CC BY
55
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
J
УДК 681.51
ЛЕНТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ MIMO-СИСТЕМ
Н.Е. Зубов12, Е.А. Микрин12, М.Ш. Мисриханов2, В.Н. Рябченко12
ХМГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: nezubov@bmstu.ru
2ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", Королев, Московская область, Российская Федерация e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru
Рассмотрено применение метода Крылова в теории управления для решения разнообразных задач анализа и синтеза линейных динамических MIMO-систем. На основе ленточных формул анализа управляемости представлен подход для анализа и синтеза линейных динамических MIMO-систем. С помощью преобразований ленточных матриц управляемости найдена ленточная формула, связывающая параметры MIMO-системы и коэффициенты характеристического полинома.
Ключевые слова: матричный делитель нуля, динамическая система, управляемость, ленточный критерий, обратная связь по состоянию, параметризация регуляторов.
BAND FORMULAS FOR ANALYSIS AND SYNTHESIS OF CONTROLLED DYNAMIC MIMO SYSTEMS
N.E. Zubov12, E.A. Mikrin12, M.Sh. Misrikhanov2, V.N. Ryabchenko12
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: nezubov@bmstu.ru
2OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", Korolev, Moscow region, Russian Federation e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru
The application of A.N.Krylov's method in the control theory for solving various problems of analysis and synthesis of linear dynamic multi-input multi-output (MIMO) systems is discussed. These problems include the calculation of a balanced implementation of the linear MIMO system transfer matrix in the state space; reduction and decomposition of a model of this system in the state space; the definition of controlled and observed subspaces; stabilization using state elements feedback; synthesis of the control that provides the system invariance to the external perturbation. An approach is presented for analysis and synthesis oflinear dynamical MIMO-systems on the basis of band formulas of controllability analysis. Using transformations of controllability band matrices, the band formula, connecting the MIMO-system parameters and the characteristic polynomial coefficients, is found.
Keywords: matrix zero divisor, dynamical system, controllability, band criterion, state feedback, parameterization of regulators.
Введение и постановка задачи. В теории управления для решения разнообразных задач анализа и синтеза линейных динамических
MIMO-систем (Multiple Inputs Multiple Outputs Systems), т.е. систем со многими входами и выходами, широко используется метод Крылова. К таким задачам относятся [1-5] вычисление сбалансированной реализации передаточной матрицы MIMO-системы в пространстве состояний; редукция и декомпозиция модели этой системы в пространстве состояний; определение управляемых и наблюдаемых подпространств; стабилизация с помощью обратной связи по элементам состояния; синтез управления, обеспечивающего инвариантность системы к внешним возмущениям и т.д.
Рассмотрим полностью управляемую линейную MIMO-систему
x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1)
где x(t) £ Rn — вектор состояния; u(t) £ Rr — векторный вход; R — множество действительных чисел.
Корни характеристического полинома
/ an-i \
det (XIn - A) = An + ( An-i • • • A 1 ) . , (2)
a1
\ ao у
где In — единичная матрица порядка n; A £ C — комплексное число, определяющее устойчивость MIMO-системы (1).
В первоначальном виде метод Крылова предназначен для решения задачи нахождения коэффициентов характеристического полинома матрицы (2) по значениям ее элементов. С позиции алгебры эта задача имеет решение, если n векторов An-1b, ..., A, b образуют полный базис в множестве Rn. Такой базис всегда существует (всегда найдется подходящий вектор b), если характеристический полином (2) совпадает с минимальным характеристическим полиномом.
Матрицы, удовлетворяющие приведенному ниже условию, получили название циклических матриц [6]. Отметим, что линейные (циклические) подпространства, образованные векторами Ak-1b, ..., A, b (k < n),
span (Ak-1b, ..., A, b) , k <n
получили название подпространств Крылова (Krylov Subspaces) [7].
С позиций современной теории управления пара (A, b) с циклической матрицей A называется полностью управляемой и соответствует линейной SIMO-системе (Single Input Multi Output System), т.е. системе с одним входом и многими выходами. В этом случае матрица управляемости Калмана
( b Ab ... An-1 b ) £ Rnxn (3)
является квадратной и обратимой.
