CC BY
47
18. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.
19. Мисриханов М.Ш. Аналитические решения уравнения Сильвестра. Первая и вторая форма решений // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова М.: Энергоатомиздат. Вып. 5. 2003.
20. Мисриханов М.Ш. О проблеме устойчивости в инвариантном управлении // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова. М.: Энергоатомиздат. Вып. 6. 2003.
Введение. Известно, что спектром «-мерной линейной электроэнергетической системы (ЭЭС):
где А - матрица динамики ЭЭС, х - вектор состояния ЭЭС, называется множество п комплексных чисел (комплексных частот), являющихся корнями характеристического полинома системы:
Каждое значение такого комплексного числа называется полюсом системы. Поэтому спектр (2) называется также множеством полюсов системы или множеством собственных значений матрицы А.
Элементы матрицы А в реальных динамических системах, каковыми являются сложные ЭЭС, обычно определяются непосредственно из физических наблюдений, и поэтому содержат ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица А + Е , которую мы имеем, является только некоторым приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. В результате этого, вместо системы (1) приходится иметь дело с объектом вида:
М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
ПСЕВДОСПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(1)
Л( А) = Д: ёй (д1п - а) = 0, і = 1, п|.
(2)
і (ґ) = ( А + Е) х (ґ), х є □ п, А, Е є □
пхп
(3)
и его спектром:
Л(А + Е) = : ёй(Д1п - [А + Е]) = 0, і = 1, п|.
(4)
При этом множества Л(A) и Л( A + E) могут существенно отличаться
друг от друга [1]. К аналогичным последствиям приводят другие многочисленные факторы, например, вычислительного характера. Разнообразные методы, учитывающие при решении практических задач влияние указанных возмущений, изложены, например, в [2 - 5].
С другой стороны, в ряде практических задач пользователю требуется не точное равенство нулю некоторого выражения, а лишь его «исчезающая малость» в сравнении с каким-то a priori установленным порогом. Таким образом, под решениями возникающих в процессе исследований уравнений фактически понимается значение переменной, обращающее значение заданной функции в пренебрежимо малую величину. Эти решения представляют целое множество точек, которые можно назвать псевдорешениями (г-решениями) или почти решениями, если порог этой пренебрежимой величины несущественен или не оговорен явно.
Псевдорешения являются устойчивыми к малым возмущениям исходных данных, обладают свойством непрерывности, а задача «о нахождении почти решений» является вычислительно-корректной [6].
Заметим, что математические понятия, определения которых привлекают малый допуск е, не являются новинкой. Таковы, к примеру, г-энтропия, г-субдифференциал, е-оптимальные решения задачи оптимизации, инвариантные системы с точностью до е и т.п. В этом ключе следует воспринимать интенсивно развиваемую в последние годы теорию псевдоспектров (г-спектров) числовых матриц.
В данной работе делается попытка распространить понятие псевдоспектра на сингулярные пучки матриц и далее на динамические системы с введением ее новой характеризации в виде так называемых псевдонулей.
1. Псевдоспектр комплексной матрицы. Следующие фундаментальные теоремы определяют понятие псевдоспектра числовой матрицы A, заданной в общем случае над комплексным полем (комплексной матрицы).
Теорема 1. Пусть Ц'Ц - матричная норма, индуцированная векторной
нормой, тогда следующие определения псевдоспектра Л£ (A) являются эквивалентными:
Лє( A) = {z є D : (zIn - A) 1 ^є ^
(5)
Лє (A) = |z є □ v 3E, \\e\\ < є : z еЛ(A + E)}
(6)
Л
є
( A) = (
= \z є □ v 3 v є □ n, ||v|| = 1:
(A-zIn ) v|| <є}.
(7)
Если ||-|| - 2-норма и обозначает минимальное сингулярное число,
тогда следующее условие также эквивалентно предыдущим:
(8)
Итак, во-первых, согласно определению (5), псевдоспектр матрицы составляет множество точек I е 0 , при которых матричная норма функции резольвенты:
( А_г1п ) (9)
удовлетворяет неравенству
_1
( А_:1„ )_1
— £
- £ . (10)
Во-вторых, комментируя (6), можно сказать, что псевдоспектр Л^(А)
содержит в качестве подмножеств спектры матриц А + Е (4) для всех матриц ошибок Е, удовлетворяющих уравнению для собственных значений:
(А + Е)х = IX, ||Е| <£. (11)
Далее будем также считать, что точка г на комплексной плоскости принадлежит псевдоспектру Л£ (А) матрицы А, если существует комплексный вектор V единичной «длины» (см. (7)), такой что индуцированная норма
11( А_:1п ) У|| не превосходит £.
