CC BY
68
М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
ИНВАРИАНТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Задача инвариантности отдельных режимных параметров работы электроэнергетических систем (ЭЭС) к разнообразным возмущениям в современный период является весьма актуальной. Например, можно указать следующие актуальные проблемы инвариантности в ЭЭС [1, 2]:
1. Поддержание постоянства частоты (50 Гц) в ЭЭС, как в нормальных, так и в аварийных режимах ЭЭС;
2. Поддержание заданных межсистемных перетоков в объединенной ЭЭС, в независимости от режимов в отдельных ЭЭС;
3. Поддержание постоянства напряжения в узлах нагрузки ЭЭС, в независимости от режимов по активной мощности в ЭЭС;
4. Поддержание постоянства пропусков воды в нижний бьеф самой нижележащей ГЭС каскада в период нереста рыб.
Существуют множество других задач, которые можно отнести к инвариантному управлению ЭЭС и энергетических объектов.
Одной из таких актуальных проблем (проблема 4) является оптимальное ведение режимов ГЭС и каскадов ГЭС с учетом условий сохранения запаса рыбных ресурсов в водохозяйственной природно-технической экоихтиосистеме [2 - 7]. Одним из главных требований экоихтиосистемы (наравне с требованиями соблюдения санитарных норм к качеству воды в реках и водоёмах) является поддержание постоянного уровня воды в пойме реки в период нереста рыб. Иначе говоря, в период нереста рыб отметка нижнего бьефа самой нижерасположенной ГЭС (гидроузла) должна быть неизменна (инвариантна) вне зависимости от режима работы всего каскада ГЭС.
Рассмотрим линейную (в том числе и водноэнергетическую) систему
где X - п -мерный вектор состояния системы, и - £ -мерный вектор управления, у - да-мерный вектор выхода, W — г-мерный вектор внешних возмущений.
Сформулируем необходимое и достаточное условие инвариантности линейной системы (1) на основе частотных критериев управляемости и наблюдаемости. В работах [8 - 12] показано, что понятие инвариантности связано с понятием неуправляемости по возмущениям и ненаблюдаемости возмущений. Объединение этих понятий можно осуществить, используя конструкцию матрицы Розенброка [13], которая имеет вид
х(ї) = Ах(ї) + Ви(ї) + ¥^(ї), у = Сх(ї),
х(ї ) = х ,х є О п,и є О !і,у є О т,'№ є О Г, ' 0' 0 *
(1)
определяет динамические свойства
(2)
Эта матрица имеет размер (n + m) X (n + r) и нормальный ранг [14]
norm rankR(p) = п + min rank(F,C) = n + min (rF,rc).
(3)
Наличие неуправляемых и ненаблюдаемых мод колебаний линейной системы с комплексной частотой Л- связывается с понижением нормального ранга матрицы
R (Л ) =
a -Ain
C
F
"о
т.е.
rank
A- — I і n \ F
C \ о
< norm rankR(p) ■
(4)
(5)
необходимый и
Данное утверждение имеет для линейной системы достаточный характер.
Итак, условием инвариантности линейной системы к возмущениям W с
комплексными частотами является потеря нормального ранга матрицы (2). Здесь можно выделить три характерных случая:
1. Нормальный ранг матрицы R(p) равен
n + min rank(F,C) = n + rc,
т.е. матрица имеет полный нормальный строчный ранг. Тогда выполнение условия
rankR(\ ) < norm rankR(p)
можно связать с существованием нетривиального решения матричного уравнения
і xir ]
I F
і n
C 0
= о.
(б)
В силу сказанного, матрицу [ -\у ] можно определить как левый делитель нуля [15] матрицы (4) на комплексной частоте и обозначить
(7)
а -\In\F
С | О
2. Нормальный ранг матрицы р) равен
п + шгп гапк(Р,С) = п + гР,
т.е. матрица имеет полный нормальный столбцовый ранг. Тогда должно существовать нетривиальное решение матричного уравнения
2'
A -Л I
і n
...c....
F
o'
V
= 0
(8)
Матрицу ^ УТ J можно назвать правым делителем нуля матрицы (4)
на комплексной частоте А и обозначить
а - А!„
С
о'
(9)
3. Нормальный ранг матрицы (4) равен
п + шгп гапк(Ё,С) = п + ^ = п + гс.
В этом случае одновременно существуют нетривиальные решения уравнений (6) и (8).
