Стабилизация нелинейных импульсных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

А. Х. Гелиг, М. С. Кабриц

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ*

Решена задача аналитического синтеза стабилизирующего управления для импульсной системы с нелинейной непрерывной частью и нелинейной статической характеристикой импульсного модулятора.

Введение

Для стабилизации нелинейных импульсных систем часто используют критерии абсолютной устойчивости [1, 2]. Однако представляет несомненный интерес и непосредственный аналитический синтез стабилизирующей обратной связи.

Для осуществления такого синтеза в нелинейных непрерывных системах имеется два подхода.

Первый основан на построении специального нелинейного преобразования подобия [3], приводящего матрицу замкнутой системы к форме Фробениуса и модальном подходе.

Второй способ основан на нелинейном преобразовании подобия [4] и построении функции Ляпунова с трехполосной матрицей.

В данной статье рассматривается импульсная система с нелинейной непрерывной частью и нелинейной статической характеристикой модулятора. С помощью первого подхода и метода усреднения [5] построена нелинейная обратная связь, стабилизирующая систему при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

Постановка задачи

Рассмотрим нелинейную импульсную систему, описываемую функциональнодифференциальным уравнением (1).

(ЇХ

— = А(х)х + Ь(х)£, £ = МС, С = 'ф{сг), а(х) = с*(х)х, (1)

оЬ

где Ъ,х Є И™, А Є И.тхт,£ є И,1^ є И.1, * — знак транспонирования. А(х),Ъ(х) — равномерно ограниченные со всеми своими частными производными порядка 2т — 1 функции, М — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора. £(Ь) — сигнал на выходе импульсного модулятора, С(Ь) — сигнал на его входе. М — отображает каждую непрерывную на [0, +то) функцию С(Ь) в функцию £(Ь) и последовательность {Ьп} (п = 0,1, 2,...; Ьо = 0), обладающую следующими свойствами:

1) существуют такие положительные постоянные Т и §о, что для всех п верна оценка

З0Т < Ьп+1 — їп < Т;

2) функция £(Ь) кусочно непрерывна на промежутке [Ьп,Ьп+і) и не меняет знака на нем;

3) С(Ь) зависит только от значений С(т) при т < Ь, Ьп зависит только от значений С(т), при т < Ьп;

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-0054г) и Совета по грантам президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-2257.2003.1)

© А. Х. Гелиг, М. С. Кабриц, 2003

4) для каждого п существует 1п € \Ьп,1п+1) такое, что среднее значение импульса

£п+1

уп =---------- £ (¿) сЛ

*п+1-*п У

удовлетворяет равенству

Vп = АС (рп)), (2)

где р(^) — монотонная и непрерывная на (—те, +те) функция, описывающая статическую характеристику импульсного модулятора, причем р(0) = 0, <^>(+те) =

+те, ^>(—ж) = —ж .

Свойствами 1)-4) обладают различные виды комбинированной импульсации [1, 2, 5, 6]. Например широтно-амплитудная модуляция первого и второго рода.

Предполагается, что матрицы-функции Л(х),Ь(х) заданы. Требуется определить аналитический вид вектор-функции с(х) и скалярной функции ф(а) таким образом, чтобы решение системы (1) х = 0 было устойчиво в целом, если параметр Т удовлетворяет некоторой верхней оценке.

Формулировка результата

Если у(х!,..., хт) — скалярная функция, то производной по времени V в силу системы

х<г = !ъ(х\,...,хт), г =1,...,т (3)

т

называется выражение V = ——/¿(жх,..., хт).

1=1 Ъ

Если М(х) — матрица, то производной М в силу системы (3) называется матрица, каждый элемент которой продифференцирован в силу системы (3).

Рассмотрим систему (1) в отсутствии управления:

х = Л(х)х (4)

Обозначим через Ьк(х) — матрицу к-ой производной вектора х в силу системы (4):

Ь0 = 1,Ь1 = Л(х), ¿2 = Л(х) + Л2(х),----

Определим Д(ж) = (ь^х) - ф^Ъ(х), /2(ж) = (ь2{х) - ) Ь(х),..., /к(х) =

(Ых) ~ -щу) Ь{х) и

го (ж) = Ь{ ж), п = /1(ж), ...,гк= /й (ж) -

где дифференцирование производится в силу системы (4), а С°к — число сочетаний из к по з.

