Стабилизация нестационарных систем управлением по производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 4

А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЕМ ПО ПРОИЗВОДНОЙ*

1. Введение

Задача аналитического синтеза стабилизирующего управления для систем, описываемых дифференциальными и функционально-дифференциальными уравнениями, привлекла внимание многих авторов (см., например, [1-4]). При этом рассматривалась как ситуация, когда доступен измерению весь вектор x(t), описывающий состояние системы (синтез по состоянию), так и ситуация, при которой измеряется лишь скалярная функция а = c*x (управление по выходу). Однако, существуют случаи, когда измерению доступны не x или а, а лишь их производные X или а [5]. Восстановление x(t) либо a(t) путем непосредственного интегрирования не всегда приемлемо ввиду неизбежного накопления ошибки. Поэтому представляет интерес задача синтеза управления непосредственно по x или а. В данной статье предлагается решение этой задачи как для линейной нестационарной системы, так и для импульсной системы, описываемой нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. На последние системы в [6] были распространены методы теории абсолютной устойчивости. Однако, эти методы применимы лишь в тех случаях, когда линейная непрерывная часть системы устойчива или нейтральна. В тех случаях, когда линейная непрерывная часть системы неустойчива, задача стабилизации остаётся актуальной.

2. Непрерывные системы

2.1. Постановка задачи

Задача 1 (управление по производной состояния)

В системе

x = A(t)x + b(t)u, u = s*(t)x, (1)

где A € Rmxm; b,s € Rmx1, * — знак транспонирования (все величины вещественные), по заданным достаточно гладким A(t), b(t) определить такой вектор s(t), чтобы все решения этой системы обладали свойством

lim x(t) = 0. (2)

t—

Задача 2 (управление по производной выхода)

Дана система

x = A(t)x + b(t)u, а = c*(t)x, (3)

где c € Rmx1 —заданная непрерывная вектор-функция, а A(t) и b(t) такие же как в системе (1). Требуется определить оператор и[а] таким образом, чтобы любое решение системы (3) обладало свойством (2).

* Работа выполнена пpи поддержке РФФИ (грант 02-01-00542) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2254.2003.1).

© А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер, 2004

2.2. Формулировка результата Задача 1

Положим в (1)

s = so(A + bso)-1, где вектор-функция so(t) будет выбрана ниже, причём такой, чтобы

det(A + bs0) = 0.

Тогда система (1) примет вид

x = Ax + bs*0(A + bs0 )-1x. Преобразуем это уравнение следующим образом:

(5)

(A + bs0)(A + bs0)-1 - bs0(A + bs0)

1

Ax.

A(A + bs0 ) x = Ax.

inf I det A(t)| > 0.

t>0

(6) (7)

Отсюда вытекает равенство Предположим, что

Тогда из (6) следует равенство

Х=(А + Ья%)х. (8)

Предположим, что A(t), Ь(Ь) равномерно ограничены на [0, и имеют там равномерно ограниченные производные до порядка 2 т — 1 включительно. Пусть также пара (А(г), Ь(£)) равномерно управляема на [0, то есть

inf

t>0

det ||b(t),D(t)b(t),...,Dm-1b(t)||

d

> 0,

(9)

где оператор D имеет вид D = A{t) — —. При этих условиях в [3] было получено

аналитическое выражение вектора s0(t), при котором любое решение системы (8) обладает свойством (2) и выполнено неравенство (5). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть A(t), b(t) равномерно на [0, ограничены вместе с производными до порядка 2m — 1 включительно, и выполнены свойства (7), (9). Тогда любое решение системы (1) обладает свойством (2), если вектор s(t) определён формулой (4), где S0(t) — вектор, построенный в [3].

Задача 2

Для определения оператора u[a] в системе (3) построим наблюдатель Калмана— Луенбергера. Положим в первом уравнении

u = s*(t)y, (10)

где s(t) —вектор, найденный в теореме 1, а y(t) определяется из уравнения наблюдателя

A-1y

y+ft(A-1bs*y) + dc*(y-i),

(11) 23

где вектор ! будет определён ниже. Для выяснения условия существования решения уравнения (11) разрешим его относительно у. С этой целью представим его следующим образом:

{А~1у - А~1Ья*у) = у + ¿с*(у - х).

dt

Отсюда имеем равенство

A-1(I - bs*)y = -

Jt(A-\l-bsn)

y + y + dc*(y - x).