Определим условия существования делителей нуля (7) и (9).
Начнем с блок-матричного уравнения (4). Раскрывая его с точностью до выделенных блоков, получим
'х (А-\1„) + УС = 0,
(10)
ХЁ = 0.
Из последнего уравнения (10) следует, что матрица X, если она существует, должна быть пропорциональной левому делителю нуля Ё" матрицы Е
Х = /лё1, гапкЁ1 = п - гР.
Здесь Ё"Ё = 0 , а ^ - некоторая матрица подходящего размера.
С учетом сказанного, первое уравнение (10) принимает вид
(А-А1„) = -УС. (11)
Рассмотрим (11) как уравнение относительно матрицы У. Условие его разрешимости выглядит следующим образом:
ЦЁ1 (А -А1п) С* = 0,
СС* = 0, гапкС* = п - гс.
Таким образом, если условие (12) выполняется, то матрица
Ё (А-А1„) С*
имеет левый делитель нуля
(12)
13)
Е1 (А -Л,!,,) С* * О
(14)
Повторяя аналогичные рассуждения в отношении уравнения (8), получаем условие существования решения в виде
___________________*
Ё" (а-А1„ )Ск * 0. (15)
Ясно, что объединение (14) и (15) означает соответственно существование одновременно левого и правого делителей нуля и, значит, одновременную неполноту строчного и столбцового рангов матрицы (13) на комплексной частоте
А. Матрица (1) является определяющей для разрешимости уравнений (7),(8).
*
Итак, можно утверждать, что матрица (13) характеризует управляемость и наблюдаемость линейной динамической системы (1) по возмущениям. Если у матрицы (13) существует левый делитель нуля, то система является ненаблюдаемой, если существует правый делитель, то система будет неуправляемой - неуправляемой, и, соответственно, если присутствуют оба делителя - неуправляемой и ненаблюдаемой. Однако в отличие от матрицы Розенброка, налицо снижение размерности решаемой задачи.
Тем не менее в данной задаче соответствующие делители можно не вычислять. Достаточно перейти от матрицы (13) к понятию пучка матриц [16] и связать свойства пучка с инвариантностью.
Для перехода к пучку матриц раскроем скобки в (13):
FL ( a — лг1п) CR = FlaCr — xFLCR. (16)
С формальной точки зрения мы приходим к так называемой несимметрической (обобщенной) задаче на собственные значения [9].
В зависимости от размера матриц FL, CR пучки матриц (16) могут иметь
прямоугольный или квадратный вид. Остановимся на случае, когда матрицы
flacr, flcr имеют вид квадратных матриц размера, скажем,
(n — rp ) X (n — rF ) . Случаи прямоугольных пучков матриц могут быть
приведены к случаю квадратного пучка [17, 18].
Определим обобщенные собственные значения пучка (16) как элементы
множества л(flacr, flcr) , равного
л(FlaCr, FlCr ) = {а • det (FlaCr — a FLCR) = 0}. (17)
Существуют три характерных частных случая [17]:
1) конечное множество собственных значений;
2) пустое множество собственных значений;
3) бесконечное множество собственных значений.
Конечное множество собственных значений А существует тогда, когда
rank ( FLCR ) = n — rF, (18)
при этом n — rF — число собственных значений.
Пустое и бесконечное множество связывается с неполнотой ранга матрицы FLCR Ф 0 . Если
rank ( FlCr )< n — rF, (19)
то множество Л(FLACR, FlCr ) (17) может быть как пустым, так и бесконечным.
В задаче инвариантности ключевую роль играет бесконечное множество собственных значений пучка матрицы. Действительно, соотношение
У А, i = ^•' С( А1п — A)—Fw( А ) = 0 (20)
определяет условие обнуления выходного сигнала (1) на фиксированной частоте А. Если же искомое множество собственных значений л(Ё"АС*, Ё"С*) является бесконечным, то тождество (20) строго выполняется на бесконечном
множестве векторов ~^(А) (на всех возможных векторах), а это значит, что
передаточная матрица (1).
С(А1п - А)~х Ё = 0. (21)
(Действительно, если уравнение Ах = 0 для любых X, то А = 0). Выражение (21) это не что иное, как известное условие инвариантности линейной системы [1].
