CC BY
40
Вычислительные технологии
Том 5, № 2, 2000
МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПЕРАТОРА СТОКСА
М. БАйЖУМАНОВ, М. ОТЕЛБАЕВ, Ш. СМАГУЛОВ Казахский государственный университет им. Аль-Фараби, Алматы
e-mail: [email protected]
The spectral problem for the method of fictitious domain of Stokes operator has been investigated. Double-side estimates of the eigen-values and eigen-functions have been given. The velocity of the eigen-values convergence in the method of fictitious domain to the eigen-values of the boundary problem of Stokes operator by e ^ 0 has been obtained.
1. Вспомогательные утверждения
В области П С R3 c гладкой границей дП рассмотрим краевую задачу для уравнения Стокса [1]
^Av — Vp = f, div v = 0, (1)
vU = 0. (2)
Здесь A — оператор Лапласа, V — градиент.
Этой задаче соответствует следующая спектральная задача:
— vpn = —А прп,
div ^n = 0, (3)
^п|да = 0, n =1, 2,..., (4)
где = (<^ni, ^n3) — собственные вектора, Ап — собственные числа, pn — скалярная функция-давление. Введем множество
W(П) = б (П), div^ = 0}.
Обозначим через V(П) замыкание W(П) в {¿2(П)}3. При s > 0 рассмотрим пространство W|(H) (пространство Соболева), причем s — не обязательно целое [2], и определим У?(П) как замыкание W(П) по норме W5(П). Тогда К(П) С И(П), s > 0, причем каждое из этих пространств К(П) плотно в Vs'(П) при s > s'. Мы отождествляем 'УО(П) с его сопряженным ^(П) = ^'(П) (для этого в качестве определяющего "сопряжения" берем скалярное произведение в W0(П) = Ь2(п) х Ь2(п) х Ь2(п)). При "том же самом" отождествлении имеем [3]:
Vs^) С V0(П) = ^'(П) С К'(П), s > 0.
© М. Байжуманов, М. Отелбаев, Ш. Смагулов, 2000.
Ниже мы будем выводить оценки собственных вектор-функций фп и соответствующих собственных чисел. Положим
Ь(и) = J |Уи|2^ж, и = 0, и|дп = 0. (5)
п
Пусть Q — куб, строго содержащий в себе П. Определим форму
В(и) = j |Уи|2¿ж. (6)
Я
На границе Q для и из (6) потребуем выполнения периодических условий. Обозначим через Д(Ь) и Д(В) области определения форм Ь и В соответственно. Элементы из Д(Ь) продолжим нулем на Q \ П и полученное множество также обозначим через Д(Ь). Очевидно,
Я(Ь) С ДВ)
и при и € ^(Ь) выполняется
Ь(и) = В (и).
Из этих двух соотношений и из известных вариационных принципов вытекает:
Ап(Ь) > Лп(В),
где Лп(Ь) и Лп(В) — собственные числа, пронумерованные в порядке возрастания операторов, порожденных формами (5) и (6) в пространстве 'Уо(П) и Ь2^) х Ь2(Q) х Ь2(Q) = (Ь2(Q))3 соответственно. Числа Лп(Ь) совпадают с собственными числами задачи (3). Это вытекает из вариационных принципов. А числа Ап(В) — есть собственные числа оператора Лапласа в пространстве трехкомпонентных вектор-функций с периодическими граничными условиями. Они вычисляются явно и равны
Ап(В) = (п1 + п2 + п3)72, П = (П1,П2, Пз).
Эти числа, пронумерованные в порядке возрастания, допускают оценку Ап(В) > сп3/2. Поэтому справедлива следующая лемма. Лемма 1. Имеет место оценка
Ап(Ь) > сп3/2.
