Синтез стабилизирующего управления на основе ленточных критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

J

УДК 681.51

СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЛЕНТОЧНЫХ КРИТЕРИЕВ*

Н.Е. Зубов12, Е.А. Микрин12, М.Ш. Мисриханов2, В.Н. Рябченко12

ХМГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]

2ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", г. Королев, Московская область, Российская Федерация e-mail: [email protected]; [email protected]

Рассмотрена проблема управления спектром матрицы или заданного размещения полюсов (pole placement), являющаяся ключевой в современной теории управления линейными системами. Получено решение задачи стабилизации линейной системы со многими входами и выходами. На основе ленточных критериев управляемости и наблюдаемости, играющих фундаментальную роль в представлении и описании свойств линейных динамических систем, приведен аналог теоремы Ван дер Воуда для случая линейной управляемой системы с одним входом и многими выходами, дано решение задачи стабилизации при заданном характеристическом полиноме замкнутой системы, получено обобщение теоремы Ван дер Воуда для случая линейной управляемой MIMO-системы, а также описано и параметризовано множество векторов разности коэффициентов заданного и исходного характеристических полиномов, которые могут быть реализованы с помощью обратной связи по выходу. Приведены доказательства сформулированных теорем.

Ключевые слова: матричный делитель нуля, динамическая система, управляемость, наблюдаемость, стабилизация, ленточный критерий, обратная связь по выходу.

SYNTHESIS OF STABILIZING CONTROL BASED ON BAND CRITERIA

N.E. Zubov12, E.A. Mikrin12, M.Sh. Misrikhanov2, V.N. Ryabchenko12

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]

2OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", Korolev, Moscow region, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]

The problem of matrix spectrum control (or pole placement problem) which is the key in the modern control theory by linear systems is considered. The problem solution of linear system stabilization with Multi Input & Multi Output (MIMO) is obtained. The analogue of Van der Voud Theorem for linear controlled system with one input and many outputs based on the band criteria of controllability and observability, playing a fundamental part in presentation and description oflinear dynamic systems properties is given. The problem solving of stabilization at defined characteristic

^Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00131).

polynomial of a closed system is given. The Van der Voud Theorem generalization for the case of linear controlled MIMO system is obtained. Also the set of vectors of coefficient difference for given and initial characteristic polynomials, which may be implemented using output feedback is described and parameterized. The proofs of the formulated theorems are presented.

Ключевые слова: matrix divide zero, dynamical system, controllability, observability, stabilization, band criteria, output feedback, pole placement.

Проблема управления спектром матрицы [1] или заданного размещения полюсов [2, 3] (pole placement [4]) является ключевой в современной теории управления линейными системами. Эта проблема возникает при решении задачи стабилизации линейной системы с многими входами и многими выходами (Multi Input Multi Output — MIMO):

ax = Ax + Bu, y = Cx, (1)

где x(t) £ Rn — вектор состояния; u(t) £ Rr — вектор входа; y(t) £ Rm — вектор выхода; B, C — числовые матрицы полного ранга; R - множество действительных чисел. a — символ, обозначающий при ax(t) = x(t) непрерывную, а при ax(t) = x(t +1) — дискретную систему.

Если C = In, т.е. y = x, то управление (1) осуществляется на основе закона с обратной связью:

u = -Fx, (2)

где F £ Rrxn — матрица регулятора по состоянию.

Если C £ Rmxn, m < n, тогда закон (2) заменяется на

u = -Ky = -KCx, (3)

где K £ Rrxm — матрица регулятора по выходу.

Для линейной системы одним входом и многими выходами (Single Input Multi Output — SIMO):

ax = Ax + b u, y = C x, (4)

где x £ Rn — вектор состояния; u £ R1 — скалярный вход; y £ Rm — векторный выход; A — циклическая матрица [5], законы (2) и (3) приобретают вид

u = -fTx, f £ Rn, (5)

u = -kTCx, k £ Rm. (6)

Введем множество собственных значений матрицы A:

Л(А) = {Аг £ C : det (AIn - A) = 0, г = I^} , (7)

являющихся корнями характеристического полинома (х.п.)

det (AIn - A) = An + an-iAn-1 + • • • + aiA + aQ. (8)

Для полностью управляемой MIMO-системы (1) и SIMO-системы (4) следующие утверждения являются эквивалентными [4]:

а) (A, B), (A, b) — управляемые пары;

б) матрицы управляемости Калмана

( B I AB I A2B I ... I An-rB ) , ( b I Ab I A2b | ... | An-rb )

(9)

имеют полный ранг по строкам;

в) обобщенные матричные пучки

( Ai Jn - A I B ) , ( Ai Jn - A I b ) (10)

имеют полный ранг для всех Ai G A(A);

г) собственные значения матриц A — BF и A — bf могут быть заданы произвольным образом и непрерывно зависят от матриц регуляторов F в законе (2) и fT в законе (5).

