Инвариантная стабилизация нестационарных систем управления с внешним воздействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2

A. Х. Гелиг, И. Е. Зубер

ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*

1. Введение

Задача инвариантной стабилизации, т.е. стабилизации системы, при которой обеспечивается независимость выхода системы от внешнего воздействия и ограниченность остальных переменных, остается одной из самых актуальных в теории систем управления [1—3].

Основной вывод из этих работ: уже для линейной стационарной системы одномерным управлением можно обеспечить либо устойчивость, либо инвариантность. В работе

B. А. Якубовича [4] показано, что для линейных стационарных систем возможно совместить выполнение требования инвариантности и устойчивости, если в качестве одного из входов в регулятор взять внешнее воздействие.

В данной статье рассматривается непрерывная линейная нестационарная система, а также нелинейная импульсная система с нестационарной непрерывной линейной частью. Для обеих систем построено двумерное управление, обеспечивающее инвариантную стабилизацию, причём в случае ортогональности вектора наблюдения вектору возмущения не требуется измерение внешнего воздействия.

2. Линейная нестационарная система

Рассматривается система

х = А(Ь)х + Ъ\(Ь)и1 + 62(^)^2 + дф(Ь), а = с* х, х(Ьо) = хо (1)

где х,Ъ\,Ъ2,с,д € Кт, А(Ь) — заданная равномерно ограниченная на [¿о, вместе со своими производные до порядка т — 1 включительно матрица, Ъ\(Ь) и 62(Ь) —заданные равномерно ограниченные вместе со своими производными до порядка т — 2 включительно векторы, ф(Ь) —произвольная равномерно ограниченная скалярная функция, описывающая внешнее возмущение, вектор наблюдения с и вектор распределения возмущения д заданы и постоянны.

Задача заключается в построении функций и\(Ь) и и2(Ь), обеспечивающих выполнение следующих свойств:

а(Ь) = с*х0ехр(— вЬ), в > 0, (2)

Пт ||х(*)|| <70 ,Пт \ф(Щ. (3)

Будем искать управления и\(Ь) и и2(Ь) в виде

ил(Ь) = з*(Ь)х(Ь), (4)

и2(Ь) = з2 (Ь)+а(Ь), (5)

где вектор-функции з^(Ь), 32(Ь) и скалярная функция а(Ь) равномерно ограничены при Ь ^ ¿о. Сначала выберем 32(Ь) и а(Ь) таким образом, чтобы выполнялось свойство (2). С

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-01-00290, №05-01-00238) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1). © А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер, 2005

этой целью вычислим производную а(Ь) в силу системы (1) и подставим в нее функции

(4), (5):

&(Ь) = (с*Л(Ь) + е*Ь1(г)в*1 (Ь) + с*Ь2(Ь)в**(Ь))х + е*Ъ2{1)а{1) + д* ЬЩ(Ь). (6)

Предположим, что при всех Ь ^ Ьо

е*Ь2(Ь)=0. (7)

Тогда, положив в (6)

аУЧ =--ГГТГТ^)' в2 УЧ =--

е*Ь2(Ь)

е*Ь2(Ь)

(8)

получим равенство

а = -[За,

из которого вытекает свойство (2) инвариантности выхода а(Ь) относительно возмущения Щ(Ь). Заметим, что если с*д = 0, то а(Ь) = 0 и управление (5) не зависит от возмущения Щ(Ь).

Построим теперь управление и1(Ь) таким образом, чтобы выполнялось свойство (3). Подставив выражение (8) в (5), приведем систему (1) с помощью формул (4), (5) к виду

X = Л1(Ь)х + Ь(Ь)з*(Ь)х + д1(Ь)Щ(Ь), (9)

где

*Ь2(Ь)

Ь2(гу

Ь(Ь)

V с*ъ2{1)) и уд ; у с*ъ2(г) 2К'

Обозначим через О(Ь) матрицу управляемости

С(Ь) = \\Ь(Ь),ВЬ(Ь),...,Вт-1Ь(Ь)1

где И = А^) — и сделаем предположение

Ш \ det С(Ь)\ > 0.

Ь'^Ьо

С помощью замены переменных

г(Ь) = Е(Ь)х(Ь)

(10)

(11)

приведем систему (9) к виду, в котором матрица коэффициентов имеет форму Фро-бениуса с последней нестационарной строкой, а вектор распределения управления Ь(Ь) является последним единичным ортом. Как известно [5], И(Ь) имеет вид

Е(Ь)

е*тВ-1(Ь),

е.

