Оптимизация законов управления орбитальной стабилизации космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7.05

Н.Е. Зубов1, Е. А. Микрин1,2, С. С. Негодяев2,3, В. Н. Рябченко2,4, А. В. Лапин1

1 Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П. Королева Московский физико-технический институт (государственный университет)

Центральный научно-исследовательский институт химии и механики им. Д.И. Менделеева 4ОАО «Федеральная сетевая компания Единой энергетической системы»

Оптимизация законов управления орбитальной стабилизации космического аппарата

Рассматривается задача орбитальной стабилизации космического аппарата. Предложен метод, обеспечивающий решения задачи оптимального размещения полюсов замкнутой системы. С помощью предложенного метода осуществлен синтез закона управления с обратной связью для орбитальной стабилизации космического аппарата.

Ключевые слова: орбитальная стабилизация космического аппарата, обратная связь, замкнутая система, оптимальное размещение полюсов, декомпозиция, ортогональный делитель нуля.

Введение

Задача поддержания орбитальной ориентации космического аппарата (КА) является достаточно распространенной и практически реализуется на всех типах КА, находящихся на околоземных орбитах. Следует заметить, что в соответствии с целевым назначением того или иного КА предъявляются различные требования к качеству управления орбитальной стабилизацией. Так, для КА дистанционного зондирования Земли определяющим моментом является точность орбитальной стабилизации, характеризующаяся в том числе и качеством переходного процесса на всем интервале времени решения целевой задачи, которая может быть достигнута методами аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР) [1]. В этом случае для линейных систем оптимальное квадратическое управление определяется путем решения нелинейного матричного уравнения Риккати [1], а в стационарном случае — нелинейного матричного уравнения Лурье-Риккати [1]. При решении задачи стабилизации орбитальной ориентации КА используют линейную стационарную модель углового движения КА вида [2, 3]

x (t) = Ax(t) + By (t),

где x £ R” — вектор состояния; u £ Rr — вектор входа; R — множество действительных чисел; A, B — постоянные матрицы, определяющие динамические свойства КА; п,г — соответственно размерности векторов состояния и управления КА.

В [4] указано на существование мнения, что квадратическая оптимизация в линейных системах представляет собой не более чем один из методов определения матрицы коэффициентов обратной связи K, обеспечивающей устойчивость матрице состояния замкнутой системы A - BK в случае стабилизируемости пары (A, B) И в этом своем качестве данный метод не решает сам по себе ни одной из фундаментальных структурных проблем общей задачи синтеза [4]. Одной из таких проблем является недостаточная робастность (грубость) оптимального управления, связанная, прежде всего, с размещением полюсов оптимальной системы.

С другой стороны, известно, что синтез обратной связи с помощью назначения полюсов (т.е. с помощью модальных методов) осуществить гораздо проще, чем определить, например, оптимальное квадратическое управление путем решения нелинейного матричного уравнения Риккати или Лурье-Риккати. Тем не менее полученное управление, как правило, не будет оптимальным.

Данная статья посвящена решению задачи синтеза законов стабилизации орбитальной ориентации КА, обеспечивающих оптимальное в смысле минимума линейноквадратического функционала (квадратическая оптимизация, LQ-мeтoд [1, 4]) размещение полюсов. Полученное решение базируется на выполненных в работе исследованиях, устанавливающих связь модального и оптимизационного подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения заданных требований качества и устойчивости переходных процессов управления КА.

1. Уравнения движения КА

Линеаризованные уравнения углового движения КА при стабилизации орбитальной ориентации на круговых орбитах с учетом действия гравитационного момента при создании управляющих моментов с использованием двигательной установки имеют вид [5]

/хЛ

Х2

Хз

х4

х5

\Хб/

О І О О О ОХ

«21 О О «24 О О

О О О І О О

О Й42 Й4з О О О

О О О О О І

О О О І Й65 О/

(хЛ

Х2

Хз

х4

х5

+

где

«21

Jy JZ

jX

Й24

\Х6/

Jx + Jy Jz

О О О \

Jx 1 О О

О О О

О J -1 Jy О

О О О

О О J-1)

(1)

jX

Jx + Jy Jz

^42 = ------------------------f-------------^o,

J qi

Jx Jz 2

а4з = -----------J-----------Hh

Jy

«65 =

-Wo,

Jx J'i

Jz

- Зш°,

Wo -

KA;

'У °У

орбитальная угловая скорость; ■]х,’]у, Jz — главные центральные моменты инерции

Х\ = х2 = Хз = ф, х4 = ф, х5 = х6 = $;

^,ф,§ — углы крена, рысканья, тангажа; их, иу, иг — управляющие воздействия.