Если же обратиться к определению (8), то псевдоспектром Л^(А)
считается множество комплексных чисел г, при которых все матрицы 11п_А имеют минимальные сингулярные числа, не превосходящие некоторого конечного числа (допуска) £.
Заметим, что данная теорема для 2-норм была независимо доказана Дж. Варахом [7] и Л. Трефезеном [8]. Ключ к доказательству общего случая был найден в дискуссионных работах [9, 10].
Следующая теорема относится к псевдоспектрам подобных матриц.
Теорема 2 [11]. Пусть матрицы А и В подобны, т.е.
(12)
_1
А = 8Б8 1,
тогда выполняется включение:
М А )^( Я )£( Б ) , (13)
где
1 Если 2^ _ А - сингулярна (вырождена), то считается, что (г!п _ А) 1 = да .
к(£) = ||8|| • 8 1 □ еопё(8)
(14)
_ число обусловленности матрицы Б.
Итак, невырожденное преобразование подобия Б при отклонении числа обусловленности от единицы всегда «расширяет» псевдоспектр матрицы.
Из теоремы 2 вытекает практически очевидное следствие.
Следствие 2.1. Если матрица 8 представляет элементарные перестановки строк и столбцов матрицы А , то
(15)
Действительно, число обусловленности матриц элементарных
перестановок столбцов и строк всегда равно единице (к(Б) = 1), а это означает,
что включение (13) преобразуется в строгое равенство (15).
Второе следствие детализирует псевдоспектр диагонализуемой (простой, недефектной [3]) матрицы.
Следствие 2.2 [12]. Если матрица А диагонализуемая, тогда
справедливо включени:
ЛЛ а )-л( а )+д.
-еча -ЛЧа/ 1 к(8>є’ (16)
где
к(Я)£ I :1 I ( ) ) (17)
_ замкнутый диск радиуса К ( Я )£.
Таким образом, псевдоспектр диагонализуемой матрицы содержится в сумме собственно спектра матрицы и замкнутого диска, образованного
множеством чисел, по модулю не превосходящих произведение к(Я)£ .
Множество диагонализирующих матриц Б может быть представлено в
виде [13]:
п А Л
Я = Д $ , V * 0, (18)
А
где $ - правый собственный вектор матрицы А, отвечающий /-му собственному
значению, ЬЛ - левый собственный вектор диагональной матрицы Л, которой
подобна исходная матрица А, V - произвольное ненулевое число.
Если обеспечивается тождество:
тогда согласно следствию 3.2 псевдоспектр матрицы будет удовлетворять включению
Л£( а )-л( а ) + д£.
(20)
Следующая теорема устанавливает связь между псевдоспектром и
числовым рангом матрицы (или полем значений матрицы) [14, 15] и
предоставляет практический вычислительный алгоритм определения псевдоспектра матрицы.
Теорема 3 [16]. Для любой числовой матрицы А справедливо включение
ле( а)- ж ( а)+д,
где
ж
( а) □ {
н
□ ^ х Ах : ||х|| 2= 1]
(21)
(22)
- числовой ранг матрицы А, а символ «И» обозначает операцию эрмитова сопряжения.
Для вещественных матрицы А и векторов х числовой ранг определяется с помощью формулы
Ж(А) □ { хтАх: |\х\\ 2= 1}.
(23)
Так числовой ранг вещественной матрицы размера 2 X 2 и вида
\ а
0 X
представляет собой эллипс с фокусами в точках X, X и длиной
малой полуоси \. Для случая матрицы:
-1 1
0 1
(24)
числовой ранг изображен на рис. 1.
Рис. 1. Числовой ранг матрицы (24)
Для комплексной матрицы вида:
Зі 0 0
0 -1 1
0 0 1
(25)
числовой ранг приведен на рис. 2 и представляет собой конусообразное тело с эллиптическим основанием.
3;
2/Б-
/ 2‘
/ 1'5' / Л . \
( I / □ 5- \
-0.5 'и '' 0.5 ' Ч/
Рис. 2. Числовой ранг матрицы (25)
Из определения числового ранга (22) следует, что собственно спектр матрицы
А Л(А) удовлетворяет включению
л( А)- Ж (А),
(26)
т.е. все собственные значения матрицы А заключены внутри области,
определяемой числовым рангом Ж (А).
