Управление каскадом гидроэлектростанций Текст научной статьи по специальности «Математика»

б

Рис. 1. Изменения напряжения в начале переходного процесса (б)

На рис. 1, а приведен график изменения тока нагрузки в начале переходного процесса при изменении времени t от нуля до 1,6 миллисекунды. Здесь хорошо виден процесс заряда и разряда конденсатора, причем длительность интервала заряда конденсатора в каждом периоде значительно больше интервала разряда. Поэтому напряжение на конденсаторе и на нагрузке в среднем возрастает.

На рис. 1,б показан график изменения тока в течение всего переходного процесса в преобразователе, который длится, как видно, около 0.03 секунды. Переходные процессы и по току, и по напряжению характеризуются перерегулированием, но являются слабо колебательными и сильно

демпфированными. При этом положение равновесия системы является асимптотически устойчивым. Следует также подчеркнуть, что характер переходных процессов системы в первую очередь определяется значениями чисел Àj, X2 , назначенными в процессе синтеза. Поэтому, изменяя их величину, можно получать процессы, удовлетворяющие различным требованиям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ушаков В.Н., Долженко О.В. Электроника: от элементов до устройств.-М.: Радио и связь, 1993.

2. Erickson R. W. Fundamentals of Power Electronics. N.Y. : Chapman and Hall, 1997.

3. Erickson R.W., Maksimovic D. Fundamentals of Power Electronics. Norvell: Kluwer Academic Publishers, 2001.

4. Гайдук А.Р. Синтез нелинейных систем на основе управляемой формы Жордана // Автоматика и телемеханика. 2006. № 7.С. 3 - 13.

Ле Чан Тханг

УПРАВЛЕНИЕ КАСКАДОМ ГИДРОЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

Введение. В настоящее время вопрос использования энергии становится вопросом существования человечества, его безопасности. Люди нашли и используют много различных источников энергии, например, нефть, газ, уголь, солнце, ветер, морские приливы и т.д. Наиболее интенсивно используемые в

настоящее время источники энергии - нефть, газ, уголь являются не возобновляемыми источниками. В то же время энергия рек, извлекаемая гидроэлектростанциями, является возобновляемой, т.е. неисчерпаемой энергией. В разных странах построено много гидроэлектростанций (ГЭС). Около 15-ти крупных ГЭС в России имеют мощность от 6,4 ГВт (Саяно-Шушенская на реке Енисей) до 1 ГВт (Чиркейская на реке Сулак). Поэтому системы автоматического управления ГЭС имеют большое значение.

Чтобы повысить качество работы ГЭС и, в частности каскада ГЭС, необходим учет всех факторов, влияющих на все ГЭС каскада [1]. Работа ГЭС зависит от уровня воды в реке; в свою очередь уровень воды в верхнем и нижнем бьефе зависит от интенсивности осадков, от величины естественного стока реки, отбора воды на орошение и т.п. Математическая модель одиночной ГЭС и каскада ГЭС является нелинейной. Поэтому качественная система управления каскадом ГЭС может быть только нелинейной.

В данной работе предлагается новый подход к синтезу нелинейных систем управления. Он базируется на известном методе функций Ляпунова [2, 3] и позволяет достаточно просто синтезировать нелинейную систему для управления нелинейным объектом с несколькими независимыми управлениями.

Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, который описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений

X = /(х,ы) , (1)

где X е Яп - вектор состояния; и е Кт - векторное управляющее воздействие, т > 1; /(х, и) - нелинейная дифференцируемая вектор-функция, причем /(0,0) = 0.

Задача синтеза заключается в определении управления и = и(х), т.е. в определении такого нелинейного векторного управления, при котором положение равновесия х = 0 системы (1) является асимптотически устойчивым в целом.

Синтез управления. Предположим, нелинейность системы (1) удовлетворяет условию

д2/(х,

д2 2

о Щ

тогда систему (1) можно представить [3] следующим образом:

X = А1Х + /1(х) + В(х)и, (3)

где А - постоянная матрица линейного приближения функции /(х,0) в точке X = 0; /(X) - некоторая нелинейная вектор-функция. Подчеркнем, что

уравнение (3) является точным представлением уравнения (1) при условии (2).