Математическая модель КА (1) представляет собой взаимосвязанные движения по крену и рысканию и изолированное движение по тангажу. Поэтому движение «крен-рыскание» можно рассматривать отдельно от движения по тангажу. В этом случае система уравнений (1) разбивается на две независимые подсистемы следующего вида:

/хЛ О І О О \

Х2 «21 О О Й24

Хз О О О І

\X4J О Й42 Й4з О )

/хЛ

Х2

Хз

+

W/

( О О ^

J-1 О f ux\

О О \UJ ,

V О Jy Ч

№\ = / О І)(Х5\ + f°\

\X6j \аб5 ОJ \X6J \J-1J

u.

(2)

(3)

Как будет показано дальше, решение задачи стабилизации орбитальной ориентации КА, обеспечивающее оптимальное в смысле минимума линейно-квадратического функционала размещение полюсов, может быть получено на основе комбинации £ф-метода и подходящего метода размещения полюсов. Другими словами, подходящий метод размещения полюсов дает возможность получить оптимальные в среднеквадратичном законы управления КА.

2. Размещение полюсов

Задача размещения полюсов или назначения собственных значений (eigenvalue assignment) в линейных динамических системах в той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах (см., например, [8-19]).

Рассмотрим линейную многомерную динамическую систему с многими входами и многими выходами (MIMO — Multi Input Multi Output):

Dx(t) = Ax(t) + Bu(t), (4)

где x £ R” — вектор состояния; u £ Rr — вектор входа; R — множество действительных

чисел; п > V, D — символ, обозначающий либо оператор дифференцирования: Dx(t) = X(t),

либо оператор сдвига: Dx(t) = x(t + 1).

Предполагается, что матрица B £ Rraxr имеет полный ранг, а матрица A £ Rraxra заведомо неустойчива, т.е. множество ее собственных значений (спектр)

eig(A) = {Xi £ C : det(AIn — A) = 0},

Где ira — единичная матрица размера п х п, C — множество комплексных чисел (комплексная плоскость), обязательно включает такие Ai £ C, что Re(Aj) > 0 для случая Dx(t) = x(t) и |Aj| > 1 для случ ая Dx(t) = x(t + 1) Здесь |Aj| — модуль собственного значения Ai.

Введем понятие Cstab, которое в дальнейшем в зависимости от типа изучаемой MIMO-системы (непрерывной или дискретной) будет обозначать соответственно левую полуплоскость C- плоскоети C, т.е. Cstab = C-, либо область внутри круга единичного радиуса с центром в начале C, т.е. Cstab = С|д|<1- Считается, что для MIMO-системы (4) существует управление с обратной связью вида

u(t) = — Kx(t), (5)

где K £ Rraxr — матрица регулятора по состоянию.

Управление системой (4) с помощью законов (5) является классической задачей, когда

K

ния к процессу управления. Эти требования условно можно разделить на три группы [6]: (а) требования на размещение полюсов замкнутой системы (собственных значений матриц A — BK) в заданных точках Cstab или в заданной области Cstab (заданной областью, на-

C

и нулей (тех или иных нулей передаточной матрицы MIMO-системы [4, 18]) замкнутой системы в заданных точках Cstab или заданных областях Cstab\ (с) требования к переходным процессам в замкнутой системе в смысле минимума заданного функционала.

Требование (а) распространяется на все известные постановки задачи стабилизации. При этом, как правило, выдвигаются дополнительные требования полной управляемости и полной наблюдаемости системы.