Рассмотрим матрицы

О = II Т0(х), . . .,Гт-1 || ;

Я (х) =

в*тО-1 (х) А(е^С-1(ж))+е^-1(ж)Ь1(ж)

т-1

Е С^_11^(е*ГпС-1(х))1т^(х)

к=0

и матрицу Фробениуса

0 1

1 = 0 0 ' 1

ai(x), a2(x), .. . , am (x)

A(x) = SAS-1 + SS-1 =

Пусть Xm + pm\m 1 + ... + Pl — произвольный гурвицев полином, 'Ci(x)

— —

ai(x), c(x) = (ci,...,cm)*

c*(x) = с* (x)S(x).

(5)

Введем обозначения: У • || — евклидова норма матрицы либо вектора, р 1 — функция, обратная к р, ¿1 = sup ||^4.(x)|, S2 = sup ||c(x)||, Xd — максимальное собствен-

x£Rm x£Rm

ное значение матрицы \{D + D*), где

(6)

А+ и А_ — максимальное и минимальное собственные значения положительно определенной матрицы И, удовлетворяющей уравнению НБ + Б*И = -I. Пусть ¿3 =

----Т~гг’ = + ^2, = ехр(Т(Лд + ¿4)), ¿6 = вир (|с*(ж)ет| +

1 — 02Т хЕКт

1

1 ' , уо = Т(х0)х0, К = уЩуо,

0 1 0 .0

D= 0 0 1 .0

— P1 — to — CO —Pm

\\A(x)er,

S7 = sup

xeRm

Bx-i

+ 2(^5¿7R, ¿10 —

16(SI\\D\\2 + SI)

n2 — 16T2

Теорема. Пусть система (1) вполне управляема [4], вектор c(x) выбран по фор-

муле (5), ф = р 1 и выполнено следующее неравенство:

гг ■ f 1 п Т < пт < —, ——,

^¿2 4<58 A+v^io Тогда решение системы (1) x = 0 устойчиво в целом.

(7)

Доказательство теоремы

Выберем в системе (1) в качестве функции ф функцию р-1, обратную к функции р(а). Тогда система (1) примет вид

х = А(х)х + Ь(х)£, £ = Ма, а = с* (х)х,

а равенство (2) примет форму

= а(ьп).

Сделав в системе (8) преобразование [3] у = Б(х)х, приведем ее к виду

(8)

(9)

У = A(y)y + ет£, С = Ma, а = с*(y)y,

где е*т = (0,..., 0,1), A(y)= A(S (x)x) = A(x), с* (y) = c*(x).

22

Желая воспользоваться методом усреднения [5], введем функции

t

v(t) = vn при tn < t < tn+i, u(t) = /[£(X) — v(X)]dX и сделаем в системе (10) заме-

0

ну переменных

у = z + emu. (11)

Тогда из системы (10) получим уравнения

Z = A(y)z + emv + A(y)em u, (12)

a = c* (y)z + c* (y)emu. (13)

Здесь и далее под y понимается выражение (11).

Выберем, следуя [3], вектор-функцию c(y) таким образом, чтобы выполнялось равенство A(y) + emc* (y) = D, где D определяется по формуле (6) Тогда уравнение (12) можно представить в виде:

Z = Dz + w, (14)

где

w = (v — T (y)z)em + Aem u. (15)

Оценим max ||z(t)|| через ||zn||, где zn = z(tn). В [5] была получена оценка

tn<t<tn + i

\u(t)\<T |v(t)|. (16)

Отсюда и из (15) следуют неравенства

||w|| < \v\ + ||?(y)||||z|| + ЦА(у)ЦТ\v\ < \v\(1 + SiT) + S2M, (17)

где Si = sup ||A(y)||, ¿2 = sup Hc(y)H.

y£Rm y£Rm

Согласно (9), (13), (16) имеем при tn < t < tn+i оценку \v\ < (||z|| + T\v\)S2. Поскольку в силу (7), S2T < 1, то отсюда следует неравенство

M^IN^ (18)

S2

где<3= 1_Й2г-

Поэтому ввиду (17) справедлива оценка ||w|| < S4||z||, где S4 = (1 + SiT)S3 + S2. Умножив равенство (14) слева на z* и воспользовавшись полученной для ||w|| оценкой, приходим к соотношению

“INI2 < z*Dz +S4\\z\\2.