Для существования решения этого уравнения достаточно, чтобы ёе1(/ — Ьв*) = 0. Поскольку согласно лемме Шура ёе^/ — Ьв*) = 1 — в*Ь, предположим, что векторы в(Ь) и Ь(Ь) при всех Ь > 0 удовлетворяет неравенству

s*(t)b(t) = 1.

(12)

Выведем теперь уравнение для ошибки г = у — х. Из (3) и (10) вытекает равенство

А-1х = х + А-1Ьв*у. Продифференцировав его по Ь, получим соотношение

A

1

dx ~ät

1

i + ^iA-Hs'y)

Вычитая это равенство из (11), приходим к уравнению

A-1z

Если положить

то получим уравнение

q = A- z,

z + dc* z.

q = Aq + dc*1q, где C1 = A*c. Выберем теперь d таким образом, чтобы

lim q(t) = 0. t—^ +

(13)

(14)

(15)

(16)

d

Введя, следуя [7], новые координаты д\ = с*д 1, = {к = 2, ...,т), где gi—

координаты вектора д, а производные берутся в силу системы д = Ад, построим преобразование

д = Р (1)д, (17)

где д* = (д!,..., дт),

P (t) =

dc*1 ~dt

+ c1A

dm-1 c*

dtm

.* лт— 1

(18)

c

Предположим, что пара (A,ci) равномерно наблюдаема на [0, то есть матрица

(18) обладает свойством

inf | det P(t)| > 0. (19)

В результате преобразования (17) система (15) примет вид

q=(D0 (t)+de*)q, (20)

где d = P(t)d, c*P-1(t) = e* = (1,0,...,0). При этом Do(t) —матрица Фробениуса с функциональной нижней строкой. Следуя [8], для системы (20) возьмем функцию Ляпунова в виде V(q) = q*Hoq, где Ho —положительно определенная матрица с элементами hij (i,j = 1, то), удовлетворяющими условиям hi > 0, hij = hj при j = i — 1 и j = i + 1, hij =0 при j < i — 1 и j > i + 1. Фиксировав а > 0 и взяв d = XH-*ei, где А — параметр, потребуем, чтобы производная V от функции V(q(t)), взятая в силу системы (20), удовлетворяла неравенству

V < —aV, (21)

то есть чтобы матрица

K = (Do(t) + AH-1e1e*1)*Ho + Ho (Do(t) + AH-1e1e*1) + aHo

была отрицательно определённой. Как показано в [8], выбором чисел hi (г = 1, то) можно добиться m — 1 перемен знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы K, отсчитываемых от нижнего конца главной диагонали. Последняя перемена знаков в этой последовательности обеспечивается выбором А. Таким образом, свойство (21) выполняется при

d(t) = AP-1(t)H-1e1. (22)

Из (21) вытекает, что q(t) ^ 0 при t ^ Согласно (18) и (19) q(t) ^ 0 при t ^ В силу соотношения (14)

z(t) ^ 0 при t ^ (23)

Подставив (10) в первое уравнение (3), представим полученное равенство в виде

X = A(t)x + b(t)s* (t)i + b(t)s* (t)z(t).

Заменив в этом равенстве s(t) выражением (4), приходим к уравнению

i= (A + bs*0)x + f (t),

где f (t) = (A + bs0)-1Abs*z. Ввиду (23) f (t) ^ 0 при t ^ Поэтому согласно выбору so x(t) ^ 0 при t ^ Таким образом получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть A, b и s удовлетворяют условиям теоремы 1, выполнены условия (12), (17), и d определен формулой (22). Тогда любое решение системы (3), (10), (11) обладает свойством (2).

3. Импульсные системы

3.1. Постановка задачи

Импульсные преобразователи часто применяются в технике ввиду их высокой точности и простоте реализации. В связи с этим предположим, что в задаче 2 сигнал ошибки наблюдения с* (у — х) поступает на вход наблюдателя не непосредственно, а через импульсный преобразователь, и вместо дифференциального уравнения (11) имеет место функционально-дифференциальное уравнение

А-1у

где

у+^(А-1Ъз*у) + <%, (24)

С = Мп, п = '(а), а = с* (у — х), (25)

М — заданный нелинейный оператор, описывающий импульсный преобразователь, а ф(а) —нелинейная функция, подлежащая выбору так же, как и вектор !. Оператор М отображает каждую непрерывную на [0, +те) функцию п(Ь) в функцию С(Ь) и последовательность {Ьп} (п = 0,1, 2,...; Ьо = 0), обладающие следующими свойствами:

1) существует такие положительные постоянные Т и §о, что при всех п справедлива оценка

6оТ < ¿п+1 — Ьп < т; (26)

2) функция С(Ь) кусочно-непрерывна на промежутке \Ьп,Ьп+\) и не меняет знака на нём;

3) С(Ь) зависит только от значений п(т) при т ^ Ь, Ьп зависит только от значений п(Ь) при Ь < Ьп;

4) для каждого п существует такое Ьп € \Ьп, Ьп+1), что среднее значение п-го импульса

Ьп+1 Ьп 7

г„

удовлетворяет равенству

Уп = ч>(п(и)), (27)

где ц>(п) — монотонная и непрерывная на (—те, +те) функция, которая описывает статическую характеристику импульсного преобразователя, причём у>(0) = 0, <^>(+те) = +те, ^(—те) = —те.

Свойствами 1-4 обладают различные виды комбинированной импульсной модуляции [6], например, широтно-амплитудная модуляция.

Матрица А(Ь), векторы Ь(Ь), с(Ь) и оператор М заданы. Требуется найти функцию ф(а) и верхнюю оценку величины Т таким образом, чтобы при найденных в теореме 2 векторах в и с! решение системы (3), (10), (24), (25) обладало свойством (2).

3.2. Формулировка результата

Сначала возьмём в (25) в качестве ф(а) функцию ^-1(а), обратную к у>(а). Тогда вместо уравнений (25) будем иметь уравнения

С = М1а, а = с* (у — х),

(28)

где оператор М\ обладает свойствами 1-4 с той лишь разницей, что вместо (27) имеет место равенство

уп = а(ъп) (29)

Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 2, для ошибки г = у — х получим вместо (13) уравнение

A-iz =

z + d£, a = c*z, (30)

где £ = Mia. Применив преобразование (14), получим уравнения

q = Aq + d£, £ = Mia, a = c*q, (31)

где ci = A*c. Сделав преобразование (18), приведём систему (31) к виду

q = D0(t)q + d£, £ = Mia, a = e[q, (32)

где Do, d, ei те же, что в уравнении (20). Выберем теперь как и ранее вектор d по формуле d = XH-iei, где Ho, X и а такие же, как при доказательстве теоремы 2. Воспользуемся далее методом усреднения [6]. Будем обозначать чертой сверху «замороженные» функции. Например, a(t) = cr(tn) при tn ^ t < tn+i (n = 0,1, 2,...).

t

Введя функции v(t) = cf(t), u(t) = J[£(A) — -y(A)]<iA, сделаем в (32) замену перемен-

o

ных

q(t) = r(t) + du (33)

с целью исключения функции £. На этом пути получим уравнения

Г = D(t)r + w, a = e\r + ки, (34)

где я = e*d, D(t) = Do(t) + de\, w = d(a — a) + d\u, d\ = (<ie* + Do)d. Производная по t от функции V = r* H or в силу (34) примет вид

V = r* (H0 D + D*H0 )r + 2r* H0w. (35)

Очевидно неравенство

2\r*H0w\^^V+-\\H§w\\\ (36)

где ц — положительный параметр, который будет выбран ниже. Представим V следующим образом:

V = IV! + 'Ш2, (37)

где и> 1 = яш1 + иО^, го2 = de*(r — г). В [6] была установлена оценка

\п(г)\ < Т\*(*)\. (38)

В силу (38) справедливо неравенство

М < 5гТИ, (39)

27

где ¿1 = 8ир(|к| + ||До(^)||)|И||- Очевидно неравенство

4>0

1М1 02||г-г||, где ¿2 = ||5]|. (40)

Из (39), (40) вытекает оценка

Н1 012>| + г2||г-г||. (41)

Ввиду второго уравнения (34) и свойства (29) имеет место представление

V = е* (г — г) + е*г + хй. Отсюда в силу (38) получаем неравенство

и < \\г-г\\ + \\г\\+т\н\\у\.