Наиболее ярко требование (а) выражается в постановках модального управления [6-11, 17-18].

Хорошо известно, что характеристический полином

det( AIra — A + BK), (6)

где A = s для случая Dx(t) = x(i) и A = z для случая Dx(t) = x(t + 1), задает распреде-

C

MIMO-системы (4). Накладывая требования на желаемое требование (а) по распределению полюсов, можно обеспечить устойчивость и (опосредованно) качество переходных процессов в замкнутой системе.

Требования на распределение полюсов можно задавать с помощью разложения полинома (6) на множители, например,

det(AIn — A + BK) = ( A — Ai)(A — A2)... (A — Ara), (7)

где Xi — заданные значения корней полинома (собственные значения матрицы A — BK),

или разложения матрицы

A — BK = WЛW-1, (8)

где Л — матрица диагонально-клеточного типа; W — матрица преобразования.

В матрице Л для каждого г-го действительного полюса \г, соответствующего заданному значению корня характеристического полинома (7), имеется клетка размера 1 х 1, а для каждой пары комплексно-сопряженных корней — клетка размера 2 х 2 вида

Если заданы кратные корни, то это отражается в структуре матрицы Л, как это делается в жордановой форме матрицы [20].

Еще одним способом реализации требования (а) является использование LMJ-областей [10, 21]. Пусть D — некоторая заданная выпуклая область Cstab в смысле требования (а), тогда существуют определенного вида линейные матричные неравенства (LMI — Linear Matrix Inequalities), описывающие границы этой (выпуклой) области.

Известные на сегодня методы размещения полюсов зачастую не применимы в практических задачах в связи с присущими им недостатками, к которым относятся: плохая обусловленность используемых матриц (например, матриц управляемости); возможная неразрешимость задачи при полной управляемости (например, ограничение в виде различия алгебраической и геометрической кратности назначаемых полюсов); быстрый рост размерности решаемых уравнений и др.

Далее в работе представлен метод стабилизации по состоянию КА, рассматриваемого как MIMO-система, т.е. обеспечение выполнения требования (а) для MIMO-системы (4) с помощью закона (5) по размещению собственных значений матрицы A — BK в области Cstab. В основе метода лежит специфическая декомпозиция исходной системы. При этом в

A

с помощью обратной связи позволяет обеспечить устойчивость замкнутой системы.

3. Полное размещение полюсов

Рассмотрим эффективный метод решения задачи полного размещения полюсов [22] MIMO-системы (4). Метод не требует решения никаких специальных матричных уравнений (типа уравнения Сильвестра), имеет один и тот же вид для непрерывного и дискретного случаев задания модели системы, не имеет ограничений по алгебраической и геометрической кратности задаваемых полюсов, легко реализуется в среде MATLAB.

Пусть B^T = null(BT) — ортогональный делитель нуля, т.е. матрица, удовлетворяющая следующим условиям [23, 24]:

Здесь пи11(-) — оператор вычисления базиса нуль-пространства [23]; 0(га_г)хг — нулевая матрица размера (п — г) х г.

Введем в рассмотрение следующую многоуровневую декомпозицию М1МО-системы (4) [22], представляемую парой матриц (А, В), где А е Мгахга, В е Мгахга.

Нулевой (исходный) уровень:

(9)

(10)

B+ — псевдообратная матрица Мура-Пенроуза, т.е.

BB+B = B, B+BB+ = B+, (B+B)T = B+B, (BB+)T = BB+.

(11)

(12)

(13)

Ь-й (конечный) уровень, Ь = сеП(п/г) — 1:

(14)

Здесь сеП(*) — операция округления числа * в сторону большего значения, например, сеП(0.1) = 1, сеП(1.6) = 2, сеП(2.01) = 3 и т.д.

(А, В)

то полностью управляемы все пары матриц (А1, В^ (12)—(14), где г е {0,..., Ь}.