На основе (3) для 81МО-систем Аккерманном [4], Бассом [3], а также авторами работы [9] были предложены явные формулы, позволяющие по коэффициентам исходного (2) и заданного характеристического полинома
( Лп-г \
(4)
(А1п — А + ВК) = Ап + ( Ап-г • • • А 1
\ Ло )
вычислить регулятор в законе управления с обратной связью
и = —Кх. (5)
Для М1МО-системы (1) матрица управляемости Калмана
С = ( В АВ • • • Ап-1В ) е Мпхгп (6)
является прямоугольной, что не позволяет напрямую воспользоваться методом Крылова для решения задачи вычисления коэффициентов характеристического полинома и нахождения регулятора.
Известна формула [10], связывающая матрицу управляемости (6) М1МО-системы (1) и сопровождающую матрицу Фробениуса (матрицу А в канонической наблюдаемой форме [3]) для полинома (2). Запишем сопровождающую матрицу Фробениуса
F =
в компактном виде
Здесь
E =
/0 0 •• 0 - ао
1 0 •• 0 -а1
0 1 •• 0 -а,2
У 0 0 •• 1 - ~an-l
F = En т - aen
00
00
(7)
V
0 0 ••• 0 0 0 0 0 1 0
Е Rn
а =
/
( an-i \
а1 \ ао
G Rn; (8)
еп — единичный орт с единицей на п-м месте. Тогда существует равенство [10]
АС = С (Г ® 1г), (9)
где ® — символ операции кронекерова произведения матриц.
В настоящей работе решается следующая задача. На основе преобразований ленточных матриц управляемости требуется найти ленточную формулу, связывающую параметры М1МО-системы и коэффициенты характеристического полинома (2). Использовать полученную формулу для явного описания регулятора М1МО-системы, обеспечивающего системе, замкнутой управлением (5), коэффициенты характеристического полинома, как у (4).
Ленточная формула для определения коэффициентов характеристического полинома MIMO-системы. Рассмотрим представление матрицы управляемости (6) в следующем блочно-матричном виде [5]:
( In -A 0 In
C ={ In 0 0 • • • 0
0 0 \-1 00
или в обобщенной форме
0 0 ••• In -A 0 0 0 0 In
C = ß Ü-1a.
(In ® B) ,
В (10) использованы матрицы
в = ( 1п 0 0 • • • 0 ) е мп
Q =
In A
00
0 0
0 0
In A
0 0 0 0
B0
= In® In- E n ® A;
(10) (11)
(12)
/
а =
0B
0 0
0 0
0 0
0 0
00 B0 0B
= In B;
(13)
/
/0 1 00
En =
00 00
00
01
0 0 0 0 0
E R
2
n
Воспользовавшись соотношениями (10)—(13), запишем уравнение (9) в компактном виде
Aß П-1а = ß П-1а (F < lr),
или эквивалентно
(Ав - в )( !02 ° а ,))
= 0.
(14)
Введем понятие "левый и правый аннулятор" [11] (матричных делителей нуля), тогда уравнение (14) можно переписать в виде, аналогичном уравнению, приведенному в работе [9]:
(а (Л I,)) = (о 5)(Ав - в)д (). (15)
В формуле (15) матрица ( A^ — в )R — правый делитель нуля максимального ранга матрицы ( Ae — в ) [11]:
( Ae — в )( Ae — в )R = 0 £ Rnxs, s = n2 — rank ( Ae — в ) .
С помощью (11) правый делитель нуля ( Ав — в можно определить в явном виде [11]. Нетрудно показать, что выполняется тождество ( )
втАД вт вД 0 втА 0
( Ав - в =
(16)
где в+ — матрица, псевдообратная к матрице в; Ад — правый делитель нуля матрицы А; в к — правый делитель нуля матрицы (11).
В соответствии с матрицей (11) в + = вт. Тогда вместо соотношения (16) можно записать
( Ав -в )Л =( вМл вТ в I Ав в )r I о вТА 0
(17)
где
0 In
вЛ =
0 0
V
0 In
00
0 0 0
In
0
In—1 < In
Проверяя формулу (16), получаем
( Ав - в U вТАл вТ вл I Ав в ^ 0 вТА 0
= ( АввТАЛ АввТ - ввТА - ввл ) =
= ( ААЛ А - А 0 ) = ( 0 0 0
Если матрица А — обратимая, то Ад = 0 [11] и формула (16) преобразуется к относительно простой формуле
(Ав - в =(/А
Действительно, проверяя, получаем
] = ( Аввт - ввтА АввД ) = ( 0 0 Подставляя (17) в (15), записываем соотношение
Ав - в) (fA ßt
а
а (F ® Ir)
П 0 0 П
вtaR вт в1
0 втА 0
(18)
которое будем рассматривать как уравнение относительно матрицы Фробениуса ^ (7).
