Новые эффективные критерии управляемости и наблюдаемости для систем большой размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 629.7.05

НОВЫЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ

О.М. Бударгин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

Рассмотрена задача анализа управляемости и наблюдаемости большой энергетической системы. Предложены необходимые и достаточные условия полной управляемости и наблюдаемости в форме линейных матричных неравенств. Даны оценки мер управляемости и наблюдаемости и приведен пример анализа управляемости большой энергосистемы.

Ключевые слова: М1МО-система, пространство состояний, управляемость, наблюдаемость, ленточный критерий, линейные матричные неравенства, оценки мер управляемости и наблюдаемости, большая энергосистема.

ВВЕДЕНИЕ

В сложных технических системах, к которым относятся электроэнергетические системы (ЭЭС), понятия управляемости и наблюдаемости имеют различные определения и трактовки. С позиций современной теории управления наиболее близкими понятиями к рассматриваемым в ней понятиям управляемости и наблюдаемости динамических систем являются режимная управляемость и наблюдаемость режима ЭЭС.

В теории управления понятию управляемости придают либо структурно-качественный, либо количественный смысл. В первом случае интересуются принципиальной возможностью перехода управляемой системы из одного заданного множества состояний в другое заданное множество состояний, как правило, за конечное время. Во втором случае рассматривают те или иные характеристики (меры) переходных процессов при простейших управляющих воздействиях. Очевидно, что управляемость системы зависит от ее структуры, состава органов управления, значений параметров, располагаемой энергии управления и др.

Существует целая группа понятий управляемости, различающихся как условиями перехода системы, так и ограничениями, накладываемыми на управления. При всем многообразии видов и критериев управляемости для линейных динамических систем чаще всего применяются следую-

щие критерии: ранговый критерии управляемости Калмана, модальный критерий (тест) Попова—Бе-левича—Хотиса, критерий центральных фиксированных мод и ленточный критерий управляемости.

Рассмотрим большую линейную динамическую MIMO-систему (Multi Input Multi Output System)

x (t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0,

y(t) = cx(t), (1)

где x(t) e — вектор состояния ЭЭС, x(t0) e — вектор начальных условий, u(t) e — вектор входа, y(t) e — вектор выхода, n . 1. Считается, что r, m > n/2, т. е. число входов (выходов) системы равно или превосходит половину размерности состояния.

Введем множество собственных значений матрицы A

1(a) = {A. e С: det(A/n - a) = 0, i = },

определяющее устойчивость системы (1).

Для полностью управляемой MIMO-системы (1) с парой (a, b) следующие утверждения являются эквивалентными [1—3]: • матрица-грамиан

wc(t) = \eAxBBTeAT% d% (2)

0

положительно определена при t > 0;

матрица управляемости Калмана

(b i ab i a2b i

an - xb)

(3)

имеет полный ранг по строкам; • матрица

пусть С к — матрица, при которой выполняется

равенство ссд = 0 и матрица (сд ; с ) невырождена, тогда ленточная матрица

(0п х 1 : 1„) ® с^ + (/„ ■ 0п х !) ® (ас^) =

(мп - а : в) (4) acl cl 0 0 Л 0

имеет полный ранг для всех X. е Л(а) (критерий уп- 0 acr cL 0 0

равляемости Попова—Белевича—Хотиса); = 0 0 acl cL 0

• пусть в^ — матрица, при которой выполняется

равенство в^ в = 0 и матрица (в_^т : в) невы- 1 0 0 0 acr Cr)

(6)

рождена, тогда ленточная матрица [4, 5]

' 1 х n

bR +

'1 х n

®(bl a) =

br a 0 0 ... 0

br bl a 0 ... : 0

0 bl bl a ... : 0

0 0 bl

... ;bl a

I 0 0 0 ... i bL J

(5)

имеет полный ранг по строкам (здесь ® — символ операции кронекерова произведения);

• собственные значения матрицы А + в^ могут быть заданы произвольным образом и непрерывно зависят от матрицы обратной связи Г.