Пусть Ад — максимальное собственное значение матрицы \{D + D*). Тогда ^llzl|2 —

2(Xd + S4)HzH2. Умножив обе части этого неравенства на exp[—2(Xd + S4)] и проинтегрировав от tn до t € (tn,tn+i], получим требуемую оценку

max |z(t)| <S5|zn|, (19)

tn<t<tn+1

где S5 = exp(T(Xd + S4)).

Рассмотрим функцию Ляпунова V = г * Иг, где И — положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению НБ + Б*Н = -I. Производная по Ь в силу системы (14) имеет вид

V = -||г||2 + 2г* Ню. (20)

Введем обозначение: у{Ь) = г/(£п) при < Ь < ¿„+1, п = 0,1,2,.... Аналогичным образом определяются г(£),г1(£).

В силу (15), (9), (13) т = [с*(у)г - с*(у)г]ет + с*(у)етйет + А(у)ети.

Представим ю следующим образом:

ю = Ю1 + Ю2, (2!)

где _

г«1 = с (у)етиет -\- А(у)ети,

= с*(у)(г - г)ет + (с*(у) - с*(у))гет.

Оценим сначала Ю1. В силу свойства (16) справедливо соотношение

1Ы1<66Т М, (22)

где ¿6 = вир [\с*(у)вт\ + ||А(у)вт||].

уЕКт

Оценим теперь Ю2.

1Ы1 < 62\\г - г\\ + 6г\\у - у\\\\г\\, (23)

где 57 = яир

уЄЯт

дсі

С — составляющие вектора с, а у^ — составляющие вектора у.

дУз

В силу (11) справедлива оценка

\\у-у\\ < \\z-z\l + \й-и\.

Заменив в (23) ||у — у|| этой оценкой и воспользовавшись свойством (16), получим соотношение

II^21| < (¿2 + <НМ|)||^ — г\\ + 2Т(57||2;|||г;|.

Отсюда ввиду (22) и (18) вытекает оценка

1М1 < (52 + ¿г||^||)||^ ~ ¿\\+Т(66 + 2<^7||г||)<5з||г||. (24)

Введем обозначение Vn = V(гп) и предположим, что

Vn < Я. (25)

Тогда в силу (19) имеют место неравенства

тах V < тах |Ы|2 < ($-—Д,

гп<г<гп+1 5 А- гп<г<гп+1 5 Аи при Ьп < Ь < Ьп+1 ввиду (24) справедлива оценка

1М1 ^ <581|^ - г\\ + Т<5д|И|, где 68 = 52 + 5$57 ^6д = 66 + 2656г^^-11.

Поэтому имеет место соотношение

|М|2<2<52||г-г||2+2Т2<52|И|2. (26)

В силу неравенства Виртингера [5] и (14) справедливы неравенства

\г-г\\2ЛЬ<^Ьп+\ 1пУ

¿11 А <

4Т 2

Ьп + 1

J ЦБг + юЦ2ЗЬ <

- ~~г [ (\\Вг\\2 + 1И12)л-

Отсюда ввиду (26) вытекает оценка

16Т2з2

ю||2& <

ЦБГ

2Т252 / М2Л.