2. Метод фиктивных областей с продолжением по младшему коэффициенту
Метод сводит решение исходной задачи к решению в вспомогательной области, канонической для рассматриваемой системы координат. Исходная область решения дополняется фиктивной областью до канонической. Коэффициенты уравнения исходной задачи с помощью малого параметра е > 0 продолжаются в фиктивную область. Способ продолжения зависит от типа краевых условий исходной задачи. На границе вспомогательной области формируются краевые условия. Обоснования МФО сводятся к выводу оценок близости
решений исходной и вспомогательной задач по параметру е . К настоящему времени имеется значительное число публикаций по обоснованию и применению МФО [4, 5]. Наиболее полная библиография содержится в [6]. Будем решать задачу (3), (4), используя МФО:
- Vpn = -Ktà + (7)
div^n = 0, = 0, n = 1,2,..., (8)
где равна нулю в П и - в Q \ П. Для простоты иногда считаем ^ =1.
е
В настоящей работе даются оценка собственных чисел и собственных функций для оператора (7), (8), а также оценки скорости сходимости решений задач (7), (8) к решению задач (3), (4). Оценки собственных чисел дают возможность создания эффективного итерационного метода для решения уравнений Навье — Стокса в МФО.
Теоретическое обоснование МФО для системы уравнений Навье — Стокса приведено в работах [7, 8], где рассмотрены линейные и нелинейные стационарные уравнения вязкой несжимаемой жидкости.
МФО для спектральной задачи эллиптического оператора исследованы в работе [9]. Прежде всего заметим, что собственные числа и собственные векторы задач (7), (8) совпадают с собственными числами и собственными векторами оператора A£, порожденного в V0(Q) квадратичной формой
/2 / 2 / 2 — / 2 |Vu| dx + ^£|u| dx = |Vu| dx +— |u| dx, (9)
Q Q Q Q\Q
определенной на множестве V1(Q). Эта форма порождает самосопряженный положительный оператор. Этот общий факт содержится почти в любой книге по спектральной теории дифференциальных операторов.
Лемма 2. При е1 > е2 > 0 имеет место неравенство £l < A£2 в смысле операторов и ХЩ < АП2, n = 1, 2,..., где ХЩ — собственные числа A£i.
Доказательство. Первое неравенство является следствием определения формы (9). Неравенство для собственных чисел есть хорошо известный принцип Гильберта — Куранта [10] для дифференциальных операторов, который вернее назвать принципом Куранта — Титчмарша [11].
Лемма 3. Обозначим через Ап — собственные числа задачи Стокса в случае Q = П. Тогда Ап < АЩ, е > 0.
Лемма 3 является следствием леммы 2.
Возьмем область П, которая является кубом, содержащимся в П. Если через Ап обозначить собственные числа (1), соответствующие области А, то из вариационного принципа имеем Ап > Ап > АЩ, n =1, 2, ..., е > 0.
Теперь возьмем Ап — также куб, но содержащий Q. Соответствующие собственные числа задач (7), (8) при е = то обозначим Ап. Тогда применение вариационного принципа приводит к неравенствам А£п > Ап, е > 0. Таким образом,
Ап > Ап > Ап > Ап •
Используя прием доказательства леммы 1, для чисел Хп и Хп можно получить оценки
Cn3/2 > Ап > А > C-1n3/2,
где С зависит только от областей П и Q. Поэтому имеет место
Сп3/2 > \п > А£ > С-1п3/2, е > 0, п = 1, 2, Для 5 > 0 через К обозначим оператор усреднения
1 С
(Ks u)(x)
¿3
XQ(V)u(y)dy,
|x-y|<s
(10)
(11)
где xq — характеристическая функция области Q. Для любой точки x G Q введем величину
r£(x) = sup |(Ks u)(x)|,
f (|Vu|2+^H 2)dx=1
(12)
где sup берется по всем u = (u1 , u2,u3) G V1(Q). Оценим через r£(x) собственные числа и собственные функции оператора Л£. Для любого u(x) G V1 (Q) имеем разложение
те
u(x) = Cn^£n(x)
n=1
по собственным векторам оператора Л£. Отсюда и из определения Ks имеем
I (Ks A-1/2u)(x)|
Е
n=1
Cn Ks (A-1/2^n)(x)
C
n=1
(Ks ^n)(x)
те
^|Cn||(Ks<)(x)|(An)-1/2 <
n=1
<
\
E ic„i:
n=1
\
Y, |(Ks^n)(x)|2(An)-1 = II u
n=1
Yi I Ks « (x)l2 • (a;)-1/2.