Из сопоставления определений и свойств псевдоспектра числовой матрицы, с одной стороны, и определения динамической системы в форме (1), с другой, следует, что без каких-либо ограничений понятие псевдоспектра может быть распространено на динамические системы. При этом собственно
псевдоспектр линейной системы (1) Л (А) может быть классифицирован по признакам устойчивых и неустойчивых спектров:
• устойчивый псевдоспектр Л£ ( А), означающий, что все системы
(например, ЭЭС) (3) с ограничением 11Е11 < Б имеют устойчивый спектр Л(А + Е), т.е. е Л(А + Е): Яе^- < 0;
• неустойчивый псевдоспектр Л* ( А) , означающий, что все системы (3) с ограничением IIе! <Б имеют неустойчивый спектр Л( А + Е), т.е.
3Д;- е Л(А + Е): Яе^- > 0;
означающий, что
• асимптотически устойчивый псевдоспектр Л£ ( А), все системы (3) с ограничением IIе! < Б асимптотически устойчивы, т.е. е Л(А + Е): Яе< 0.
Ясно, что, осуществляя предельный переход
Л
Б—>0
(А)..
обеспечиваем
Л
Б—0
(А) — Л( А).
(27)
В качестве числового примера на рис. 3 представлена 3Б-визуализация псевдоспектра матрицы А размера 100 X 100 математической модели длинной
линии
Рис. 3. ЗБ-визуализация псевдоспектра матрицы А длинной линии
2. Нули системы. Сегодня при анализе задач управления в линейных многомерных системах вообще и ЭЭС, в частности, фундаментальную роль играет понятие нулей системы. При этом в зарубежной литературе за ними закрепилось называние конечных нулей.
Множество нулей многосвязной системы включает: передаточные нули (реакция на входные сигналы), инвариантные нули (реакция на входные сигналы и начальные условия), развязанные по входу нули (неуправляемые моды колебаний), развязанные по
выходу нули (ненаблюдаемые моды колебаний), развязанные по входу и выходу нули (ненаблюдаемые и неуправляемые моды колебаний) [18].
Примечательно то, что описание многих свойств систем на языке конечных нулей носит характер, весьма близкий предметной области инженеров, занимающихся системами управления динамических объектов и технологических процессов.
Рассмотрим уравнение динамики линейной многомерной системы в форме «вход - состояние - выход»:
) = Ax(t) + Bu ^),
п пп nm пг
у = Сх, х е и , у е и , и е и .
Передаточной матрицей системы (28) называется рациональная матрица вида
F(X) = С(XIп - А)1 Б. (29)
Множество нулей передаточной матрицы (29) может быть сопоставлено с системой инвариантов - инвариантными полиномами или элементарными делителями [2, 18, 20]. Морс рассматривал множество инвариантных полиномов
линейной многомерной системы, обозначая его через |^(г')| [20]. Можно также
считать, что состоит из множества комплексных чисел, определяющих
положение конечных нулей системы на комплексной плоскости, и из множества целых чисел, соответствующих каждому инвариантному нулю и представляющих структуру кратности этих нулей, а именно, алгебраическую, геометрическую и т.п.
кратности [20, 21]. Таким образом, в зависимости от контекста под {^(')| можно
понимать либо множество инвариантных полиномов системы (элементарных делителей), либо конечные нули вместе с их структурой кратности.
В общем случае (систем с несколькими входами и несколькими выходами) конечные нули могут быть охарактеризованы как нули передаточных полиномов, соответствующих числителям передаточных матриц F(X) (29) в форме Смита-Макмиллана [22]:
F (X) = иь (X) Б(Х)ик (X), (3())
где и^ (X), и^ (X) - унимодулярные матрицы2, а матрица О(^) имеет вид
В(Л) = diag
(31)
У
а^ (X) аг (X)
Г = min(m, ^); Ь; и а. - монические3 полиномы, причем а делит а2, а2 делит а3, и т. д.; Ь делит Ьг1, Ьг1 делит Ь 2 и т. д. Именно полиномы Ь; являются
2 Обратимые полиномиальные матрицы с постоянными детерминантами.
передаточными полиномами матрицы F(X) и представляют структуру конечных нулей системы. Различные характеризации передаточных нулей даны, например, в [20, 23].