Аналогичные утверждения с учетом дуальности справедливы для наблюдаемости линейных систем (1) и (4).

Ключевым утверждением при решении задачи управления спектром матрицы [1] с помощью стабилизирующего закона (6) является теорема Ван дер Воуда.

Теорема (Van der Woude [6]). Пусть линейная SIMO-система (4) при ax(t) = x(t) полностью управляемая и

f (A) = An+ Sn-i An-1 + • • • + Si A+ So, A G C, «i G R, (11)

— произвольный полином. Тогда для существования вектора k G Rm такого, что

det (AJn — A+bkTC) = An+ Sn-i An-i + • • • + Si A+ So, (12) необходимо и достаточно, чтобы

f (A)Ker C с Lin (b, Ab,..., An-2b) . (13)

Здесь Ker C — ядро матрицы C ; Lin (b, Ab,..., An-2b) — линейная оболочка1, натянутая на векторы b, Ab,..., An-2b [5].

В настоящей работе на основе ленточных критериев [7-10] приведен аналог теоремы Ван дер Воуда, дано решение задачи стабилизации SIMO-системы (4) при заданном х.п. замкнутой системы (12), а также описано множество векторов разности коэффициентов заданного (12) и исходного (8) х.п., которые могут быть реализованы с помощью обратной связи по выходу.

Ленточные матрицы и критерии. В работах [7-10] описаны ленточные матрицы и критерии, играющие фундаментальную роль в представлении и описании свойств линейных управляемых систем. Рассмотрим сначала линейную систему с одним входом и одним выходом (Single Input Single Output — SISO)

ax = Ax + bu, y = cTx, (14)

Другое обозначение — Span.

где х € Мп — вектор состояния; и € К1 — скалярный вход; у € К1 — скалярный выход. В зависимости от цели исследований (14) это может быть ленточная (прямоугольная) матрица управляемости

0

T

®bR-

I n

0J

® (bR A =

V

-bRA 0 0 0

bR -bR A 0 0

0 bR -bRA 0

0 0 bR

-bRA

0 0 0 bR

G

(n2 — 1)xn2

(15)

/

или ленточная (прямоугольная) матрица наблюдаемости 0 I !п ) ® cR - ( Jn | 0 ) ® (AcR) =

V

-AcR cR 0 0 0

0 -AcR cR 0 0

0 0 -AcR

cR 0

0 0 0 -AcR cR

g Rn2 x (n2 —1) .

(16)

Здесь и далее 0 — нулевая матрица подходящего размера2, ® — символ операции кронекерова произведения, символом (-)R обозначен левый делитель нуля максимального ранга заданной матрицы (вектора), а символом (-)R — правый делитель нуля максимального ранга заданной матрицы (вектора).

Напомним [11], что левым делителем нуля максимального ранга некоторой действительной матрицы M Е Rnxm ранга r называется матрица MR, если одновременно выполняются условия

MRM = 0(n_r)xm, rank MR = n — r.

Симметрично правым делителем нуля максимального ранга некоторой действительной матрицы M Е Rnxm ранга r называется матрица MR, если одновременно выполняются следующие условия:

MMR = 0nx(m-r), rank MR = m — r.

В дальнейшем без ограничения общности будем полагать, что ма-

2В отдельных случаях ее размер будет указываться явно.

n

трицы М^ и М^ удовлетворяют условиям ортогональности, т.е.

М¿М¿т = 1п_г, М¿тМ£ = !п_т.

Отметим, что без уменьшения общности можно считать, что

Кег М = М£, Кег МтМ = М¿. (17)

Сосредоточим внимание на матрице (15), а получаемые результаты в силу принципа дуальности свойств управляемости и наблюдаемости линейной системы будем распространять на задачи, где фигурирует матрица (16).