Доказательство теоремы 1. Известно, для полной управляемости М1МО-системы необходимо и достаточно, чтобы [9, 6, 16, 18]

при Любых А имеет ранг г. Поэтому для выполнения условия (15) необходимо и достаточно,

Осуществим далее невырожденное преобразование подматрицы В^ (А — А!га) по типу

Сравнивая правые части из (15) и (20), приходим к справедливости следующего промежуточного утверждения: М1МО-система (4) полностью управляема, если и только если полностью управляема пара матриц (Ах, Вх).

Выполняя далее преобразования пары матриц (Ах, Вх), аналогичные предыдущим, получим по индукции формулировку теоремы 1. Доказательство теоремы 1 закончено.

V А е С : гапк(А — А1га|В) = п.

Условие V А е С может быть заменено на V А е е1 g(A). Используя матрицу преобразования

(15)

осуществим преобразование пучка матриц (А — АТга|В) по типу

(16)

Раскрывая правую часть (16), получим

при этом

гапк(А—а1,,|в)=гм,к (в+;а—Ай 10(тх")

В+(А — А!га)

(17)

Как следует из структуры (17), подматрица

(В+(А — А!га)|1г)

чтобы ранг подматрицы В^(А — А1га) удовлетворял требованию

V А е С : гапкВ±(А — А!га) = п — г.

ВХ(А — А1„)Т-1 = ВХ(А — А1„ )(В±Т |В).

(18)

Раскроем правую часть (18):

ВХ(А — А1га)(В±т |В) = (ВХАВ±Т — А1п_г|ВхАВ) = (Ах — А1га_г |Вх). (19)

При этом, как и в предыдущем случае (17),

гапкВх(А — А!га) = гапк(Ах — А!га|Вх).

(20)

Без ограничения общности будем считать, что все матрицы В1 в (11), (12), (13), (14) являются матрицами полного ранга по столбцам. Тогда справедливо утверждение.

Теорема 2. Пусть М1МО-система (4) полностью управляемая и матрица К е ^гхт удовлетворяет формулам,

К = Ко

В0 А — ФоВ0

В-

КіВ0^ + В+,

Кі — В- Аі — ФіВ°

В-

К2В^ + В+, Ік+і-

К — В-А^ — ФьВ~°,

К к — В- Ак — ФкВ- , В- — К к+1В& + В+, . •

тогда

Ь+1

eig(A — ВК) — |^) eig(Ф^о1).

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

г=1

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим следующие формулы для матрицы регулятора:

К — В-А — ФВ-,

В- — К1В± + В+.

Тогда можно записать цепочку невырожденных (подобных) преобразований:

(1+)

В+ )(А — В(В-А — ФВ-))(В±Т |В)

Вх А

. , I (В±Т|В)

—КхВ^А + ФВ+ + ФК1 Вх '

Применим далее к полученной матрице

В±АВ±Т

ВХАВ

±Т

—КіВхАВ±Т + ФКі

ВХАВ

Ф — КіВ^АВ

—К1

—К1В±АВ±Т + ФК1

ВХАВ

Ф — К1В±АВ

невырожденное преобразование подобия следующего вида:

(1п-т °)

V К I т )

(1п-т °)

V—К1 !т )

-1

(26)

(27)

При умножении (27) слева на (26) получим 0 \ / В±АВ±Т

(1п-т 0 і |

К1 ттт) х—кї

—К1В±АВХТ +ФК1

Т

ВХАВ

Ф — КіВ^АВ

) — (:

ВХАВ ФКі

±Т

ВХАВ

Ф

Умножение справа результата предыдущего преобразования на обратную к (27) матрицу дает

/В±АВ±1 ВХАВ\ /1п-т — (

V ФКі Ф ) V—К1 1т/ V

В±АВ±Т - В^АВК

0

ВХАВ

Ф

).

Таким образом, с помощью невырожденного преобразования подобия (27) получена матрица

С1

В±АВ±Т — В^АВК

0

ВХАВ

Ф

—

А1 — В1К1 0

1,

собственные значения которой очевидны:

. п

ещ I -

В±АВ±Т - В^АВК

0

Ф

ВХАВ\ . /А1 — В1К1 ВЛ

-)—^{—о— т)

= eig($) ^Jeig(BLAB±T — B^ABKi) = eig($) |^Jeig(Ai — BiKi). Проделывая аналогичные предыдущим преобразования для матрицы (28), получим

. /B^-AiBfr — B^-AiBi K2 B^-AiBA

eig V 0 Ф1 )

= eig($i) [J eig(B]LAiB]LT — B^AiBiK2) = eig($i) [J eig(A2 — B2K2).