Итак, множество (17) соответствует комплексным частотам входного сигнала, на которых «запирается» (аннулируется) передаточная матрица
С(А1п - А)~1 Ё . (22)
Если же множество таких комплексных частот бесконечно, то, следовательно, выполняется тождество (21), а рассматриваемая система является инвариантной.
На основе сказанного можно сформулировать следующий.
Частотный критерий инвариантности. Для того чтобы линейная система
х(1) = Ах(t) + Ём?(I), у = Сх(t)
обладала инвариантностью к возмущению ~^(t), необходимо и достаточно, чтобы пучок матриц
ё1аСк -аёС
имел бесконечное множество обобщенных собственных значений А .
Рассмотрим характерный частный случай. Пусть в исследуемой системе выполняются тождества
Сё = 0, ЁС = 0. (23)
Если теперь этот факт соотнести с формой пучка матриц (16)
Ё1АСК -А- 0 , (24)
то отсюда вытекает достаточное условие инвариантности
СЁ = 0, ЁС = 0 ^ Ё"АС* = 0. (25)
Другими словами, при выполнении условий (23) у инвариантной системы матрица динамики А аннулируется делителями нуля Ё", С* .
Действительно, с учетом условий (23) из уравнения Ё1 АС* = 0 вытекает следующая формула для матрицы А
А = Г]Ё1 + С* )1. (26)
Подстановка (26) в последовательность произведений матриц известного
временного критерия инвариантности [9]
СЁ = 0, САЁ = 0, СА2Ё = 0,..., САп-Ё = 0 (27)
приводит к тождествам
= С
САР = С (^Р1 + СК<и) Р = 0, СА2 Р = С (^РЬ + С* и)* Р =
т]РЬ + СКи + лРЬСК и + СК^т1РЬ
(28)
Р = 0,...
\ 0 у
Это, собственно, и требовалось доказать.
Проиллюстрируем полученные результаты на примерах.
Рассмотрим абстрактную динамическую систему, заданную тройкой матриц
Л
~1 3 2~ У
0 4 0 , С = [( ) 1 0], Р = 0
1 1 2 1
(29)
Необходимое условие инвариантности СР = 0 здесь выполняется. Определим делители нуля матриц С, Р :
РЬ =
Используя (30), получаем
1 0 0
0 1 0
, С* =
1 0
0 0
0 1
(30)
“1 0“
0 0
(31)
Таким образом, произведение матриц Р^С* Ф 0, но матрица (31) вырождена и условие (19) выполняется. Вычислим теперь Р1 АС*
“1 2"
0 0
РЬЛСК =
и определим пучок матриц (16)
Р1лСк - дРС =
“1 2" 0 “1 0“
0 0 - Д 0 0
(32)
(33)
Очевидно, что при любых значениях Д в силу определения (17) имеем тождество
с1а (РЬЛСК - АгРьСк ) = с1а
“1 -Д 2"
0 0
= 0.
(34)
Итак, пучок матриц (33) имеет бесконечное множество обобщенных собственных значений и согласно частотному критерию инвариантности рассматриваемая система (29) является инвариантной.
Для проверки данного утверждения можно непосредственно убедиться в выполнении условий (20) и (21).
Кроме того, передаточная функция системы имеет вид Пусть теперь матрица А в записи (29) принимает вид
1 3 2
Л = 0 4 3
1 1 2
(35)
Новой системе соответствует пучок матриц
ЁЬЛСК - ЛЁЬСК
“1 2" 0 "1 0“
0 3 -Л 0 0
(36)
который, в чем нетрудно убедиться, имеет единственное обобщенное собственное значение
А Т^К Т^Ь^К'
л(Ё1ЛСК, Ё1СК) = {1}.
(37)
Согласно приведенному критерию инвариантности такая динамическая система не является инвариантной.
Наконец, пусть матрица А задана в виде
1 3 2
Л = 1 4 0
1 1 2
(38)
Теперь приходим к следующему пучку матриц:
Ё1ЛСЯ - АЁ1СЯ =
Вычисляя определитель
сієі (Ё1ЛСК - АгЁьСк ) = СІЄІ
1 2" 0 "1 0
1" 0 -Л 0 0
1 -Л 1
(39)
(40)
формулируем утверждение
л( Р1ЛСК,Р1СК ) = 0, (41)
т.е. множество обобщенных собственных значений является пустым и, значит, третья из рассматриваемых систем не является инвариантной.