Ранее авторами было установлено:

1. Для полной управляемости БКО-системы (14) необходимо и достаточно, чтобы [10]

( Т! \

_1_

r_LT л/Г-L

0T

I n

® Ьг -

I n

0

T

® (ьГ-a

R

Y

n—1

V

Y

-L г

/

е мп , Тг е мп, (18)

т.е. правый делитель нуля максимального ранга прямоугольной матрицы (15) был в точности вектором [10].

2. Ленточная матрица (15) инвариантна по отношению к действию законов обратной связи (5) и (6) [7].

3. Коэффициенты характеристического полинома (х.п.) (8) определяются формулой [10]:

/ ао \

а1

an-1

Y1

0T

1 n

®Ь+-

I n

0

T

<8> (b+A

Yn-1

V Yn )

b+Yn=l.

4. Коэффициенты полинома

в (A) = ^n-iAn-1 + ••• + eiA + во

числителя передаточной функции

G(A) = cT (AIn - A)-1 b =

в(А) a(A)

(19)

(20)

(21)

2

удовлетворяют следующему соотношению [12]:

= (!п0ет) - (-0т) ®(Ъ^А)) Ъ+Тп = 1.

(22) 5. Пусть

(Л!„ - А + Ъ:Т) = Лп+ ап-1 Лп-1 + • • • + а 1 Л+ «о, Л € С (23)

— заданный х.п. замкнутой БКО-системы (14) с обратной связью. В [10] показано, что вектор ктможет быть вычислен с помощью формулы

(0п 0 :т) (0 Ъ£ - 0 (Ъ£А)) ^ . (24)

6. Ленточные матрицы (15), (16) играют ключевую роль в задачах обеспечения инвариантности линейной системы по отношению к действующим возмущениям [9].

Отметим, что для полностью управляемой БКО-системы матрица

Кт = ( Т1 | Т2 I • • • I Тп_1 | Тп ) € Кпхп, (25)

составленная из векторов Т^, г = 1, п, является аналогом матрицы А.Н.Крылова [10] и обратима. При этом формула (24) эквивалентна следующей формуле [13]:

:т = ДаТК_-\ (26)

где

Д«т = ( а о -ао | «1 -«1 | • • • | «п_2 -ап_2 | «п_1 -0^-1) . (27)

В [12, 14] ленточные конструкции, приведенные ранее, обобщены на случай М1МО-системы (1).

В следующем разделе работы на основе преобразования ленточных матриц представлен аналог теоремы Ван дер Воуда и описано решение задачи стабилизации Б1МО-системы (4) при заданном х.п. замкнутой системы (12).

/ во \

вп-2

V вп-1

Аналог теоремы Ван дер Воуда. Предваряя предлагаемый нами аналог теоремы Ван дер Воуда, введем необходимые в дальнейшем леммы [11].

Лемма 1. Линейное матричное уравнение

XV = д, V е ЕП2ХП3, Q е ЕП1ХП3 (28)

разрешимо относительно матрицы X е МП1ХП2 тогда и только тогда, когда правый делитель нуля максимального ранга3 V£ является и правым делителем нуля матрицы ф:

^ £ = 0. (29)

Лемма 2. Все множество решений матричного уравнения (28) при выполнении условия разрешимости (29) определяется формулой (с минимальной параметризацией)

X = ^ + + ^ ¿, (30)

где V + — псевдообратная матрица, п — произвольная матрица подходящего размера.

Справедливы утверждения.

Теорема 1 (аналог теоремы Ван дер Воуда). Для полностью управляемой линейной SIMO-системы (4) существует такой вектор к е Мт, что обеспечивается полином (12), если и только если

ДаТК-1С £ = 0. (31)

Доказательство теоремы 1. Если х.п. (12) задан, тогда вектор С тк е Кт должен удовлетворять формуле (26), т.е.

кТС = Дат К^-1, (32)

где неизвестным считается вектор к е Кт. Рассматривая (32) как линейное матричное уравнение (28) согласно лемме 1 (см. (29)), получаем условие разрешимости (31), но это и есть условие теоремы Ван дер Воуда (13)4.

Доказательство закончено.

