натянутых объединением базисов собственных подпространств Vx , где X е Spec(D), \Х\ < L.
Введем величины
Ricc(v,L) =1/(dim VM(M)L -1) V [{ea }]= VnM)L K(v,e).
Кривизна Риччи определяется как предел:
Ricc(v) = lim Ricc(v,L).
В [3] вычислена также кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема и-мерного тора, Diff^T*).
Пусть v - бездивергентное векторное поле на T1, нормированное в смысле метрики - кинетической энергии (|v|=l). Имеем:
и + 1
Ricc(v) =-------- ---- <Av,v>/vol(Tn).
(и - 1)и (п + 2)
Для плоской прямоугольной области К с R2 также вычислена кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема области.
Кривизна Риччи группы Diff^(K) дается формулой :
3
Ricc(v) = — <Av,v> / vol(K).
Заметим, что для случаев двумерного тора и прямоугольной области выражения для кривизны Риччи отличаются только постоянным множителем. Для T2 имеем:
Ricc(v) = 3 <Av,v> / vol(T^).
3. Уточнение оценок турбулентности пассатного потока
Рассмотрим векторное поле u=(sin у, 0) на T2 - пассатный поток, введенный Арнольдом в [1] для оценки временного периода P, на который возможен долгосрочный прогноз погоды. В [1] предлагаются две эвристических оценки нижнего предела кривизны:
Кмин(м) = - 2/vol(T2)
и усредненной кривизны:
Кср(и) = - 1/(2vol(T2)).
Оценка минимума кривизны по вышеполученной формуле дает
Кмин(и) = -2/vol(T2),
что полностью согласуется с оценкой Арнольда в [1]. Оценка средней кривизны через формулу кривизны Риччи дает величину:
Кср(м) = - 3/(8vol(T2)).
Соответствующий пересчет дает для периода P оценку 2 месяца и 9 дней вместо 2 месяцев
в [1].
Заключение
В работе геометрические инварианты бесконечномерных групп Ли применяются для оценки турбулентных явлений сплошной среды. Стартуя от весьма сложных групповых и геометрических объектов методику оценивания турбулентности сплошной среды удается довести до конечных алгоритмов и простых правил, доступных для практического применения механикам, физикам. На базе полученных алгоритмов в качестве примера удается уточнить оценку турбулентности атмосферных потоков, ранее сделанную Арнольдом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000.
2. Лукацкий А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерной сферы // Функ. анализ и приложен. Т. 13, №.3, 1979. С. 23-27
3. Лукацкий А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n-мерного тора // Сибирский математический журнал. Т. 25, №.6, 1984. С. 76-88.
4. Lukatsky A.M., On the curvature of diffeomorphisms group, Annals of Global Analysis and Geometry, Berlin, vol.11(1993), p. 135-140.
5. Лукацкий А. М. О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, № 91, 2005. С. 36-47.
6. Ebin D.G., Marsden J.: Groups of diffeomorphisms and the motions of an incompressible fluid. Ann. of Math. 92 (1970), 101-163.
7. Kambe T. Geometrical theory of fluid flows and dynamical systems. - Fluid Dynamics Research, 2002, vol. 30, 331-378.
ON APPLICATION OF THE INFINITE DIMENSIONAL LIE GROUPS TO THE TURBULENCE
ESTIMATION
Lukatsky A.M.
The concepts of turbulent behavior, connecting to the instability of geodesic flow on an infinite dimensional Lie group, are considered in the article. In this case an infinite dimensional Lie group is the configuration space of a physical problem and the geodesic flow gives us the corresponding evolutionary equations. The finite expression of the geometric invariants (sectional curvatures, Ricci curvature) are given, the evaluations of its ranges are constructed. In these concepts the Arnold example of the atmospheric flow turbulence is considered.
Сведения об авторе
Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ (1972), кандидат физикоматематических наук, ведущий научный сотрудник (ИНЭИ) РАН, автор 70 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.