Продолжая приведенные ниже преобразования вплоть до пары матриц (A l, Bl) , где L = се'й(п/г) — 1, получим равенство (25), что и требовалось показать. Доказательство теоремы 2 закончено.

Таким образом, регулятор, заданный матричными соотношениями (21) - (24), обеспечивает выполнение условия (25), т.е. заданного размещения полюсов.

4. Размещение полюсов и оптимизация

Справедливо утверждение, вытекающее из теоремы 2.

Следствие 1. Пусть матрица, A1 — B1K1 е R(ra-r)х(га-г) асимптотически устойчива, тогда асимптотически устойчива, любая матрица A — BK; где

K = (KiBL + B+)A — $(KiBL + B+), (29)

u ф _ произвольная устойчивая, матрица размера гхг. При этом

eig(A — BK) = eig(A1 — B1K1) ^eig($). (30)

Доказательство следствия 1 очевидно вытекает из доказательства теоремы 2.

Согласно формулировке следствия 1 полюса замкнутой MIMО-системы в случае выбора в качестве матрицы регулятора выражения (29) состоят из полюсов (собственных значений) матрицы A1 — B1K1 и собственных значений матрицы Ф.

С другой стороны, известно следующее утверждение относительно задачи АКОР. Теорема 3 [25]. Пусть Dx(t ) = x(t), тогда, для, замкнутой непрерывной MIMO-системы матрица регулятора K1 является оптимальной в смысле минимума квадратического функционала, качества Летова,-Ка, лм а на:

ГО

J = 1 J (xT Qx + uT Ru) dt, (31)

0

где

Q T = Q > 0, RT = R > 0, m.e. удовлетворяет алгебраическому уравнению Риккати:

AT P + PA — PBR-i Bt P + Q = 0,

u p _ (строго) положительно определенная симметрическая матрица, если и только:

1) eig(A — BK') < 0, т.е. замкнутая MIMO-система является асимптотически устойчивой;

2) K'B > 0: т.е. матрица K'B является (строго) положительно-определенной симметрической матрицей.

При этом всегда существует подходящая положительно-определенная матрица S, что

p = (b+t|blt/ RKB

RK'B±T\ /B+\

—S— BL > °,

BLKT RT

или эквивалентно

P = (B+TRK'B + BLTBLK/TRT)B+ + (B+TRK'BLT + BLTS)BL > 0.

Симметрическую иоложительно-иолуопределенную матрицу Р можно найти по формуле

Q = (ВК - Л)тР + Р(ВК - А) + (К'К-1К/Т),

ИЛИ

д = РВИ,-1ВТР - РА - АтР.

Не составляет труда распространить предыдущее утверждение на случай дискретной М1МО-системы (Эх(£) = х(£ + 1)).

Заметим, что в случае существования решения уравнения Риккати Р > 0 пара матриц (Л, д) является полностью наблюдаемой, т.е.

V Л е С : гапк = п. (32)

Сформулируем теорему.

Теорема 4. Пусть М1МО-система

^(*) = (Л1 - В1К1 )z(^) (33)

— асимптотически устойчива,

е!ё(Л1 - В1К1) С С зЫЬ, (34)

тогда оптимальный регулятор в смысле минимума (31) имеет вид

К,ол = (К1ВХ + В+)Л - (К1ВХ + В+), (35)

где матрица Форг удовлетворяет линейному матричному уравнению

ФоР* - (К1ВХ + В+)ЛВ < 0 (36)

и условию

е!ё(Фор*) С С зЫЬ. (37)

Доказательство теоремы 4. Согласно формулировке теоремы 3 для оптимальности регулятора необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий: (Л - ВК) < 0 КВ >0 ра (29) обеспечивает заданное (в т.ч. асимптотически устойчивое) размещение полюсов у М1МО-системы (33), а при устойчивой матрице и у М1МО-системы (4).

