CC BY
31
УДК 517.929 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 3
А. Х. Гелиг, В. А. Муранов
ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ЧАСТЬЮ*
1. Введение
Под инвариантностью понимается независимость данного выхода системы возмущения, постоянно действующего на систему через один из ее входов. Первой работой в этой области была статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной стационарной системы шестого порядка. Эта работа стала предметом оживленной дискуссии [2] и стимулировала многочисленные исследования, обзор которых приведен в [3]. В большинстве работ по проблеме инвариантности изучались линейные системы (из последних работ см., например, [4-6]). По инвариантности нелинейных систем опубликовано значительно меньше работ (см. обзор [3]), в них использовались либо различные методы линеаризации, либо подходы, близкие к теории чувствительности. В [7] было синтезировано стабилизирующее инвариантное управление для непрерывной нелинейной системы. Для импульсной системы с нестационарной непрерывной линейной частью задача инвариантной стабилизации рассматривалась в [8]. В этой статье инвариантное управление строится для импульсной системы с нелинейной непрерывной частью.
2. Постановка задачи
Рассмотрим при £ > £о импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями
ж = А(£, ж(£), ж(£ —т))ж+Ьх(£, ж(£), ж(£ —т))С+62(£, ж(£), ж(£ — т))^+#(£, ж(£), ж(£ — т))ф(£),
С = М а(ж) = с* ж,
(1)
где т > 0, А € И,тхт; с, 61,62,5 € И™; С, С, V, ф € И1; ж € И™, * —знак транспонирования, все величины вещественные. Элементы матриц А, 61,62 непрерывны по всем аргументам и равномерно ограничены в [£о, +то) х И,2т, с — постоянный столбец.
В уравнениях (1) ф(£) —постоянно действующее возмущение, £ — сигнал на входе импульсного модулятора, С — сигнал на его выходе, а — скалярный выход системы, М — нелинейный оператор класса О [9], который каждой непрерывной на [£о, +то) функции С(£) ставит в сооответствие последовательность {£п} (п = 0,1, 2,...), и функцию С(£), обладающие следующими свойствами:
1) существуют такие положительные постоянные Т и 5о, что для всех п верна оценка
^0Т < tn+1 — < Т;
2) функция С(£) кусочно непрерывна на каждом промежутке [£п,£п+1) и не меняет знака на нем;
3) С(£) зависит только от значений £(т) при т < £, £п зависит только от значений С(т) при т < £п;
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00290).
© А.Х.Гелиг, В.А.Муранов, 2007
4) Для каждого п существует £п € [£п,£п+1) такое, что среднее значение п-го импульса
^n+ 1
Уп =----------- £(£) <М
^+1 У ^ ;
удовлетворяет равенству
«п = ‘(С (£п)), (2)
где у>(£) — «эквивалентная нелинейность» импульсного модулятора [9]. В этой статье
предполагается, что функция ‘(С) непрерывная и монотонная на (—те, +те), причем
‘(+те) = +те, ‘(—те) = —те.
Свойствами 1-4 обладают различные виды комбинированной импульсной модуляции [10, 11], в том числе амплитудно-частотная модуляция, при которой
С(£) = ‘Ж (£п)) (3)
для £п < £ < £п+1.
Задача заключается в построении управлений V и £ таким образом, чтобы любое решение системы (1) обладало свойствами
а(£) = с*ж(£о)ехр[—в(£ — £о)], (4)
Ит ||*(*)|| < 7 Ит \ф(г)\, (5)
ь——ь——
где в — заданное положительное число, а 7 — положительная константа, не зависящая от ж(£о).
3. Формулировка результата
Задача будет решаться в два этапа. Сначала будет выбрано управление V таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение (4), означающее инвариантность выхода системы а(£) от внешнего возмущения ф(£). Затем условие стабилизации (5) будет достигнуто путем синтеза управления £. Очевидно, что условие (4) вытекает из равенства
а + ва = 0. (6)
Продифференцировав а в силу системы (1), представим (6) в виде с*(А(-)ж + 61 (• )С + б2(-^ + #(0ф) + вс*ж = 0.