Если А1 неустойчивая матрица, то полагаем и = и1 + и2, где

Щ1 е Ят, и2 £ ^. Предположим, что пара А1, B(x) вполне управляема при

всех X е Яп и что существует управление и1 = —К(X)x такое, что матрица А = А1 — В(X)К(X) является постоянной и асимптотически устойчивой. При таком управлении и система (3) принимает вид

X = Ал + /l(x) + B(x)u2. (4)

и )

= 0, і = [1,т];

(2)

Изложенное позволяет считать, что в (4) постоянная матрица А асимптотически устойчива.

Имея в виду синтез управления на основе функций Ляпунова, введем матрицу

т

P , которая является решением уравнения Ляпунова [3]: А Р + ГА = —C, где С > 0. Так как А асимптотически устойчива, то матрица Р является положительно определенной, т.е. Р > 0.

Возьмем в качестве кандидата в функции Ляпунова для системы (4)

т

положительно определенную квадратичную форму V = X Р X и найдем её производную по времени вдоль траекторий системы (4):

V (X) = — X С X + 2 [X7"Р/ (X) + xT Р В^щ ]. (5)

В соответствии с известной теоремой Ляпунова [2, 3] для обеспечения

асимптотической устойчивости положения равновесия X = 0 системы (4)

необходимо выбрать управление щ = щ(X) = [и^),и2^),ит(X)]7 так, чтобы

V(x) < 0 на всех траекториях этой системы.

Если при некоторых X е Яп и 1X1 > £ 1 имеет место неравенство Т т

X Р/1(X) <а X С X, ае[0, 0,5], то согласно (5), можно полагать

U2(x) = 0, т.е.

т т

U2(x) = 0 при X P/l(x) <а X Cx. (6)

Если же XР/1(X) >а XС X, то поскольку управления и ^ независимы,

без ограничения общности можно считать, что существует такое г е [1, т], при

Т

котором выполняется условие X РЬI (X) Ф- 0 . Поэтому можно положить

и12 = — Х^>Р1-1'Х'>, и ^ = 0, ^ = [1, т], /лф г, xTP/l(x) >а xTCx xTPЬi(x) 2

(7)

т

При этом, согласно (5), производная V = —X С X, то есть является отрицательно определенной функцией при всех указанных X из Кп .

т т т

Так как при X P/l(x) >аX Cx величина X PЬi(x) в некоторых

точках пространства состояний системы близка к нулю или равна ему, то управление, определённое по (7), может принимать недопустимо большие значения. Так как по условию управления и 2 линейно независимы, то при

РЬ (X) <£ существует такое ] е [1, т]; j Ф г, при котором выполняется

X

условие ^РЬ (X) > £ . Это позволяет при управление по (7), где Ьг заменяется на Ь j .

xTpЬi(x)

< £ определять

Так как реализация управления (7) предполагается цифровой, то можно полагать, что t = tk = кМ , где к = 1,2,3, ... при достаточно малом А1. Тогда алгоритм формирования нелинейного управления (7) состоит в следующем. Пусть

¡к = хТ (1к )Р Ъ^(х( 1к)) при 1 = [1,т], ^ - область фазового пространства

системы, в которой выполняется условие

< Є; Є - положительное малое

число, а 01д - множество точек, где X РЪ(х) = 0.

Далее будем рассматривать множество только тех моментов времени t = ^ = кМ и соответствующих точек х из Я", в которых выполнено условие

И >^1,хТ( ь)р/1(х( tk)) ^ ахТ( tk)C х( ь).

Если при некотором -і величина

к-1

> Є, а при ік величина

11к

< Є , то управление и2(ік) вычисляется по формуле

иі(ік) = -хг(1к^Рі(х(1к) , и ^ = 0, ц= [1, т], і. (8)

2 хТ(ік)РЬ/х(ік)) 2

Вычисление управления и2(ік+у) при у = 1,2,3,... по формуле (8)

продолжается до тех пор, пока

Iі

1 к+Н

<Є, а

й

к -ьИ-ь1

> Є. Выполнение

последнего условия свидетельствует о том, что под действием управления и^ік+у) система прошла область О Є, и поэтому управление и2(ік) можно снова формировать по формуле (7).

