CC BY
28
А. Х. Гелиг
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ*
1. Введение
Начиная с работ [1,2] для решения задачи стабилизации систем управления используются преобразования подобия специального вида, переводящие исходную систему к форме, позволяющей получить явное решение поставленной задачи. На этом пути для непрерывных линейных нестационарных и нелинейных систем в [3, 4] был осуществлен аналитический синтез стабилизирующего управления при условии, что доступен измерению весь вектор фазовых координат (синтез по состоянию). В [5] аналитический синтез произведен для случая, когда измеряется лишь одна скалярная величина (синтез по выходу).
Для импульсных систем [6, 7] аналитический синтез стабилизирующего управления по состоянию был осуществлен в [8] для случая стационарной линейной непрерывной части системы, в [9] для случая нестационарной линейной непрерывной части системы и в [10, 11] для случая нелинейной непрерывной части системы. При этом, если в [8, 9] предполагается линейность статической характеристики импульсного модулятора, то в [10, 11] допускается ее нелинейность. В данной статье для импульсной системы с нестационарной непрерывной линейной частью и нелинейной статической характеристикой импульсного модулятора получен аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу.
Рассуждения основаны на использовании преобразования подобия специального вида и наблюдателя Калмана—Луенбергера [12], а также на методе усреднения [13].
2. Постановка задачи
Рассмотрим импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями
х = А(ї)х + Ь(і)£, а = с*(Ь)х, (1)
С = Мп, п = и [а], (2)
где А(ї) Є Ктхт, х(Ь),Ь(Ь),с(Ь) Є Мт, * — знак транспонирования, все величины вещественные. Уравнения (1) описывают линейную непрерывную часть системы, а — наблюдаемая величина (сигнал на выходе непрерывной линейной части), М — нелинейный оператор, описывающий функционирование импульсного модулятора, п(і) — сигнал на входе модулятора, С(і) — сигнал на его выходе. Оператор М отображает каждую непрерывную на [0, +то) функцию п(і) в функцию С(і) и последовательность {Ьп} (п = 0,1, 2,...; £о = 0), обладающие следующими свойствами:
1) существует такие положительные постоянные Т и §о, что для всех п верна оценка
б0Т ^ Іп+1 _ Іп ^ Т; (3)
* Работа выполнена пpи поддержке РФФИ (проект №02-01-00542) и Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1).
© А.Х.Гелиг, 2004
2) функция £(t) кусочно непрерывна на промежутке \tri,tn+i) и не меняет знака на нем;
3) £(t) зависит только от значений п(т) при т ^ t, tn зависит только от значений n(t) при t ^ tn;
4) для каждого n существует такое tn € [tn, tn+i), что среднее значение n-го импульса
tn+1
vn =----------- £(t)dt
tn+l-tn J
tn
удовлетворяет равенству
vn = <p(v(tn)S), (4)
где ф(ц) —монотонная и непрерывная на (—те, +те) функция, которая описывает статическую характеристику модулятора, причем р(0) = 0, <^>(+те) = +те, р(—те) = —те. Свойствами 1-4 обладают различные виды комбинированной импульсной модуляции [6, 13], например, широтно-амплитудные модуляции первого и второго рода.
Матрица A(t), векторы b(t), c(t) и оператор M заданы. Требуется определить оператор U [а] таким образом, чтобы любое решение обладало асимптотикой
x(t) ^ 0 при t ^ +те, (5)
если параметр T удовлетворяет некоторой верхней оценке.
3. Формулировка результата
Положим в (2) п = V-i(Z), Z = Ui[a], где ^-i —функция, обратная к у>, а Ui — оператор, подлежащий определению. Тогда уравнения (2) примут вид
е = MiZ, z = Ui[a],
где Mi —оператор, обладающий свойствами 1-4 с той лишь разницей, что вместо (4) имеет место соотношение
Vn = Z (tn) ()
Для нахождения оператора Ui мы воспользуемся развитой в [12] методикой построения наблюдателя и разработанным в [13] методом усреднения. Введем в рассмотрение матрицу управляемости W(t) и матрицу наблюдаемости N(t), определяемые равенствами
W (t) = \\b(t),Db(t),...,Dm-ib(t)\\,
N(t) = \\c(t), D*c(t),..., (D*)m-ic(t)\\, где D = A — а матрицы Lk{t) являются матрицами производных Ли:
Li(t) = A(t), Lk(t) = L k-i(t)+ Lk-i(t)A(t), к = 2,...,m.