т—1

* с

ет / у ст—1

3 = 1

т

е* с3

тт 3=1

<р

В-1(Ь)

■^т—1—з (Ь)

¿3

_(йЬ)

В-1(Ь)

^т—3 ^^

где е*т = ||0, 0,...,0,1||, Б(г) = \\p-iit),... ,рт(г)||*

к 1 ЗР

Р1(г) = ъ(г), = (к = 2,...,т),

3=1

Зк

Ш = ъ(г), 1ф) = ьктг)-—ь(г) (к = 2,...,т),

Ьк{г) = ^-Ьк-^г) + Ьк-^Аф) {к = 1,...,т), ь0 = 1. Зг

В результате преобразования (11) система (9) примет вид

г = Мг)х + втЦ_ (г) г + / (г), (12)

где / (г) = К(г)д1(г)ф(г), А1.1 (г) —матрица Фробениуса с последней строкой \\а1(у1),...,ат (г)|,

(г) = в!(г)я-1(г) = (71(г),.. .,7т(г)). (13)

Фиксируем гурвицев полином

п(А) = Ат + ртХт-1 +...+ Р1

и пологаем

'зг(г) = -а^(г) — Р1 (г = 1,...,т). (14)

Тогда система (12) примет вид

г = Бг + / (г), (15)

где Б — матрица Фробениуса с последней строкой || — р1,..., -рт\ и характеристическим многочленом п(А).

Рассмотрим функцию Ляпунова

V (г) = г* Нг, (16)

где Н — положительно определенная матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова

НБ + Б*Н = —I. (17)

Тогда

У = —ЦгЦ2 + 2г *Н/.

Очевидна оценка

1/<(м-1)|И|2 + !||Я/||2, (18)

и

где и — произвольный положительный вектор. Поскольку V(г) ^ А+||г||2, где А+ — максимальное собственное число матрицы Н, из (18) вытекает неравенство

А+

где 7(4) = — ||Д7"(4)||2. Фиксировав 3 € (0, — ], положим ¡1=1— ЗХ+. Тогда неравен-

М V Л+/

ство (19) примет вид

V < -¿V +

Умножив обе части этого неравенства на ехр(04) и проинтегрировав от ¿о до приходим к оценке

г

V(г(Ь)) < V(х(го))е-6(г-га) + в6х^(\У1\.

о

Отсюда получаем соотношение

Пт - Ш |7(*)|,

г—о г—

из которого ввиду (11) и равномерной ограниченности ||Д-1(£)|| [11] следует свойство (3). Из проведенных рассуждений вытекает следующий результат:

Теорема 1. Пусть выполнены свойства (7), (10) и управления иф) и 42^) определены по формулам (4), (5), (8), (13), (14). Тогда справедливы соотношения (2), (3).

3. Нестационарная импульсная система.

Рассмотрим импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальным уравнением

х = Л(г)х + ъ1(г)£(г)+ъ2(г)и2(г)+дф(г), а = с*х, £ = Ми1, (20)

где Л, Ъх, Ъ2, д, ф(Ь), с такие же, как в уравнении (1), а М —нелинейный оператор описанного ниже класса.

Требуется синтезировать сигналы и\(Ь) и и2(4) таким образом, чтобы любое решение системы (20) обладало свойствами (2), (3). Оператор М каждой непрерывной на [¿о, функции £(¿) ставит в соответствие последовательность {¿п} (п = 0,1, 2,.. ) и

функцию £(Ь), обладающие следующими свойствами:

1) 5оТ < гп+1 - Ьп < Т (¿0 > 0,Т> 0, п = 0,1, 2,..);

2) функция £(1) кусочно непрерывна на каждом промежутке \Ьп,1п+\) и не меняет знака на нем;

3) £(4) зависит только от £(т) при т ^ ¿п зависит только от £(т) при т ^ ¿п;

4) для каждого п существует такое Ьп € \Ьп, ¿п+{\, что среднее значение п-го импульса

г„+1 1 ■ /

¿п+1

удовлетворяет равенству

фп). (21)

Свойствами 1-4 обладает, например, амплитудная и комбинированная широтно-ампли-тудная импульсная модуляция [6, 7] с линейной статической характеристикой. Для удовлетворения требованию (2) положим

1

с*Ь2

иф) = -^-[-с*Ах-с*Ъ1£-с*дф- [Зс*х\. (22)

V

п

При этом уравнение (20) примет вид

Х = A\(t)x + b(t)£ + gi(t)^(t). (23)

Сигнал Z на входе модулятора выберем в виде

Z = ui = s*i(t)x, (24)

где вектор si(t) определяется формулами (13), (14).

