Инвариантная стабилизация и задача слежения Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Е. Зубер

ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЗАДАЧА СЛЕЖЕНИЯ*

1. Введение

Под инвариантностью понимается независимость данного выхода системы от возмущения, постоянно действующего на систему через один из её входов. Первой работой в этой области явилась статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной стационарной системы шестого порядка. Эта работа стала предметом оживленной дискусии, описанной в книге [2], и стимулировала многочисленные иследования, обзор которых приведен в [3]. В большинстве работ по проблеме инвариантности изучались линейные системы (из последних работ см., например, [4-6]).

Инвариантности нелинейных систем посвящено значительно меньше работ (см. [3]), в

которых использовались либо различные методы линеаризации, либо подходы, близкие к теории чувствительности. В этой статье будет построено инвариантное управление нелинейной гладкой системой, а также осуществлен синтез управления, решающего задачу слежения.

2. Инвариантная стабилизация линейных нестационарных систем

Рассматривается линейная нестационарная система управления с произвольным возмущением

i, = A(t)x + bi(t)ui + b2(t)u2 + y>(t)g,

a = c*x, x(to) = xo,

где t > to, x G Rn, A(t) —заданная равномерно ограниченная вместе со своими производными порядка до n — 1 включительно матрица, bi(t), b2(t) —заданные равномерно ограниченные вместе со своими производными порядка до n — 2 включительно векторы, вектор наблюдения c и вектор распределения возмущения g заданы и постоянны,

<^(t) —произвольная ограниченная скалярная функция.

Допустимыми будем называть управления

U1(t) =

U2(t) = s2(t)x(t) + <f(t)a(t),

где векторы si(t), s2(t) и скаляр a(t) равномерно ограничены при t > to.

Задача заключается в построении допустимоых управлений, обеспечивающих выполнение следующих условий: для произвольно задаваемого в > 0

a(t) = Ce-et, C = const, (3)

3M < ж : ||x(t)|| < M, t > t0. (4)

Решение задачи. Сформируем

a(t) = (c*A(t) + c* bi(t)s1 (t) + c*b2(t)s*2(t))x + (c* b2(t)a(t) + c* g)p(t).

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00238).

© И. Е. Зубер, 2006

Положим

л* .

лл с у «2 (t) =------------

*b2(t)'

Тогда

a(t) = c*(D(t) + b2(t)s2 (t))x,

где

D(t) = A(t)+bi(t)s*i(t). (5)

Зададимся числом в > 0 и определим S2(t) из условия

c*(D(t) + b2s*)x = ec* x,

т. е. положим

= (6)

2V 7 c*b2(t) v 7

Таким образом, выбором S2(t) вида (6) обеспечивается выполнение условия (3).

Теперь определим вектор si(t), при котором система

i = DM* -

C'h(t)

асимптотически устойчива. Перепишем эту систему в виде

x = Di(t)x,

где с учетом (5)

DM = pmm + ^y т = 1-Щ

или

x = (Ai(t)+b(t)si)x,) (7)

где

A, = P(t)A(t) +13bj^-y b(t)=P(t)h(t).

Решение задачи стабилизации системы (7) содержится, например, в работах [7, 8] и базируется на преобразованиях подобия, приводящих систему к каноническому виду.

Замечание. Предположим, что функция возмущения p(t) не измеряема, но вектор наблюдения c подлежит выбору. Тогда решение рассматриваемой задачи, т. е. определение допустимого управления, обеспечивающего выполнение условий (3) и (4), проводится несколько иначе.

Полагаем c*g = 0, тогда

a = (c* A + c*bis*i + c* b2s2 )x.

5k

c* g

Выбираем S2 =-——, тогда a(t) = 0. Отсюда при сто = с*xо = 0 имеем alt) = 0.

c*b2(x)

Если с*хо ^ 0, то выбором s\ = —-—^ обеспечиваем выполнение условия (3), а искомый вектор si ищем как стабилизирующий вектор обратной связи для системы (7). 42

Итак, доказана следующая

Теорема 1. Пусть в системе (1) с*Ъ2(1) = 0 при Ь > и либо измеряемо возмущение, либо с*д = 0. Тогда существует и определяется в явном виде двумерное управление, обеспечивающее инвариантную стабилизацию системы.

3. Инвариантная стабилизация нелинейных систем

Рассмотрим при £ > 0 систему

где А(х) — непрерывная и ограниченная на Кт матрица-функция размерности т х т, Ъ1(х),Ъ2(х) и д(х) —непрерывные ограниченные т-мерные столбцы-функции, с — постоянный т-мерный столбец, ф(Ь) —скалярная непрерывная ограниченная функция, описывающая постоянно действующее возмущение.

Задача заключается в построении скалярных непрерывных управлений п\(х) и п2(х), обеспечивающих при любом х(0) выполнение следующих свойств:

где ві(х) и в2(х) — т-мерные столбцы-функции, а(Ь,х) —скалярная функция.

Выберем сначала в2(х) и а(Ь,х) таким образом, чтобы выполнялось свойство инвариантности (10). Очевидно, соотношение (10) равносильно уравнению

Вычислим производную Г в силу системы (8) и подставим в неё функции (12) и (13):

X = А(х)х + Ьі(х)иі + Ь2(х)и2 + д(х)ф(і),

(8)

(9)

а = с х,

а(і) = а(0)ехр( — єі), є> 0,

(10) (11)

Будем искать управления иі(х) и и2(х) в виде

иі = ві (х)х, и2 = 82(х)х + а(і, х),

(12)

(13)

а + єа = 0.