Выполним для уравнения (18) следующее преобразование (слева):
I2 ®( а+
= I2 ®
ai а
+
а
а (F ® Ir)
П 0 0 П
где
I2
ai а
+
в taR в т в1
0 в тА 0
( ai 0 ^
а+ 0
0 ai
0 а+ /
, (19)
— невырожденная матрица, ненулевые блоки которой удовлетворяют тождеству
ai а
+
а=
0
Irank а
Здесь а+ — матрица, псевдообратная к матрице а; ад — левый делитель нуля матрицы (13) максимального ранга (определение левого делителя нуля симметрично определению правого делителя нуля [11]). На основе (19) получим два матричных уравнения:
0
^гапк а
=(а+а)(в-ад вт вд)((I.®^ 0)(
0
F ® Ir
a i П
а+П
(0 втА 0 ) I ^2
которые перепишем в виде трех матричных соотношений:
ai П 0 0 ai П
вtaR вт вк
0 втА 0
Irank а = а+П ( вТА^ вТ вi ) I ^2
F ® Ir = а+П ( 0 вТА 0 ) | ^2
^э
(20)
(21)
(22)
1)ассмотрим уравнения (20), (21) как условия для выбора матрицы ( »1 »2 »з ) , а уравнение (22) — как собственно решение, т.е. матрицу Фробениуса F (7).
Проанализируем (20), вследствие чего справедливы равенства
ai П 0 0 ai П
вТА^ вт в£ 0 в ТА 0
R
a^AR а i Пвт а^Пв^ 0 aiПвт А 0
±
R
т.е. матрица »1 »2 »3 ) — правый делитель нуля матрицы максимального ранга
аДПвтАД аДПвт аДПвД
0 а Д ПвтА 0 которая должна удовлетворять дополнительному соотношению (21):
а
+ П ( втАД вт вД ) | »2 I = /гапка,
»3
или в раскрытом виде
а+автАД »1 + а+^вт»2 + вД »3 = 1апк а.
Допустим, что это действительно так. Тогда имеет место формула
F < Ir=a+Q ( 0 в TA 0 )
ai
JR
0 af^A 0
R
= а+П ( 0 втА 0 ) | | = (23)
Подставляя в (23) ленточные матрицы [9]
a+ =
aT =
B+ 0 • • 0 0
0 B+ • • 0 0
. 0 0
0 0 • • B+ 0
0 0 • • 0 B+
Bf 0 • • 0 0
0 Bf • • 0 0
0 0 • • Bf 0
0 0 • • 0 Bf
= In® B
= In ® Bf,
где
BfB = 0, rank Bf = n - r,
(24)
получаем ленточную формулу, связывающую коэффициенты характеристического полинома М1МО-системы с парой (А, В) без явного участия матрицы управляемости (6):
F < Ir = (In ® B+)
(25)
В раскрытом виде согласно (7), (12) ленточная формула (25) имеет
вид
где
(En - аеП) ® Ir = (In ® B+) (In ® In - En ® A) ^2, (26)
Ф11 Ф12 Ф13
0 Ф22 0
_L
R
(27)
Ф11 = af^Af = (In ® Bf) (In ® In - En ® A) ( A0R ) ; (28)
AT
Ф12 = «¿Пвт = (In ® Bf) (In ® In - En ® A) ( In ^ ; Ф13 = af^R" = (In ® Bf) (In <8> In - En ® AH 0 ) ;
\ Jn-1 < Jn /
(29)
(30)
ф
22
= = (In ® Bf) (In ® In - En ® A) ^ A ^ ;
(31)
(In ® B+) (In ® In - En ® A) X
X
A
R
0
n 0
0
in— 1 ® In
= I,
rank а •
(32)
Выражение (32) следует рассматривать как условие нормировки. В случае динамической системы с одним входом и многими выходами (81МО-системы)
¿(¿) = Аж(£) + 6м(£) г = 1 и формула (26) принимает упрощенный вид:
Бп - аеП = (!п ® 6+) (/„ ® /„ - Ёп ® А)
Таким образом, вектор коэффициентов характеристического полинома а (8) определяется по следующей ленточной формуле (записанной в форме кронекерова произведения):
а = ((/п ® 6+) (!п ® 1п - Еп ® А) ^ - Е^) еп,
или с учетом тождества Епеп = еп-1
а = (/п ® 6+) (/п ® /п - Еп ® А) ^2еп - еп-1. (33)
Формула (33) эквивалентна формуле, ранее полученной в работе [9]:
\
(
ao a1
an- i
\
( -b+A 0 b+ -b+A
0
0 0
b+
0 0
0 0
-b+A b+
0 0 0
-b+A b+
x
x
( -biA 0 0 •• • 0 \
bi -biA 0 •• • 0
0 bi -biA •• •0
0 0 bi ..