В силу принципа дуальности аналогичные утверждения справедливы для полностью наблюдаемой М1МО-системы (1) с парой (а, с), например:

• матрица наблюдаемости Калмана

c

ca

ca2

can -1

имеет полный ранг по столбцам; • матрица

(

\ in - a

имеет полный ранг для всех X. е Л(а) (критерий наблюдаемости Попова—Белевича—Хотиса);

имеет полный ранг по строкам; • собственные значения матрицы а + хс могут быть заданы произвольным образом и непрерывно зависят от матрицы инъекции входа х. При использовании упомянутых критериев для больших М1МО-систем (п . 1) возникают различные проблемы, связанные с устойчивостью вычислительных алгоритмов и неизбежными ошибками [5, 6]. В настоящей работе на основании ленточных критериев предлагаются простые необходимые и достаточные условия (критерии) полной управляемости и наблюдаемости в виде линейных матричных неравенств и в предположении, что число входов и/или выходов М1МО-системы равно или превосходят половину размерности состояния: г, ш > п/2. Такая ситуация характерна для математических моделей нормальных режимов больших электроэнергетических систем в задачах оценивания состояния и анализа статической устойчивости [7], когда число управляемых станций (регулируемых синхронных машин) равно общему числу станций в энергосистеме, а элементами вектора состояния служат фазы векторов напряжения и скольжения генераторов.

На основе полученных условий даются оценки мер управляемости и наблюдаемости. Основные объекты исследований — ленточные матрицы (5) и (6).

1. КРИТЕРИЙ ПОЛНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ

Рассмотрим ленточную матрицу управляемости

(5) при условии, что г > п/2, а матрица в е [&п х г имеет полный ранг. Как показано в работе [8], анализ следующих выделенных блоков ленточной матрицы:

bRa

b

p2(n — r) х n

(7)

l ;

_L T 1 _L

где в силу обратимости матрицы (bl ; b) rank bl = = n — r дает возможность обнаружить неуправляемость MIMO-системы (1).

При г > и/2 число строк блочной матрицы (7) не превосходит числа столбцов. В этом случае для полной управляемости М1МО-системы оказывается необходимым и достаточным, чтобы выполнялось равенство [8]

rank

b^a

b

= 2(n - r).

(8)

L J

Из равенства (8) следует, что для ответа на вопрос о полной управляемости М1МО-системы необходимо и достаточно исследовать ранг матрицы (7). Эта процедура для больших систем существенно плохо обусловленная [6], поэтому может получен неверный ответ [5].

Без ограничения общности будем считать, что

матрица в£ ортогональная, т. е. в£ в£ = /п _ .

С алгебраической точки зрения ортогональность матрицы ВI не играет никакой роли, пост

кольку вместо матрицы в можно использовать

псевдообратную матрицу в^ + . Однако с вычислительной точки зрения именно ортогональные матрицы вносят минимальные погрешности в дальнейшие вычисления.

Выполним следующее (правое) преобразование матрицы (7):

Таким образом, нами сформулирован Критерий полной управляемости. Линейная М1МО-система

X (?) = ах(?) + ви(?),

где х(?) е — вектор состояния, и(?) е — вектор входа, г > и/2, полностью управляема тогда и только тогда, когда выполняются эквивалентные условия (10), (11). ♦

Анализ ранга матрицы (7) размера 2(и — г) х и в сформулированном критерии заменяется анализом на положительную определенность матрицы

г

bLaaTblT

BL

¿¿atbi T

Или матрицы

blablt

R

2(n — r)x2(n — r)

(12)

bla(4,

b1t b1 )atb_1t e

, (n — r)x(n — r)

. (13)

При этом матрица (13) имеет размер (и — г)х(и — г), т. е. вдвое меньший, чем матрица (12).

При потере М1МО-системой (1) свойства полной управляемости матрицы (12) и (13) также теряют свойство строгой положительной определенности, т. е. для не полностью управляемой М1МО-сис-темы будут иметь место эквивалентные условия

г b^a ^

b

•L J

(aTbl T

blt) =

f bi1aatbi1 t BL abz1t1

I bi1atbilt 4 - r J

(9)

Как видно, матрица (9) симметрическая, и в силу равенства (8) для полностью управляемой М1МО-системы должна быть строго положительно определенной, т. е.

blaatblt

blatblt

bl abl t

> 0.

(10)

Анализ матрицы (10) показывает, что для выполнения условия строгой положительной определенности необходимо и достаточно выполнения условий леммы Шура [9], которые в данном случае принимают вид

В^ (ААт - АВ^ т В^Ат) В^ т > 0

или

biaatbi1 t

blatblt

bL abL T

> 0,

BiA(1n

blT bl)atBLT > 0.

(14)

(15)

Другими словами, для не полностью управляемой М1МО-системы матрицы (12) и (13) становятся положительно полуопределенными.