В дальнейших исследованиях мы будем опираться на определение конечных нулей в терминах матрицы Розенброка.
Матрица Розенброка или системная матрица для объекта (28) имеет вид [23,
24]
" A B " -X Їп 0~
C 0 0 0
= R -XI
(п)
(32)
Как видно из формулировок (28), (32) матрица Розенброка имеет размер (n + т) х (n + r) и нормальный ранг [23]:
norm rank ^R - Л1(П j П n + min rank(B,C) .
Сформулируем известное утверждение о нулях линейной многосвязной системы [23, 24].
Теорема 4. Линейная система (28) имеет непустое множество конечных нулей:
Z □ {(Г; Є □ }
(34)
тогда и только тогда, когда нормальный ранг матрицы Розенброка Я(Л) уменьшается на каждом элементе (34), т.е.
V г є Z: rank (R - ) < norm rank (R - ХЇ(П ).
(35)
Как видно из определения, данное утверждение имеет для линейной системы (28) необходимый и достаточный характер.
С другой стороны, системная матрица Розенброка (32) с формальной точки зрения представляет собой сингулярный пучок матриц [2, 4, 5].
3. Псевдоспектры сингулярных пучков матриц. Итак, пусть А4 и В - две матрицы, например, размера т X П, заданные над полем комплексных чисел и . Множество всех матриц вида
A - XB, X є □
при m Ф п или m = п, но
(36)
(37)
называется сингулярным пучком матриц .
3 Имеющие единичные коэффициенты при старших степенях (нормированные полиномы).
4 Общий случай обозначения матриц и векторов, относящихся к сингулярным пучкам, мы будем
выделять полужирным шрифтом.
Символ = здесь нужно трактовать как тождественное равенство.
Множество собственных пар (собственных значений Х и собственных векторов х) сингулярного пучка матриц (36) составляют пары:
Л(а, б) = |зХєП V Зх єП п : (А -ХБ)х = о|.
(38)
В отношении (38) существуют три характерных частных случая [5]:
1) Л(А, Б) конечно, т.е. уравнение (А -ХБ) х = о имеет конечное множество нетривиальных решений;
2) Л(А, Б) пусто, т.е. уравнение (А -ХБ) X = 0 не имеет нетривиальных решений;
3) Л(А, Б) бесконечно, т.е. уравнение (А -ХБ) X = 0 имеет
бесконечное множество нетривиальных решений.
Последний случай, например, имеет место при (37).
Определение псевдоспектра сингулярного пучка матриц.
Псевдоспектром сингулярного пучка матриц А — ХБ будем называть множество
Лє (А, Б) = є □ : (А - ¿Б) >є
(39)
где ( А - гБ)+ - псевдообратная Мура-Пенроуза матрицы А — гБ.
Вынесенное в определение (37) операция псевдообращения гарантирует минимальность 2-нормы ( А — гБ)+ . Однако в общем случае это не так, и
поэтому можно взять за основу некоторую другую матрицу — гБ,
удовлетворяющую условиям регулярности [2]:
(А - гБ) □- гБ (А - гБ) = (А - гБ), □- гБ (А - гБ) □- гБ = □- гБ
(40)
и обеспечивающую минимальность выбранной нормы.
Как видно из этого определения, псевдоспектр (39) для любого сингулярного пучка матриц всегда существует при произвольных А, Є > 0 и всех ненулевых матриц В.
Теперь сформулируем и докажем теоремы в отношении псевдоспектра сингулярных пучков матриц.
Теорема 5. Следующие определения псевдоспектра сингулярного пучка
матриц Лє (А, б)
Л
являются эквивалентными:
(А, Б) = є □ : (А - гБ) >є
(41)
>
Л£ (А, Б) = {г е □ V ЗЕ, ||е|| < £ : г еЛ(А + Е, Б)},
(А,Б)={
Л£ (А, Б) = {г е □ V е □ И, 1М1 = 1:
(А — гБ) V <£,
Л^(а,б) = {7 е □ : ^т1п (А — 7б)<^} .
(42)
(43)
(44)
Доказательство.
(41) ^ (43): Предположим, что
(А — гБ)
+
п
такой вектор и е □ , что
( А — гБ) и
и
( А — гБ)
+
Определим новый вектор V = (А — гБ)+ и
при этом
£_1 <
( А — гВ )
+
и
и
( А — гВ ) 1
Тогда V =
вектор с единичной нормой, т.е.