n=1
Из этого неравенства и определения r£(x) вытекает:
r£ (x) = sup
|(Ks u)(x)|
u LAjv 2 с / — SUp - /2
ueVi(Q) (|| Vu ||Q + JQ ^|u|2dx)1/2 ueVi(Q) || Л/
|(Ks u)(x)|
u
|(KsA-1/2v)(x)| ^
sup -й-й- <
rA-i/2v=0,v£L2(Q) У v У
\
E
n=1
I(Ks ^n)(x)|2
A,
к
Учитывая (10), получим
г£(ж) <
\
£ \(Ку;)(х)\2 < с
п=1
А:
\
]>>-2/3\К, <^(ж)\2
(13)
п=1
где С зависит только от П и
Далее через эти же величины выводим оценку для г£(ж) снизу. Пусть жо € а ^п(х) = (^1га(х),^2га(х),^зга(х)) — собственный вектор оператора А,, соответствующий собственному числу Л^- Имеем
(К,<)(ж) = (К,<^га(ж), (К,^(ж), (КЛ^3п(х)). При любом фиксированном г = 1, 2, 3 положим
С(0 = (К^1(хо), (^(ж) = (^(ж),^),^(ж)).
Пусть м(ж) = Спг)^Пг(ж), где 1 < N < то — произвольно. Тогда
1|и(х)\\
\
N
£\С«\2
=1
\
N
Е
=1
\(К, <^)Ы\2
Л,
(К, А-1/2и)(жо)
N
Е
=1
Л,
.5
N
Е
=1
(К, ^ )(жо) (К ^ )(ж0)
1/2
N
^Е
=1
ЛП
Отсюда
г (Ж )= чип \(К, у)(жо)\ =чип \(К, А-1/2м)Ы\ \(К,^)Ы\2 41/2
г£(Жо) = йип ,, ,1/2 ,, = йип ^ г I ¿^ ~
*ея(Ае) \\аУ2м\\
=1
Л,
Лемма 4. Имеют место следующие оценки:
(Ж) < £ к*,^)(*)\2 <
г2(Ж ^
П=1
Лп
/ ^ п 2/3
С2 £ < 3С2г£2(Ж),
п=1
п=1
Лп
(14)
где С зависит от области П и не зависит от е. Утверждение леммы следует из (10), (13), (14). Теперь оценим г,(ж). Напомним оценку [10]:
J \ м(ж) — м \ 2 ¿Ж < С^ \ Ум \ 2 ¿Ж, (15)
справедливую, когда ф — единичный шар или куб. Здесь м — среднее значение м(ж).
2
Следствие. Пусть QY — шар радиуса y,u g W^iQj). Тогда
\u(x) — u\2dx < Cj2 \vu\2dx.
(16)
qy
Qy
Для доказательства этого неравенства достаточно к (15) применить преобразование подобия.
Лемма 5. Предположим, что q удовлетворяет условию: если Qa\Q = 0, то mes (Q2a\ Q) > Ci а3, где C1 не зависит от а. Пусть x0 g Q, а — такое число, что а = 0 и
1 = — mes (Qa(x0) \ Q), Qa(xo) — шар радиуса а с центром в точке x0. Тогда для любой еа
функции u G W2i(Q) выполняется неравенство
J ^£\u\zdx + J \vu\zdx > C0 J (\Vu\2 + а 2\u\2)dx,
Q2a(xo ) Q2a(xo) Q2a(xo)
(17)
где C0 не зависит от а и u g w^q). Доказательство. Если
J \Vu\ dx > T а J \u\ dx, (Q2a = Q2a(xo)),
Q2a Q2a
то неравенство леммы имеет место при C0
1
T + 1
. Допустим,
\vu\2dx < T 1а 2 \u\2dx.
