О конструкции продолжения локальных бездивергентных векторных полей на r n Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.46

О КОНСТРУКЦИИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БЕЗДИВЕРГЕНТНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА Жп

А.М. ЛУКАЦКИЙ

Рассматривается задача продолжения бездивергентных векторных полей, определенных в окрестности начала

координат в №п, до бездивергентных финитных на №п . Получены явные формулы продолжений для элементов простой алгебры Ли бездивергентных векторных полей известной серии Э. Картана. Конструкция позволяет перейти от уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости к уравнениям Эйлера на конечномерных группах Ли.

Ключевые слова: локально-бездивергентные векторные поля, гладкие продолжения, финитные векторные поля, идеальная несжимаемая жидкость, алгебры Ли, факторизация, уравнения Эйлера.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть дано п -мерное вещественное евклидово пространство №п. Будем рассматривать №п как область течения идеальной несжимаемой жидкости [1]. Конфигурационным пространством этой физической задачи является подгруппа группы В1//^ (М.п) сохраняющих элемент объема

диффеоморфизмов №п, изотопных тождественному и быстро сходящихся к тождественному на бесконечности, Ш//0(№п). Ее алгебра Ли У°(№п) состоит из бездивергентных векторных полей, быстро убывающих на бесконечности [2, с. 33-36], [3], которые являются полями скоростей течений идеальной несжимаемой жидкости. Если обозначить через ^(Мп) - алгебру Ли

финитных бездивергентных векторных полей на №п, то имеем ^(Мп) с ¥°(№п).

Динамика течений идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил описывается уравнением Эйлера [1, с. 42] их полей скоростей на М :

д^+у^ + Ур = 0 (1)

Здесь - поле скоростей идеальной несжимаемой жидкости, а р - давление жидкости.

Течения идеальной несжимаемой жидкости являются геодезическими многообразия Ш//0(М)

в смысле правоинвариантной (в смысле групповой структуры) метрики, задаваемой в единице группы формой-кинетической энергии:

(и, у) = Г < и(х), у(х) > ёц(х). (1')

Jм

Введем алгебру Ли Р(Ж.п) - полиномиальных бездивергентных векторных полей на №п.

Эту алгебру Ли много изучали С. Ли и Э. Картан, еще С. Ли доказал, что это простая алгебра Ли ([4, с. 273]). Заметим, что Р и(М.п) не является подалгеброй У°(Шп), т.к. эти векторные поля

не убывают быстро на бесконечности. Локализуем векторные поля из Р (М.п), рассматривая их

на единичном круге Вп с №п, и обозначим образованную ими алгебру Ли через Р 'и (Вп). Ниже

будет предложена явная конструкция продолжения таких векторных полей с Вп до векторных полей на №п, быстро убывающих на бесконечности (элементов ^(Мп)), а точнее до финитных

бездивергентных векторных полей на

_ /

* (хх) йх

через _'.

(х, х)

1. КОНСТРУКЦИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БЕЗДИВЕРГЕНТНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА №"

Удобно ввести гладкую функцию на прямой:

[1,0< г < 1;

_ (г) = Г

[ 0, г > 2.

Чтобы избежать излишне громоздких формул, условимся обозначать _((х, х)), х е №" через _ ,

Зададим векторные поля на №":

И = 1(кх2-1_ + 2 х2+1_-2 х х2_0,0),

к

ук = (хк_ + 2х1кх22/,-кЦк-1 х2_ - 2х,к+1 х_', 0,..., 0).

Имеем &уик = &уук = 0. Заметим, что

Ик I В" = (х2-1,0,..., 0), Ук | В" = (х,к,-кхк-1 х2, 0,..., 0). Введем следующие обозначения:

дх,

вг, 3 = х,д ,, К , = х,д, - х,-д ,, 1 * j, (2)

1,, 3 = х1д 3 , 1 * 3,

з = х,2э, - 2х,х.,дз, 1 * 3-

Вернемся к алгебре Ли Рц (В"). Обозначим через Р^ (В") с Рц (В") подпространство

из векторных полей с координатами - однородными многочленами степени к. Имеем

РМ(В") = I Рк, (В"). (3)

к=0

Заметим, что пространство Р°(В") является алгеброй Ли Я" с базисом д,, 1 = 1,...,п. Пространство Рх (В") является алгеброй Ли я!(п) с базисом е , И1к ,1 < 1 * 3 < п, 2 < к < п.

Рассмотрим пространство P* (Bn), k > 1. В нем можно выделить подпространство рк (вn) из векторных полей, i -я координата которых не зависит от x. для i = 1,..., n. В пространстве Pjk(Bn)rime можно построить базис из векторных полей вида:

x? ...xp дг, Pi = 0, Pi +... + Pn = k, i = 1,..., n. (4)

С каждым мономом t = x1Pl...xpn степени k-1, т.е. p1 +... + pn = k-1 можно связать подпространство P'k (Bn)t, состоящее из векторных полей вида:

где

Ё a'x'td''

i=0

х a. (рг +1) = 0.