16Т252 _

В силу условия (7) ----^— < 1, поэтому из полученного неравенства следует оценка

¿тг + 1 ¿тг+1

J |И|2Л < ¿10Т2 У ||г||2Л,

£тг ^тг

(27)

где ¿10

Ш|||£>||2 + 2тт262 7г2 - 16Т2с5|

Оценим производную (20) следующим образом:

V <-М2 + ^\\Нг\\2 + ^\\го\\2,

(28)

где л — положительный параметр, который будет выбран ниже. Так как А+ — максимальное собственное число матрицы Н, то справедливо неравенство ||Нг||2 < А+ ||г||2, и из (27), (28) вытекает оценка

V <-р||г||2, (29)

МА\ 6юТ2

где р = 1 —

2^

-. Проинтегрировав (29), получим неравенство

Ьгг+1

р/ ЦгЦ2Л < Vn - Vn+l.

(30)

Выберем теперь положительный параметр л таким образом, чтобы р было положительным числом. Для этого достаточно, чтобы л удовлетворяло неравенству А+ ¡л2 - 2^ + ¿10Т2 < 0. Такое л найдется, если выполняется предположение А+ ¿10Т2 < 1. Последнее неравенство выполнено в силу условия (7) теоремы.

Поскольку ¿(0) = у(0) = у0, то V) = Я. Полагая в (30) п = 0, убеждаемся, что

VI < Я. Полагая затем последовательно в (30) п = 1, 2,... получаем для всех п оценку (25), и следовательно, неравенство (30) имеет место при всех п.

п

2

п

2

Просуммировав неравенство (30) по п от 0 до N — 1, получим для произвольного целого N оценку

\\zfdt < Уо — Ум < Уо. (31)

о

Из этого неравенства следует, что ||г|| € Ь2[0, +те). Согласно (27), ||ад|| € Ь2[0, +те). Ввиду гурвицевости матрицы Б следует, что г(Ь) ^ 0 при Ь ^ +те. В силу (18) такой же ассимптотикой обладает у(Ь), а следовательно и и(Ь). Из (11) вытекает, что у(Ь) ^ 0 при Ь ^ +те. Согласно равномерной невырожденности при всех х € Нт матрицы Т(х) [3] х(Ь) ^ 0 при Ь ^ +те.

Докажем теперь устойчивость по Ляпунову решения х = 0. Из неравенства (31)

ОО

следует, что р / ||г||2йЬ < У(г(0)).

о

В силу (27) справедливо соотношение

о 2

[ Ы2сМ < ^-У(г(0)). (32)

р

о

Согласно (20) оценим производную У следующим образом:

У < а+ м2.

Отсюда следует неравенство

СО

У(г(Ь)) — У(г(0)) < А+ J \\^\\‘2ЛЬ.

о

Из этой оценки и (32) мы получаем соотношение

А-\\z\l2 < (1 + А+ 6ЮТ2)У(г(0)). (33)

В силу (11), (16), (18) справедливо неравенство

||у||<1И|(1+ Т53). (34)

Из (33),(34) и равенств г (0) = у(0) = Я (х(0))х(0) вытекает, что

яир ||у(Ь)|| > 0 сколь угодно мал, если достаточно мала ||х(0)||. Поскольку х = Я-1у

у>о

и норма равномерно ограничена по х € Нт, состояние равновесия х = 0 устой-

чиво по Ляпунову.

Теорема доказана.

Заключение

Рассматривается, описываемая функционально-дифференциальным уравнением импульсная система, состоящая из нелинейной непрерывной части и включенного в обратную связь импульсного модулятора с нелинейной статической характеристикой.

С помощью нелинейного преобразования подобия, второго метода Ляпунова и метода усреднения решена задача аналитического синтеза сигнала на входе модулятора, стабилизирующего систему, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

Summary

A. Kh. Gelig, M. S. Kabrits. Stabilization of nonlinear pulse-modulated systems.

The problem of an analytical synthesis of stabilizing management for a pulse-modulated system with a nonlinear continuous part and the nonlinear static characteristic of a pulse modulator is solved.

Литература

1. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. Киев, 1970.

2. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Pulse-modulated Systems: a Review of Mathematical Approach// Fanctional-Differentional Equations, 1996. Vol. 3. N3-4. P. 362-385.

3. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 2 (№8). C. 8-13.

4. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin, 1989.

5. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.

6. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М., 1973.

Статья поступила в редакцию 10 июня 2003 г.