Здесь и в дальнейшем (•) = (£, ж(£), ж(£ — т)). Отсюда находим управление V:
1
с*Ъ2{-)
если 62^) обладает свойством
[с*(А(-) + в1 )ж + с*61(^)С + с*^)ф], (7)
М Iс*62(•) | > 0. (8)
(•)е[Ьо ,+м)хЯт
ж = А1()ж + 6(-)£ + / (•),
где
АЛ0 = I —
Ы-)с*
с*Ь2(-)
А() — в
Ы-)с*
с*Ъ2{-У
6(0
I-
Ь2(-)с*
с*Ъ2(-)
Переходим ко второму этапу — построению управления £, стабилизирующего систему (9). Здесь будут рассмотрены два класса систем (9), для которых [12] были построены стабилизирующие управления при отсутствии внешнего возмущения.
В первом классе матрица А^) имеет вид матрицы Фробениуса с функциональной нижней строкой:
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
А1()
(10)
0 0 0 ... 1
«!(•) «2(0 «з(0 ... ат(-)
а оператор М обладает свойствами 1 и (3). В этом случае при условии доминирования последнего элемента столбца 6() над остальными его элементами, в [12] были построены постоянная положительно определенная матрица Н и скаляр Л такие, что при
в = ЛНет
(11)
матрица
£(•) = НА1() + А* ()Н + Н6(>* + *6*(-)Н + вН
удовлетворяет неравенству
при всех (•) € [£о, +те) х Д Положим в (9)
2т
ДО < 0
где ‘ 1 — функция обратная к функции ‘. Тогда соотношение (3) примет вид
£(£) = в*ж^п), t € [^п,^п+1).
(12)
(13)
(14)
Рассмотрим функцию Ляпунова V(ж) = ж*Нж. Ее производную в силу системы (9) и соотношения (14) можно представить в виде
V = ж*£(-)ж — вж*Нж + 2ж*Н6( • )в*(ж — ж) + 2ж*Н/(•),
(15)
где ж(г) = ж(4п) при ^ < ^ < ^п+1 Очевидны соотношения
2х*Я/(-) = 2(Яз*)*Я*/(•) < е||Я5х||2 + -||Я5/(-
(16)
2
2x*Hb(-)s*(x - х) < nWH^xf + -\\Hh(-)s*(x-x)II2, (17)
где £ и m — положительные параметры, которые будут выбраны ниже. Поскольку ЦЯзхЦ2 = V(x), из (15) в силу (12), (16), (17) вытекает оценка
V <-eiV + Ji||5 - ж||2 + 7i^2(t), (18)
где /?i = /3 — (л — е, <5i = — sup||iJ2 6(-)s*||2, = -sup||iJ2g,1(.)||2j а определяется как
sup = sup .
(•)e[to, + TO)xR2m
Из неравенства (18) в силу свойства 1 оператора M следует оценка
n+1
Vn+l — Vn < —в1 / Vdt + SlJn + Yl^Xn (19)
ftn+1
где Jn = / ||x — x||2dt, xn = sup ^2(t). Оценим величину Jn. В силу неравенства
” tn t^ [tn Jtn )
Виртингера [1O, 11], свойства 1 оператора M и уравнения (9) справедливы соотношения
4T 2 ftn+1 і 2T 2 /*tn+i
Jn<-^ \\xfdt<— [||(^і(0 + b(-)s*)x\\2 + \\b(-)s*(x — ж) II2 + ||/(-)||2] dt.
Jtn ^tn
Отсюда в силу неравенства ||ж||2 < V, где А_—минимальное собственное число
матрицы H, вытекает оценка
ptn+1
Jn < ^2T2 / Vdt + 2jn + 72 Xn (2О)
Jtn
12 12 12T 3
где J2 = —2-г—sup||A(-) + 6(-)s*||2, (5з = —sup||b(-)s*||2, 72 = ——suplls'i(-)II2 п2а_ n2 n2
Предположим, что T удовлетворяет неравенству
< 1. (21)
Тогда из (2O) следует соотношение
/*tn+1
Jn < 2 / Vdt + Y3Xn (22)
1 — £3T2 ’ ,3 1 — £3T2'
Из неравенств (19) и (22) вытекает оценка
ptn+1
p / V dt < Vn — Vn+l + Y4Xn (23)
где p = в — М — є — £l&4T2, 74 = T71 + J173.