Таким образом, предложенный критерий полной управляемости при числе входов (выходов) системы равном или превосходящем половину размерности состояния и позволяет свести задачу анализа управляемости к задаче на собственные значения симметрической матрицы размера (и — г)х(и — г). Эта задача имеет существенно меньшую сложность по сравнению с ранее приведенными критериями.

Сделаем необходимые пояснения, рассматривая в качестве примера линейную модель реальной большой М1МО-системы — объединенной энергосистемы Центра (ОЭС Центра) в нормальном (доаварийном) режиме. Эта модель включает в себя 129 генераторов (станций) и имеет размерности

и = 258, г = 1291 [7]. В этом случае:

bla(4,

bb T b )atb T > 0.

(11)

1 В состав энергосистемы входят и/2 регулируемых станций.

■ размер матрицы управляемости Калмана (3) 258 х 16770;

■ размер прямоугольного матричного пучка (4) 258 х 387;

■ ленточная матрица (5) содержит 129 подматриц (7) размера 258 х 258.

Отметим также, что матрица а рассматриваемой модели энергосистемы является гурвицевой, имеет как сильно разреженные так и сильно плотные подматрицы и, кроме того, плохо масштабирована [6]. Определитель этой матрицы превосхо-258

дит число 10 .

Построение матрицы Калмана (3) размера 258 х 16770 требует возведения матрицы а, опре-

258

делитель которой, напомним, больше 10 , в степень от 2 до 129. Очевидно, что данный критерий в рассматриваемом случае неработоспособен.

Анализ конечных собственных значений прямоугольного матричного пучка (4) размера 258 х 387 затруднен из-за плохой разработанности вычислительных процедур обобщенной задачи на собственные значения [6].

В силу достаточно больших размеров матрицы (5) ленточный критерий управляемости в прямом виде также не может быть применен.

В предложенном в настоящей работе критерии используется квадратная симметрическая матрица (11), размер которой 129 х 129, т. е. вдвое меньшие, чем даже у матрицы (7). При этом ее определенность может проверяться путем решения стандартной (и наиболее легкой) задачи на собственные значения симметрической матрицы.

Обратимся далее к ленточной матрице наблюдаемости (6) при ш > п/2. Считается, что матрица

с е х п имеет полный ранг. Выполняя дуальные преобразования к преобразованиям, примененным в данном параграфе, получим

Критерий полной наблюдаемости. Линейная М1МО-система

х (Г) = Ах(/), у(?) = Сл^),

где х(?) е [п — вектор состояния, у(?) е — вектор выхода, ш > п/2, полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда выполняются эквивалентные условия

( п 1Т АТ .„1 Г1Т >Тп

Ся А АСя_; С1 А Ся

С 1 А С 1 1 1п _ т

> 0,

С1ТАТ(/п - С1 С1/)АС^ > 0.

(16)

(17)

2. ОЦЕНКА МЕР УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ

При количественной оценке управляемости (наблюдаемости) М1МО-систем, т. е. при выборе меры управляемости, формулируется следующий

а/, \ а

вопрос: когда состояние х (0 = х0 лучше управляемо (наблюдаемо), чем некоторое другое состояние хь((0) = х0 ?

Традиционно считается, что анализ управляемости с помощью алгебраических критериев носит чисто качественный характер. При этом имеется в виду исследование ранга различных матричных конструкций (например, матрицы Калмана (3) или пучка матриц (4)). Так, Р. Калман предлагал получать количественную информацию об управляемости системы, вычисляя определители всевозможных квадратных матриц, «вырезанных» из матрицы управляемости (3) [10]. В другом подходе количественные характеристики (меры) управляемости рассматриваются в отношении матри-цы-грамиана (2) [5]. Этот подход состоит в вычислении минимального сингулярного числа стш1п матрицы (2), которое устанавливает наименьшее «расстояние до границы», где система теряет свойство полной управляемости [11]. Известны и другие подходы, например, на основе понятия псевдоспектра матрицы [12].

В данном параграфе даются оценки мер управляемости и наблюдаемости большой М1МО-сис-темы на основе полученных условий в виде неравенств (10), (11) и (16), (17).

Напомним, что минимальное сингулярное число строго положительно определенной матрицы м равно ее минимальному собственному значению [6]:

^Ш1п(М) = ХШ1п(М) > 0 м = мТ >

Кроме того [6],

стш1п(м) = Х^п(м) = 0, м = мт > 0. (18)

Другими словами, у положительно полуопределенной матрицы минимальное сингулярное число равно нулю.

