Динамический регулятор для нелинейных систем с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ*

И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р техн. наук, вед. науч. сотр., [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Рассмотрим систему

x = A(x)x + b(x)u, (1)

где A(x) — n x n-матрица с элементами ajj(x), b*(x) = (в (x),..., вп(х)), * — знак транспонирования (все элементы вещественные). Известно [1], что если аjj(x) и fti(x) достаточно гладкие функции и последняя строка матрицы, обратной к матрице управляемости, образует потенциальное поле, то существует нелинейное преобразование координат, приводящее матрицу A(-) к форме Фробениуса (a^+i = 1 при i €= 1, п — 1; a,ij = 0 при г £ 1, п — 1, j ^ г +1), а вектор Ъ(х) к последнему единичному орту. В этом случае система стабилизируется модальным управлением

П

u = J2(anj (x)xj- Pj xj), (2)

j=i

где постоянные параметры pj выбраны таким образом, что линейная стационарная система (1), (2) асимптотически устойчива.

В [2] для системы (1) с коэффициентами ajj, зависящими от t, x(t), x(t — т), и b* = (0,..., 0,1) было построено робастное по отношению к коэффициентам ajj стабилизирующее управление и = s*x в предположении, что a,ij = 0 при г £ l,n — 1, j > i + 1 и inf |о.г,г+11 > 0 (* (E 1, n — 1). В [3] этот результат был усилен: допускалось, что нулевые элементы матрицы A и вектора b могут быть не нулевыми, но достаточно малыми. В [4] было построено стабилизирующее управление u = s*(-)x для некоторого класса неопределенных систем

i

x = A(-)x + ^2 Ak (Ox(t — Tk) + b(^)u,

k=1

где элементы матриц A(-), Ak(•) и вектора b(^) являются функционалами произвольной природы. Существенным во всех этих работах было предположение, что последний элемент вектора b(-) отделен от нуля. В данной статье это ограничение будет снято за счет введения динамического регулятора.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10.01.00107).

© И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2011

й = р(-)м + ш*(-)ж,

X = А(-)ж + Ь(^)й,

(3)

где А(^) € М”х”, р(^) € М1, ш(^) £ М”, &(•) € М”. Предполагается, что р(^) и элементы матрицы А(-) и столбцов ш(^),6(^) являются функционалами произвольной природы, при которых справедлива теорема существования решения и продолжимости на [£о, +го) любого решения, остающегося в ограниченной области. Ставится задача определения таких р(-) и ш(^), чтобы система (3) стала глобально экспоненциально устойчивой. Ниже предлагается метод решения этой задачи.

Предположим, что коэффициенты системы (3) обладают следующими свойствами:

эир |а^'(-)| < а+ при і£І,п; І<*+ 1, (•)

= 0 при і Є 1, п — 2; j > і + 1,

ііі)ґ |ам+і(•) > а-,

эир |/3*(-)| < /3+ при гЄІ,п,

где а_, а+, в+ — положительные постоянные. Запишем систему (3) в матричном виде:

где у =

У = С(0у

Р(0 т*(-)

X), ^ = ио А(,

(^1 (•),..., ^”(^)). Рассмотрим функцию Ляпунова

V = у*Ну,

(4)

(5)

(6)

(7)

, &*(•) = (ві(^),...,вп(^)), т*(0 =

(8)

где Н — трехполосная матрица вида

н п 0. .. ... 0

п І1 І12 • .. ... 0

0 І21 І2 • .. ... 0

^п— 1,п

0 0 0. • • ^п.п— 1 %п

Н

/

г] = —О, Ъ\/Ы\, = I^ = —0, 5\flilj. Здесь Н,11, • • •, 1п —положительные параметры,

которые будут выбраны ниже. Известно [2], что эта матрица — положительно определенная при любых положительных Л., /1,..., I”. Производную по £ от функции (8), взятую в силу системы (7), можно представить в виде

а

V = у*ду - а(у, у),

(9)

где а — положительный параметр,

д( • ) = о* ( • )н + но( • )

( ?11(•) ?12( • )

®1(•)

V «”+1,1( • )

?!,”+! ( • ) \

^22( • )

^22( • ) =

( ?22(•) ?23( • )

?32(• )

V ?”+1,2( • )

?2,”+1( • ) \

Р ( О

/ ©3( • )

Р( ) =

V ?”+1,3( • ) . . . ?”+1,”+1( • ) /

Элементы ^ ( • ) матрицы ^( • ) имеют следующий вид:

9п( • ) = 2(^р( • ) + п^1( • )) + а

?12( • ) = ®1( • ) = ^^1( • )+ паи ( • )+ ПР( • )+ /1^1 ( • ) +

+ /12^2 (• ),

?13( • ) = ?31( • ) = ^М2( • )+ Па12 ( • )+ 112 в1 ( • )+ 12^2 ( • ) +

+ /23^3 ( • ),

?14( • ) = ?41( • ) = ^( • )+ / 23 в2 ( • ) + /3в3( • )+ /34 в4 ( • ),

^1”( • ) ^”1( • ) ^М”_1( • ) + /”_2,”_ 1в”_2 ( • ) + /”_1в”_1( • ) +

+ /”_1,”в”( • ),

^1,”+1( • ) ^”+1,1( • ) ^М” ( • ) + /”_1,”в”_1( • ) + /”в”( • ),

?22( • ) = 2(ПМ1( • ) + /1а11( • ) + /12а21 ( • )) + а,

?23 ( • ) = ©2 ( • ) = /12ац( • ) + /2а21( • ) + /23а31( • ) + /1а12( • ) + /12а22( • ) + ПМ2(-)

?24( • ) = ?42( • ) = /23а21( • ) + /3а31( • )+ /34а41( • ) + /12а23( • ) +

+ ПМ3( • ^

?2б( • ) = ?52( • ) = /34а31( • ) + /4а41( • )+ /45а51( • ) + ПМ4( • ),

®” ( • ) = ?”2( • )

?2,”+1( • ) = ?”+1,2( • ) =

/”_2,”_1а”_2,1( • ) + /”_1а”_1,1 + /”_1,”а”1( • ) + пМ”_1( • ),

/”_1,”а”_1,1 ( • ) + /”а”1( • ) + пМ” ( • ).

(10)

(11)

(12)

(13)

Нашей целью является такой выбор параметров /г, I и коэффициентов

р( • ),^і( • ),...,Мп(• ) регулятора, чтобы матрица • ) была отрицательно определенной.

Не умаляя общности, заменим условие (5) на предположение

inf a,iti+i(-) > а_ при г ё l,n — 1. (15)

Этого можно достичь, идя снизу вверх и умножая в случае необходимости k-е урав-

нение на —1 и заменяя на —.

Выберем сначала параметры ln < ln-i < ... < li таким образом, чтобы выполнялось свойство

P( • ) < 0. (16)

Обозначим через ДД • ) (i = 1,..., n — 1) главные диагональные миноры матрицы P( • ),

отсчитываемые снизу. Фиксировав ln, можно на основании свойств (4), (15) выбрать ln-i таким образом, чтобы выполнялось неравенство Д1( • ) < —1. Затем определяется ln-2 > ln-i из условия Д2 (• ) > 1. Продолжая этот процесс, найдем такие значения параметров ln-2,..., li, при которых выполняются неравенства Д&( • )( —1)k > 1 (k = 1, 2,..., n — 1) и, следовательно, в силу критерия Сильвестра [6], матрица P( • ) становится отрицательно определенной. Следует отметить, что выбранные таким образом параметры ln, ln-i,..., li зависят лишь от а_, а+ из условий (4), (5) и не зависят от самих коэффициентов а^ ( • ). При этом на последнем шаге можно взять li сколь угодно большим.

Положив

Mi = li (17)

и

р{) = —{hi i + г/ац{■) + 1\I3\{) + 112@2 (*))> (18)

П

получим соотношение

qi2 ( • ) = 0. (19)

Из равенств

qi3( • ) = ... = qi,n+i( • ) = 0 (20)

последовательно находим коэффициенты регулятора

M2(’) = ~y{rla 12(') + h2pl{) + ^2 /З2 (•) + ^2l/?3(’))j (21)

h

M з(’) — — 7“ (^23/?2 (•) + ^3/Зз (•) + І34р4{')),

Pn—1(') h {^n—2:n— lftn — 2 (') In— lftn — 1 (') In — l:nPn {') ):

Mn(') fl{ln—lftn—l{'')~\~lnftn{'')')-

(22)

Подставим в (13) выражение (21) и рассмотрим соотношение

q2з( • )=0. (23)

23

т = ^(с(0 - 1(Ш-) + *23/?3(-))), (24)

где с(• ) = /12(^11 (• ) + Я22 ( • )) + ^2«23 — П2/Н«12( • )• Подставив величину (18) в выражение (10) и потребовав выполнения равенства

?11( • ) = —т 2: (25)