удовлетворяющий неравенству
(А — гБ)
V < £.
П
(43) ^ (42): Предположим, что существует вектор V е □ , | V = 1.
такой что ||( А — гБ) < £. Пусть также существует вектор и е □ П, ЦиЦ = 1.
удовлетворяющий неравенству:
А — гБ) V =
£и
для £ < £ .
Мы можем завершить эту часть доказательства, если мы определим вектор ', соответствующий равенству
Н 1 II II 1
w V = 1, |^|| = 1,
где символ «Н» означает эрмитово сопряжение векторов.
Для общих норм существование таких векторов следует из теоремы Хана-Банаха [9]. Поэтому в общем случае мы можем записать
гБу = Ау - ЄітН у = (А - ЄітН ) V,
что соответствует
для
г є Л(А + Е, Б)
Н и и Е = — £лт , |Е| < £.
(42) ^ (41): Предположим, что г е Л(А + Е, Б) для некоторой матрицы Е, такой что ||Е < £. Тогда существует вектор V е □ п, ||^| = 1, что
( а + е) v = гБv. (45)
Осуществляя соответствующую группировку в (45) и выполняя псевдообращение, получим:
V = (А — гБ) Ev
и далее
,+
(А - гБ) Еу < (А - гБ)
л
е < є
(А - гБ)
+
(46)
и, следовательно
(А - гБ)
+
> Є
-1
(41) » (44): Если Ц-Ц - 2-норма, то в силу характеризаций этой нормы
наименьшее сингулярное значение матрицы А — гБ это и есть 2-норма.
Заметим, что подходящим алгоритмом генерации матрицы
М и м Е = —£uw , ||Е < £
является процесс (метод) Арнольди [25, 26], построенный на основе понятия подпространства Крылова числовой матрицы.
Теорема 6. Если пучки матриц А — ЛБ и а — Л1 том смысле, что
( п)
эквивалентны в
Ть (А - ЛБ) Тк = а - ХІ
(п)
(47)
где
ёй Ф 0, ёй Т^, Ф 0,
(48)
I
(п)
I
0
(49)
тогда
ЛЄ( АБ ) = Л Т£ и Тд іє(а’/(П) )■
(50)
Доказательство. Предположим, что г е ЛД А, Б) , тогда справедлива следующая цепочка утверждений:
Є-1 <
( А - гБ )+
(Ч'Ц-11 - гТ1ТЯ')+ < І|Ть|| (а - г1 (п))+
1Я
и, следовательно,
є Т
ь
Тп||) 1 < (а-II
'Я
(п)
,+
что и требовалось доказать.
4. Псевдонули динамической системы. Поскольку, как сказано выше, системная матрица Розенброка (32) представляет собой частный случай
т(п)
сингулярного пучка матриц типа а - И , то к ней применимы все утверждения теорем 5 и 6, которые можно без доказательств переписать в виде соответствующих утверждений.
Эквивалентность определения псевдонулей. Следующие определения
псевдонулей (Я, Iп )
динамической системы являются эквивалентными:
2Є( Я, I(п) ) = |шє □ : (Я -ш!(п))
> Є
-1
(51)
2,
( я, I{п) ) = {
( я, I(п) ) = {
= ш є □ V з Е лЕ\\ < Є : ш є2є (Я + Е, I(п)) |,
2Є (Я, I * * ' | = {шє □ V Зм є □ , М = 1:
(я -шЇ(п))м < є|
(52)
(53)
и
2е1 Я.
(Я 1 {П) ) = {етє П : стшіп (Я -ет1 {П) )Ц.
(54)
Подчеркнем следующий факт: минимизация е при условии, что множество псевдонулей динамической системы Ее| Я, I 4 У ) все еще остается не пустым [27]:
( Я, 1(п) ) шіп (еД Я, 1(п) )ф0)
(55)
и обеспечивает наилучшую локализацию приближения к действительному множеству нулей (34).
Псевдонули и невырожденное преобразование подобия. Псевдонули подобных систем удовлетворяют включению
Е„( К, і") )сЛ^, „(тьЯТя',11 ”)).
(56)
где
Т \ 0' ~Т \ 0'
, Т = , det Т Ф 0.
0| 1т ’ L 0 (57)
При этом для систем с одинаковым числом входов и выходов m включение
(56) записывается в виде:
еє\ я,
(^) )СЛГ(Т „( я-*.1(") )■
где
~Т 0 "
0 1 т _
, det Т Ф 0.