Теорема 2. Если для полностью управляемой линейной SIMO-системы (4) существует такой вектор к е Кт, что обеспечивается полином (12), то

кТ = ДаТК^ С+. (33)

Доказательство теоремы 2. Если условие (32) выполняется, тогда в соответствии с леммой 2 (см. (30)) получаем решение (33), где в силу полноты ранга матрицы С составляющая решения

_ пС£ = 0.

3Если рассматривать делители нуля не максимального ранга, то условие также становится только необходимым.

4См. доказательство теоремы Ван дер Воуда в [1, С. 192-195].

Доказательство закончено.

Теорема 3. Если для полностью управляемой линейной SIMO-системы (4) выполняется условие (31), то могут быть реализованы только следующие векторы разности коэффициентов х.п. (27):

Дат = ^тС Кт, (34)

где € Мт — произвольный вектор.

Доказательство теоремы 3. Рассмотрим условие (31) как уравнение относительно вектора (27). В силу леммы 2, обратимости матрицы Кх (25) и полноты ранга матрицы С^ произведение матриц К-1С^ имеет левый делитель нуля максимального ранга, равный СКт. Действительно,

СКтК^С^ = СС^ = 0. (35)

Очевидно, что вектор ^тСКт при любом € также является левым делителем нуля единичного ранга матрицы К-1 С^.

Доказательство закончено.

Таким образом, представлен аналог теоремы Ван дер Воуда в терминах ленточных матриц, дано решение задачи стабилизации Б1МО-системы (4) при заданном х.п. замкнутой системы (12), а также описано и параметризовано множество векторов разности коэффициентов заданного (12) и исходного (8) х.п.

Обобщение теоремы Ван дер Воуда на MIMO-системы. Получим для М1МО-системы (1) формулу синтеза регулятора, аналогичную (26). Рассмотрим линейную М1МО-систему (1), где С = Iп,

ах = Ах + Ви. (36)

Введем разбиение на столбцы для матрицы входа

В = ( Ъ1 | Ъ2 I • • • I Ъг_1 | Ъг ) . (37)

Справедливо утверждение.

Лемма 3. Для любой матрицы А € Мпхп всегда найдется последовательность векторов Ъ1 € Мп, Ъ2 € Мп, . .., Ъг € Мп, где г < п, что пара матриц

(А + ъ:т + Ъ2^ + • • • + Ъг_1:т_1, Ъг) (38)

— управляемая. Здесь

:т = ©ть^ 0*1 „ - А), :т = (^20п - А),

Рт _ глт и±ь

fr_i = eT_ibr_i (wr-i in - a) ,

©Tg Rn-1 -

произвольный ненулевой вектор, ^ — произвольный

скаляр, Ъ — левый делитель нуля максимального ранга вектора Ъ^, г = 1, (г - 1).

Доказательство теоремы 3.2 осуществляется аналогичным образом, как это сделано в [2] для леммы 15. Введем обозначение

A = A + bif T + b2f T + • • • + br-if T-i,

det ( AIn - A) = An + an_ 1An 1 +-----h a1A + а0

(39)

(40)

На основании справедливости леммы 3 справедлива лемма [13]. Лемма 4. Для линейной полностью управляемой MIMO-системы (36) закон обратной связи (2), обеспечивающий замкнутой систе-

ме х.п.

(^А/п - А + Ъг {1 ) = Ап+ а п_ Ап_ + • • • + а 1 А+ а о, (41) определяется формулой

где

ДаК Y1

( eTbj-L (^iin - a) ^

©Tb^-L (^2ln - A)

V ©T-1b^_L1 K-11n - A) j

KY = ( Tn Yn_ 1

Y 2 Y1

(42)

(43)

(44)

Y T

■ n— 1

b

T

TT

0

T

® br±L -

0T

® i b-LA

R

(45)

При этом параметризация всех регуляторов (42), обеспечивающих характеристический полином (41), осуществляется путем замены в расчетных соотношениях вектора Ъг на любой другой вектор Ъ из (37), варьирования элементов векторов в1 и скаляров ^ в (43).

Теперь можно сформулировать обобщение теоремы (аналога) Ван дер Воуда на случай М1МО-системы.

Теорема 4 (обобщение теоремы Ван дер Воуда). Для полностью управляемой линейной MIMO-системы (1) существует такой вектор к € Мт, что обеспечивается полином

5См. также [1, С. 183-185].