Пространство Р^ (Вп) имеет размерность п -1, в нем можно выбрать базис из элементов

(р +1)xltdl - (р +1)xjd,,i = 2,..., n. (5)

Непосредственно проверяется, что

Pk (в")=Pk (вn)'+ x pk (Bn)t,

t ,degt=k-1

а элементы (4), (5) дают базис пространства Р£ (Вп).

Ниже будет доказано, что последовательным коммутированием с векторными полями второй степени можно получить всю алгебру Ли Р 'и (Вп).

Теорема 1.

Линейная оболочка элементов

{[ , р;-1(вп)] 11 < I ф ] < п} (6)

является пространством Р^ (Вп), к > 1.

Доказательство. Будем вести индукцию по к. Имеем

[ g, j, d; ]=2e,;,[ g,,, э г ] = -2^,;,

откуда следует случай k = 1. Для k = 2 имеем

i=0

[e, j, gt, j]=j, e j, gj i]=-2 g,.

О конструкции продолжения локальных бездивергентных векторных полей на к"_91

При п = 2 получаем базис в р2(Вп). При п > 2 возьмем различные г,.,,к . Имеем

[е. .,в, .] = 2х.х, д .,

у к ,г ^ г к у

и также получаем базис в р2(Вп).

Рассмотрим теперь Р, (Вп) для к > 3 и покажем, что любой элемент базиса (4), (5) можно получить по (6). Рассмотрим сначала элемент вида (4) для определенности хр2 ...хрпЭ1 с р2 > 1 Имеем

[ е 2,1, х22 -1...хрп Э1] = ( Р2 +1) х22 ...хр- Э1.

Теперь рассмотрим элемент вида (5), для определенности выберем: и = р2 х*+1 хр2 -'...хр- д1 - (р +1) х* хр2 ...хрп д 2,

где рх,р2 > 1. Обозначим у = р2хр1 х2р-1...хрпдх -р1 хр1 -1 хр2...хрпд2. Имеем

[£1,2,у] = (р -2р2)и.

Поэтому при рх Ф 2р2 получаем нужное представление. Рассмотрим теперь случай рх = 2р2, тогда при ненулевых рх, р2 имеем р2 Ф 2рх. Введем векторное поле

* = (р2 +1)хР1 хр2...хрпЭх -рхр1 -1 хр2 ...хр"д

2

г = р2хр1 хр2"'...хрЭх -р1х1рхр2...хрЭ2, По аналогии с предыдущим можно получить

[ е 2,1,г ] =(2 р - р2)*.

Заметим далее, что

[в1,2, = (Р2 + 1)и.

Из тождества Якоби имеем

[в1,2 , [£2,1, г]] = [£2,1, [в1,2 , г]] - 2[£х,2 ,г]. Так как [вх 2, г] е Р,-1(Вп), это завершает доказательство теоремы. Следствие 1. Элементы

д., г = 1,...,п,

,1 < г ф . <п, (7)

порождают алгебру Ли Р (Вп).

Так как элементы системы образующих продолжаются до финитных бездивергентных векторных полей, то получаем, что бездивергентные полиномиальные векторные поля на единичном шаре (Рц (Вп)) продолжаются до гладких финитных бездивергентных векторных

полей на Яп с носителем в шаре радиуса 2 (У ^(Вп)). Здесь, однако, удобно иметь прямую

конструкцию такого продолжения. Для этого построим продолжения для элементов базиса (4) и (5). Рассмотрим сначала элементы вида (4), для определенности

хр2 ...хр Э,

Его продолжением будет векторное поле

((Р2 + 1К2...хр/-2хр2+2...хр/)д -2ххр2+1...хрА . (8)

Рассмотрим далее элементы вида (5), для определенности

и — р2 х*+1 хр2 -1...хр Э1 - (р +1) х? хр2 ...хр д 2. Его продолжением будет векторное поле

и — (р2 х* +1 хр2 ~'...хр/ + 2 хр+1хр2+1...хрп/)Э1 - ((р +1) х* хр2... хрп/ + 2 хр1 +2 х2р2... х/д 2. (9)

Доказательство состоит в громоздкой, но несложной выкладке. 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКЦИИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Пример 1. Положим

л- — д^Sk — х д1 ккх х2д2,к — 1,2,.... Имеют место следующие коммутационные соотношения:

[, лк] — (к -1)лк-.

Таким образом, элементы лг,г —-1,0,1,... образуют алгебру Ли £, изоморфную алгебре Ли всех полиномиальных векторных полей на прямой М. Из предыдущего следует, что векторные поля алгебры Ли £ продолжаются с Вп до векторных полей из У^(Шп).

Таким образом, в конфигурационном пространстве идеальной несжимаемой жидкости на №п содержится подгруппа с алгеброй Ли, локально изоморфной алгебре Ли формальных векторных полей на прямой М .