В

лучим цепочку преобразований:

КВ = (К1В± + В+)ЛВ - Ф(К1 Вх + В+)В,

КВ = (К1 Вх + В+)ЛВ - ФВ+В - К1В±В,

КВ = (К1В± + В+)ЛВ - Ф В+В -К1 В^В,

1Г 0

КВ = (К1 Вх + В+)ЛВ - Ф. (38)

Из (38) следует, что выполнение условия (строгой) положительной определенности КВ >0

К1В± + В+ - Ф > 0,

или

Ф - (К1ВХ + В+)ЛВ < 0.

(39)

(Л - ВК) < 0 КВ > 0

выполнению условий (39) и

eig(Фор^) С С зЫЬ.

При этом

eig(A - BKopt) = eig(Ai - BiKi) Ueig^opt) С C

stab

что и требовалось доказать. Доказательство теоремы 4 закончено.

Линейное матричное неравенство (36) при стандартных требованиях выполнения условий управляемости

V A е C : rank(A — AIn|B) = п (40)

и наблюдаемости (32) разрешимо всегда (поскольку в этом случае всегда существует решение задачи АКОР), при этом можно указать подмножество решений с помощью диагонального доминирования:

Ф

opt = (K1

(K1B± + B+)AB — aIr,

(41)

где

Здесь

a > ReCW((KiBx + B+)AB)).

Re( Л^^^ + B+) AB))

C

значения матрицы (KiB^ + B+)AB є Мгxr.

С использованием (41) формула регулятора, обеспечивающего оптимальное размещение полюсов, имеет вид

Kopt = (KiBx + B+)A — ((KiBx + B+)AB — aIr )(KiBx + B+).

Таким образом, для MIMO-системы (4), управляемой и наблюдаемой в смысле (40) и

n —

5. Орбитальная стабилизация КА с оптимальным размещением полюсов

Рассмотрим далее применение изложенного в разделе 4 алгоритма синтеза регулятора, обеспечивающего оптимальное размещение полюсов применительно к задаче нахождения законов стабилизации орбитальной ориентации КА. В качестве математической модели движения КА будем использовать уравнения (2), (3), описывающие раздельное движение в каналах «крен-рыскание» и тангажа. В данном случае имеем

A^_.

■7_Ф

О І О О ^ О О \

«21 О О «24 B -г I ф О

О О О І О О

О «42 «43 О / О J_V

(42)

A,

Здесь размерность подпространств состояний, описывающих объект управления, — п1-ф = 4, п-& = 2, векторов правления — г~_ф = 4, г$ = 2, а число уровней декомпозиции для каждого из каналов

L = ( n/ ) — І = 2 — І = І

— два (нулевой и первый).

Согласно введенной в разделе 4 многоуровневой декомпозиции нулевой уровень для системы (4) при Эх(£) = Х(£) и матриц (42) имеет вид

В

7_0

1 0 0 0\

0 0 В7 1 = (1 0 0

0 -т 0

0 0 0 Зу)

(43)

(44)

Нетрудно убедиться, что для матриц В7 из (44) выполняется условие ортогональности (10). Первый (и конечный) уровень выглядит следующим образом:

А

1(7-0)

тэ± д Т3 7Т

В7_0 А7_0 В7 _0

0 1 0 0 \

0 0 «21 0 0 «24

0 1 0) 0 0 0 1

0 «42 «43 0/

А1(0) = В^А^В^Т = (1

1 0\

0 0

0 1

0 0/

(45)

В1(7_0) = В7-0 А7_0 В7_0

0 1 0 0 \

0 «21 0 0 «24

1 0) 0 0 0 1

0 «42 «43 0/

0 0 ^

З—1 0 (Тх 1 0 ^

0 1 10 ЗУ V

0 Зу Ч

В

!(*)

в7а”в”=(' I °) («°гНВ (з_)

= т-1-- 1 Г 1

В

+

В

1

(IX1 0

V 0 ЗУ~ V

в+ __в—1 ______ т

В1(0) = В1(0) = 1г.