Предполагается, что коэффициенты матриц A(t), b(t), c(t) равномерно на [0, +те) ограничены вместе с производными до порядка 2m — 1 включительно и матрицы W(t), N(t) равномерно невырождены:
inf | det W(t)| > 0, inf | det N(t)| > 0. (7)
t>0 t>0
Сделаем в системе (1) замену координат х(і) = 0(і)х(і), где О(і) согласно [14] имеет вид
G(t) =
e*mB-l(t)
l
j = l
Здесь B(t) = Ц^^),...^^)!, em = ||О,...,О, І\\* —последний единичный орт,
j- jj / jk \ _________________________________________
bo = b(t), 6fc(t) = /fc fk(t) = ( Lk(t) - —j: ) b{t), к = l,m- 1, Ch- -
j=o ^ '
биноминальные коэффициенты. В [14] показано, что
и система (1) принимает вид
inf \ det G(t)\ > О,
t>o
= A(t)x + em£, а = X (t)x,
(8)
(9)
где с* (Ь) = с* (Ь)О 1(Ь), а А(Ь) —матрица Фробениуса с последней функциональной строкой:
"01 0 0 0 0
А
0 0 1
ал(Ь) о.2(Ь) ■■ ■ ат(г)
Фиксировав произвольный гурвицев полином эт(А) = Ат+ртАт-1 + .. .+Р1, построим вектор в(Ь) с координатами si(t) = —р^ — а^(Ь). Тогда матрица Б = А(Ь) + етв*(Ь) будет матрицей Фробениуса с постоянной нижней строкой У — р1,..., —рт\\, характеристическим полиномом эт(А) и, следовательно, гурвицевой. Представим первое уравнение в (9) в виде
x = Dx + em s* (t)z + em(£ — s * (t)x),
где вектор Х(і) удовлетворяет уравнению наблюдателя Калмана—Луенбергера
Х = ОХ + (1(і)Х (і) г + єт(£ — в * (і)Х),
(ІО)
(ІІ)
в котором г = Х — Х — ошибка наблюдения, а вектор с!(і) коэффициентов усиления
наблюдателя будет выбран ниже. Вычитая уравнение (10) из (11), получим для г(і)
систему
г = А(і)г + й(і)Х(і)г. (12)
Выберем теперь, следуя [12], вектор с!(і) таким образом, чтобы выполнялась асимптотика
г(і) ^ 0 при і ^ +те. (13)
С этой целью, введя новые координаты = с*(£),г, (к = 2, ...,т), где
производные — берутся в силу системы г = АШг, построим преобразование ЗЬ
= Р (і)г
(14)
где х* = (хи . .., хт),
Р(і)
Х* (і) ЗХ* (і)
Зі
+ Х (і)Х(і)
Зт-1Х* (і)
Зіт-1 и
В результате преобразования (14) система (12) примет форму
Р (і)Х(і)Р-1(і) + Р(і)Р-1(і) + Р (і)З(і)с* (і)Р-1(і)
-)—1
-1(
(15)
Введя обозначение Бо(Ь) = Р(Ь)А(Ь)Р 1(Ь) + Р(Ь)Р 1(Ь), З = Р(Ь)З(Ь) и учитывая соотношение с*(Ь)Р-1 (Ь) = е* = (1, 0,..., 0), систему (15) можно записать в виде
С = (Бо(Ь)+ Зе^г, (16)
где Бо(Ь) — матрица Фробениуса с функциональной последней строкой. Возьмем, следуя [12], для системы (16) функцию Ляпунова в виде V(С) = С*Ног, где Но —положи-
тельно определенная трехдиагональная матрица с элементами = 1, то), удовлетворяющими условиям Ьц > 0, = —\\fhuhjj при — 1 и ^’ = * + 1, }ц.
г3
0 при
2 < г — 1 и 2 > г + 1. Фиксировав а > 0 и взяв З = АН-1 &1, где А — параметр, потребуем, чтобы производная V от функции V(С(Ь)), взятая в силу системы (16), удовлетворяла неравенству V < —аУ, т.е. чтобы матрица
М = (Бо (Ь) + АН-1е1е*1 )* Но + Но(Бо(Ь) + АН^е^) + аНо
была отрицательно определенной. Как показано в [9], выбором чисел кц{г = 1, то) можно добиться т — 1 перемен знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы М, отсчитываемых от нижнего конца главной диагонали. Последняя перемена знаков в этой последовательности обеспечивается выбором А. Таким образом, свойство (13) выполняется при З(Ь) = АР-1(Ь)Н-1е1. Поэтому для доказательства асимптотики
х(Ь) ^ 0 при Ь ^ +те (17)
достаточно убедиться в справедливости свойства
х(Ь) ^ 0 при Ь ^ +те. (18)
С этой целью определим оператор и следующим образом: £(Ь) = в*(Ь)х(Ь), где х(Ь) определяется по а(Ь) с помощью уравнения (11).