1O3
Тогда найдутся такие ^ > 0, е > 0, что коэффициент р станет положительным.
Нашей дальнейшей целью является получение оценки вида
Vn+1 < ^Vn + 7*Хп (25)
где 0 < 6 < 1. Для этого сначала оценим V снизу.
Соотношение (15) имеет вид
V = ж* М ( • )ж + 2ж*Н6( • )в*(ж — ж) + 2ж*Н/( • ), где М( • ) = НА1(• ) + А*(• )Н + Н6( • )в* + в6*( • ).
Отсюда в силу (16), (17) вытекает неравенство
V > — 65V — 61 уж — ж||2 — 71 Хп,
где
65 = ц + е + вир || АГ (•) ||.
Проинтегрировав это неравенство от £п до 4 € (£п,£п+1], получим соотношение
V(ж(4)) — К > — 65 / — 61 ^п — T7lХn,
из которого в силу (22) вытекает оценка
1
V(ж(4)) > Vn — 6б / V34 — 74Хп, где 6б = 65 + 6164Т2.
Воспользовавшись этой оценкой и свойством 1, усилим неравенство (23) следующим образом:
/*£п+1 ( /*£п+1 ^
Vn — Vn+l + 74Хп > Р / < К. — 6б / V34 — 74Х^ 34 >
I J
/*£^+1 > 6оТр^п — р6бТ / V3t — рТ74Хп.
■Пп
Таким образом, получена оценка
/*£п+1
р6бТ / V3t > (6оТр — 1)Vn + Vn+l — (1+ рТ)74Хп.
■Пп
Отсюда и из (23) вытекает соотношение
(6оТР — З-Ж + ^п+1 — (1 + ТР)74Хп < 66Т(К — К+1 + 74Хn),
из которого следует требуемая оценка (25) с
1 + 66Т — 6оТр 1 + Тр + 66Т
" 1 + (56Т ’ 7* " 1 + (56Т 74'
то 0 < 6 < 1. Положим ^п = У^. Тогда в силу (25) при V2 > г2хП справедливы
соотношения
№п+\ — \¥п = (З2 — 1)У2 + 27*ХпУп + 7*Хп < (<52 — 1 + £\)Уп + + — ^7*Хп < О
(1 ~+ е 1^2
Здесь г2 = ——------------1 * „ и 0 < £1 < 1 — 52. Таким образом, справедлива оценка
е 1 (1 — е 1 — 62)
Легко видеть, что
Иш к < г Иш |Хп|.
п—
• 2 7*
тт г —
о<£1<1-й2
(у2^Р-1у
и он достигается при £\ = \/2 — 52 — 1. Поэтому, выбрав £\ = \/2 — 52 — 1, получаем оценку
Ит К < 75 Ит \ф^)\2, (27)
п—
72
где 75 =------------------2 • Докажем теперь свойство (5).
2
Из очевидного соотношения \\х — х\\2 < -—(Уп-\-У (х(Ь))) и (18) вытекает неравенство
Л_
26^ , (261 , ,2,
V <^Уп+^-р1у + ъф2(г).
Л_ КЛ_
Отсюда в силу (23) при 4п <4 < 4п+1 следует оценка
п+1 . 26 Т 1 (261 \
VЛ < ——И— Г —---------------(3-Л (уп — Уп+1 + 74Хп) + 71 Тхп- (28)
Л_ р V Л_ /
Л_ р V Л
£
Поскольку V(4) = К, + / V34, из (27), (28) вытекает неравенство
Ит У(ж(£)) < 76 Ит |^(4)| , (29)
£——+ ^ + ^
где
Г 2«! 2 /25,
76 = 75 1 + т------------Ь - т----------Р1
Л_ р Л_
+ (|1-а)7 + 71Т'
/ ^6
Свойство (5) следует из оценки (29) при 7 = , /-—. Таким образом, получен следующий
Л_
результат.