. -biA
0
0
0
(34)
bi /
R
Ленточная формула регулятора М1МО-системы. Для вывода явной формулы регулятора М1МО-системы, обеспечивающего этой системе, замкнутой управлением (5), коэффициенты как у характеристического полинома (4), применим выражение (26). Очевидно, что для
0
замкнутой системы можно записать
(En - den) < Ir = (In < B+) (In < In - En < (A - BK)) (35)
где
d =
^ dn-1 \ d1
\ do /
^ — некоторая подходящая матрица.
Примем, что матрица А—ВК асимптотически устойчивая и, следовательно, невырожденная. В этом случае правый делитель нуля Ад = 0 и вместо формул (27)—(32) запишем:
Ф11 = 0;
^2 Я
Ф12 Ф13 Ф 22 0
±
R
Ф12 = (In < Bf) (In < In - En < (A - BK)) ^ ^ ^ Ф13 = (In < Bf ) (In < In - En < (A - BK))
Ф22 = (In < Bf) (In < In - En < (A - BK))
(In < B+) (In < In - En < (A - BK)) x
0
^n-1 < ^n
A - BK 0
(36)
(37) ; (38) ; (39)
x
In
0
0 In 1 < In
^2 Я
= I,
rank а •
Нетрудно заметить, что в силу (24) вместо формул (37)—(39) следует записать
1п 1 = \Т/ .
= ф12.
Ф12 = (In < Bf) (In < In - En < A) 0
Ф13 = (In < Bf) (In < In - En < A)
0
In 1 < In
=Ф
13;
Ф22 = (In < Bf) (In < In - En < A)
A
=Ф
22,
0
т.е. матрицы Ф12, Ф13 и Ф22 инварианты относительно действия обратной связи (5). Откуда следует, что и матрицы (36) также инвариантны к обратной связи.
На основе выполненного анализа вместо формулы (35) запишем
(E„ - den) ® Ir = (In ® B+) (In <8> In - En << (A - BK)) ^ (40)
Вычтем соответствующие части выражений (26) и (40), в результате получим
(а - d) еП < Ir = (In < B+) (En < BK) ^
Следовательно, запишем цепочку утверждений
(а - d) en < Ir = (En < K) ^2;
((а - d) en < Ir) = En < K. (41)
Выражение (41), записанное в виде
En < K = ((а - d) en < Ir) (42)
и есть искомая явная формула регулятора.
Отметим, что множество регуляторов {K}, удовлетворяющих условиям задачи обеспечения заданного характеристического полинома MIMO-системы (1), в рассматриваемом случае порождается левым делителем нуля матрицы Другими словами, при любой невырожденной матрице T подходящего размера справедливо тождество
(а - d) en < Ir = (En < K + ) ^
Если произведение L наделить структурой кронекерова произведения матриц En < K, т.е. En < f (T^.f L), тогда вместо формулы (42) можно записать условие параметризации множества регуляторов:
En < (K + f (T4L)) = ((а - d) en < Ir)
Таким образом, в настоящем исследовании представлен подход к анализу и синтезу линейной динамической системы со многими входами и многими выходами (MIMO-системы) на основе ленточных формул.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев Ю.Н.Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.
2. Уонем МЛинейные многомерные системы управления: геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.
3. Kailath T. Linear Systems. N.J: Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1980. 682 p.
4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004. 831 с.
5. Мисриханов МШ.Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. М.: Наука, 2007. 284 с.
6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 386 с.
7. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 435 с.
8. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Анализ и синтез линейных динамических систем на основе ленточных формул // Вестник ИГЭУ 2005. Вып. 5. С. 243-248.
9. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Ленточная формула решения задачи А.Н. Крылова // АиТ. 2007. № 12. С. 53-69.
10. Nordstrom K., Norlander H. On the multi input pole placement control problem // Proc. 36 IEEE Conf. Decisionand Control. 1997. Vol. 5. P. 4288-4293.
11. МисрихановМ.Ш., Рябченко В.Н.Алгебраические и матричные методы в теории линейных MIMO-систем // Вестник ИГЭУ 2005. Вып. 5. С. 196-240.
REFERENCES
[1] Andreev Yu.N. Upravlenie konechnomernymi linejnymi ob'ektami [Control of finite-dimensional linear plants]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 424 p.
[2] Wonham W.M. Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. 3rd ed. New York, Springer-Verlag, 1985. 334 p. (Russ. Ed.: Linejnye mnogomernye sistemy upravlenija: geometricheskij podhod. Moscow, Nauka Publ., 1980. 376 p.).
[3] Kailath T. Linear Systems. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.: 1980. 682 p.
[4] Dorf R.S., Bishop R.H. Modern Control Systems. 12th ed. Prentice-Hall, 2011. 1034 p. (Russ. Ed.: Sovremennye sistemy upravlenija. Moscow, Laboratorija Bazovyh Znanij Publ., 2004. 831 p.).
[5] Misrikhanov M.Sh. Invariantnoe upravlenie mnogomernymi sistemami. Algebraicheskij podhod. [Invariant control of multivariable systems. Algebraic approach]. Moscow, Nauka Publ., 2007. 284 p.
[6] Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matricy i vychislenija [Matrices and computations]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 386 p.
[7] Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. 184 p. (Russ. Ed.: Vychislitel'naja linejnaja algebra. Teorija i prilozhenija. Moscow, Mir Publ., 2001. 153 p.).
[8] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Analysis and Synthesis of Linear Dynamic Systems Based on Banded Formulas. Vestn. Ivanovskiy Gos Energ. Univ. (IGEU) [Herald of the Ivanovo State Power Eng. Un.], 2005, iss. 5, pp. 243-248 (in Russ.).
[9] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. The band formula for A.N. Krylov's problem. Avtom. Telemekh. [Automation and Remote Control, vol. 68, no. 12, pp. 2142-2157], 2007, no. 12, pp. 53-69 (in Russ.).
[10] Nordstrom K., Norlander H. On the multi input pole placement control problem. Proc. 36th IEEE Conf. Decision and Control., 1997, vol. 5, pp. 4288-4293.
[11] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Algebraic and Matrix Methods in the Theory of linear MIMO Systems. Vestn. Ivanovskiy Gos Energ. Univ. (IGEU) [Herald of the Ivanovo State Power Eng. Un.], 2005, iss. 5, pp. 196-240 (in Russ.).
Статья поступила в редакцию 10.02.2014
Николай Евгеньевич Зубов — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", профессор кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 90 научных работ в области проблем управления космических аппаратов.
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, Королев , ул. Ленина, д. 4а.
N.E. Zubov — Dr. Sci. (Eng.), deputy director on science of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", professor of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 90 publications in the field of problems of spacecraft control.
Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.
Евгений Анатольевич Микрин — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", заведующий кафедрой "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области систем управления космических аппаратов. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, Королев , ул. Ленина, д. 4а.
E.A. Mikrin — Dr. Sci. (Eng.), Member of the Russian Academy of Sciences, head of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University, first deputy general designer of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya". Author of more than 100 publications in the field of problems of spacecraft control.
Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.
Мисрихан Шапиевич Мисриханов — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева". Автор более 150 научных работ в области проблем управления.
ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, Королев , ул. Ленина, д. 4а.
M.Sh. Misrikhanov — Dr. Sci. (Eng.), leading researcher of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya". Author of more than 150 publications in the field of problems of control.
OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.
Владимир Николаевич Рябченко — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", профессор кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 200 научных работ в области проблем управления.
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация,105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская область, Королев, ул. Ленина, д. 4а.
V.N. Ryabchenko — Dr. Sci. (Eng.), leading researcher of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", professor of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 200 publications in the field of problems of control. Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", ul. Lenina 4a, Korolev, Moscow region, 141070 Russian Federation.