Q2a
Q2a
Тогда из оценки (16) вытекает
Q2a
\u(x) — ufdx < c4 J \u(x)\2dx,
Q2a
(18)
(19)
где С — постоянная из оценки (15), и — среднее значение и на Qa. Оценим норму || и ||д2а следующим образом:
u iiq. = il u — u + u lu < il u |q2a + il u — u ila < il u llq2a + 2|| ^
I Q2a
I Q2a
Отсюда при 1 > 2\JC/Т имеем
(l — 2^C/T) || u ||Q2a <
u
Далее, используя (19) и (20), получаем неравенства
\
^e\u\2dx >
Q2a
\
- I \u\2dx >
е
Q2a\n \
- j ^ —
Q2a\n
\
\u — u\2dx >
Q2a\n
/mes (Q2a \ П)
>\ -!--|u|Q2a -
\
|u — u|2dx >
Q2a
> ^
(2а)-3/2 || U ||Q2^mes (Q2a \ П) — 2V/C7T || u ||Q2.
>
Vmes (Q2« \ П)(2a)-3/2 fi — 2^^) || u ^ —2 л/С/Г
>
U ||Q2a
Отсюда в силу условия mes (Q2a \ П) > C1a3 вытекает
\
p,£|u|2dx > — \c2 fi — 2\/с7т) — ^x/C/T
Q2a
u
I Q2a
где C2 — постоянное число, не зависящее от выбора T и функции u. Но
i
a(mes (Q« \ П))-1 > Сза
-2
поэтому
p.e|u| dx > а 2 С2 i — 2л/С7т) — л/С/Г
u
I Q2a
Q2a
Выбирая T достаточно большим, получим
p.e|u|2dx > а 2С4 || u ||Q
Q2a
Из этого неравенства вытекает неравенство леммы 4, что и требовалось доказать.
Теорема 1. Предположим, что П удовлетворяет условию: если Qa \ П = 0, то mes (Q2a \ П) > С1а3, где С1 не зависит от Qa и Q2a. Пусть
Тогда
xo G (Q \ П)е1/2 = {x : p(x, Q \ П) < e1/2}, p(xo, dQ) > 85, 5 = e1/2.
C2-1 e1/2 < ^ |(K^n)(xo)|2< С2в1/2
n=1
г^е С2 не зависит от Хо € ^ \ П)г. Доказательство.
Случай 1. Пусть ж0 € Q \ П, р(х0, дП) > 85, шар Q¿(х0) Р| П = 0. Тогда
(|Vu|2 + p.e|u|2)dx
Q«(x 0)
В силу оценки (16):
Q« (хо)
|Vu|2 + i || u ||2 ) dx.
|(Ku)(x) — u(x)|2dx < C52 / |Vu|2dx.
(21)
Q«
Q« (хо)
i
£
a
£
2
2
Далее
(| (ВДЫ |2 «3)1/2
\
| (K¿u)(x0) |2 dx <
Qs (xo)
<
\
| (K¿u)(x0) — u(x) |2 dx +
Qs (xo)
\
| u(x) |2 dx.
Qs (xo)
Теперь воспользуемся (21):
(| (Ku)(xo) |2 ó3)1/2 <
\
có2 J | Vu) |2 dx +
Qs(xo)
\
| u |2 dx <
Qs(xo)
< (ció2 | y | Vu) |2 dx + ó-2 J | u |2 dx |)1/2.