Вернемся к условиям (14) и (15). Их выполнение свидетельствует о неполной управляемости М1МО-системы и согласно выражению (18) означает, что минимальные сингулярные числа матриц (14) и (15) равны нулю:

в1аатв1Т

в.1 атв1Т

в1ав1Т

= ат;п(в1 а(/ - ,

в^т в1 )ат в1) = 0.

а

Ш1п

24

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 1 • 2012

Таким образом, определяя минимальное сингулярное число матрицы (14) или (15), можно оценить расстояние до границы потери М1МО-систе-мой полной управляемости.

Аналогичные рассуждения справедливы и в отношении минимальных сингулярных чисел матриц

сД А асд , сх а сд

-- - - - -- -- - ,

^ сд АСд ■ /„-т '

с* ат(/„ —

' )асД,

фигурирующих соответственно в неравенствах (16) и (17). Вычисляя минимальное сингулярное число матрицы (16) или (17), можно найти оценку расстояния до границы потери М1МО-системой полной наблюдаемости.

Как и в случае матрицы управляемости Калма-на (3), количество нулевых сингулярных чисел рассматриваемых матриц определяет число неуправляемых состояний М1МО-системы.

Обратимся к упоминавшейся М1МО-системе, представляющей собой модель большой энергосистемы. Здесь число обусловленности матрицы а относительно невелико:

сопё(а) = 3,798-103.

В силу гурвицевости матрицы а матрицу-гра-миан (2) можно вычислить путем решения алгебраического уравнения Ляпунова

ат^с + а^с + ввт = 0.

Воспользовавшись для решения данного уравнения средой MATLAB, получим:

°тпТО = 9,103-10—5, (19)

сопё(^с) = 1,7193-106.

При такой плохой обусловленности «доверять» вычисленной мере (19) практически нельзя. Одновременно с этим имеем

сопё(В^ а(/я — в1т В^ )атв^т) = 142,3779,

т. е. введенная выше матрица существенно лучше обусловлена. Конечно, в силу различной природы этих критериев смысл определяемых ими численных характеристик также различен, но «субъективно» доверие такой мере управляемости, как

ат1п( В1 а(/я — в^т В1 )атв^т) = 1,5377-104, выше.

Отметим, что управляемость энергосистемы в рассматриваемом режиме, как показала практика, действительно высока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена проблема анализа управляемости и наблюдаемости больших М1МО-систем с числом входов и выходов не меньших, чем половина размерности пространства состояний и/2. Предложены новые необходимые и достаточные условия (критерии) полной управляемости и наблюдаемости, заключающиеся в требовании строгой положительной определенности симметрических матриц размера не больше, чем и/2 х и/2. На основе этих критериев обоснованы оценки расстояний до границы потери М1МО-системой полной управляемости и наблюдаемости. Иллюстрирующие примеры содержат анализ линейной модели реальной энергосистемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zhou K. Essentials of robust control. Upper Saddle River. — New Jersey: Prentice Hall, 1998.

2. Поляк Б.Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 304 с.

3. Мисриханов М.Ш. Классические и новые методы анализа многомерных динамических систем. — М.: Энергоатом-издат, 2004. — 566 с.

4. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 12. — С. 93—104.

5. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. — М.: Наука, 2007. — 284 с.

6. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. — М.: Мир, 2001. — 430 с.

7. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Матричная сигнум-функция в задачах анализа и синтеза линейных систем // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 2. — С. 26—51.

8. Зыбин Е.Ю, Мисриханов М.Ш, Рябченко В.Н. Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость больших динамических систем // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 5. — С. 119—132.

9. Skelton R.E., Iwasaki T., Grigoriadis K. An unified algebraic approach to linear control design. — London: Taylor & Francis Ltd., 1998. — 285 p.

10. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971. — 400 с.

11. Голован A.A., Парусников Н.А. О связи понятия стохастической оцениваемости с сингулярными разложениями матриц // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 2. — С. 45—50.

12. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Квадратическая проблема собственных значений в электроэнергетических системах // Там же. — 2006. — № 5. — С. 24—47.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.В. Павловым.

Бударгин Олег Михайлович — канд. экон. наук, председатель правления, 8-800-200-18-81, И [email protected],

Мисриханов Мисрихан Шапиевич — д-р техн. наук, зам. председателя правления, S (495) 962-85-85, И [email protected],

Рябченко Владимир Николаевич — д-р техн. наук, начальник сектора, S (495) 962-81-82, И [email protected],

ОАО «Федеральная Сетевая Компания ЕЭС», г. Москва.