В дальнейших рассуждениях воспользуемся методом усреднения [13]. Будем обозначать чертой сверху “замороженные” функции. Например, £(£) = £(£п) при £п ^ <
_ £
tn+^{rn = 0,1,2,...). Введя функции г>(£) = £(£) и и{Ь) = /[£(А) — г>(А)]с£А, сделаем в
о
уравнении наблюдателя (11) замену переменных
х = У + ет и. (19)
Исключив посредством (19) £(Ь) в уравнении (11), получим равенство
у = Иу + Бети + ет(С - С) + <£*(ф. (20)
Поскольку £ — £ = в*(у — у) -\- я*ет(й — и), уравнение (20) примет вид
У = Бу + V + е, (21)
где го = етв*(у — у) + Пети + етв*ет(г( — м), е = с£с*.г. В [13] была установлена оценка
\и(Ь)\ < Т|«(Ь)|. (22)
Отсюда, ввиду (19), следует цепочка неравенств
\и(г)\ < т\ф)\ = Т\ГЦ)Щ\ < Тб^Щ] < + |й(*)|), (23)
где #1 = яир\в(Ь)\, под \ ■ \ понимается эвклидова норма матрицы либо вектора. Пред-
г>о
положим, что Т удовлетворяет условию
Т51 < 1. (24)
Тогда из (23) вытекает оценка
\и®\^Т62\т\, (25)
8
где 82 = ------Оценим теперь вектор VI)(Л) при £ 6 [£п,£п+1). В силу (25) имеем
1 — 181 цепочку неравенств
К*)1 < <^1Ш) ~у(1)\ + (1-°1 + 2^1) вир |м(£)| < б1\у(г) -у(г)| + Тб3\у(г)\,
Ъп ^£<£-п+1
где 63 = (^2(|-01 + 261). Поскольку \у\ ^ \у -у\ + \у\, справедлива оценка
К*)| < 54\у^) ~ У(г)I + тзз\уШ, (26)
где 84 = 81 + Т83. Оценим теперь величину
£п+1
•4 = I \у(г)-у(г)\2Л.
Ъп
Ввиду неравенства Виртингера [13] и свойства (3) справедливо неравенство
Ъп+1
4Т
2
Зп < -^2“ J (27)
гп
Из уравнения (21) вытекает соотношение
\у(Ь)\2 < 3(\П\2\у(Ь)\2 + \ЧЬ)? + \е(Ь)\2). (28)
Отсюда, воспользовавшись оценкой (26), получаем неравенство
\у(г)\2 < цв\2\у(г)\2 + з|е(£)|2 + &5\\у(г) - у(г)\2 + бт2б1\у(г)\2. Проинтегрировав обе части этого неравенства, приходим в силу (27) к соотношению
4Т 2
(3|£|2 + 6Т262)Уп + 6ёрп + Зе„ , (29)
■1п < ,
п2
Ъп+1 Ъп+1
где Уп = / \у(Ь)\2ЗЬ, еп = / \е(Ь)\2ЗЬ. Предположим, что Т удовлетворяет неравен-ъп гп
ству
24Т282 <п2. (30)
Тогда из (29) вытекает требуемая оценка
Jn ^ T^S^Yn + S^En, (31)
12 |D |2 + 24T 2S2 12T2
ГД6 5ъ = _ 2АТЧ2 3 ’ $6 = _ 24ТЧ2 • ИЗ (26)’ (31) СЛ6Дует неРавенство
tn + 1
J |w(t)|2dt < T2Srin +2S2S6En, (32)
tn
где S7 = 2S\S§ + 2S3. Рассмотрим функцию Ляпунова
V (y) = У *Hy,
где H — положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению
HD + D*H = —I.
Здесь I — единичная m x m матрица. Производная по времени от функции V(y(t)), взятая в силу системы (21), имеет вид
V = —Ы2 + 2y * H (w + e)
и оценивается следующим образом:
12
V < -\У? + 1^\Ну\2 + -\w + е|2 < -\у\2 + Х2+/л\у\2 + -(И2 + |е|2).