где т — произвольный ненулевой параметр, приходим к соотношению

Зу^Ых/?! (•) — 2\/ /г^2 /?2 (■) + 4/1^1 — 2Л.вц(-) + а + т2 =0. (26)

В силу (19), (20), (25) неравенство ^( • ) < 0 выполняется, если

322( • ) < 0. (27)

Для справедливости этой оценки в силу леммы Шура [5], отрицательной определенности матрицы Р( • ) и свойства (23) достаточно выполнения неравенства

?22( • ) — С*(• )Р-1( • )С(• ) < 0, (28)

где ввиду (23) <С*( • ) = (0,^24(• ), • • • ,?2,п+1(• ))•

Подставив ^з( • ),... ,^и( • ) из (22) в выражение (14), убеждаемся, что ^2б( • ), • • •, ?2,п+1(• ) не зависят от /1, а для ^24( • ) в силу свойств (4), (6) справедлива оценка

|<Й4(')1 < *1у/к + *2, (29)

где постоянные К1 и К2 не зависят от /1. Ввиду (12), (17) имеет место равенство

?22( • ) = — /]/ Н1/2 + 2/1Яц(• ) — /]_/ /2^ в21(• ) + а.

Поэтому в силу свойства (4) имеет место оценка

Ы • ) < —/3/2(^1/2 — 2а+/-1/2 — а+/-1/21/2 — а/-3/2). (30)

Из представлений (14) и (29) вытекают соотношения

П

К( • )Р-1 ( • )С( • )| = |Р-1( • )| £ ^ ( • ) < кз/1 + К4,

5=4

где постоянные кз и К4 не зависят от /1, а под |Р-1( • )| понимается евклидова норма матрицы Р-1( • )• Отсюда и из свойства (30) следует существование такого /*, что при /1 > /* выполняется соотношение (28) а, следовательно, и неравенство (27). Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Если имеют место свойства (4), (5), (6), коэффициенты регулятора определяются по формулам (17), (18), (21), (22), справедливы соотношения (24), (26) и параметры /п, /п-1, • • •, /1 и Н выбраны описанным выше способом, то система (3) глобально экспоненциально устойчива.

и = р( • )и + т*( • )х,

1 (31)

х = А( • )х + ^ А*(• )х(і - г*(і)) + Ь(• )и,

1=1

где р( • ), т( • ), А( • ), 6( • ) такие же, как в теореме 1, элементы матриц А( • ) равномерно ограничены,

т* (і) < і, -г* (і) < т* < 1. (32)

Представим систему (31) в матричном виде:

і

у = • )у + ^і( • )у(і — т*(і))’ (33)

*=1

где С*( • ) = ( 0 а°( ) ) , и рассмотрим функционал Ляпунова—Красовского

1 {• І

V = у*Ну + А^ / |у(і)|2^і, (34)

1=1 і і-ті(і)

в котором матрица Н такая же, как в теореме 1, а положительный параметр А будет

выбран ниже. Производная V в силу системы (31) имеет вид

і * і

V = (с(-)у + £ СіОуі) *Ну + у*н(с()у + £ с<(^) +

1=1 1=1

і

+ А1|у(і)|2 — а53 |у*(і — т*(і))|2(1 — Ті)’

1=1

где у (і) = у(і — ті (і)). Ввиду (9) и свойства (32) справедлива оценка

і

2

V < у*д( • )у — а|у|2 + 2^ |у<| |^(• )Н| |у| + А/|у|2 — А^ |у|2(1 — т*).

1=1 1=1

Поскольку матрица ф( • ) при выполнении условий теоремы 1 является отрицательно определенной, из этого неравенства следует оценка

т>„ г лщ .2 у-Г-/т,|/1---------------- 1адя|Ы12 , Л|<ЭДЯ|2м2

V < -(а - М)\у\ ~2_^ V\\yiWl -т* - ------------ +2_^ —гг;--т—•

{=1 1 V Ал/1 -т~*] {=1 Щ-т*)

Отсюда вытекает соотношение

V < —Иу|2, (35)

где

1/ = а~М- \([

Выберем теперь параметр А таким образом, чтобы выполнялось неравенство V > 0. Это неравенство равносильно соотношению

і

1(1 — т*)А2 — (1 — т*)А + |Н|2 ^ ' |Сі( • )|2 < 0.

1=1

Условие положительности дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в левой части этого неравенства, сводится к оценке

1=1 11

При выполнении условия (36) в качестве А в функционале (34) возьмем полусумму корней трехчлена, то есть А = а/1.