Сделав в уравнении (20) замену (11), приведем его к виду

z = Ai(t)z + em£(t)+f (t), (25)

где ALi(t) и f (t) такие же, как в уравнении (12). При этом Z примет вид

Z = Liz. (26)

Желая воспользоваться методом усреднения [7], исключим £(t) из уравнения (24), введя

t

функции v(t) = vn при tn ^ t < tn+i (n = 0,1, 2,...) и u(t) = j[£(A) — v(A)]dA и сделав

о

замену переменных

z = y + emu. (27)

В результате получим уравнения

У = Ai(t) + emv + Ai (t)em u + f (t), (28)

Z = LI (t)y + Tt(t)emu. (29)

Уравнение (28) можно представить в виде

y = Dy + w + f (t), (30)

где w = em(v — Z) + d(t)u, d(t) = Ai(t)em + emx(t), x(t) = Li(t)em. Определим положительно определенную матрицу H из уравнения (17) и рассмотрим функцию Ляпунова (16). Ее производная по t, взятая в силу уравнения (30), имеет вид

V= —\\у\\2 + 2y*Hw + 2y*Hf. (31)

Представим w в следующем виде:

w = wi + w2, (32)

где w\ = emTcv> + A\emu, u>2 = em[s (у — y) + (s — ~s*)y], а прямой чертой отмечены «замороженные» функции, принимающие при tn ^ t < tn+i значение, вычисленное в точке tn.

В [7] было установлено неравенство

\u(t)\ < T|v(t)|. (33)

В силу этого неравенства получаем оценку

\\wi\ < SiT\v\, (34)

где ¿1 = вир(| + ||А(г)||). Очевидны соотношения ^(у - у)|| < 62\\у - у||, где 62 =

г>0

эир |в1(£)|, и |(? — з*)у\ ^ (5зТ||у||, где ¿3 = эир ||4|||. Поэтому справедлива оценка

>0 4>0

\Ы\<52\\у-у\\+53Т\\у\\. (35)

Из (32), (34), (35) вытекает неравенство

ННК^тМ + сШ-уН + ^тНуН. (36)

В силу (27) имеет место представление

V = «1 (У ~ У) + «2 У + Поэтому согласно (33) справедливо неравенство

М <<Ы1|у-у|| + 1Ы1+7>1)- (37)

Предположим, что Т удовлетворяет оценке

Т<-1. (38)

¿2

Тогда из (37) вытекает соотношение

ЬК<54(||у-у|| + ||у||), (39)

52

где ¿4 =-. Подставив (39) в (36), приходим к неравенству

1 - Т02

1Н1 < 55\\у - у\\ + 36т\\у\\,

где ¿5 = 62 + 6164Т, ¿6 = ¿3 + §164. Отсюда вытекает оценка

М^251\\у-УГ + 2ТЧ1\\УГ. (40)

В силу неравенства Виртингера [7], свойства 1 оператора М и уравнения (30) справедлива следующая цепочка неравенств

tn+l 2 г,ъ+1

I \\у-у\\2л^Чи+1;'п) I ш2^

^ гп

tn+1 tn+1

4Т 2 Г 12Т 2 Г

У + + — у (Цед2 + |И2 + Н/112)Л.

^ гп

Отсюда ввиду (40) вытекает соотношение

tn+1 tn+1 tn+1

| \м2аь < 6ГТ2 | (\\DyW2 + И12 + \\и\\2)аь + 2Т2§6 | \\у\\2л, ^ гп гп

24$2

где ¿7 = ——. Предположим, что Т удовлетворяет оценке п2

24Т 2$1 <п2. (41)

Тогда из последнего неравенства следует соотношение

tn+1 tn+1 tn+1

j \\w\\2dt < SsT2 j (\\Dy\\2 + \\f \\2)dt + SgT2 j I'-"2

dt,

где

Sin2 _ 2n2S2

n2 - 24S2T21 9 n2 - 24S2T2 '

Таким образом, получена оценка

tn+1 tn+1

J \\w\\2dt < S10T2 J \\y\\2dt + S7T2 У \\f\\2dt, (42)

tn tn tn

где S10 = S8WDW2 + S9.

Оценим теперь правую часть равенства (31) следующим образом:

v < -|Ы12 + n\\Hyf + -IIHI2 + H|ffy||2 + -II/II2,

ц ^

где положительный параметр ц будет выбран ниже. Поскольку \\.H~y\\2 < А+ \y\2, то из последнего неравенства вытекает соотношение

1/<(2МА^-1)|Ы|2 + 1|И12 +-II/II2.