T

T

2

n

n

(А!п - А + ВКС) = Ап+ а_ Лп_1 + • • • + ах А+ «о, если и только если

1С

ДаСС-1

с R = о,

(47)

где

К =

( ©RbRL (^1 Jn - A) \ ©TbRL (tJn - A)

V ©R^bR- (wr_1ln - A) /

(48)

По аналогии с теоремами 2 и 3 доказываются соответствующие теоремы, обобщающие случай М1МО-системы.

Теорема 5. Если для полностью управляемой линейной М1МО-системы (1) существует такой вектор к € Мт, что обеспечивается полином (46), то

К =

К

ДаСС-1

(49)

При этом, параметризация всех регуляторов (49), обеспечивающих характеристический полином (46), осуществляется путем замены в расчетных соотношениях вектора Ъг на любой другой вектор Ъ из (37), варьирования элементов векторов ©т и скаляров т в (43), удовлетворяющих условию

К C R =

( ©RbRL (щ/n - A) ^ ©^bRL (t^In - A)

V ©T-1b-1 (tr_11n - A)

с R = о.

(50)

Теорема 6. Если для полностью управляемой линейной М1МО-системы (1) выполняется условие (47), то могут быть реализованы только следующие векторы разности коэффициентов х.п. (27):

Дат = ^тС К т, (51)

при условии, что выполняется (50). При этом параметризация всех векторов Дат осуществляется путем замены в расчетных соотношениях вектора Ъг на любой другой вектор Ъ из (37), варьирования элементов векторов ©т и скаляров т в (43), удовлетворяющих условию (50).

Таким образом, в данном разделе представлено обобщение теоремы Ван дер Воуда в терминах ленточных матриц на случай М1МО-

системы (1), дано решение задачи стабилизации М1МО-системы при заданном х.п. замкнутой системы (46), а также описано и параметризовано все множество векторов разности коэффициентов (51) заданного и исходного х.п.

Пример синтеза. Рассмотрим усложненную задачу, когда задана полностью управляемая БКО-система

ах = х = Ах + Ъи, у = стх,

где

A =

V

1 0 1 0

-2 1 1 0

-1 1 1 -2

1 1 -1 0

ь =

( -1 \

-1 \~J

cT =

( 0,8 \

-1 -0,2

V 1 /

Характеристический полином (8) здесь равен

(Л!п - А) = Л4 - ЗА3 + А2 + 9А - 10

и, как видно, является неустойчивым.

Предположим, что с помощью обратной связи по выходу

и = —ктстх, к е К,

(52)

(53)

(54)

(55)

требуется обеспечить устойчивый х.п. следующего вида:

ае1 (Л/п - А + Ъктст) = Л4 + ЗА3 + 7А2 + 9Л + 10. (56)

Вычитая соответствующие коэффициенты х.п. (56) и х.п. (54), найдем вектор разности (27)

Дат = ( 20 | 0 | 6 | 6 ) .

Вычислим далее левый делитель нуля вектора Ъ и правый делитель нуля вектора ст из (53). Получим

0,5 0,8333 0,1667 -0,1667

-0,5 0,1667 0,8333 0,1667

0,5 0,1667 0,1667 0,8333

cRT =

При этом

0,6108 0,7494 -0,0501 0,2506

0,1222 -0,0501 0,99 0,0501

-0,6108 0,2506 0,0501 0,7494

,+T

= ( 0,2885 | -0,3731 | -0,0746 | 0,3731 ) .

Сформируем ленточную матрицу (15), найдем ее правый делитель нуля (18), а затем построим матрицу (25). Получим

Ky = ( T1 | T2 | Ts | T4 ) =

/ 0,2274 0,1387 -0,0693 -0,0693 \

-0,5547 0 0,0693 0,0693

0,4160 0,2080 -0,1387 -0,0693

V -0,5547 -0,0693 0,1387 0,0693

Согласно теореме 1 проверим условие (31):