Описанный процесс формирования управления и2(ік) повторяется до тех пор, пока траектория системы не попадет в окрестность положения равновесия

11X1 < Є .

Введем также ограничение на управление, т.е. будем полагать -и [и2;, еста к;| < итах

и 2 =\ , (9)

[итах ' ) еСЖ 1^і > итах

~і, ]

где итах - максимально допустимое значение скалярного управления, и 2 -

значения управлений и1^ (ік ), подаваемых непосредственно на объект.

Таким образом, предлагаемый алгоритм управления нелинейной системы (4) описывается выражениями:

и2(ік) —

ПРи хТ(ЪШх(їк)) < а хТ(ік)С х(їк) : 0; ПРихТ(*к)р/і(х(їк)) ^а хТ(*к)С х(*к) :

(10)

и2(ік) - -

и2(ік) — -

х (^к)Р/і(х(їк))

Л

— 0, і при

II

хТ (і-к)рЛ( х( ^к))

1]к

, и 2 — 0, ¡лф ] при

> є,

< є;

где ¡,] е [1,т], /и = [1,т]; к = 1,2,3,...

Полученное по (10) расчетное значение управления подставляется в (9), где и определяется действительное значение управления, подаваемого на объект.

При указанном определении управления производная функции Ляпунова будет отрицательно определенной во всем фазовом пространстве. Это обеспечивает устойчивость по Ляпунову положения равновесия системы.

Пример. В качестве примера применения предложенного метода синтеза нелинейных управлений рассмотрим систему управления каскадом из двух гидроэлектростанций (ГЭС). В соответствии с работой [6] математическую модель такого каскада можно представить следующим образом:

Х = А1Х + / (х) + Ви, у = С1Х,

(11)

где

А —

- а11 0 0 0 ' ~1 0

а21 0 - а23 0 0 0 '0010

0 0 - азз 0 , в — 0 1 , С1 — 0 0 0 1

0 0 а43 - а44 0 0

Ї1(х)

І2(х)

І3(х)

Ї4(х)

и —

В модели (11) обозначены: хі,х3 - пропуски воды через верхнюю и нижнюю ГЭС; х2, х4 - уровни после верхней и после нижней ГЭС; а^ > 0 -

параметры динамики бьефов; /(х) - основные или боковые приточности -возмущения каскада ГЭС. Для рассматриваемого ниже случая примем /2 — 2 х^2, /4 — 10хзх4, /і — /з — 0, а также следующие значения

параметров ац — 1; й2і — 2

2

1

и

2

и

а23 = 3; а33 = 0,05; а^ = 1,5; а 44 = 0,25.

Видно, что матрица А1 неустойчива, так как имеет корень, равный нулю.

Полагая

и — и і + и 2 ,

где

Ui —

Uj

и 2 —

1 т т

и1 =—к] х = -[0 3 0 0]х, найдем, что матрица А = А1 — Ь^1

устойчива. При этом уравнения каскада ГЭС (11) примут вид (4), где

A —

-1 - 3 0 0 ' "1 0 ' 0 "

2 0 -3 0 ; в — 0 0 ; f— 2xjx2

0 0 - 0,05 0 0 1 0

0 0 1.5 - 0,25 0 0 1 ¿x 0 '—< 1

(12)

Как будет показано ниже, положение равновесия нелинейной системы (4), (12) при отсутствии управления является неустойчивым, поэтому необходимо стабилизирующее управление. Переходя к его синтезу, примем значения параметров а = 0,4, s = 0,01, umx = 100 и обозначим:

H = xTP f(x) = (0,3333xi + 2,6667x2 ~ 0,8922x3 )xix2 + (100x3 + 20x4)x3x4

L = 0,4xTC x = 0,4( x1 + x2 + x2 + x2),

I1 = xTPb1 = 0,8333x1 + 0,1667x2 - 1,3259x3,

I2 = xTPb2 = -1,3259x1 - 0,4461x2 + 336,7658x3 + 10x4. Применяя изложенный выше метод синтеза, найдем по формуле (10)

и2 = 0 при H < L;

Если H > L, то управление определяется по формулам:

г 2

или

2 Н 1 п и2 —--------7, и2 — 0 при

I2

1 Н 2 п

и 2 —--------,и2 — 0 при

Iі

I2

> Є .