Qs (xo) Qs (xo)
В силу ó-2 = - получаем
£
(| (Ku)(xo) |2< C2Ó J (| Vu |2 +p,£ | u |2)dx < CsV£ < A£u,u > .
Qs (xo)
Следовательно,
r2(xo) < C£1/2. (22)
Случай 2. Пусть x0 G Q \ Q, p(x0, dQ) > 8ó, но не обязательно Q¿(x0) P| Q = 0. Воспользуемся оценкой леммы 4; при этом, так как x0 G Q \ Q, можно взять a ~ -^/е. Поэтому доказательство неравенства (22) аналогично доказательству (21) в случае 1. Случай 3. Пусть теперь x0 G Q и p(x0, Q \ Q) < ó, p(x0, dQ) > 8ó. Воспользуемся неравенством леммы 4 при a = 2ó и докажем (22), как в случае 1. Пусть
п п
2 {пп\ . í п п\
<^(x) = cos x при x G ( — — , — ) и <^(x) = 0 при x G ( — —, — )
2 2 2 2
пп
2' 2) " " " V "2 , 2
ui(xi,x2,x3) = ^(xi + п/4) ■ ^'(x2 + п/4) ■ ^'(x3 + п/4),
u2(xi,x2,x3) = —2^'(xi + п/4) ■ ^(x2 + п/4) ■ (x3 + п/4)
u3(xi,x2,x3) = (xi + п/4) ■ ^'(x2 + п/4) ■ ^(x3 + п/4),
где u = (u1,u2,u3). Очевидно ^u = 0. Положим,
x G (Q \ Q)¿, p(x0,dQ) > 8ó, ó = £1/2.
x — x0
Возьмем uxo (x) = u
8ó
. Из определения r£(x0) (12), в котором ó2 = £, имеем r£(x0) >| (Kuxo)(x0) | •
Правая часть легко оценивается снизу, она не превышает величину
С3-1£-1'4 = С3-1^.
Поэтому находим нижнюю оценку. Теперь теорема вытекает из оценок, полученных для Го(хо) и леммы 4.
3. Оценки скорости сходимости собственных значений
Определение. Обобщенным решением задач (7), (8) называется вектор-функция £ удовлетворяющая интегральному тождеству
[М^п,Уф) + ^£«,ф)]^ = лп уф£ад).
(23)
я
я
Аналогично определяется обобщенное решение задач (3), (4). Существуют также обобщенные решения задач (3), (4) и (7), (8), т. е. счетное множество собственных значении Лп, ЛП и собственных функций образующих ортонормированный базис в ¿2(П),
соответственно, а также ЛП ^ Лп и ^ в ¿2(П) при е ^ 0. Далее будем оценивать скорость сходимости собственных значений и собственных функций оператора (7), (8) при е ^ 0. Положив в (23) ф = фП, имеем
гаНУх (Я) + е НггаНЬ2(Я\П) — Лп НггаНЬ2(Я)"
С учетом (10) получим
^Н^ПНад) + 1 — Лпс< ^ пРи п<
(24)
Отсюда следует, что из последовательности можно выделить подпоследовательность, для которой имеет место соотношение ^ слабо в Ж21(П) при е ^ 0. В силу теоремы вложения ^ сильно в ¿2(П) при е ^ 0.
Умножим теперь уравнение (3) на уравнение (7) на и проинтегрируем по П:
^ / ■ У^ж - ■ = Лп / +
дП
дП
^ / (У^ ■ у^аж = ЛП / (^п,
Вычтем последние тождества друг из друга:
( л„ - лп) [= [■ + ^ / ^а/.