Да^^ =( 20 I 0 I 6 I 6 )х

х

/ 0,2274 0,1387 -0,0693

-0,5547 0 0,0693

0,4160 0,2080 -0,1387

\ -0,5547 -0,0693 0,1387

1

0,0693 -0, 0693 0,0693

х

0,6108 0,1222 -0,6108

0,7494 -0,0501 0,2506

-0,0501 0,99 0,0501

0,2506 0,0501 0,7494

х

где

|| ДатК_1С^||Е < 7,27 • 10 а |ДатК^1С^1 Е — эрмитова векторная норма

-15

Таким образом, задача стабилизации неустойчивой БКО-системы (52), (53) обратной связью по выходу (55) с обеспечением заданного х.п. (56), разрешима, а ее решение в соответствии с формулировкой теоремы 2 равно

kT = ДатС^с+ = ( 20 | 0 | 6 | 6 )

х

х

/ 0,2274 0,1387 -0,0693

-0,5547 0 0,0693

0,4160 0,2080 -0,1387

V -0,5547 -0,0693 0,1387

-0,0693 \ 0,0693 -0,0693 0,0693 )

1

х

х

( 0,2985 \ -0,3731 -0,0746 \ 0,3731 )

= 10.

0

Можно убедится, что х.п. замкнутой системы равен

det

/А - 1 0 -1 0\ /-1\ \

2 А - 1 -1 0 1 • 10 • (0,8 -1 -0,2 1)

1 А - 1 -1 2 -1

V -1 -1 1 а) V 1 /

= Л4 + 3А3 + 7А2 + 9Л + 10,

что и требовалось получить.

Наконец, используя теорему 3, осуществим параметризацию векторов разности коэффициентов х.п. (27), которые можно реализовать для БКО-системы (52), (53). Имеем

Дат = ^тстКх = ( 10^ | 0 | 3^ | 3^ ) , ^ е К,

или в другом виде

ае1 (Л!п - А + Ъктст) = Л4+(3^ - 3) Л3+(3^ + 1) А2+9А+10 (^ - 1).

(57)

Отметим, что на интервале значений ^ = [1,666; 2,285] полином (57) является устойчивым.

Заключение. На основе разработанного авторами подхода к анализу и синтезу линейных управляемых систем с помощью ленточных матриц и критериев получен аналог теоремы Ван дер Воуда для случая линейной управляемой Б1МО-системы. Приведено решение задачи стабилизации при заданном характеристическом полиноме замкнутой системы, описано и параметризовано множество векторов разности коэффициентов заданного и исходного характеристических полиномов, которые могут быть реализованы с помощью обратной связи по выходу. Получено обобщение теоремы Ван дер Воуда для случая линейной управляемой М1МО-системы, а также описано и параметризовано множество векторов разности коэффициентов заданного и исходного характеристических полиномов этой системы, которые могут быть реализованы с помощью обратной связи по выходу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Леонов Г.А., Шумафов МММетоды стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2005. 224 с.

2. Андреев Ю.Н.Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

3. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004.

4. Kailath T. Linear Systems. Prentice Hall. Englewood Cliffs. NJ. 1980. 832 р.

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

6. Van der Woude J.W. A note on pole placement by static output feedback for single input systems // Systems & Control Letters. 1988. Vol. 11. P. 285-287.

7. Мисриханов М.Ш.Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // АиТ. 2005. № 12. С. 93-104.

8. Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость больших динамических систем // АиТ. 2006. № 5. С. 119-132.

9. Мисриханов М.Ш.Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. М.: Наука. 2007. 284 с.

10. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Ленточная формула решения задачи А.Н. Крылова // АиТ. 2007. № 12. С. 53-69.

11. МисрихановМ.Ш., Рябченко В.Н.Алгебраические и матричные методы в теории линейных М1МО-систем // Вестник ИГЭУ 2005. Вып. 5. С. 187-242.

12. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Ленточная формула для расчета коэффициентов полинома числителя передаточной функции БКО-системы // Вестник ИГЭУ 2005. Вып. 6. С. 269-273.

13. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Анализ и синтез линейных динамических систем на основе ленточных формул // Вестник ИГЭУ. 2005. Вып. 5. С. 243248.

14. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Ленточные критерии и рекурсивные тесты полной управляемости и наблюдаемости линейных алгебро-дифференциальных систем // АиТ. 2008. № 9. С. 44-61.

REFERENCES

[1] Leonov G.A., Shumafov M.M. Metody stabilizatsii lineinykh upravliaemykh system [Methods of stabilization of controllable linear systems]. St. Petersburg. Uni. St. Petersburg Publ., 2005. 224 p.