< Є,

(13)

(14)

где к = 1,2,3,.... Формулы (13) и (14) определяют расчетные значения управлений. Подаваемые на ГЭС управления определяются выражением (9).

Моделирование синтезированной системы проводилось в среде МаАаЪ. На рис. 1 приведены графики изменения переменных состояния Хі(ї). На рис. 1,а представлены

графики переменных системы без управления и 2. Как видно, переменная Х4 неограниченно возрастает, т.е. положение равновесия Х = 0 системы неустойчиво. На рис. 1,6 представлены графики переменных системы с управлением и 2 (13), (14). Значения его и2(ік) показаны на рис. 2,а. В этом случае, согласно рис. 1,6, переменные системы затухают, т.е. её положение равновесия Х = 0 является устойчивым состоянием системы.

и

0

2

б

Рис. 1. Изменение переменных состояния: а - без управления и2 ; б - с управлением и2

На рис. 2,а символом обозначены значения щ, символом “•” - значения и2

т т

при выполнении условия х Р/1(х) > 0,4 х С х, а символами “+”, “о” обозначены значения и1 , и 2 при не выполнении этого условия, когда оба эти управления, согласно (6), равны нулю.

а

Controller

-20

-40

-60

-80

-100

е~ -ф- -ф -ф--

•

•

•

*

0 0.05 0.1 0.15 t, с 0.2

2.5

1.5

0.5

-0.5

х 10

X

0,4 Л г

х Т

X X /

3-0-Q----Q-- X X X к

х х !

0.05

0.1

0.15 t, с 0.2

т т

Рис. 2. Управления системы: а - значения X Р/і(х); б - 0,4 X С X

На рис. 2,б - показаны значения величин хТР/1 (х) (символ “х”) и

т

0,4 X С X (символ “□”). Например, в момент времени ґ = 0 с, значение

т т

x Pf1(x) > 0,4 X С X, поэтому согласно (7) управление отличается от нуля (см. рис. 2,а) Аналогично, при ґ = 0.1 с, значение xTPfl(X) < 0,4xTCx (см. рис. 2,б, символ “□” выше символа “х”). Поэтому оба управления равны нулю, что и показано на рис. 2,а (символы “+” и “о” расположены на оси абсцисс).

На рис. 3 приведена проекция фазового портрета синтезированной системы

на плоскость XI, X2.

а

б

60 50 40

30

Х2 20

10

0

-10

-15 -10 -5 Х1 0 5 10

Рис. 3. Проекция фазового портрета на плоскость XI, Х2

Из графиков видно, что управление является ограниченным, а положение равновесия системы асимптотически устойчивым.

Таким образом, предложенный в работе метод позволяет синтезировать эффективные управления для существенно нелинейных объектов с векторным управлением, в том числе и для объектов с неустойчивым положением равновесия.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мисриханов М.Ш, Рябченко В.Н. Инвариантное управление энергетическими объектами./Известия ТРТУ. Тематический выпуск. «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. №7(42). С. 43-54.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967.

3. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Высшая школа, 1984.

4. ГайдукА.Р. Основы теории систем автоматического управления. - М.: УМ и ИЦ «Учебная литература», 2005.

5. Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. - М.: УМ и ИЦ «Учебная литература», 2004.

6. Гайдук А.Р. Условия достижимости инвариантности систем управления энергетическими объектами // АиТ. 2006. № 5. С. 93-101.

В.Г. Кобак

ОЦЕНКА РАЗЛИЧИЯ КВАДРАТИЧНОГО И МИНИМАКСНОГО ОПТИМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЗАГРУЗКИ ОДНОРОДНЫХ ТРЕХПРИБОРНЫХ СИСТЕМ

Многие задачи ресурсо- и энергосбережения могут быть представлены как распределительные задачи, решаемые методами теории расписаний. Задачи массового обслуживания, в которых простои связаны с потерей ресурсов, задачи последовательного отключения участков питания электроэнергией, задачи распределения вычислительных мощностей и многие другие комбинаторные