Из неравенства (35) и вытекающей из формулы (34) оценки V > у*Ну с помощью стандартных рассуждений доказывается глобальная асимптотическая устойчивость состояния равновесия у = 0. Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, свойства (32) и оценка (36), то система (31) глобально асимптотически устойчива.

4. Импульсный динамический регулятор. Предположим, что управление и поступает в систему не непосредственно, а через импульсное устройство, осуществляющее комбинированную амплитудно-частотную модуляцию [6]1. В этом случае уравнения системы имеют вид

и = р( • )и + т*( • )х,

1 (37)

х = А( • )х + ^2 А(• )х(і — т(£))+

1=1

£(і) = и(^) при ^ < і < ік+1 (к = 0,1, 2,...). (38)

Предполагается, что частота импульсации ограничена снизу, то есть выполняется

неравенство

ік+1 — < Т при к = 0,1, 2,... (39)

Покажем, что если частота импульсации достаточно велика (Т достаточно мало), то при выполнении условий теоремы 2 стабилизация сохраняется. Запишем систему (37)в виде

і

у = • )у + ^*( • )у(і — ті(і)) + ^( • )(£ — (40)

1=1

где д*( • ) = (0, Ь*(• )). Взяв функционал Ляпунова—Красовского в виде (34), представим производную V, взятую в силу системы (40), в следующем виде:

У = Ш + 2(у*Н^( • ))(£ — и), (41)

где при выполнении условий теоремы 2 в силу (35) справедлива оценка

Уї < “Иу|2-

1При малых значениях и(£) частота импульсации увеличивается для повышения точности.

Из этого неравенства и (41) вытекает соотношение

V <-Иу|2 + м(£-«)2 + -к*(-)Д12Ы2,

м

где положительный параметр м будет выбран ниже. Проинтегрировав это неравенство, приходим к оценке

^+1

^«+1 — К < — #1 I |у(^)|2^ (42)

tn

где

К. = V(t„), Ji = v - [sup |q(• )|2|H|2]/^, J = f |u(t„) - u(t)|2dt.

() /„

В силу неравенства Виртингера [2] и (39) имеет место оценка

*п+1

J < K5T2J |y(t)|2dt, (43)

tn

где ^5 = — sup(|yo(-)|2 + |m(-)|2). Отсюда и из (42) следует соотношение п (•)

tn+1

2

Vn+1 — Vn < —S^J |y(t)|2dt,

где #2 = #1 — МК5Т2. Просуммировав полученные неравенства, получим для произвольного N равномерную оценку

V* + ^2 I |у(^)|2^ < V). (44)

І0

Выберем теперь такое значение параметра ^, при котором £2 > 0, то есть справедливо неравенство

кбТ2^2 — ^ + sup |д( • )|2|Н|2 < 0. (45)

(•)

Корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (45), имеют вид

М1,2

v ± yV2 — 4^5 sup^.) \q\2\Н\2Т2

2k5T 2

Поэтому, если T удовлетворяет оценке

Т < -----------V—-------, (46)

2sup(.} Щл/яъ

+l

_ М1 + М2 _ V М ~ 2 " къТ2 '

Из оценки (44) следует свойство

|y(t)| € L2[to, +го), (47)

а также равномерная ограниченность |y(tn)|. Поэтому, ввиду (39), равномерно ограничена величина |y(t)|. Из (40), (43), (47) вытекает, что y(t) € L2[t0, +го). А тогда, в силу свойства (47), y(t) ^ 0 при t ^ +то. Устойчивость состояния равновесия по Ляпунову вытекает из проведенных выше оценок. Сформулируем полученный результат.

Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2, а также неравенства (39), (46), то состояние равновесия импульсной системы (37), (38) глобально асимптотически устойчиво.

5. Заключение. Для некоторого класса нелинейных систем с нестационарным запаздыванием получены достаточные условия существования и метод построения непрерывного либо импульсного динамического регулятора, который делает систему глобально асимптотически устойчивой.

Литература

1. Zak S. H. Systems and Control. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.

2. Гелиг А.Х., Зубер И.Е., Чурилов А.Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.

3. Zuber I. E., Gelig A. Kh. Synthesis of robust stabilizing control for nonlinear systems // EN0C-2008. Saint Petersburg. June 30 —July 4. 2008.

4. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Робастная стабилизация некоторого класса неопределенных систем // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 34-43.

5. Boyd S., Chaoui L. El., Feron E., Balakrishnan V. Linear Vatrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia: SIAM. 1994.

6. Gelig A.Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.

Статья поступила в редакцию 28 сентября 2010 г.