л л

Проинтегрировав его по t от tn до tn+i и положив Vn = V(y(tn)), получаем оценку

tn+ 1 tn+1 tn+1

ч

К+1 - К < (2ИХ\ - 1) J \\y\\2dt + - J \\w\\2dt+- J \\f\\2dt,

tn tn tn

из которой в силу (42) следует неравенство

tn+ 1 tn+1

+ J \\y\\2dt + 6n J \\f\\2dt,

SrT2 + 1

где оц =-. Отсюда вытекает соотношение

л

Ьп+1

Р J Vdt + Vn+1 < Vn + Ф1, (43)

где

2Х2+И2-И + 63Т2 1 + 53Т2 Тиги2^ Р=—1-т-, Ф1 =- / 11/11 Л-

Предположим, что Т удовлетворяет неравенству

8А+ 53Т2 < 1. (44)

Тогда дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в числителе р, положителен и, следовательно, найдётся такое число / > 0, что р > 0.

«п+1

Оценим теперь У УйЬ снизу. Из (31) вытекает неравенство

V > -3\\у\\2 - А+ (|И2 + У У2), из которого следует соотношение

3

у^__у_А2.(Н|2 + ||/||2). (45)

Проинтегрировав неравенство (45) от до t и воспользовавшись формулой (42), приходим к соотношению

-/1-Т ±

V(г) - Vn > -5и ! Vdt - ф2,

4п+1

3 + А2 6юТ2 [ где ¿12 =--, Ф2 = А_(1 -\-5чТ2) / ||/||2сЙ;. Вытекающую из этого неравенства

4°„,, _ X П , Л гт2Л / II

А_

г„

нижнюю оценку величины V(г) подставим в левую часть неравенства (43). Получим соотношение

{гп+1 \

Vn - 5x2 У Vdt - ль + Vn+1 < к + фь

из которого ввиду свойства 1 оператора М вытекает неравенство

^+1

р5о^п -р5иТ У Vdt -рТф2 + Vn+l < Vn + фх.

Отсюда следует требуемая нижняя оценка:

^+1

р5иТ у Vdt > (р5оТ - IV + Vn+l - фх - рТф2.

Из этого неравенства и (43) вытекает соотношение

Vn+l + (р5оТ - IV - фх + 512ТУп+1 < 5п^П + 5иТфх + рТф2.

Таким образом, получена оценка

Vn+1 < qVn + Фз,

(46)

где q =-f \ ° r—^-—, фз = ф\(1 + TS12) +рТф2- Потребуем выполнение неравенства

1 +PS12T

TpSo < 1 + S12 T.

(47)

Тогда 0 < q < 1.

Рассмотрим функцию Wn = V2. Тогда

q2

AWn = Wn+1 (qVn + ф3)2 - V2 < (q2 - 1 + v)V2 + ^-ф2.

Выбрав положительное v из оценки q2 — 1+v < 0, убеждаемся в справедливости неравен_ _

ства ДWn < 0 в области V2 > 1ф%, где I = —----. Поэтому lim V2 ^ 1 lim ф%.

v (1 — q2 — v) n—n—

Отсюда, воспользовавшись формулами (11), (27), (33), (21), легко показать справедливость оценки (3). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть управления п\ и U2 определены формулами (24), (13), (14), (22) и выполнены условия (7), (10), (38), (41), (44), (47). Тогда решение системы (20) обладает свойствами (2), (3).

Summary

A. Kh. Gelig, I. E. Zuber. Invariant Stabilization of Time Varying Control Systems with an External Action.

A linear time varying system with two control inputs, a single output, and a scalar bounded external action is considered. A procedure of analytical synthesis of the controls is described which ensures that the output fades exponentially and the state vector is bounded. A similar result is obtained in the case when one of the controls is implemented with the help of a pulse.

Литература

1. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985; №2. С. 3-14; №6. С. 3-14.

2. Лузин Н. Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1940. №5. С. 3-66.

3. Лузин Н.Н., Кузнецов В. Н. К абсолютной инвариантности и инвариантности до е в теории дифференциальных уравнений // Докл. Акад. Наук СССР. 1946. Т. 51. №4. С.247-250; №5. С. 331-334.

4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // Докл. Акад. Наук СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

5. Зубер И. Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на основе специального преобразования подобия // Кибернетика и системный анализ. Киев. 1998. С. 27-32.

6. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наукова думка. 1970. С. 340.

7. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во СПбУ, 1993. С. 265.

Статья поступила в редакцию 23 ноября 2004 г.