Протестируем быстродействие процедур анализа инвариантности на основе вычисления пучков матриц и ранговых критериев. Для этого рассмотрим тройку матриц
А = 1^(100)^, С = [1 0 ••• 0]мм,
Р = [0 0 — 1]г ,
І і 100x1’
где матрица А размера 100 х 100 получена с использованием генератора случайных чисел МаІЬаЬ.
Сравнительный анализ будем проводить с использованием функции єриґішв, позволяющей вычислять процессорное время, затрачиваемое на решение задачи. Для временного критерия вычислялись произведения матриц
СЛР, СЛ2И,... СЛ" И, при этом процессорное время решения задачи составило = 0,926 с. Вычисление делителей нуля И1,СК и
обобщенных собственных значений пучка матриц (ЛС^ ,Р^С^) было
произведено за = 0,077 с. Налицо сокращение на порядок
вычислительных затрат в задаче большой размерности.
Теперь рассмотрим математическую модель каскада ГЭС (см. рис.), включающую четыре гидроузла [2 - 5].
Рис. 1. Схема гидроузла
Возмущенная математическая модель ГЭС имеет вид (42)
0 -т1 0 0 0 0 0 0 X
Хі+1 0 -Т+1 0 0 0 0 0 0 Х+1
х+2 0 т ~1 ті+2 0 -т ^ ті+2 0 0 0 0 X+2
*,+3 0 0 0 -т - т і+3 0 0 0 0 X+3
Х+4 0 0 0 т ~1 ті+4 0 -т ~1 т+ 4 0 0 Х+4
Хі+5 0 0 0 0 0 -т - т і+5 0 0 X+5
Х+6 0 0 0 0 0 т -1 ті+ 6 0 -т -1 ті+6 Х+6
Х+7 0 0 0 0 0 0 0 -т ~1 ті+7 X+7
+
I 0 0 0 0 0 0
0 їг+1 0 0 0 0 0
0 0 1 і+3 0 0 0 0
0 0 0 Їг+З 0 0 0
0 0 0 0 1 і+4 0 0
0 0 0 0 0 1+5 0
0 0 0 0 0 0 1 і+6
0 0 0 0 0 0 0
Ж
w
і+1
Ж
і+2
Ж
і+3
Ж
Ж
Ж
0\0 0 0
1 \0 0 0
010 0 0
0 \ 1 0 0
010 0 0
0 І 0 1 0
0 І 0 0 0
010 0 1
и.
и
і+2
и
и
(42)
где X, Х+2, Х.+4, Х.+6 - уровни бьефов, Х.+1, Х.+3, Х.+5, Х.+7 - пропуски через
ГЭС, и - управление расходами ГЭС через гидроагрегаты, Т,..., Т+7 -
постоянные времени.
Из формулы (42) следует, что инвариантность компоненты Хг+7 позволит
поддерживать постоянство нижнего бьефа ГЭС-4. Для исследования инвариантности этой компоненты вектора состояния зададим матрицу С в виде
с = \0\0\0\0\0\0\0\1]. (43)
Вычислим правый делитель нуля матрицы С (43) и левый делитель нуля матрицы Р из (42). Получим
/7 _ _______________
7 , ^ = с ^ ¥ЬСК = 0. (44)
Ск =
0
1x7
При этом выполняется условие (25). Таким образом, в рассматриваемой модели ГЭС пропуск ^+7 является инвариантным ко всем возмущениям, действующим на предыдущие гидроузлы.
С другой стороны, собственные значения матрицы А из (42) составляют числа
Л(А) = {-т+1, -т+„ -т-1, -т-1, 0, 0, 0, 0}.
(45)
Из (45) вытекает, что исследуемая система является нейтральной (находится на границе устойчивости), поскольку содержит четыре нулевых полюса. Пусть требуется определить условия на управление ГЭС, при котором бы сохранялась
инвариантность компоненты вектора состояний Х.+7 ко всем возмущениям
fjwj(t), ] = Ь I + 6 и, одновременно с этим, обеспечивалось заданное
распределение полюсов Л ^ (А — ВК) системы в целом (здесь К - матрица
коэффициентов обратной связи).
С учетом (25) получаем, что такими условиями являются, во-первых,
~=7—Л
' ~ (46)
Р1ВКСк = 0 ^ К = Г1 В ф + рС,
и, во-вторых,
г
{ф, р}: Л А - В
V
ГЬВ ф + рС
= Лзад (А - ВК). (47)
Итак, инвариантность и устойчивость водоэнергетической системы (42) будет обеспечено, если управление с обратной связью формируется согласно ограничениям (46), (47).