ц ^
Здесь А+ — максимальное собственное значение матрицы H, а положительный параметр ц будет выбран ниже. Проинтегрировав последнее неравенство по t от tn до tn+i, приходим в силу (32) к соотношению
Vn+l — Vn ^ ( цХ2, — 1 н----------) Yn -\---(1 + 2б\бо)£т
2 1 , 26?Ц'\уп + 1(1 ' 0X2;
м / м
где Vn = V(у(Ьп)). Полученное соотношение эквивалентно неравенству
РУп ^ '^п — К+1 + 88еn, (33)
28 Т2 2
где р = 1 — /хА?_-------, 5$ = — (1 + 25д5е). Просуммировав неравенства (33) по п от О
+ м м
до произвольного N, придем к оценке
М
РI \у(Ь)\2ЗЬ < Vо — VN + 89, (34)
о
где 89 = 88 ^2 еп. Выберем теперь положительный параметр м таким образом, чтобы
п=о
выполнялось неравенство р > 0, которое эквивалентно соотношению А+м2 — м+2Т28г <
0. Очевидно, что требуемое м найдется, если Т удовлетворяет оценке
8А+ 87Т2 < 1. (35)
Из (34) вытекает свойство
\у(Ь)\еЬ2[0, +те). (36)
Поскольку Н > 0, из оценки (34) следует, что \у(Ьп)\ ограничена равномерно по п. Из
(28), (32), (36) вытекает свойство \у(Ь)\ € Ь2[0, +те). Поэтому \у(Ь)\ ограничена равно-
мерно по Ь > 0.Следовательно, в силу (22) этим же свойством обладает \и(Ь)\. Отсюда,
в силу (26), (28), |У(t)| ограничена равномерно по t > 0. Следовательно, ввиду свойства (36) |y(t)| ^ 0 при t ^ +те. Отсюда согласно (22) вытекает свойство u(t) ^ 0 при t ^ +те. Поэтому в силу (19) справедлива асимптотика (18), а, следовательно, и (17). Из (17) ввиду свойства (8) вытекает требуемая асимптотика (5). Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. Пусть элементы матриц A(t), b(t), c(t) имеют равномерно по t > 0 ограниченные производные порядка 2m — 1, выполнены свойства (3), (4), (7), и T удовлетворяет оценке
Т < min | , —^=, . * }• (37)
\ <^1 л/24 Х+Жг)
Определим оператор U [а] следующем образом:
п = v-l[s*
где вектор X(t) является решением уравнения наблюдателя (11). Тогда при любом x(0) решение системы (1), (2) обладает асимптотикой (5).
4. Заключение
Для вполне управляемой и вполне наблюдаемой импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальными уравнениями (1), (2), с помощью специальных преобразований подобия и метода усреднения построен оператор U[а], стабилизирующий систему по выходу а, если параметр T удовлетворяет оценке (37).
Summary
A. Kh. Gelig. An analytical synthesis of stabilizing output control for nonstationary sampled-data systems.
A sampled-data system with a nonstationary linear part and a nonlinear static characteristic of the pulse modulator is considered. With the help of special similarity transformation, the averaging method and a Kalman—Luenberger observer an analytical synthesis of stabilizing control in a scalar output is performed.
Литература
1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer Verlag. 1989.
2. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М., 1977.
3. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2000. Вып. 2 (№8). С. 8-13.
4. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация динамических систем // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№1). С. 15-22.
5. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных систем управления по выходу // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2002. Вып. 3 (№17). С. 27-31.
6. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. Киев, 1970.
7. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М., 1973.
8. Чурилов А. Н. Стабилизация линейной системы с помощью комбинированной импульсной модуляции // Автоматика и телемеханика. 2000. №10. С. 71-76.
9. Гелиг А.Х., Зубер И. Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2003. Вып. 1 (№1). С. 20-29.
10. Гелиг А.Х., Кабриц М. С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2003. Вып. 4 (№25). С.20-27.
11. Кабриц М. С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем і/ Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2003. №4.
http://www.neva.ru//journal//.
12. Зубер И. Е. Экспоненциально устойчивый наблюдатель для управляемых и наблюдаемых нелинейных систем // Вестник СПбУ. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 33-37.
13. Gelig A.Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser. 199S.
14. Зубер И. Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на основе специального преобразования подобия // Кибернетика и системный анализ. 199S. №5. С. 27-39.
Статья поступила в редакцию 23 сентября 2003 г.