(14)

(17)

(18)

с* (А(х) + Ьі(х)ві (х) + єс*)

Заметим, что если с*д = 0, то управление и2 не зависит от ф.

После подстановки выражений (18) в уравнение (8) последнее примет вид

х = (А\(х) + Ъ(х)в^ (х))х + f (х)ф(Ь), (19)

где

. . . (r b2(x)c*\ .. . b2(x)c*

a1(x)=[i- . А(х) -е ; ;

\ с*Ъ2(х)) с*Ъ2(х)

ьм=(j - ki(x>-/w ■**>-

Задача свелась к такому выбору si(x), при котором выполняется свойство (11). Предположим, что однородная система

z = (Ai(z) + b(z)s*i(z))z = 0 (20)

принадлежит классу, для которого в [9] было найдено робастное стабилизирующее управление u = s*z, si = XHem. При этом была построена функция Ляпунова V(z) = z*H-iz, удовлетворяющая неравенству

V + ev < 0

при всех векторах z с ||z|| =0. Это неравенство эквивалентно матричному неравенству

(Ai(z)+b(z)s*i)*H-i + H-i(Ai(z)+b(z)s*i) + fJH-i < 0, (21)

которое выполняется при всех z G Rm.

Рассмотрим для системы (19) функцию Ляпунова V(x) = x*H-ix. Ввиду (21) её производная, взятая в силу системы (19), удовлетворяет неравенству

V < -ev + 2x*H-if (x)^(t). (22)

При любом ц > 0 очевидно соотношение

\2х*Н-1Ф1\ < И\\х\\2 + - \\H-lf II2 ф\г). (23)

Поскольку ||ж||2 < -—V, где А_—минимальное собственное число матрицы Н^1, из

Л —

(22) и (23) вытекает оценка

V <-SV + Y(t), (24)

где

7(t) =/x“V2(i) sup \\H-lf(x)\\\ S = i3-y~.

Л —

Из неравенства (24) после умножения его на exp 8t и интегрирования получаем соотношение

V(x(t)) < V(x(0))e-st + e-st f eSXY(Л) d\. (25)

Jo

Введём обозначение 7* = Ит 7(4) и рассмотрим функцию

ь——

^ (£) =[ 1(£), если 7(£) >Ъ (7*, если 7(£) < 7*,

которая обладает свойствами 7(£) < 7 1 (£) и

. Ііт 7 і (і) = 1*. (26)

і—>+оо

Из (25) вытекает оценка

V (х(і)) < V (х(0))в~а + с-6і [ с5х[^ і (і) — ^* ] dX + с-6і [ с5х^*^Х. (27)

■Іо .1о

Пусть введённый выше положительный параметр ц удовлетворяет неравенству ц < (3\—. Тогда 6 > 0. Ввиду (26) первые два слагаемые в правой части соотношения (27) при £ ^ стремятся к нулю, а последнее слагаемое стремится к величине 7*/б.Таким образом, доказана оценка

Ит У(х(г)) < ь—6

из которой вытекает неравенство (11), в котором

виржеКт \\н— 1 ](х)\|

7о

у/ 6Х—(Л

Терема 2. Предположим, что выполнено условие (17) и управления и і и и2 выбраны по формулам (12), (13). Тогда любое решение системы (8) обладает свойствами (10), (11).

4. Задача слежения

Рассмотрим теперь задачу слежения. Пусть дана система

х = А(х)х + Ь і (х)и і + Ь2(х)и2, (28)

а = с* х, (29)

где А, Ьі, Ь2 и с такие же, как в системе (8), (9), и скалярная функия в(і), ограниченная вместе со своей производной на [0, +то). Требуется построить скалярные управления и и и2 таким образом, чтобы при любом х(0) ошибка слежения

С (і) = а (і) — в(і) (30)

обладала свойством

С(і) = С(0)ехр(—єі), є> 0, (31)

и решение х(і) было ограничено:

. Ііт ||х(і)||<7о.

І——+

Покажем, как эта задача сводится к рассмотренной выше задаче инвариантной стабилизации. Очевидно, свойство (31) равносильно равенству

Подставив в него выражение (30), получим в силу (2В), (29) соотношение c* (A(x)x + bl(x)ul + b2(x)u2) + ec*x — ф(t) = 0,

(32)

где ф(Ь) = в(Ь) +ев(Ь). Предположим, что имеет место свойство (10) и положим в (28)

u2

ф(ї) — єс*х — с*А(х)х — c*bi(x)ui с*Ъ2(х)

, Ul = s* (x)x.

Тогда соотношение (32) будет удовлетворено, а уравнение (28) примет вид

х = (А.1 (х) + Ъ(х)в\(х)) х + / (х)ф(Ь),

(33)

где

Уравнение (33) имеет такой же вид, что и уравнение (19) в рассмотренной выше задаче инвариантной стабилизации.

I. E. Zuber. Invariant stabilization and the problem of tracing.

The linear nonstationary and nonlinear control systems with external action are considered. The two-dimensional control providing the invariant stabilization of the closed systems is formed. The problem of tracing is also solved.

Литература

1. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.

2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.

3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. №6. С. 3-14.

4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001.

Summary

Т. 380. №1. С. 25-30.

6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 343. №6. С. 742-746.

7. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997.

8. Зубер И. Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на основе специального преобразования подобия // Кибернетика и системный анализ. Киев, 1998. С. 27-32.

9. Зубер И. Е. Квазиканонические преобразования подобия и стабилизируемость нелинейных систем управления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С. 24-29.

Статья поступила в редакцию 22 июня 2006 г.