Теорема 1. Пусть выполняется неравенство (8), матрица Аі имеет вид (10), оператор М обладает свойствами 1 и (3), управления V и £ определяются формулами (7), (13), (11) и Т удовлетворяет оценкам (21), (24), (26). Тогда любое решение системы (1) обладает свойствами (4), (5).
Рассмотрим теперь второй класс систем, в котором 6(х) — последний единичный орт, а матрица А і —треугольная:
Ь( ■ )
0 аіі( ■ ) 1 0... 0
0 Аі = «2і(■ ) «2і( ■ ) 1... 0
1 аті ( ' ^ ат2 ( ' ^ ат3( ' ) . . атт ( ' )
(30)
Предполагается, что оператор М принадлежит классу О и обладает свойствами 1-4. В рассматриваемом случае система (9) примет вид
х = Аі( ■ )х + ет£ + / ( ■ ).
Желая воспользоваться методом усреднения [10, 11], введем функции «(4)
< 4 < і„+і и и(4) = [ [£(4) - «(4)]Л. ■)0
Положив в системе (31)
получим уравнение
х = у + етм, у = Аі( ■ )у + ет« + Аі( ■ )етм + / ( ■ ).
(31)
«п при
(32)
(33)
В [12] были найдены такие скаляр Л и положительно определенная матрица Н, что при обозначении (11) выполнено неравенство (12), в котором
£( • ) = £*( • )Н + НО( • ) + вН, £ = А1( • ) + вт5*.
Выберем в системе (31) С по формуле (13). Тогда соотношение (2) примет вид
«п = в*ж(£п). (34)
Представим уравнение (33) в следующем эквивалентном виде:
У = £(-)у + №(•) + /(•), (35)
где
( ■ )= ^і + ^2, аді = етв*етм + Аі( ■ )етм, ^2 = втв*(у - у),
(36)
а чертой отмечены «замороженные» функции, которые при 4п < 4 < 4п+1 принимают значение, вычисленное в точке 4п. Рассмотрим функцию Ляпунова V(у) = у*Ну, производная которой в силу системы (35) имеет вид
V = у*(Я£( ■ ) + £*( ■ )Н )у + 2у*Я^ + 2у*Я/.
(37)
2у*Нт<^У+—\\Н^\\2, 2у*Н/ <е1У+-\\Н1Ч\\2, (38)
М1 е1
где ^1 и е 1 —положительные параметры.
В [10, 11] были получены оценки
/*£п+1 т2 /*£^+1
|м(£)| <Т|г>(£)|, м2(£)сЙ < — у2дЛ,. (39)
Л„ 3 Л„
В силу (36) справедливо неравенство
||^1|| < 67Т|«|, (40)
где 67 = ||681 +8ир||А( • )ет ||, 68 = ||в||. Для ад2 очевидна оценка
11^2у < 68||у — у||. (41)
Из (36), (40), (41) вытекает соотношение
|Н| < 67Т|«| + 68|у — у||. (42)
Поскольку справедливо представление V = в* (у — у) + в*у + в*ети, ввиду (39) получаем неравенство |V| < 68(12/ — у|| + ||у||) + Т681V|. Предположим, что Т удовлетворяет оценке
Т68 < 1. (43)
Тогда
М < 69Ну — уу + 69НуН, (44)
68
где 5д =---------. Согласно (42), (44) получим соотношение ||и>|| < <5ю||у — у|| + <5цУ||у||,
1 — т68
где 61о = 68 + 6769Т, 6ц = 6769. Отсюда следует неравенство
И|2 < 262о|у — у||2 + 2621Т2|у|2. (45)
В силу неравенства Виртингера [10, 11] и (35) справедливы соотношения
Г£п+1 4Т 2 Г£п+1
\\у ~ у\\2(й < —2“ \\ВУ + ™ + 1\\2<й <
<) £п П ^ £п
1 2Т 2 /*£п+1
<—— \\DyW2+ ЬЛ\2)^ + 12Хп- (46)
п2 л„
Из (45), (46) получаем оценку
/*£п+1 2462 Т2 /*£п+1 /*£п+1
М2Л<-Щ- (\\Оу\\2 + \М2)<К + 2521Т2 ||у||2^ + 77Хп,
£п п -'£п -'£п
где 77 = 262о72. Предположим, что Т удовлетворяет неравенству
2462оТ2 <п2. (47)
Тогда имеет место соотношение
где
/*£^+1 /*£^+1 /*£^+1
/ |И|234 < 612Т2 ||^у||234 + 613Т2 11 у у2 34 + 78^п,
' £п «/ £п ^ £п
_ 24(5^0 _ 2(5217г2 _ 777Г2
12 олх2 ’ 13 О олх2
7г2 - 24<520Т2 ’ 7г2 — 24<520Т2 ’ тг2 - 24<520Т2 '
Отсюда следует оценка
/*£п+1 /*£п+1
/ |И|234 < 614Т2 / 11 у у2 34 + 78^п,
' £п ^ £п
где 614 = 613 + 6128Лр||£||2.