[2] Andreev Yu.N. Upravlenie konechnomernymi lineynymi ob'ektami [Control of finite-dimensional linear objects]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 424 p.

[3] Dorf R.S., Bishop R.H. Modern Control Systems. 12th ed. Prentice Hall, 2011. 1034 p. (Russ. Ed.: Dorf R., Bishop R. Sovremennye sistemy upravleniya. Per. s angl. B.I. Kopylova. Moscow, Laboratoriya Bazovykh Znaniy Publ., 2002. 832 p.).

[4] Kailath T. Linear Systems. Prentice-Hall Information and System Sciences Series. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1980. 682 p.

[5] Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matritsy i vychisleniya [Matrices and computations]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 320 p.

[6] Van der Woude J.W. A note on pole placement by static output feedback for single input systems. Systems & Control Letters, 1988, vol. 11, pp. 285-287.

[7] Misrikhanov M.Sh. Band criteria of controllability and observability of linear dynamical systems. Avtom. Telemekh. [Automation and Remote Control], 2005, no. 12, pp. 93-194 (in Russ.).

[8] Zybin E.Yu., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Recursive tests for controllability and observability of large dynamical systems. Avtom. Telemekh. [Automation and Remote Control], 2006, no. 5, pp. 119-132 (in Russ.).

[9] Misrikhanov M.Sh. Invariantnoe upravlenie mnogomernymi sistemami. Algebraicheskiy podkhod. [The invariable control for multidimensional systems. Algebraia Approach]. Moscow, Nauka Publ., 2007. 284 p.

[10] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. The band formula for A.N. Krylov's problem. Avtom. Telemekh. [Automation and Remote Control], 2007, vol. 68, no. 12, pp. 53-69 (in Russ.).

[11] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Algebraic and Matrix Methods in the Theory of linear MIMO Systems. Vestn. Ivanovskiy Gos Energ. Univ. (IGEU) [Bull. Ivanovo State Power Eng. Un.], 2005, iss. 5, pp. 187-242 (in Russ.).

[12] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Band formula for calculating the coefficients of the numerator of the transfer function of SISO-system. Vestn. Ivanovskiy Gos Energ. Univ. (IGEU) [Bull. Ivanovo State Power Eng. Un.], 2005, iss. 6, pp. 269-273 (in Russ.).

[13] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Analysis and Synthesis of Linear Dynamic Systems Based on Banded Formulas. Vestn. Ivanovskiy Gos Energ. Univ. (IGEU) [Bull. Ivanovo State Power Eng. Un.], 2005, iss. 5, pp. 243-248 (in Russ.).

[14] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Band criteria and recursive tests of complete controllability and observability of linear differential-algebraic systems Avtom. Telemekh. [Automation and Remote Control], 2008, vol. 69, no. 9, pp. 1486-1503.

Статья поступила в редакцию 10.02.2014

Николай Евгеньевич Зубов — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", профессор кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 90 научных работ в области проблем управления космических аппаратов.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская

Федерация, 141070, Московская область, г. Королев, ул. Ленина, д. 4а.

N.E. Zubov — Dr. Sci. (Eng.), deputy director on science of the Research and Development

Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", professor of

"Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical

University. Author of more than 90 publications in the field of problems of spacecraft

control.

Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.

Евгений Анатольевич Микрин — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", заведующий кафедрой "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 150 научных работ в области систем управления космических аппаратов. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, г. Королев , ул. Ленина, д. 4а.

E.A. Mikrin — Dr. Sci. (Eng.), Member of the Russian Academy of Sciences, head of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University, first deputy general designer of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya". Author of more than 150 publications in the field of problems of spacecraft control.

Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.

Мисрихан Шапиевич Мисриханов — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева". Автор более 150 научных работ в области проблем управления.

ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, г.Королев , ул. Ленина, д. 4а.

M.Sh. Misrikhanov — Dr. Sci. (Eng.), leading researcher of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya". Author of more than 150 publications in the field of problems of control.

OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.

Владимир Николаевич Рябченко — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", профессор кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 200 научных работ в области проблем управления.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация,105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, г.Королев, ул. Ленина, д.4а.

V.N. Ryabchenko — Dr. Sci. (Eng.), leading researcher of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", professor of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 200 publications in the field of problems of control. Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.