(58)
(59)
Важным аспектом характеризации псевдонулей динамической системы является их классификация по признаку устойчивости, точнее, минимально-фазовости [23].
Устойчивыми (минимально-фазовыми) псевдонулями динамической системы будем называть множество, у которого:
У^є^(Я,1(п)): Яеет. < 0.
обозначить как Е£ ( Я, 1 ^п)).
(60)
Такое множество можно
Неустойчивыми (неминимально-фазовыми) псевдонулями динамической системы будем называть множество, у которого
Зет, єЕ+(Я, 1(п)): Яещ
> 0.
(61)
Для данного множества можно ввести обозначение Е
Итак, согласно введенным определениям псевдонули представляют множество комплексных частот, при которых системная матрица Розенброка в смысле той или иной нормы «близка» к потере своего (нормального) ранга.
Как и в каждом конкретном случае конечных нулей (передаточных, инвариантных, развязанных) псевдонули могут иметь соответствующую трактовку. Например, передаточные псевдонули составляют множество комплексных частот, на которых динамическая система - ЭЭС почти «запирается» или среди ее выходных сигналов некоторые «достаточно близки» к линейной зависимости. Развязанные псевдонули связываются с понятием управляемости и наблюдаемости динамической системы и их практическое применение можно найти при решении задачи оценки границ, когда о системе можно говорить, что она достаточно «близка»:
• к потере свойства управляемости (развязанные по входу псевдонули),
• к потере свойства наблюдаемости (развязанные по выходу псевдонули),
• к одновременной потере свойств управляемости и наблюдаемости (развязанные по входу и выходу псевдонули).
Инвариантные псевдонули фиксируют область комплексных частот и начальных условий состояния динамической системы, при которых она почти «запирается» или среди компонентов ее выходного вектора некоторые становятся практически линейно зависимыми.
5. Развязанные псевдонули и оценка границ управляемости и наблюдаемости ЭЭС. Системная матрица Розенброка (32) может быть представлена следующими двумя частными случаями, составляющими основу частотных критериев, соответственно, наблюдаемости и управляемости Попова-Белевича-Хотиса (PBH-test) [28]:
" А Г і "I
-Л п
С 0
(62)
[А|Я]-Л[1п |0].
(63)
Причем для матрицы (63) задача теста на управляемость будет соответствовать задаче на обобщенные собственные значения вида:
У([Л|В]-Л[I, |0]) = 0.
(64)
Поэтому без потери общности можно вместо сингулярного пучка матриц (63) рассматривать пучок
" Ат" -Л ' I, '
Вт 0
и, следовательно, задачу
Ґ " Ат' " !п' Л
Вт -Л
0
V _ _ _ _ )
Ут = 0.
Обратимся сначала к сингулярному пучку (62). Определим минимальное значение числа е, при котором множество
Ґ " а" 1п Л
V С , 0 У
не является пустым, т.е.
тіп і Иг
*0'
У
(66)
В этом случае оказывается, что будет найдено минимальное расстояние до границы, когда динамическая система:
х(і) = ( А + Еа ) х(і), у = (
= (С + Е) х,
С
< 8
становится ненаблюдаемой.
Далее, вычисляя
/ Г /Г! _ _ \
А1 1п 0
тіп • 8 ^8 Т В1 , *0
V ь J У
(67)
(68)
мы находим минимальное расстояние до границы, когда динамическая система -ЭЭС:
х(і) = (А + Е) х(і) + (В + Е) и(і),
Е = і ЕТ1 <8
(69)
теряет управляемость.
Рассмотрим полностью управляемую ЭЭС (28), не имеющую конечных нулей:
- 4,5 1,5 со" -1,1
А = -5 2 5 , В = 1
-1,5 1,5 0,5 1
С = I,
(70)
Псевдоспектр (А) системы (70) представлен на рис. 4. Как следует из
анализа изображения рис. 4, система (70) является неустойчивой, поскольку один из полюсов локализован в правой полуплоскости С. Действительно, вычисляя спектр матрицы A из (70), получаем:
8
>
Л(Л) = {-3, -1, 2}.