дП
дП
(25)
Оценим тождество (25) с помощью теоремы вложения [1]:
1 Лп - ЛП|
<
дП
+ ^
дП
(26)
дП
11 п™ II 11 , I I ^
— Н Р ||Ь2(дП) Н НЬ2(дП) —
— с Н ||ь2(п) (Н ^ ||$(Я\П)11 ^ 11Ь2^\П) + н ^ Н^2(Я\П)) —
1/2
< СгХп^лДП + ^лДП) < с1аЛп+1/2^~е)
Ш\\ь2(дп) <
< дрп
дп
дП
Ь"(ОП)
(дП) \ \ ^ \ \ Ш2(ЭП) \ \ ге\ \ ^(^П)!! ^е\\Ь2(Я\П)
< Сз 0П •уА •уА •Л < с,а1+1/4^е.
Как отмечалось выше, рП сходится к р п в среднем при е ^ 0, т. е.
- рп)2с1х = /Ы)2 - 2рПрп + (рп)2]<х ^ 0 при е ^ 0. пп
Следовательно, при достаточно малом е имеем
2
(рп - рп^х
> Ы)2 + (рп)2]<х - 8(е),
пп где 5(е) ^ 0 при е ^ 0. Отсюда
(р£,рп)<х
>
(1 - 6(е))
Обратимся далее к оценке (26). Учитывая (27), получим
\ Ап - лп\< С5(Л£+1/2 + л£+1/4)е1/2.
(27)
(28)
Теперь выведем оценки скорости сходимости собственных функций. В силу уравнений (3), (4) и (7), (8) получим
Ца(Рп - рп) - V(Рп - рп) = -АпРп + Апрп = (-Ап + АП)Рп + Ап(рп - Рп)
(29)
¿Мрп - рп") = 0, (рп - рп)\дп = рп\дп.
Умножим (29) на (рп- рп) скалярно в Ь2(0,). После интегрирования по частям приходим к равенству
Ц\^(рп - рп)^2(П) + [(Рп - рп)рп<1 - ц [ д(р£п~ рп) рП<1
дп
дП
дП
(-Ап + Лп) I рп(рп - рп)<х - лп\\рп - рп\\|"(П)-
(30)
Второе и третье слагаемые в левой части оцениваются аналогично (28):
(Рп - рп )рп <
дП
< с5а£+'/2е'/2,
ц! Щ-^) рп<
дп
дП
< С7Л1+1/4е1/2.
2
Правое слагаемое в правой части (30) оцениваем следующим образом:
|Лп - Лп
< |Лп - - ^£¡¿2(0) <
+ |а п - п |2С(
(31)
В силу оценок (28), (30), (31) при малых 5, е выводим:
АШК - ^п||!2(п) + ^11 V(¥>n - <11 ¿2(0) < С8[(Лп+1/2 + Ап+1/4)(е1/2) + (Лп+1/2 + Ап+1/2)е].
Список литературы
[1] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Наука, М., 1970.
[2] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Мир, М., 1972.
[3] Лионс Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Мир, М., 1971.
[4] КоровицынА Ж. Л. О применении метода фиктивных областей к численному моделированию волновых течений идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости. В "Вычислительные технологии", ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1994.
[5] Коновалов А. Н., Конюх Г. Н., Цуриков Н. В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей. В "Вариационные методы в задачах численного анализа". ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1986, 58-79.
[6] ВАВИЩЕВИЧ П. Н. Методы фиктивных областей в краевых задачах математической физики. МГУ, М., 1993.
[7] СмАГУЛов Ш. С. Метод фиктивных областей в краевых задачах для уравнений На-вье - Стокса. Препринт №68, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1979.
[8] Бугров А. Н., СмАГУЛов Ш. С. Метод фиктивных областей в краевых задачах для уравнений Навье — Стокса. В "Математические модели течений жидкости". ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1978, 79-90.
[9] НикоЛЕвА Н. И. Метод фиктивных областей в задачах на собственные значения. В "Численные методы механики сплошной среды. Сер. матем. моделир". ВЦ, ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, Т. 10, №6, 1979.
[10] СовоЛЕв С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Наука, М., 1988.
[11] ТитчМАРШ Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. ИЛ, М., 1961.
Поступила в редакцию 19 марта 1999 г.