Если воспользоваться положениями работ [19, 20], то можно получить следующее параметризованное множество инвариантных обратных связей
К =
*1* =
«11 \ П12 \ «13 I «14 \ П15 \ «16 \ «17 I «18
; «26 ; П27 ; П28
П3б\ «И «38
0 I 0 | «48
Т п
т1+з-1пзк
П21 \П22 ...«.2.3... \П24 П25
«31 |«32 п33 П34 П35
0 1 0 0 0 0
X-1,
т+1п1*
ТА* (1 - тмл*), 1 - т+,Л
X
( 3+х ),к
\т,
тп
т 1+г+2 ''к
тп
i+t+3 хк
X,
8,1
X,
i+t+2 V
8,7 = 0
1 - т,+х+2\ 1 - т,+х+3Ак
X,
т+7«8
_ 1 - т+7А
к = 178, 3 = {2, 4, 6}, х = {0, 2, 4},
где
[а, Х,, , Л4, Л5, Л6, ^, Д} с Л зад( А - ВК),
а элементы П - произвольны.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мисриханов М.Ш., Седунов В.Н., Шунтов А.В. Основы резервирования в системах генерации и транспорта электроэнергии.-М. : Энергоатомиздат. 2002.
2. Мисриханов М.Ш. Многоуровневое иерархическое децентрализованное управление каскадом гидроэнергетических установок.-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1976.
3. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление
оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов. -Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.
4. Мисриханов М.Ш. Аналитическое конструирование комплексной системы адаптивного управления мощностью и возбуждением гидроагрегата по критерию обобщенной работы.-Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1979.
5. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление
оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов. -Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.
6. Красовский А.А., Мисриханов М.Ш. Универсальные алгоритмы
оптимального оперативного управления гидроэнергетическими комплексами. -Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1978.
7. Мисриханов М.Ш. Синтез по критерию обобщенной работы группового регулятора мощности многоагрегатной ГЭС.-Махачкала. ДагФАН СССР, 1981.
8. Мисриханов М.Ш. Системный анализ динамических свойств гидроэнергетических установок - как объектов управления.-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1977.
9. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление матричными системами.
Сравнение подходов (Обзор) // Вестник Ивановского государственного
энергетического университета. № 4. 2002.
10. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.
11. Мисриханов М.Ш. Синтез инвариантных систем на основе ленточных
критериев управляемости и наблюдаемости // Вестник Ивановского
государственного энергетического университета. № 4. 2002.
12. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление на основе
модифицированных PBH-тестов // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.
13. Rosenbrock H.H. State space and multivariable theory. New York. J. Willey,
1970.
14. Смагина Е.М.Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.
15. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Серия: Физико-математические науки. Вып. 1.-Киев: Изд-во Киевского нац. ун-та. 2002. С. 19 - 28.
16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.
17. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления.-М: Мир, 1999.
18. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.
19. Мисриханов М.Ш. Аналитические решения уравнения Сильвестра. Первая и вторая форма решений // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова М.: Энергоатомиздат. Вып. 5. 2003.
20. Мисриханов М.Ш. О проблеме устойчивости в инвариантном управлении // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова. М.: Энергоатомиздат. Вып. 6. 2003.
Введение. Известно, что спектром «-мерной линейной электроэнергетической системы (ЭЭС):
где А - матрица динамики ЭЭС, х - вектор состояния ЭЭС, называется множество п комплексных чисел (комплексных частот), являющихся корнями характеристического полинома системы:
Каждое значение такого комплексного числа называется полюсом системы. Поэтому спектр (2) называется также множеством полюсов системы или множеством собственных значений матрицы А.
Элементы матрицы А в реальных динамических системах, каковыми являются сложные ЭЭС, обычно определяются непосредственно из физических наблюдений, и поэтому содержат ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица А + Е , которую мы имеем, является только некоторым приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. В результате этого, вместо системы (1) приходится иметь дело с объектом вида:
М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
ПСЕВДОСПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(1)
Л( а) = Д: ёй (д1п - а) = 0, і = 1 , п|.
(2)
х (?) = ( А + Е) х (?), х є □ п, А, Е є □
(3)
и его спектром:
Л (А + Е) = : ёй (Д1п -[А + Е]) = 0, і = 1 , п|.
(4)