При этом полюс Х = 2 является неустойчивым. Теперь вычислим псевдонули матрицы (65):
т.е. определим множество
(\
-4,5 -5 I -1,5
1,5 2 1,5 >
3,5,5 5 | 0,5
о -1,1 1 | 1
-4,5 -5 | -1,5" 1 0 0
1,5 2 ! 1,5 -X 0 1 0
3,5,5 5 | 0,5 0 0 1
-1,1 1 | 1 0 0 0
(71)
(72)
(73)
Рис. 4. Псевдоспектр системы (70)
Изображение псевдонулей приведено на рис. 5. Максимум здесь достигается в
точке (-0.6;0) е 0 , что достаточно близко к одному из полюсов системы (71).
Минимизация (68) для системы (101) дает, что минимальное расстояние до границы управляемости соответствует Л~- 1,15 и равно ~0,217. Другими словами, входные сигналы с комплексной частотой Л ~ — 1,15 являются наименее «управляемыми» для системы (70).
Рис. 5. Псевдонули системы (70)
Заключение. Как показывают вычислительные эксперименты, проводимые сегодня в Оксфордском и Кентском университетах (см., например, [26, 27, 29]), наиболее перспективными направлениями использования понятий псевдоспектров и псевдонулей являются динамические системы большой размерности. Такие системы неизбежно возникают в эконометрике и энергетике. Следующие работы авторов будут посвящены практическим приложениям теории псевдоспектров к большим электроэнергетическим системам.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений.-М.: Наука, 1970.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.-М.: Наука, 1984.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления.-М.: Мир, 1999.
5. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения.-М.: Мир, 2001.
6. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.-Новосибирск: Институт вычислительных технологий РАН, 2000.
7. Varah J.M. On the separation of two matrices // SIAM J. Numer. Anal. 1979, Vol.
18.-P. 216 - 222.
8. Trefethen L.N. Approximation theory and numerical linear algebra // In Algorithms and Approximation II, Mason J.C. and Cox M.G., eds. Chapman and Hall,-London. 1990.
9. Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues II. // Utilitas Math. 1986, Vol. 30.-P. 243 - 286.
10. van Dorsellaer J.L.M., Kraaijevanger J.F.B.M., Spijker M.N. Linear stability analysis in the numerical solution of initial value problems // Acta Numerica. 1990,-P. 199 -237.
11. Embree M., Trefethen L.N. Generalizing eigenvalue theorems to pseudospectra // To appear in SIAM J. Sci. Comput.
12. Bauer F.L., Fike C.T. Norms and exclusion theorems // Numer. Math. 1960, No.2. -P. 137-141.
13. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. О параметрической инвариантности систем. Подход на основе пучков матриц и невырожденного преобразования подобия (в печати).
14. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Springer-Verlag, New York, 1980.
15. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical Range. Springer-Verlag, New York, 1997.
16. Kato T. Perturbation theory for linear operators, second edition. Springer-Verlag, New York, 1980.
17. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление динамическими системами. Алгебраический подход. М.: Энергоатомиздат, 2003.
18. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Горюнов С.В. Анализ и синтез матричных систем. Сравнение подходов // АиТ, 2002.-С. 3 - 44.
19. Saberi A., Ozcetin H.K., Sannuti P. New structural invariants of linear multivariable systems // Int. J. Control. 1992. V. 56. No 4.-P. 877 - 900.
20. Morse A. S. Structural invariants of linear multivariable systems // SIAM J. Control. 1973. No 11.-P. 446 - 465.
21. Commault C., Lafay J. F., Malabre M. Structure of linear systems. Geometric and transfer matrix approaches // Kybernetika. 1991. V. 27. No 3.-P. 170 - 185.
22. Aling A., Schumacher J. M. A nine fold canonical decomposition for linear system // Int. J. Control. 1984. No 39.-P. 779 - 805.
23. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.
24. RosenbrockH.H. State space and multivariable theory. New York. J. Willey, 1970.
25. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности.-Новосибирск: Изд-во. НГТУ, 2000.
26. Sorensen D.C. Truncated QZ methods for large scale generalized eigenvalue problems // Electronic Transactions on Numerical Analysis, 1998. Vol. 7.-P. 141 - 162.
27. Trefethen L.N., Wright T.G. Eigenvalues and pseudospectra of rectangular matrices // Oxford University Computing Laboratory. Numerical Analysis Group, 2001. Report No.01/03.
28.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.
29. Simoncini V., Sorensen D.C. Transfer function and resolvent norm approximation of large matrices // Electronic Transactions on Numerical Analysis, 1998. Vol. 7.-P. 190
- 201.