Поэтому справедливо неравенство
1 Л /*£п+1 л
|Яг«;||2^ < -±<514Т2 У(И + -^^8фп. (48)
Из (37), (38), (12), (48) вытекает соотношение
/*£^+1
ри V34 < Vn — Vn+l + 79^п, (49)
■>£п
где
Уп =У(у(гп)), р1=[3-1л1-£1-----Щ—514Т2, 79 = ^^78 + — ёир||б'1(4)||2.
^1Л_ ^Л_ е1
Предположим, что выполнено неравенство
Т2 < (50)
Л+614
/*£^+1
Тогда найдутся такие ^4 и е1, что р1 > 0. Оценим теперь / V3t снизу.
■пп
Поскольку имеет место представление
V = у*М1( • )у + 2у*Н^ + 2у*Н/, где М1( • ) = Д*( • )Н + НД( • ), справедлива оценка
у > -ё15У - —||Я5«;||2 - —||Я5/||2,
М1 е1
где <^15 = А*1 + £1 + т—ёир||(•) || - Проинтегрировав это неравенство, приходим в силу Л_
(48) к соотношению
/*£^+1
V(у(4)) > Vn — 616/ V3^ — 79Хп, (51)
■Пп
£
п+1
где <?16 = <515 + 5 и Г2, = У(у(Ьп)). С помощью (51) и свойства 1 оператора Л4
усилим оценку (49) следующим образом:
/*£п+1
Р16оТК — Р161в^ / V34 — р1Т79Хп < К. — Vn+l + 79Хп-
■Пп
Отсюда вытекает искомая нижняя оценка:
/*£п+1
Р1616Т / V3t > (р16оТ — 1)Vn + Vn+l — 79(1+ Р1Т)хп-
■Пп
Из этого неравенства и (49) следует соотношение
(Р16оТ — 1)Vn + ^п+Х — 79(1 + Р1Т)Хп < 616Т(Vn — ^п+Х + 79Хп), которое при выполнении свойства
6оР1Т < 1 + 6хбТ (52)
равносильно неравенству (25) с параметрами
1 + 6хбТ — 6оР1Т 1 + 6хбТ + рхТ
* =—1 + г16т • 1>= 1 + лит 79'
Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как при доказательстве теоремы 1. Таким образом, получен следующий результат.
Теорема 2. Пусть выполнено неравенство (8), матрица Ах и столбец Ь имеет вид (30), оператор М обладает свойствами 1-4, управления V и £ определяются формулами (7), (13), (11) и Т удовлетворяет оценкам (43), (47), (50), (52). Тогда любое решение системы (1) обладает свойствами (4), (5).
Summary
A. H. Gelig, V. A. Muranov. Stabilization of two classes of nonlinear pulse-modulated systems with delay.
The Lyapunov function of the quadratic form is used for an analytical synthesis of a robust stabilizing control for two classes of nonlinear pulse-modulated systems described by functional-differential equations with a lagging argument.
Литература
1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.
2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.
3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. №6. С. 3-14.
4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.
5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 25-30.
6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 343. №6. C. 742-746.
7. Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация и задача слежения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 41-47.
8. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация нестационарных систем управления с внешним воздействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 27-35.
9. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления с импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 2006. №11. С. 60-76.
10. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998.
11. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.
12. Гелиг А. Х., Муранов В. А. Стабилизация двух классов нелинейных импульсных систем с последействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С. 3-15.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