Введем далее подпространство Ли £/лк (Вп), состоящее из векторных полей степени не ниже к. Имеем

£м к (Вп) — IРГ (Вп). (10)

г—к

Рассмотрим 8м1(Вп). Это подпространство векторных полей с особой точкой в начале координат; непосредственно проверяется, что оно является алгеброй Ли. Кроме того, нетрудно убедиться, что подпространство 8 ¡к (В") с 8М1(В") при к > 1 является нормальным делителем:

8л1(В") > 8М (В"), к > 1. (11)

Введем в пространстве РМ(В") метрику:

{и, V} = (и(х), v(х)М1- (12)

Метрику (12) можно интерпретировать как вклад в кинетическую энергию ограничения векторного поля на шаре.

Для векторного поля и е Р (В") обозначим через и его продолжение до

бездивергентного финитного поля на №", полученного по формулам (8), (9). Введем в РМ (В") метрику, являющуюся кинетической энергией продолжений векторных полей.

<

и, V >= I " (и(х), V(x))d¡1. (13)

Имеем {и, V} << и, V > .

Уравнение (1) можно переформулировать как уравнение геодезических правоинвариантной метрики на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов в виде:

^ = «О (14)

Здесь - оператор коприсоединенного действия в смысле метрики (13). Из (11) можно построить конечномерные фактор-алгебры

gk = 81 Л(В") / 8М+1(В"), к > 0, (15)

им соответствуют конечномерные группы Ли Ок .

Можно произвести редукцию метрики (13) на gk. Для этого в каждом смежном классе факторизации достаточно выбрать представителем векторное поле с мономами степени не выше к (оно единственно). Далее можно рассмотреть уравнение (14) на gk с таким образом определенной метрикой, это будет уравнение Эйлера (геодезических правоинвариантной метрики на группе Ок с алгеброй Ли правоинвариантных векторных полей либо

левоинвариантной метрики на Ок с алгеброй Ли левоинвариантных векторных полей (2, [с. 63]).

Предложение 1. Решение уравнения Эйлера на группе Ок существует, единственно и

продолжается на бесконечность во времени.

Доказательство. Это следует из того, что на любой конечномерной группе Ли решение уравнения геодезических правоинвариантной (или левоинвариантной) метрики обладает такими свойствами ([2, с.64], [5, с. 232]).

ВЫВОДЫ

Получены явные формулы продолжения полиномиальных бездивергентных векторных полей на единичном шаре в Mn до гладких финитных бездивергентных векторных полей на Rn Путем факторизации сделан переход к конечномерным группам Ли, где построены ассоциированные с конструкцией уравнения Эйлера, решения которых продолжаются на бесконечность во времени. Сохраняемая на решениях метрика совпадает с кинетической энергией продолжений соответствующих бездивергентных векторных полей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦНМО, 2007.

2. Лукацкий А.М. Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики. - Ярославль: изд. ЯрГУ, 2010.

3. Лукацкий А.М. О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия // Научный вестник МГТУ ГА. 2005. № 91. С. 36-47.

4. Карч ам Э. Избранные труды. - М.: МЦНМО, 1998.

5. Комраков Б.П. Структуры на многообразиях и однородные пространства. - М.: Наука и техника, 1978.

ON A PROLONGATION CONSTRUCTION FOR LOCAL NON-DIVERGENT VECTOR FIELDS ON Ж n

Lukatsky A.M.

The problem of a prolongation of non-divergent vector field, defined in a vicinity of zero in №n t, to a finite nondivergent vector field on Mn is considered. Explicit formulas for the elements of the simple Lie algebra of non-divergent vector from the well-known Cartan series are obtained. This construction allows to move from the Euler equations for the ideal incompressible fluid to the Euler equations on finite-dimensional Lie groups.

Keywords: locally non-divergent vector field, smooth prolongation, ideal incompressible fluid, Euler equations, finite vector field, Lie algebras.

REFERENCES

1. Arnol'd V.I., Hesin B.A. Topologicheskie metody v gidrodinamike (Topology Methods in Hydrodynamics). Moscow, MCCME, 2007, 284 p.

2. Lukackij A.M. Strukturno-geometricheskie svojstva beskonechnomernyh grupp Li v primenenii k uravnenijam matematicheskoj fiziki (Geometry structure characteristics of infinite Lie groups in their applications to mathematical physics). Jaroslavl', JarGU, 2010, 142 p.

3. Lukackij A.M. Nauchnyj vestnik MGTU GA, 2005, № 91, 36-47 p.

4. Kartan Je. Izbrannye Trudy (Selected Works), Moscow, MCCME, 1998, 440p.

5. Komrakov B.P. Struktury na mnogoobrazijah i odnorodnye prostranstva (Structures on manifolds and homogeneous spaces). Moscow, Nauka i tehnika, 1978, 210 p.

Сведения об авторе

Лукацкий Александр Михайлович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М. В. Ломоносова (1972), доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института энергетических исследований (ИНЭИ) РАН, автор 96 научных работ, область научных интересов - бесконечномерные группы Ли в применении к уравнениям математической физики.