1(7-0) 1(7-0)

Зададим матрицы Ф1 для соответствующих каналов в следующем виде:

(46)

(47)

Ф

1(7-0)

(—8 w ^

\—w —*)

Ф

1(0)

—V,

(48)

где 8 > 0 V > 0 — действительные числа.

Как видно из (48), матрица Ф^7_0) асимптотически устойчива, а ее собственные значения равны —« ± гw.

Выполняя вычисления по формулам (21) - (24) с учетом матриц (43) - (48), получим

К1(7_0) В+(7_0) А1(7_0) Ф1(7_0)В+(7_0)

—в 3 0 ^ (Зх8 — З

—w —) V0 3 Зу8 )

к1(0) = В1(0) А1(0) — Ф1(0)В1(0) = ЗхУ ■

1

0

0

1

0

0

0

(

Согласно формуле (36) вычислим матрицы

о,_ ф = В,_ ф Л,_ф В,_ф + К1(,_ф)В1(,_ф)

0 ,х 0

0 0 0 'у/

+

,х - 'У ^

\JхW 'у8 )

/ 0 1 0 0 \

«21 0 0 «24

0 0 0 1

V 0 0 А «42 «43 0 !

,гу) + Jуа42J—

( 0 0 \

,_1 0

0 0

V 0 'у-1/

+

—w + ^кЯ.24^

_1

У

(50)

о# = В+Л„В* + К^Вц,

(0 1 1 (а°5 | о) (т-^ + ■7М-,—1) = *

(51)

Используя тулбокс символьных вычислений МАТЬАВ, найдем собственные значения матрицы (50):

eig(JD7_ф) =

8 + (-(й24,^ + 'Ь',уW2 - (124^42,хЗу - а42'^)/,Х',у) 1

5 - (-(й24,Х^ + 'Ь,-уW2 - й24й42,х,у - а42JУjw)/JхJу) 2

).

(52)

В силу того, что собственные значения канала крен-рысканье определяются неоднозначно (подкоренное выражение в (52) может быть как отрицательным, так и положительным), то для обеспечения условия (36) и возможности применения формулы (41) поступим следующим образом.

Назначим число а,_ф = є таковым, что оно (по определению) обеспечивает асимптотическую устойчивость матрицы Ф^ и отрицательную определенность разности матриц Фг °у_ф'

Для канала тангажа число определим как = 5.

Используя формулу (41), будем иметь

фУ_ф = о,(,_ф, - -;12 = ^

- -w + ,х«24,у 1^\

\ЧW + ,у«42,х 1 -

ФГ

На основании выражений (42) матрицы обратной связи, обеспечивающие оптимальное размещение полюсов в задаче орбитальной стабилизации КА, запишутся следующим образом:

= (К1(т-0)В7-0 + В7-0 )А7-0 — ф (7-0)(К1(7-0)В7-0 + В7~0 ^ =

0Ч

{ ,хв -JУW\ 1 0 0

\JхW 'у* ) 0 0 1

■^ + (

І 0^1

V0 'у/

0 1 0 0 ^

«21 0 0 «24 - - W + ,х«24,у 1\

0 0 0 1 \^w + Jуа42Jх -

0 «42 «43 0/

/ 'хв -'у^ П 0 0 'х 0

\JхW 'у* ) V0 0 1 Г^ + \Л 0 0

,У

/,1х(-в2 + Є8 + w2 + а21) - 1 ,]хЄ -8( Jха24 - 'уw) + 'уw(s - є) 0 Ї

\ - JхW(s - Є) - 8(,1уа42 - JхW) 0 8 + w2 + «21) + JХ.а42wJу1 'у£)

х

0

х

х

X

0

К* = (Кк„)В7 + Б+)А - Фг(«)(К1(„)В7 + Б+) -

= ( .]2ь (1|0) + (0^))

Г0 I Л

\аб5 °/

— (у — ^)( ■Зг'У(1|0) + (01 <Л:)) —

— ( Jza65 + ( —V + 5)| -1Х 5).