Предположим, что Т удовлетворяет оценке

Т|к| < 1. (42)

Тогда

М 03(||г-г|| + ||г||), (43)

где (¿з =-1—г. Подставив (43) в (41), получим соотношение

1 - Т|к|

1Н1 ^^Цг-гЦ + адгЦ,

где ¿4 = ¿2 + ¿^зТ, ¿5 = ¿1^3- Отсюда вытекает неравенство

||Н|2<2(52||Г-г||2 + 2(552Т2||Г||2. (44)

В силу неравенства Виртингера [6], (26) и (34) имеют место соотношения

tn + 1 ¿тг+1 ¿тг+1

2 Г ЙТ2 7

4Т / 11П. I 81 / /II П„||2 , ||„.,||2\

/4Т 2 г 8Т 2 Г

/ \\Ог + ы\\2Л < — / (||£>г||2 + Н|2)<Й. (45)

tn ьп ьп

Отсюда ввиду (44) вытекает оценка

tn+l 2 4г1+1 4г1+1 I I (Рг||2 + |И2)^ + 2Т2<52 I \\rfdt.

tn tn tn Предположим, что T удовлетворяет неравенству

16T2Si <п2. (46)

Тогда

tn+1 tn+1 tn+1

I \\w\\2dt < SeT2 j WDrfdt + ¿7 T2 J \\r\\2dt,

tn tn tn

. 16J| л 27Г2 <5g

где 6 = - 16ТЧ1' 7 = - 16ТЧ1 • 0тсюда следует оценка

tn+1 tn+1

J \\w\\2dt < SgT2 | \\r\\2dt, (47)

tn tn

где Sg = S7 + S6 sup \\£(t)\\2. Обозначим через A+ и A_ максимальное и минимальное

t>0

собственное число матрицы Ho- Тогда в силу (47) справедливы соотношения

tn+1 tn+1

¡ffjwfdt < А+ J \\r\\2dt < S8T2 J Vdt.

tn tn

Отсюда ввиду (35), (36) и отрицательной определённости матрицы К вытекают неравенства

Vn+1 - Vn < -р J Vdt (n = 0,1,...),

A

где Уп = У(гип)), р = а — ¡л -\--^—5$Т2. Просуммировав это неравенство по п от 0 до

¡Л-

N — 1, получим для произвольного целого N оценку

N

р Jvd,t < У0 — Ум < У0. (48)

о

Выберем теперь положительный параметр ¡л из условия р > 0, которое равносильно следующему

¡л2 -ац+^68Т2 < 0.

Л

Очевидно, что положительное ¡, удовлетворяющее этому неравенству, найдётся, если выполнена оценка

Из (48) вытекает, что ||г^)|| € ¿2[0, Отсюда следует согласно (47) свойство

||и>(£)|| € Ь2[0, +оо). Поэтому в силу (45) || г (г) - г(г)|| € Ь2[0, +оо). Отсюда ввиду (43) вытекает свойство € ^[0, Поскольку функция постоянна на ^„^„+1),

то в силу (26) ^ 0 при t ^ Следовательно, согласно (38) и п(Ь) ^ 0 при

t ^ Из (48) вытекает равномерная по п ограниченность ||г^„)||. Поэтому согласно (34) ||г^)|| ограничен равномерно по t. Отсюда и из свойства ||г^)|| € ^[0, вытекает асимптотика г(^ ^ 0 при t ^ Нетрудно проверить, что отсюда следует свойство г(Ь) ^ 0 при t ^

Далее, рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 2, убеждаемся в справедливости свойства (2). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, соотношения (26), (27), (42), (46), (49) и ф(а) = ^-1(а). Тогда любое решение системы (3), (10), (24), (25) обладает свойством (2).

Summary

A. Kh. Gelig, I. E. Zuber. Stabilization of time-varying control systems by a derivative control.

For a linear time-varying system an analytical design of a stabilizing control is proposed. It is supposed that the only observable values are time derivatives of either the state vector, or the scalar-valued output. In the latter case a system of equations for the Kalman-Luenberger observer is constructed. An input of this system is the error of observation which is directly measured or passed through a pulse modulator.

Литература

1. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука. 1977. 400 с.

2. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer Verlag. 1989.

3. Зубер И. Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на основе специального преобразования подобия // Кибернетика и системный анализ. 1998. №5. С. 27-39.

4. Гелиг А. Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 15-22.

5. Шиниберов Л. П. Электропривод как объект регулирования // Электричество. 1957. №8. С. 27-31.

6. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser. 1998.

7. Зубер И. Е. Экспоненциально устойчивый наблюдатель для управляемых и наблюдаемых нелинейных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 34-38.

8. Гелиг А.Х., Зубер И. Е. Стабилизация импульсных систем c нестационарной линейной частью // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2003. вып. 1. С. 20-27.

Статья поступила в редакцию 12 февраля 2004 г.