Как и прежде, с помощью тулбокса символьных вычислений МАТЬАВ вычислим собственные значения оптимальной системы. Получим

(

е!ё(Л - ВК7* )

—в — гw

\

— 8 + ІW

,в — £ + (а24а42 — w2 + ’ха2^’у — ’уа4^’х 1) 2

у 8 — е — (а24а42 — w2 + ’ха2/№’у 1 — ’уа4^’х 1) 2 у

е!ё(Л — ВК^ )—

Анализ двух последних выражений показывает, что оптимальная система всегда будет выбор не составляет большого труда.

6. Заключение

В статье рассмотрена задача орбитальной стабилизации КА. Предложен метод, обеспечивающий решение задачи оптимального размещения полюсов замкнутой системы. В основе метода лежит оригинальная декомпозиция модели исходной систем и установленная в работе взаимосвязь модального и оптимальных подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения, заданных требований качества в виде функционала Летова-Калмана и устойчивости переходных процессов управления КА. С помощью предложенного метода осуществлен синтез оптимальных законов во всех каналах управления и соответственно впервые для них получены выражения, однозначно определяемые параметрами орбиты и массо-инерционными характеристиками КА.

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации в рамках договора с Минобрнауки России № 13.025.31.0028.

Литература

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. — М.: Наука, 1987.

2. Воробьева Е.А., Зубов Н.Е., Микрип Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябчепко В.Н., Тимаков С.Н. Синтез стабилизирующего управления космическим аппаратом на основе обобщенной формулы Аккермана // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2011. _ № 1. - С. 116-126.

3. Богачев А. В., Воробьева Е.А., Зубов Н.Е., Микрип Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябчепко В. Н., Тимаков С. Н. Разгрузка кинетического момента инерционных исполнительных органов космического аппарата в канале тангажа // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2011. — № 3. — С. 125-132.

4. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. — М.: Наука, 1980.

5. Боднер В. А. Системы управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1973.

6. Мисриханов М. Ш. Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. — М.: Наука, 2007.

7. Рябченко В. Н. Сравнение подходов к анализу и синтезу динамических систем // Вестник ИГЭУ, 2001. - Вып. 3. - С. 170-191.

8. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 1998.

10. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007.

11. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

12. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. — М.:

Машиностроение, 1986.

13. Леонов Г. А., Шумафов М. М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005.

14. Мисриханов М. Ш., Рябчепко В. Н. Ленточная формула решения задачи А.Н.Крылова // АиТ. 2007. - № 12. - С. 53-69.

15. Мисриханов М. Ш., Рябчепко В. Н. Анализ и синтез линейных динамических систем на основе ленточных формул // Вестник ИГЭУ, 2005. — Вып. 5. — С. 243-248.

16. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.

17. Подчукаев В. А. Теория автоматического управления (аналитические методы). — М.: Физматлит, 2005.

18. Kailath Т. Linear Systems. Englewood Cliffs. — NJ: Prentice Hall, 1980.

19. Kautsky J., Nichols N.K., Van Dooren P. Robust pole assignment in linear state feedback // Int. J. Control. - 1985. - V. 41, N 5. - P. 1129-1155.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988.

21. Skelton R.E., Iwasaki Т., Grigoriadis К. An unified algebraic approach to linear control design. — London: Tavlor&Francis Ltd., 1998.

22. Мисриханов М. Ш., Рябчепко В. H. Размещение полюсов в больших системах. — URL: http: //lab7.ipu.ru:8081/rus/seminars.asp.

23. Голуб Док., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

24. Мисриханов М. Ш., Рябчепко В. Н. Алгебраические и матричные методы в теории линейных MIMO-систем // Вестник ИГЭУ. — 2005. — Вып. 5. — С. 196-240.

25. Iracleous D. P., Alexandridis F. Т. A Simple Solution to the Optimal Eigenvalue Assignment Problem // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - V. 44, X 9. P. 1746-1749.

Поступила в редакцию 14-10.2011.